Фазозависимые процессы взаимодействия регулярных акустических волн в квадратично нелинейных средах без дисперсии

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 8
ЧАСТЬ 1. ФАЗОЗАВИСИМЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ
МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ 26
1. Физическая модель и механизм реализации нелинейных
фазозависимых процессов в модулированной волне 26
1.1. Взаимосвязь между амплитудно-фазовыми соотношениями в спектре
и модуляцией колебания 26
1.2. Теоретическая модель трех частотного волнового пакета в доразрывной
области 31
1.3. Зависимость параметров трсхчастотнон волны от амплитудно-фазовых
соотношений в начальном спектре 34
1.4,. Гармоники волны разностной частоты 42
1.5. Высокочастотные вторичные волны второго порядка 49
1.6. Обобщенная модель нелинейных процессов в волновом пакете 61
1.7. Зависимость нелинейных процессов от параметров волнового пакета.
Резулг>таты эксперимента 74
1.8. Амплитудно-фазовые характеристики трехчастотного волнового пакета
и вторичных волн. Результаты эксперимента 82
Краткие выводы 87
2. Нелинейный механизм нарушения фазового
синхронизма в трехчастотном волновом пакете 89
2.1. Физические предпосылки нелинейной дисперсии пакета акустических волн 89
2.2. Методический аспект анализа нелинейной дисперсии волнового пакета 94
2.3. Элементы теории дисперсии для волнового пакета в линейной среде 96
2.4. Взаимосвязь нелинейных набегов фаз с дисперсионными характеристиками 102
2.5. Дисперсионные характеристики трехчастотного волнового пакета 104
2.6. Спектральный метод измерения дисперсии. Техническая реализация 112
2.7. Спектральный метод измерения дисперсии. Результаты эксперимента 116
2.8. Наблюдение и результаты измерений нелинейной дисперсии методом
фигур Лиссажу 120
Краткие выводы 130
з
3. Теоретическая модель нелинейного излучателя в режиме
фазового запрета волн суммарной и разностной частот 132
3.1. Физические предпосылки режима фазового запрета вторичных волн 132
3.2. Акустическое поле дифрагирующей волны накачки 134
3.3. Теоретическая модель НАИ волны суммарной частоты с дифрагирующей
трехчастотной накачкой в среде с диссипацией 135
3.4. Численный анализ теоретической модели НАИ волны суммарной частоты 141
3.5. Амплитудно-фазовые характеристики ВСЧ 147
3.6. Теоретическая модель НАИ волны разностной частоты с дифрагирующей
трехчастотиой накачкой в диссипативной среде 149
3.7. Численный анализ теоретической модели поля 1 -й ВРЧ 153
3.8. Амплитудно-фазовые характеристики 1-й ВРЧ 157
Краткие выводы 159
4. Экспериментальное исследование фазозависимой генерации волн
суммарной и разностной частот Л 60
4.1. Экспериментальная установка 160
4.2. Пространственные характеристики ВСЧ 163
4.3. Модуляционные характеристики ВСЧ 173
4.4. Амплитудно-фазовые характеристики ВСЧ 175
4.5. Пространственные характеристики 1-й ВРЧ 178
4.6. Амплитудно-фазовые характеристики 1-й ВРЧ 183
Краткие выводы 195
5. Возможности практического использования нелинейного излучателя
с модулированной накачкой 197
5.1. Метод измерения фазочастотной характеристики излучателей ультразвука 197
5.1.1. Физические предпосылки безэталоиного метода измерения ФЧХ
излучателя 199
5.1.2. Достоверность нелинейного метода измерения ФЧХ излучателя 204
5.1.3. Измерение фазочастотной характеристики акустического излучателя 209
5.2. Нелинейный метод измерения АЧХ излучателей ультразвука 216
4
5.2.1. Физические предпосылки и принципы реализации метода 217
5.2.2. Экспериментальная апробация метода и оценка достоверности результатов 223
5.3. Нелинейный метод измерения АЧХ приемника ультразвука 227
5.4. Использование режима фазового запрета ВРЧ и ВСЧ для обнаружения
объектов и неоднородностей среды 230
5.4.1. Принцип работы и схемы построения систем диагностики 230
5.4.2. Результаты исследований поля 1-й ВРЧ и ВСЧ при наличии
неоднородности 233
5.4.3. Обнаружение объектов вблизи границ раздела 236
5.5. Фазовая локация с использованием бигармоничсской ВРЧ 238
5.5.1. Способы реализации и области приложения фазовой локации в акустике 238
5.5.2. Фазовый эхолокатор на основе НАИ бигармони ческой ВРЧ 247
5.5.3. Амплитудные характеристики бигармонической ВРЧ 250
5.5.4. Влияние амплитудно-фазовых искажении накачки на результаты
измерений фазы коэффициента отражения 254
5.5.5. Пространственная структура фазового инварианта ВРЧ 256
Краткие выводы 261
ЧАСТЬ 2. ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ С КРАТНЫМИ
ЧАСТОТАМИ В КВАДРАТИЧНО НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ 262
6. Фазозависимые процессы при взаимодействии акустических волн
с кратными частотами 262
6.1. Искажения профиля бигармонической волны в доразрывной области 262
6.1.1. Формирование разрыва в бигармонической волне 263
6.1.2. Параметры разрывного участка на профиле бигармонической ВКА 269
6.2. Механизм реализации фазовой зависимости нелинейных процессов 277
6.2.1. Общий подход к рассмотрению и классификации нелинейных процессов 277
6.2.2. Анализ нелинейных процессов в бигармонической ВКА 280
6.2.3. Физическая модель фазозависимых нелинейных процессов 287
6.3. Спектральный анализ бигармонической ВКА с кратными частотами
в доразрывной области 294
6.3.1. Спектральное представление решения уравнения Римана 294
6.3.2. Пространственные распределения амплитуды первичных
и вторичных волн 295
6.3.3. Амплитудно-фазовые характеристики первичных волн 301
5
6.3.4. Пространственные распределения нелинейных набегов фазы
и расстройки фазового инварианта первичных волн
6.3.5. Фазовые характеристики первичных волн
6.4. Режим фазового запрета генерации вторичной волны бигармонической
накачкой с соотношением частот N = Ъ
6.4.1. Плосковолновая модель режима фазового запрета
двухкомпонентной вторичной волны
6.4.2. Пучковая модель фазового запрета двухкомпонентной вторичной волны
6.4.3. Численный анализ пучковой модели поля вторичной волны
6.5. Численное моделирование нелинейных процессов при ВГ1В
6.6. Взаимосвязь нелинейной дисперсии и нелинейного поглощения
сигнальной волны при ВПВ Краткие выводы
7. Экспериментальное исследование фазозависимого взаимодействия акустических волн с кратными частотами.
Анализ путей практического использования
7.1 Экспериментальная установка исследования ВПВ
7.2. Экспериментальное наблюдение нелинейной дисперсии волн при ВПВ
7.3. Использование ВПВ для активного подавления нелинейного поглощения
звуковой ВКА
7.4. Нелинейное поглощение звука звуком при BIIB
7.4.1. Особенности поглощения звука звуком в нелинейных средах
7.4.2. Фазозависимый характер поглощения звука звуком при ВПВ
7.4.3. Экспериментальное исследование фазозавнеимого поведения
амплитуды сигнальной волны
7.4.4. Измерение нелинейного поглощения сигнальной полны при ВПВ
7.4.5. Экспериментальное наблюдение эффекта модуляция сигнальной волны
7.5. Метод измерения нелинейного акустического параметра сред
7.6. Автоматизированная установка для исследования взаимодействия волн
с кратными частотами
7.7. Формирователь двухчастотного сигнала с изменяемыми частотными и
амплитудно-фазовыми соотношениями
7.8. Двухслойный излучатель бигармонической ультразвуковой волны
7.8.1. Теоретическая модель электроакустического тракта
304
311
315
315
319
322
327
332
340
342
342
345
349
357
357 362
365
371
374
376
380
385
358 3S8
6
7.8.2. Экспериментальные зависимости импеданса преобразователя от частоты 393
7.9. Экспериментальное исследование фазозависимой генерации ДВВ
бигармонической накачкой при N = 3 396
7.10. Диагностика неоднородностей среды с использованием ДВВ 401
7.10.1. Влияние тонкой пластины на структуру поля вторичной волны 402
7.10.2. Динамика изменений поля ДВВ при наличии в среде газовых пузырьков 403
7.10.3. Исследование нестационарного всплывающего пузырькового слоя 408
7.11. Способ уменьшения нелинейного поглощения звуковых волн 410
7.11.1. Физические предпосылки метода 410
7.11.2. Теоретическая модель взаимодействия сигнальной волны и накачки 411
7.11.3. Экспериментальная апробация метода 416
7.12. Сравнительный анализ нелинейного поглощения звука звуком
при взаимодействии волн с кратными частотами 419
Краткие выводы 424
Часть 3. ФЛЗОЗАВИСИМЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ДВУХ
BOJIH С ЦЕЛОЧИСЕННЫМ СООТНОШЕНИЕМ ЧАСТОТ 426
S. Взаимодействие плоских волн с целочисленным соотношением частот
в доразрывной области 427
8.1. Точное решение уравнения простых волн 427
8.2. Динамика искажений временного профиля бигармонической ВКА 429
8.3. Распространение первичных волн 434
8.4. Нелинейная дисперсия первичных волн 439
8.5. Волна разностной частоты 445
Краткие выводы 448
9. Плоские волны с целочисленным соотношением частот
в области разрывов. Результаты эксперимента 449
9.1. Моделирование нелинейных процессов в области развитых разрывов 449
9.2. Спектр бигармонической волны в области развитых разрывов 455
9.3. Экспериментальная установка для исследования фазозависимых
процессов при взаимодействии волн с некратными частотами 465
9.4. Конструкция и характеристики двухслойных излучателей
бигармонических волн с соотношением частот со,/со2 =2:3 и 3:4 468
7
9.5. Результаты экспериментального исследования фазозависимого
взаимодействия волн при со,/со, = 2 :3 и 3 :4 471
Краткие выводы 481
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 483
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 489
П1. Измерение фазовых соотношений в трехчастотной волне посредством 489
фигур Лиссажу
П 1.1. Техническая реализация метода - 491
П1.2. Специфика проявлений фазовых и амплитудных искажений
волнового пакета 494
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 499
П2. Геометрическая дисперсия дифрагирующих звуковых пучков
малой амплитуды 499
П2.1. Общее решение для дифрагирующего звукового пучка 500
П2.2. Амплитудно-фазовая структура акустического поля в пучках
с плоским начальным фазовым фронтом 503
П2.3. Кривизна фазового фронта волны в пучке 508
П2.4. Методические аспекты анализа геометрической дисперсии пучков 510
П2.5. Дисперсионные свойства гауссового пучка 513
П2.6. Геометрическая дисперсия в ноле поршневого излучателя 516
П2.7. Дисперсионные свойства полиномиальных пучков 520
П2.8. Результаты измерений геометрической дисперсии 529
ЛИТЕРАТУРА СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
532
560
8
ВВЕДЕНИЕ
Основные положения нелинейной акустики как подраздела науки о волнах были сформулированы и оформлены в виде теоретических моделей, методов анализа, уравнений и важнейших результатов еще в 50...70-е годы XX века. Однако интерес к целому ряду аспектов распространения упругих волн конечной амплитуда (ВКЛ) сохраняется и в настоящее время, пополняя нелинейную акустику новыми идеями, физическими закономерностями и практическими приложениями [137 - 144].
Среди малоизученных проблем, представляющих научный и практический интерес, выделяется задача о зависимости нелинейной эволюции возмущений и их спектров в средах без дисперсии от фазовых соотношений в регулярной многочастотной волне. В волновых процессах распространение не всегда связано с фазовыми соотношениями. Для волн малой амплитуды учет фазовых соотношений не представляет интереса благодаря выполнению принципа суперпозиции, из-за чего каждая из компонент спектра распространяется независимо от других. Для случайных ВКА, где взаимное влияние компонент спектра нарушает принцип суперпозиции, учет фазовых соотношений также не проводится, но по другой причине [73, 146]. Здесь эволюция волны определяется статистикой излучения и функцией спектрального распределения, задаваемыми на входе среды, и не связана с фазовым спектром исходного возмущения в отдельно взятый момент времени [13].
В диспергирующих средах, что типично для оптики, распространение многочастотной волны из-за частотной зависимости фазовой скорости сопровождается нарушением фазового синхронизма. Непрерывное изменение фазовых соотношений между компонентами спектра с увеличением расстояния вступает в противоречие с накопительным характером нелинейных процессов, приводя к торможению их развития. В результате разрывается цепочка каскадной генерации спектров высших порядков, через которые реализуются фазозависимые процессы в нелинейных средах.
Поэтому понятие нелинейных фазозависимых процессов в полной мере применимо лишь к регулярным волнам конечной амплитуды в средах без дисперсии, что характерно для большинства задач нелинейной акустики [21]. Достаточно положить, что начальные условия в виде частотного спектра и амплитуд Фурьс-компонснт сохранены. Тогда очевидно, что форма временного профиля, а с нею и динамика искажений при распростране-
9
нии в нелинейной среде, будут определяться соотношением начальных фаз компонент.
Несмотря на широкий охват задач [21, 76, 378, 389], связанных с взаимодействием волн, и успешное использование технических решений [14, 193, 307], использующих-физические принципы нелинейной акустики, фазозависимые нелинейные процессы до последнего времени оставались малоизученными. Недостаток работ в этой области часто воспринимается разработчиками аппаратуры [14, 45, 403] как косвенное указание на отсутствие пли несущественность фазозависимых эффектов при взаимодействии волн, что негативно сказывается на характеристиках используемых и проектируемых устройств, ограничивает выбор возможных подходов к их построению.
Часто из соображений удобства и наглядности результатов нелинейные задачи распространения модулированных волн и взаимодействия гармонических ВКЛ рассматривают раздельно [13, 14, 21, 72, 76]. Несмотря на широкое использование модулированных * ВКА (звукоподводная связь, телеметрия, управление, измерения), исследование особенностей их распространения в зависимости от фазовых соотношений в начальном спектре не. проводилось. Анализ статистических характеристик квазимонохроматичсских ВКА в недиспергирующей среде при наличии фазовых флуктуаций [147 - 149] не дал ответ на вопросы о физическом механизме фазозависимого поведения волн в нелинейной среде, ус-. ловнях и особенностях его реализации, характерных проявлениях и т.д.
Вместе с тем хорошо известна [13, 47 - 49, 69, 174, 378] важная роль фазовых соотношений в вырожденном параметрическом взаимодействии (ВПВ) волн. Однако фазоза-висимые процессы ВПВ традиционно рассматривались вне связи с общим случаем, охватывающим разные соотношения частот взаимодействующих волн. Это воспрепятствовало изучению присущих ВПВ закономерностей в других ситуациях [14, 45, 76, 145, 379]. Причина отмечаемой разобщенности лежит не столько в особых свойствах ВГ1В, сколько в специфике используемых методов анализа.
Для получения решений, описывающих ВПВ, часто пользуются упрощением нелинейной задачи, ограничив количество разрешенных взаимодействий [13, 47 - 49]. Считается, что бсздисперснонное распространение и эффективные взаимодействия возможны лишь для первичных и отдельных вторичных волн, тогда как появлению других компонент спектра и развитию каскадных процессов препятствует частотная дисперсия. Для BIIB этот подход оправдан, т.к. из-за двукратного различия частот энергообмен между исходными волнами в квадратично нелинейной среде проходит непосредственно.
При взаимодействии волн с произвольным соотношением частот подобное упро-
10
щсние неприемлемо, поскольку из рассмотрения исключается механизм реализации фазозависимых нелинейных эффектов. Причина в том, что с увеличением кратности частот растет порядок спектра, начиная с которого проявляются фазозависимые процессы. Это объясняет безуспешные попытки их обнаружить при взаимодействии волн с отличными от ВПВ соотношениями частот в трех- и четырехчастотных приближении [180, 181, 341].
Ограниченность теоретических моделей, приведшая к утрате фазовой зависимости, наглядно проявилась в исследованиях нелинейных излучателей звука [14, 15, 45, 145, 194, 384 - 387]. Несмотря на возможность перестройки разностной частоты в диапазоне нескольких октав, зависимость амплитуды волны разностной частоты (ВРЧ) от фазовых соотношений в cneKipe накачки не была обнаружена ни теоретически, ни экспериментально. Данная ситуация имеет место вопреки неоднократным указаниям [13, 389] на фазозавнеи-мый характер распространения многочастотных регулярных волн в нелинейных средах, что качественно отличает их от случайных В КА [72].
Одна из причин отмеченного противоречия вызвана тем, что наиболее известные модели параметрических антенн (Вестервельта, Берктея, Зверева-Калачева, Новикова-Руденко [14] и др.) получены для условий слабого проявления нелинейности (приближение заданной накачки). Поэтому количество возможных взаимодействий естественным образом ограничено преобладанием диссипации и дифракции над нелинейными эффектами. В результате спектр генерируемых волн представлен лишь несколькими компонентами низших порядков, что исключает проявление фазозависимых эффектов.
Предпочтение теоретическим моделям с малым числом взаимодействий, отдаваемое на начальном этапе развития нелинейной акустики, вызвано отсутствием удобных для анализа точных решений общей задачи взаимодействия волн и ограниченными возможностями численных расчетов. Эго объективно препятствовало теоретическому исследованию фазозависимых процессов. Сказалось и отс>тстпие четких представлений о механизме фазозависимого взаимодействия волн в нелинейных средах, что не позволило обеспечить необходимые условия для его реализации и экспериментального исследования.
Неудачные попытки экспериментальных наблюдений фазозаписимого взаимодействия волн [14, 45, 63, 180, 307] вызваны использованием независимых генераторов в качестве источников сигнала первичных волн. Взаимная нестабильность их частот в сочетании с высокой частотной избирательностью фазозависимых эффектов и инерционностью индикаторов препятствуют их регистрации. Следует также добавить необходимость обеспечения условий нелинейного распространения первичных волн, когда в области взаимо-
действия присутствует широкий набор спектральных компонент разных.порядков. Отмеченные трудности были-преодолены лишь при использовании когерентных сигналов с контролируемым соотношением фаз. [159; 160] и специально разработанных многорезо-напсных излучателей [355]'. • • ■ • : ■
. , Актуальность работы вызвана следующими обстоятельствами: •
1. Накопившиеся в процессе развития теории, и практики нелинейных волн методологнче-
ские и мировоззренческие вопросы распространения регулярных волн конечной-амплитуды в квадратично нелинейных средах без дисперсии, что характерно для нелинейной акустики и ее приложений, требуют своего решения. Это касается:
- корректного выбора теоретических подходов к анализу взаимодействия волн;
-учета соотношений фаз при рассмотрении энергообмена и распространения воли;
- интерпретации и обобщения частных случаев гармонической, амплнтудно- ифазо-модулированных волн, вырожденного взаимодействия двух волн и др.;
- устранения противоречий• между фазозависимым вырожденным и общим случаем • взаимодействия волн ^произвольным соотношением частот;
- определения причин отсутствия теоретических результатов и- неудач экспериментального наблюдения фазозавненмых процессов в нелинейной акустике и др.
2. Распространение регулярных акустических волн конечной амплитуды в квадратично* нелинейных средах без дисперсии сопровождается новым классом явлений (эффект фазового запрета, фазозависимый, энергообмен волн, нелинейная дисперсия, нарушение фазового синхронизма), обусловленных фазозависимыми процессами. Без разработки соответствующих физических моделей, установления закономерностей проявления и экспериментального исследования перечисленных эффектов прогресс в этой области науки и техники невозможен. * . ■V '
3. Отсутствие сведений о путях и способах практического использования нелинейных фа-
зозависимых процессов, сопровождающих распространение модулированных н взаимодействие гармонических волн, рассматривается разработчиками’’ аппаратуры как свидетельство несущественности фазозавненмых эффектов; чго негативно сказывается, на характеристиках используемых и проектируемых устройств, ограничивает выбор-возможных подходов к их построению.. .
12
Целью диссертационной работы является определение механизма и условий фазозависимого распространения модулированных и взаимодействия гармонических волн в квадратично нелинейных средах без дисперсии, установление закономерностей их проявления и поиск путей практического использования.
Лая реализации постааленной пели необходимо решить следующие задачи:
1. Теоретически рассмотреть распространение модулированных и взаимодействие гармонических волн в общей постановке, при произвольных амплитудно-фазовых и частотных соотношениях.
2. Разработать физические модели, позволяющие проследить проявления фазозависимых нелинейных процессов, выявить их специфику и основные закономерности.
3. Создать аппаратные средства формирования модулированных и бигармонических сигналов с изменяемыми амплитудно-фазовыми и частотными соотношениями, многоре-зоиансные излучатели и автоматизированную установку.
4. Теоретически рассмотреть влияние фазовых соотношений на условия распространения первичных и вторичных волн. Проанализировать дисперсионные проявления нелинейных процессов и дифрагирующих пучков малой амплитуды. Разработать экспериментальные методы и на их основе исследовать нелинейную дисперсию модулированных и бигармонических волн конечной амплитуды, оценить вклад геометрической дисперсии звуковых пучков.
5. Экспериментально исследовать фазозависимые процессы распространения, генерации и энергообмена волн. Рассмотреть направления и способы практических приложений фазозависимых процессов, оценить эффективность их использования, осуществить экспериментальную проверку предлагаемых методов.
Научная новизна
1. Эволюция модулированных и бигармонических воли с кратным и целочисленным некратным соотношением частот в квадратично нелинейных средах без дисперсии представлена взаимосвязанными фазозависимыми энергообменом и нелинейной дисперсией. взаимная синхронизация которых выразилась в привязке максимальных и
13
минимальных проявлений обоих процессов к определенным знамениям фазового инварианта.
2. Предложена классификация нелинейных процессов согласно их зависимости от фазовых соотношений в исходном возмущении. Показано, что фазозависимое взаимодействие волн в средах без дисперсии обусловлено синхронным и коллинеарным распространением волн равных частот из спектров разного порядка, фазы которых отличаются на величину фазового инварианта. Установлена зависимость проявлений фазозависимых процессов от величины и четности частотного параметра взаимодействующих волн. Показана взаимосвязь частотною параметра с порядком спектра, где появляется фазозависимая добавка, и пространственным запаздыванием фазозависимых процессов.
3. Определены условия, необходимые для проявления и экспериментального наблюдения фазозависимых процессов. Показана недопустимость ограничения количества взаимодействий при теоретическом рассмотрении волн конечной амплитуды. Исключены существующие противоречия между фазозависимым проявлением вырожденного и другими видами взаимодействия гармонических волн.
4. Предсказаны и экспериментально подтверждены фазозависимыс эффекты изменения скорости и нарушения фазового синхропизма волн в квадратично нелинейной среде без дисперсии. Объяснены особые случаи отсутствия нелинейной дисперсии. Рассмотрена геометрическая дисперсия дифрагирующих звуковых пучков, проведен анализ присущих ей особенностей. Предложены два метода измерения дисперсии и методология пересчет пространственных набегов фазы компонент и фазового инварианта первичной волны в параметры, характеризующие дисперсию.
5. Теоретически предсказана и экспериментально подтверждена возможность запрета генерации волн подбором амплитудно-фазовых и частотных соотношений в исходном возмущении. Определены условия фазового запрета двухкомпонентных вторичных волн, которым свойственна высокая чувствительность к изменению амплитуд и (или) фаз входящих в их состав компонент, что создает предпосылки к широкому использованию эффекта фазового запрета.
I
14
6. Развиты нелинейные методы исследования АЧХ и ФЧХ излучателей и приемников акустических волн, основанные на регистрации волн разностной и суммарной частоты, генерируемых в среде узкополосной двух- и трехчастотной волнами накачки. Рассмотрены методы и области приложения фазовой локации в акустике. Показаны преимущества использования в фазовом эхолокаторе нелинейного излучателя бигармо-нической волны разностной частоты.
7. Показано особое место вырожденного взаимодействия среди бигармонических волн с кратными частотами, обусловленное высокой эффективностью фазозавнеимых процессов, реализуемой прямым энергообменом первичных волн. Прослежена взаимосвязь фазозависимой нелинейной дисперсии и нелинейного поглощения сигнальной волны. Выявлены различия формирования разрыва в профиле бигармонических волн с кратными и некратными частотами. Для используемого на практике пучкового распространения волн экспериментально показано дифракционное ограничение фазозависимых процессов начальным этапом, описываемым плосковолновой моделью в до-разрывной области.
Практическая ценность работы
1. Введение в обиход фазового инварианта исходного возмущения упростило описание и анализ фазозависимого распространения и взаимодействия регулярных волн, результаты приобрели наглядный физический смысл. Разработанные модели нелинейных излучателей звука составили основу расчета акустического тракта приборов с фазозависимой генерацией двухкомпонентных волн разностной и суммарной частоты, включая режим фазового запрета.
2. Теоретически и экспериментально показана возможность ослабления нелинейного поглощения модулированных и гармонических волн большой амплитуды посредством фазового запрета генерации вторичных волн, что может использоваться в устройствах звукоподводной связи и гидролокаторах дальнего действия. Предложены и экспериментально проверены методы обнаружения неоднородностей среды и объектов вблизи границ раздела, основанные на эффекте фазового запрета генерации волн разностной и суммарной частоты, отработаны схемы реализации.
15
3. Разработаны и практически реализованы методы (спектральный и фигур Лиссажу), позволяющие измерять нелинейную дисперсию акустических воші и геометрическую дисперсию дифрагирующих пучков. Определены условия бездиспсрсионного распространения модулированных и бигармоничсских волн конечной амплитуды, что позволяет исключить нежелательные искажения сигналов в системах звукоподводной связи и фазовых локаторах, использующих би гармоническую волну с некратным целочисленным соотношением частот.
4. Разработаны и практически реализованы безэталонные методы измерения фазочастотной и амплитудно-частотной характеристик излучателей и приемников ультразвука, использующие фазозависимыс проявления и взаимосвязь генерации волн разностной и суммарной частоты узкополосной двух- и трехчастной накачкой. Предложен способ экспрссс-оценки параметров излучателя (добротность, полоса пропускания) без измерения частотных характеристик.
5. Используя особенности нелинейного излучателя бигармонической волны разностной частоты, генерируемой амплитудно-модулированной накачкой, разработаны принципы построения фазового эхолокатора, где исключены недостатки известных подходов. Теоретически и экспериментально показана опасность неконтролируемого снижения амплитуды волны разностной частоты (более 20%) в нелинейном излучателе с бигармонической накачкой, частоты которой связаны целочисленным некратным соотношением, в отсутствие учета фазозависимых процессов.
6. В рамках вырожденного параметрического взаимодействия предложены и экспериментально обоснованы методы активного подавления нелинейного поглощения волны, поглощения звука звуком, измерения нелинейного параметра, модуляции сигнальной волны мощной накачкой, которые ориентированы на использование в гидроакустике для увеличения дальности локаторов, в технике звукогашения, системах акустического противодействия и звукомаскировки, акустической диагностики и др.
Научные положения, выносимые на защиту
1. Распространение и взаимодействие регулярных воли в квадратично нелинейной среде без дисперсии сопровождается двумя взаимосвязанными и взаимовлияющпми фазоза-
16
висимыми процессами: энергообменом и нелинейной дисперсией волн. Параметром, определяющим характер фазозависимых процессов, является фазовый инвариант исходного возмущения, величина которого определяет условия бездисперсионного распространения, знак и степень проявления нелинейной дисперсии. В звуковых пучках конечной амплитуды нелинейная дисперсия реализуется на фоне геометрической дисперсии, обусловленной дифракционными процессами.
2. Основу нелинейных фазозависимых процессов составляет синхронное и коллинеарное распространение волн равных частот из спектров разных порядков, фазы которых отличаются на величину фазового инварианта исходного возмущения. Характер и степень проявления фазозависимых процессов определены величиной и четностью частотного параметра взаимодействующих волн. Величина частотного параметра отражает порядок спектра, где появилась фазозависимая добавка к исходному возмущению, и пространственное запаздывание фазозавиенмых процессов.
3. Сочетание определенных амплитудно-фазовых и частотных соотношений в спектре излучаемой волны сопровождается эффектом запрета нелинейной генерации вторичных волн, приводящим к перекрытию одного или нескольких каналов оттока энергии из первичных волн. Сокращение опока энергии снижает нелинейные потери модулированных и гармонических воли большой амплитуды. В основе эффекта фазового запрета лежит компенсационный процесс, реализуемый при равенстве амплитуд и противоположных фазах двух синхронно и коллинсарно распространяющихся вторичных волн равных частот. Запрещаемые волны обладают высокой чувствительностью к нарушениям амплитудных и (или) фазовых соотношений в исходном возмущении, позволяя обнаруживать объекты и неоднородности среды.
4. Предложенные методы контроля электроакустических преобразователей, использующие фазозависимые проявления и взаимосвязь процессов генерации волн разностной и суммарной частоты узкополосной двух- и трехчастной накачкой, позволяют измерять амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики излучателей и приемников ультразвука без привлечения градуированных звукоприемников и источников акустического сигнала. Результаты измерений некритичны к стабильности частоты сигнала, точности определения скорости звука в среде и расстояния приемника от излучателя, характеризуют сквозные характеристики с учетом искажений в электрических цепях, в
электромеханическом преобразователе, при распространении и дифракции волн.
5. Нелинейный излучатель бигармонической волны разностной частоты, генерируемой в-среде амплитудно-модулированной по гармоническому закону накачкой, позволяег измерять аргумент комплексного коэффициента отражения объектов в режиме эхолокации. Нарушение равенства амплитуд боковых компонент в спектре накачки ухудшает достоверность фазовой’локации из-за возникающего сдвига фазы первой гармоники волны разностной частоты.
6. Реализация фазозависимых нелинейных процессов распространения модулированных и взаимодействия гармонических волн с кратным и целочисленным некратным соотношением частот возможна лишь при соблюдении неизменными амплитудно-фазовых соотношений в спектре исходного возмущения и достижении режима нелинейного распространения волн, представленного спектрами разных порядков.
7. Фазозависимые процессы взаимодействия волн лежат в основе нелинейных эффектов модуляции звука звуком и поглощения звука звуком, ослабления нелинейного поглощения волн большой амплитуды, являются причиной снижения амплитуды волн разностной и суммарной частоты в нелинейных излучателях с модулированной и бигармонической накачкой.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех частей, включающих девять глав, раздела «Основные результаты», двух приложений и списка литературы. Работа изложена на 553 страницах и содержит 314 рисунков и 4 таблицы. Список литературы включает 409 наименований.
В первой части диссертации изложены результаты исследований распространения узкополосных модулированных ВКА в зависимости от амплитудно-фазовых соотношений в начальном спектре для однородной квадратично нелинейной среды без дисперсии. Необходимость изучения этого вопроса вызвана широким использованием модулированных колебаний в нелинейных излучателях звука в качестве волн накачки, в технике звукоподводной связи, передачи информации и дистанционного управления объектами. Вострсбо-
18
ванность узкополосных сигналов вызвана необходимостью минимизации искажений передаваемой информации, повсеместным применением для излучения и приема ультразвуковых волн резонансных антенн, аффективно работающих в узкой полосе частот, простотой пространственной локализации.
Отсутствие методических приемов для рассмотрения фазовых характеристик многочастотных ВКА потребовало разработки способа их описания с использованием фазового инварианта, представленного комбинацией начальных фаз гармонических компонент. Важным свойством фазового инварианта является независимость от времени и расстояния для одномерных волн малой амплитуды в средах без дисперсии. Это позволило получить
I
точное решение простого вида для участка, предшествующего образованию разрыва. Подробный анализ полученных выражений позволил создать наглядную физическую модель, в рамках которой с единых позиций рассмотрены разнообразные проявления и механизм реализации нелинейных фазозависимых процессов, прослежена их специфика ;цш бсздис-персионных сред. Проведенные исследования пространственных распределений амплитуд и нелинейных набегов фазы, амплитудно-фазовых и фазовых характеристик первичных и вторичных волн заложили основу для представления фазозависимого распространения модулированных волн как двух взаимосвязанных процессов - энергообмене и особой по характеру своего проявления нелинейной дисперсии. На примере зависимостей амплитуды первичных и вторичных волн от фазового инварианта волнового пакета получено хорошее согласие теоретических и экспериментальных результатов. Обсуждается и экспериментально продемонстрирована возможность практического использования фазозависимых процессов для ослабления нелинейного поглощения модулированных ВКА. Перечисленные результаты изложены в первой главе.
Вторая глава посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейной дисперсии модулированных волн. Рассмотрены физические предпосылки, характер и условия проявлений дисперсии в квадратично нелинейных средах, объяснены особые случаи вырождения нелинейной дисперсии. Для сохранения преемственности существующих в теории волн представлений о дисперсии волнового пакета, предложено дисперсионные проявления фазозависимых нелинейных процессов формально рассматри-' вать в рамках второго приближения теории дисперсии. При этом оговаривается нелинейный механизм образования дополнительных набегов фазы в каждой из компонент волнового пакета и их взаимосвязь с амплитудно-фазовыми соотношениями исходного возмущения. Предложенный подход аналогичен обобщению физически различных явлении, лежащих в основе затухания или дисперсии волн в линейных средах, что позволяет абст-
19
рагироваться от механизма их проявления на этапе анализа волновых процессов. Развит аналитический аппарат, связывающий дисперсионные характеристики трехчастотного волнового пакета (фазовая и групповая скорость, расстройка фазового инварианта, дисперсионный параметр) с нелинейными набегами фазы спектральных компонент.
Здесь же рассмотрены два реализованных на практике метода измерений нелинейной дисперсии. Спсктрапьный метод, основанный на регистрации нелинейных набегов фазы Фурье-компонент и последующем пересчете их в дисперсионные характеристики, позволил экспериментально проследить фазозависимый характер фазовой и групповой скорости, нарушений фазового синхронизма волнового пакета. Методом фигур Ли ссажу, в основе которого лежит прямая регистрация нарушений фазового синхронизма, исследована пространственная структура дисперсионного параметра при разных параметрах излучаемого сигнала. В условиях дифрагирующего пучка наряду с нелинейной дисперсией отмечен значительный вклад ранее не изучавшейся геометрической дисперсии, обусловленной дифракцией волн. Приведены результаты экспериментального исследования характера и условий проявлений обоих видов дисперсии.
В третье»! главе представлена теоретическая модель и результаты исследования двухкомпонентиых волн суммарной и разностной частоты трехчастотиой накачкой с произвольными амплитудно-фазовыми соотношениями в спектре при наличии часготно-зависимых процессов дифракции и диссипации волн. Прослежена зависимость амплитуды и пространственной структуры поля ВСЧ и 1-й гармоники ВРЧ от амплитудно-фазовых и частотных соотношений в спектре накачки, показаны различия пучковой и плосковолновой моделей. Рассмотрены физические предпосылки и условия реализации эффекта фазового запрета двухкомпонентных вторичных волн, интерес к которому обусловлен широкими возможностями его практического использования. Предпосылкой к этому является высокая чувствительность амплитуды этих волн к любым нарушениями амплитудных и (или) фазовых соотношений в спектре накачки. Проведен численный анализ особенностей формирования поля каждой из волн в режиме фазового запрета, дана сравнительная оценка характеристик ВСЧ и 1-й ВРЧ при равных параметрах накачки. Показано, что для обеспечения условий фазового запрета в реальных условиях ультразвукового пучка накачки важно учитывать влияние частотно-зависимых процессов дифракции и диссипации. При этом область запрета принимает вид локализованных в пространстве участков на оси или вокруг оси пучка.
20
Четвертая глава посвящена результатам экспериментального исследования фазозависимой генерации ВСЧ и 1-й гармоники ВРЧ. Рассмотрена лабораторная установка и методическое обеспечение эксперимента. Подробно исследованы пространственные распределения амплитуды ВСЧ и 1-й ВРЧ при различных амплитудно-фазовых и частотных соотношениях в спектре трехчастотной накачкой, амплитудно-фазовые характеристики обеих волн и модуляционные характеристики ВСЧ. Дан анализ особенностей реализации режима фазового запрета ВСЧ и 1-й ВРЧ в условиях дифрагирующего пучка.
13 пятой главе представлены некоторые из возможных путей практического использования нелинейного излучателя звука волн суммарной и разностной частоты, где роль накачки выполняет модулированная волна конечной амплитуды. Наряду с нелинейными методами измерения амплитудно-частотной характеристики излучателей и приемников ультразвука рассмотрен безэталонный метод измерения фазочастотной характеристики излучателя, использующий фазозависимый механизм генерации 1-й гармоники ВРЧ. Актуальность разработки новых методов исследования АЧХ и ФЧХ ультразвуковых преобразователей вызвана активным продвижением сложных сигналов в ультразвуковые приборы неразрушающего контроля, медицинской диагностики и гидроакустики. Важным преимуществом предлагаемых подходов является отсутствие необходимости в градунро- » ванных приемниках и излучателях, некритичность к условиям проведения измерений, простота реализации и возможность автоматизации, измерение сквозных характеристик электроакустического тракта.
Рассмотрены принцип работы и схемы построения диагностических и локационных систем, использующих режим фазового запрета ВСЧ и ВРЧ. Экспериментально продемонстрированы возможности применения нелинейных фазозависимых процессов для обнаружения неоднородностей среды и объектов вблизи границ раздела сред. Проанализированы проблемы и возможности фазовой локации в акустике, рассмотрены преимущества использования нелинейных излучателей. Предложен принцип построения фазового эхолокатора на основе бигармонической ВРЧ, генерируемой амплитудно-модулированной накачкой, для которого проведено теоретическое и экспериментальное исследование характеристик акустического тракта.
Вторая часть объединяет результаты изучения влияния амплитудно-фазовых соотношений на процесс взаимодействия двух гармонических волн с кратными частотами, о,: со2 = 1: Аг, где N = 2, 3, 4, ... Особое место занимает задача, призванная оценить зависимость степени и характера проявлений фазозависимых эффектов от соотношения час-
21
тот взаимодействующих волн. Ее решение позволило снять существовавшие противоречия между ВПВ (N = 2) и общим случаем волн кратных частот (N >2).
В шестой главе приведены результаты теоретического исследования фазозависимых процессов, выразившегося в рассмотрении просгранствснной динамики нелинейных искажений профиля исходного возмущения, формирования и последующей трансформации разрывов, изменения с расстоянием амплитуд и фаз спектральных компонент. Показано, что с увеличением N происходит ослабление вклада фазозависимых процессов в общую картину нелинейной эволюции бигармони ческой ВКЛ. Проведена классификация нелинейных процессов, выявлена взаимосвязь характера их проявлений с четностью частотного параметра N, прослежено участие в фазозависимом энергообмене, нарушении фазового синхронизма, пространственном изменении фазовой скорости и др. Исследован механизм и условия, необходимые для солнтонального распространения исходной бигар-монической волны с некратным значением частотного параметра N.
Для вырожденного случая взаимодействия волн численно исследованы особенности фазозависимых процессов в области развитых разрывов. Показано ,что особое место ВПВ среди бигармонических волн конечной амплитуды с кратными частотами обусловлено высокой эффективностью фазозависимых процессов, достигнутой за счет энергооб-мена непосредственно между первичными волнами. На примере ВПВ дано аналитическое описание взаимосвязи фазозависимых процессов нелинейной дисперсии и нелинейного поглощения сигнальной волны.
Для случая N = 3 показана возможность запрета нелинейной генерации некоторых вторичных волн, достигаемого через взаимную компенсацию двух синхронно и коллине-арно распространяющихся противофазных компонент равных частот. Рассмотрена пучковая модель режима фазового запрета двухкомпоиентной вторичной волны, позволившая учесть влияние частотно-зависимых процессов дифракции и диссипации.
Седьмая глава представляет результаты экспериментального исследования фазо-завиенмого взаимодействия волн с кратными частотами и анализ иугей их практического использования. Рассмотрены автоматизированная измерительная установка, метод формирования бигармонического сигнала с изменяемыми амплитудно-фазовыми и частотными соотношениями, двухслойные пьезопреобразователи для излучения бигармонических волн с сильно разнесенными частотами. Результаты исследований поля двухкомпонентной вторичной волны в режиме фазового запрета (Л^ = 3) дополнены экспериментальной демонстрацией метода диагностики неоднородностей среды, в качестве которых исноль-
22
зовалась локальная неоднородность в виде тонкой пластины из оргстекла и слой всплывающих газовых пузырьков. Рассмотрен основанный на.эффекте фазового запрета способ ослабления нелинейного поглощения волн большой амплитуды. Проведен сравнительный*, анализ нелинейного поглощения «звука, звуком при: взаимодействии волн с кратными--частотами'-в зависимости от величины частотного параметра;-.*,
Используя результаты исследований фазозависимого характера вырожденного-параметрического взаимодействия.-волн, разработаны и исследованы.методы;активного подавления нелинейного поглощения: волны конечной амплитуды, поглощения звука звуком; измерения нелинейного акустического параметра среды. Экспериментально-продемонстрирована возможность модуляции сигнальной волны мощной накачкой.
Третья часть диссертации посвящена исследованию фазозависимого взаимодействия двух гармонических волн с некратными целочисленными соотношениями частот, о), : со2 = п:т, где ни т - взаимно простые натуральные числа. Охват некратных соотношений частот расширяет диапазон входных параметров бигармонической волны конеч- • ной амплитуды при рассмотрении нелинейных фазозависимых процессов, сняв-ограничения с величины (о,: со2 .
В восьмой главе представлен!»! результаты анализа особенностей взаимодействия двух плоских волн с произвольными входными параметрами, полученные из решения уравнения простых волн для доразрывной. области. Влияние фазовых соотношений прослежено на примере пространственных искажений профиля, изменений амплитуд и фаз первичных и вторичных волн. Показана невозможность превышения расстояние разрыва, образующегося в одиночной, гармонической волне, оптимизацией амплитудно-фазовых соотношений бигармонической ВКА с некратными частотами. Найдена взаимосвязь между ослаблением фазозависимых процессов и увеличением частотного параметра в виде суммы п + т, обусловленная появлением фазозависимой добавки в спектре все более высокого порядка. Получено решение, подтверждающее исчезновение, фазозависимых эффектов при выполнении условия {п + т)-*со. Аналогично ВКА с кратными частотами прослежены различия фазозавиенмых процессов при четных п.нечетных значениях параметра п + т, получившие экспериментальное подтверждение.
В девятой главе приведены результаты численного моделирования фазозависимых процессов бигармонических волн конечной амплитуды с некратным целочисленным соотношением частот в области развитых разрывов. Прослежены основные этапы пели-
нейной эволюции волнового профиля ВКА с расстоянием при разных фазовых и частотных соотношениях. Проведен анализ спектра ВКА, в рамках которого на примере пространственных изменений амплитуды, нелинейных набегов фазы и дисперсионной расстройки фазового инварианта показана необходимость учета нелинейной дисперсии ii работе фазовых эхолокаторов, использующих бигармоничсскис волны с целочисленным отношением частот. Рассмотрена лабораторная-установка, и результаты экспериментальных; исследований фазозависимого взаимодействия волн с некратными частотами. Теоретически и экспериментально показана опасность значительного ослабления амплитуды ВРЧ в нелинейных излучателях, бигармоническая накачка которых связана целочисленным соотношением частот, при отсутствии контроля фазозависимых процессов. .
Приложение 1 содержит сведения о методе измерения фазовых соотношений в трехчастотной волне методом фигур Лиссажу, используемом для наблюдения нелинейной дисперсии. Рассмотрена техническая реализация метода, прослежены особенности прояв-. лений амплитудных и фазовых искажений на форме фигур Лиссажу и огибающей ст-нала.
Приложение 2 включает результаты теоретического и экспериментального исследования геометрической дисперсии и структуры поля осесимметричных дифрагирующих пучков, излучаемых плоскими источниками. Необходимость рассмотрения дисперсионных свойств пучков малой амплитуды, распространяющихся в однородной бездисперси-онной среде, связана с проблемой экспериментального исследования нелинейной дисперсии модулированных волн. С учетом характерных особенностей проявления геометрической дисперсии, выявленных в процессе исследования, стало возможным пространственное выделение ее вклада на фоне нелинейной дисперсии. Объяснен механизм асимметрии фазозависимых изменений дисперсионного параметра в переходной области пучка, содержащей оба вида дисперсии. На примере пучков с гауссовым, полиномиальным и равномерным распределением амплитуды вдоль поверхности излучателя прослежена взаимосвязь условий возбуждения волны с поведением пространственных распределений амплитуды, фазы, кривизны волнового фронта, расстройки фазового инварианта и дисперсионного параметра. • . . ■'
Совокупность изложенных результатов позволяет говорить о формировании и развитии в рамках нелинейной акустики нового научного направления, формулируемого как «Физика (Ьазозавиашых взаимодействий регулярных акустических волн в нелинейных средах». Актуальность охватываемой проблематики проявилась задолго до первых публикаций автора, она объективно вызвана мировоззренческими и методологическими вопро-
24
сами, накопившимися в процессе развития теории и практики нелинейных волн. Разработанные к настоящему времени теоретические модели позволили выявить и исследовать новый класс явлений (нелинейная дисперсия, фазозависимый энергообмен, эффект фазового запрета и др.), активно ведутся экспериментальные исследования фазозависимых процессов, устанавливаются связи с другими разделами физики, растет интерес к полученным результатам в других научных и инженерно-производственных коллективах, наметился круг практических приложений.
Публикации
Но теме диссертации опубликовано 2 монографии, 39 статей, из них 31 статья в журналах из списка ВАК, более 30 статей и тезисов докладов в трудах конференций, получено 28 патентов на изобретение. Основные результаты опубликованы в работах [18, 19, 32 - 38, 59 - 62, 65 - 67, 85, 86, 93, 99 - 114, 150 - 160, 162, 166 - 170, 176, 179, 182, 184 - 192, 197 - 201, 208 - 210, 212 - 216, 226 - 229, 231, 233, 234, 246, 295 - 304, 309 -311, 315, 316, 326, 353 - 355, 361, 363, 364, 377, 383, 390, 391, 402].
Изложенные в диссертации материалы, докладывались на Всесоюзном совещании-семинаре «Глубоководные системы и комплексы» (1986), Дальневосточных акустических конференциях (1986, 1989), межотраслевой научно-технической конференции «Комплексные геолого-геофизические исследования Мирового океана» (1988), отраслевой научно-технической конференции «Проблемы создания новой техники для освоения шельфа» (1989), региональной научно-технической конференции (1990), Всесоюзной конференции «Информационная акустика» (1990), Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (1991), научно-технических конференциях ТРТУ (1993, 2003, 2004, 2005, 2006), Всероссийской научной конференции «Акустика и медицина» (1994), сессиях Российского акустического общества (1996, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2010), Всероссийской научной конференции «Радиоэлектроника, микроэлектроника, системы связи и управления» (1997), научной конференции «Теория и практика морских гсолого-гсофизичсских исследований» (1999), Всероссийской научной конференции «Экология - море и человек» (2002, 2004, 2009), Всероссийской научно-технической конференции «Медицинские информационные системы» (2002, 2004, 2006), 16th International Symposium он Nonlinear Acoustics (2002), научно-технической конференции «Нелинейные акустические системы» (2003), школе-семинаре акад. Л.М. Бреховских «Акустика океана» (2004, 2006), научно-технической конференции «Проблемы прикладной гидроакустики» (2005), научной школе проф. С.А. Рыбака «Аку-
25
етика неоднородных сред» (2005).
Личный вклад автора
Все изложенные в диссертации оригинальные результаты получены автором или при его непосредственном участии. Автором осуществлялся выбор направлений, объектов и методов исследования, постановка задач, проводилась разработка теоретических моделей, методик измерений и обработки результатов, осуществлялась постановка экспериментов и их проведение, анализ и подготовка результатов к публикации.
В диссертации обобщены результаты исследований, выполненных автором в Таганрогском радиотехническом институте (ныне Технологический институт Южного федерального университета) в период 1986...2009 годы.
26
ЧАСТЬ 1. ФАЗОЗАВИСИМЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
1. ФИЗИЧЕСКАЯ-МОДЕЛЬ И МЕХАНИЗМ РЕАЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ФАЗОЗАВИСИМЫХ ПРОЦЕССОВ В МОДУЛИРОВАННОЙ ВОЛНЕ
1.1. Взаимосвязь амплитудно-фазовых соотношений в спектре и модуляцией колебания
Широкое использование узкополосных модулированных колебаний в технике связи, передачи информации и управления обусловлено, с одной стороны, невозможностью передачи информации посредством непрерывных гармонических колебаний, а с другой -минимизацией искажений передаваемого сигнала на пути .распространения и в электрических цепях [1 - 4]. Востребованность таких сигналов в акустике [5, 6] усиливается повсеместным использованием для их излучения и приема волн резонансных антенн, эффективно работающих в узкой полосе частот [7 - 12].
Передаваемая информация обычно фиксируется в виде временных изменений одного из параметров высокочастотного (несущего) колебания с частотой со0. Неискаженная передача сообщения возможна лишь в случае, если ширина его спектра Дсо мала по сравнению с частотой несущего колебания. Понятие узкополосного сигнала непосредственно следует из соотношения Дсо/со0 « 1.
В общем случае модулированный сигнал является квазигармоническим колебанием
t
27
T0 = 2тг/со0 малы:
\dA/dt\(TjA) «1; рУлг|(2я/“о) «1 • (1.2)
Благодаря соотношение (1.2) высокочастотный сигнал (1.1) при любом виде модуляции можно рассматривать в пределах одного периода Т &Т0 как гармоническое колебание.
Это упрощает рассмотрение нелинейных процессов, происходящих при распространении модулированных волн конечной амплитуды [13 — 15].
Характерной особенностью амплитудной и угловой модуляции является симметрия частотного спектра, под чем понимается наличие попарно распложенных симметрично относительно несущей частоты со0 боковых частот <о0 + пО.. Для случая гармонической
функции модуляции: О. - частота модуляции (со0 » Q); п - целое число, определяемое видом и глубиной модуляции. Это свойство сохраняется н в более сложных случаях смешанной (амплитудно-фазовой, амплитудно-частотной) модуляции.
Симметрия частотного спектра позволяет упростить анализ влияния фазовых соотношений в спектре модулированной волны на нелинейные процессы и сделать наглядными его результаты. Покажем это на простейшем примере трехчастотного сигнала с симметричным частотным спектром (со0, соя в = о)0 -FO при <о0 »Q), что, однако, не нарушает общности получаемых выводов, поскольку они относятся к каждому из волновых триплетов (о)0, (ои, (Од) с произвольной частотой Q.
Упрощение достигается тем, что фазовую структуру трехчастотного сигнала вместо функций Л(/) и ф(/) можно описать одним параметром — фазовым инвариантом. Наличие однозначной связи между инвариантом и двумя модулирующими функциями покажем для сигнала с произвольными амплитудами (А$, Аи, А0) и начальными фазами (ф0, Ф//о> Фло) входящих в его состав компонент, который запишем в виде модулированного по амплитуде и фазе колебания
s(t) = Л0 cos(cо0/ + ф0) + А„ cos(®Ht + ф//0 ) + Лв cos(o)fl/ + фао) =
(1.3)
= Л(/)-СО8[йу + ф0+ф(/)].
Здесь огибающая А(/) и функция фазовой модуляции ф(/) сигнала имеют вид:
Аг(!) = 4b + Кг„ + К\) + 2-J/C* + Kl + 2К„К„cos2р0 ■ cos(Q/ + 0 + а,) +
(1.4)
+ 2Кц К„ cos[2(Q/ + О)] };
28
9(0 = аісі£
________________Дсі5р0+1_______________
. сїіР0 +1/[{Кн + А'„)біп р0 соз(П/ + 0)]- В
(1.5)
{£(£11 + 0),
(1.6)
кв+кн)~"" укв + кн)
где Ки = Ац/Ао; К в = Ав/А0 ; 0 = (фд0 ~Ц>И0)/2 - начальная фаза модулирующего колебания; Р0 =[(ф//о +ф/?0)/2 + Фо] “ начальное (а =0) значение фазового инварианта (ФИ) трехчастотной волны [1, 16, 17]. ФИ имеет наглядную интерпретацию на векторной диаграмме [18, 19], он равен углу между вектором несущего колебания и биссектрисой угла, образованного векторами боковых компонент спектра Аи и Аа , рис. 1.1. Для одномерных волн малой амплитуды величина Р0 не зависит ни от времени, ни от расстояния.
При К„ = Ка=т/2 из (1.4) и (1.5) получаем амплитудно-фазомодулированный (АФМ) сигнал с симметричным амплитудным и произвольным фазовым спектром
А2(і) - АІ {(1 -ьт1/2) + Зл/собРо соб(Пг + 0) + (т2/2)со^\2(СИ + 0)]};
/лбіпРо соб(0/ + 0)
ф(0 = агс\£
1 + т соз р 0 соб(0/ +0)
(1.7)
который при Р0=± пп («= 0, 1, 2,...) преобразуется в амплитудно-модулированный (АМ) сигнал с коэффициентом модуляции т = 2 Ан/-2АН/Ай :
Аг(1) = А2 {(1 + т2/2) ± 2т сої(П; + Є) + (т7/2)сої[2(Пі + 0)]};
29
ф(0 = 0.
При Ро =± л(2я + 1)/2 из (1.4) и (1.5) следуют функции
л!«)=А2{а + т 2/2) + (т2/ 2)cos[2(Or + 0)]}; ф(/) = ± arctg[/w cos (О/ + 0)],
(1.8)
(1.9)
соответствующие сигналу с квадратурной модуляцией (КМ), которые при т « 1 переходят в выражения для фазомодулированного (ФМ) сигнала [20]
А(/) = А0; ф(/) = ± wcos(Q/ + 0).
(МО)
Если не брать во внимание начальные значения фаз высокочастотного заполнения (ф0) и огибающей (0), что равносильно отказу от привязки к конкретному моменту времени, то характер модуляции в трехчастотном сигнале при заданных амплитудных соотношениях, а с нею и фазовая структура, полностью определяются величиной р0.
У У
г\#1
•Ші»
Ро=0
Ро = 45°
Ро =90с
Рис. 1.2. Временные диаграммы (осциллограммы) трехчастотного сигнала (т = 1)
Углы ф0 и 0 в выражениях s(t), А(г) и ф(0 можно исключить, формально изменив начало отсчета времени: / -> г' = (/ + 0/Q). Дополнительный набег фазы а, между первой (Q) и второй (2Q) гармониками модулирующей функции в выражении A2(t) появляется (1.6) в случае неравенства Кн * Кн при р0 * (± mi). Изменения формы сигнала
в зависимости от фазовых соотношений между его компонентами показаны на рис. 1.2 при неизменных амплитудных соотношениях и условии Ки = Кв (т -1). Значения Р0 =0, 45° и 90° соответствуют сигналам с амплитудной (1.8), амплитудно-фазовой (1.7) и квадратурной (1.9) модуляцией.
Дальнейшее рассмотрение модулированных волн проводится без ограничений на
30
величину коэффициента амплитудной модуляции, включая значения т> 1. Правомерность такого допущения и границы возможных изменений т требуют пояснений. При рассмотрении АМ сигнала до настоящего времени продолжают сосуществовать разные по смыслу понятия, что затрудняет решение сугубо акустических задач. В качестве примера приведем перешедшее в нелинейную акустику [14, 21] из радиотехники [2, 3] необоснованное ограничение коэффициента модуляции пределами 0 <, т <> 1. Этот вопрос выходит за рамки АМ сигнала, т.к. параметр т используется для характеристики амплитудных соотношений в трехчастотном сигнале с симметричным амплитудным (Кн = Кн) и произвольным фазовым спектром.
т-5 т- 10 т = со
Рис. 1.3. Временные диаграммы (осциллограммы) трехчастотного сигнала (Р0 = 0)
В последующем рассмотрении изменения коэффициента амплитудной модуляции охватывают диапазон 0 < т < со. На примере АМ сигнала (р0 =0) поясним, что понимается под случаем т > 1. Примерами противоречивой и физически не вполне обоснованной интерпретации АМ сигнала могут служить [3, 20, 22]. Если в [3, 20] для случая т > 1 ограничились термином «перемодуляция», не поясняя вкладываемого в него смысла, то в [22] приведены временные диаграммы, не имеющие ничего общего с АМ сигналом. Часто [3, 23, 24] материал, посвященный амплитудной модуляции, бывает искусственно ограни-
31
чен условием 0 < т < 1. В результате приводимые аналитические выражения перестают быть справедливы при т > 1. Сложившаяся ситуация в значительной мере обусловлена особенностями работы существующих схем амплитудных модуляторов и детекторов, предполагающих т < 1.
В рассматриваемом вопросе необходимо разделять понятие модуляции и способов (устройств) ее осуществления или детектирования [25]. Говоря о модуляции, полезно абстрагироваться от представлений о процессе ее реализации, поскольку это ведет к сужению понятия модуляции и неизбежным неудобствам при изучении фазозависимым нелинейных процессов при распространении модулированных акустических волн.
Геометрическая трактовка AM сигнала с использованием векторной диаграммы на рис. 1.1 однозначно показывает, что между случаями т< 1 и т > 1 не существует качественного различия. Изменяется лишь соотношение между суммарной амплитудой боковых компонент и амплитудой несущей, (Аи + Ав)/ А^ = т [4]. Предельным значениям т = 0 и т - оо соответствуют ситу ации, когда (Ан + Ан) -»0 при конечной величине \ и Aq —► 0 при конечном значении (А„ +А0). На рис. 1.3 показаны осциллограммы AM сигнала с различными значениями коэффициента модуляции. При т -> 0 трехчастотный сигнал вырождается в монохроматический с частотой (о0, тогда как при т -» оо имеет место бигармонический сигнал с частотами и (ог
1.2. Теоретическая модель трехчастотного волнового пакета в доразрывиой области
Особенности распространения трехчастотного (со0, со// 0 =а>0ТП, Q«co0) волнового пакета с произвольными амплитудно-фазовыми соотношениями в исходном спектре рассмотрим для типичного для акустики случая квадратично нелинейной среды без дисперсии. Эволюцию плоской волны конечной амплитуды (ВКА) на начальном этапе распространения проследим с использованием уравнения простых волн [13]
dvzdv
допускающего точное решение в доразрывной области идеальной среды. Здесь v - колебательная скорость; є - нелинейный параметр среды; с0 - скорость звука в невозмущенной среде; т = (/ -х/с0) - время в сопровождающей системе координат.
32
По аналогии с (1.3) исходное возмущение запишем в виде v(/;х = 0) = Аи sin[(iV - 1)соГ + ф//0 ] + А0 sin(Arco/ + ср0) + Ап sin[(// + 1)со/ + <pÄ0 ], (1-12)
где (N -1)со = сои ; Лео = со0; (Лг + 1)со = coß; (О = Q; А' = со0 /Q »1. Сократим количество фазовых параметров в граничном условии преобразованием временной координаты в аргументах тригонометрических функций:
vj/w = (Лг-1)со(г + 0/со); \|/0 = Лсо(/ +e/co~ß0/N(o); \\fti = (Л' + 1)со(/ -н9/со), (1-13)
где в = (фв0-ф//0)/2; ß0 =[(Фио +Фло)/2“Фо]- Введем новую координату /, = (/+0/со), что не сказывается на параметрах сигнала, изменяя лишь начальный отсчет времени:
Ф„ =(jV-l)ü>/t; Vo = А'со/, — ß0; ф* = (//-ь 1)а>/,. (1<14)
С учетом (1.14) граничное условие (1.12) запишем Н(/,;0) = v(r, ;0)/А„ = К„ sin[(/V - 1)со/, ]+ sin(/V(0/, -ß0)+/C„ sin[(N + 1)ю/, ] =
= ^(',) + Го(',) + Г„('|) =
где вместо девяти параметров (соя , со0, сод, А„ , Ас, А0, ф//0, ф0, фд0) используется пять (со, N, ß0, К{1 = Aff IА0, Кв = An jА0 ).
Частное решение уравнения (1.11) для условия (1.15) в области, предшествующей образованию разрыва в волновом профиле, имеет вид неявной функции f 13]
F(4) = Кн sin[(N -1)4]+sin(jV4 -ß0) + Кя sin[(,V +1)4], (1.16)
где 4 = (ют, + zK); т, = (г, -х/с0); z-xjх,, ; хг -сЦъ(йА0 *- расстояние образования разрыва в гармонической волне с частотой со и амплитудой А0. Поскольку функция J/(t]) является периодической (частота повторения со) с периодом Т = 2л, спекгр ВКА (1.16) описывается выражением (26 - 28]
С„(г) = --Т- J[exp[iHzV(5)]- l]exp(-in§) • dt,, (1.17)
2 71/73
которое принимает вид
с„ 00 = |ехр[шгК(4)]ехр(-ш4)^ =
2 nnz Jx
(1.18)
х
=------— fexp{mz[ÄT„ sin(jV -1)4 + sin(A/4 - ß0) + KB sin(/V + 1)4]}ехр(-//?4)^.
2 nnz i
-ft
33
Воспользуемся тождеством теории бесселевых функций [29]
«о
exp(iz sin ф) = Jk (z) ex pO'fop),
£=-»
после чего решение (1.18) принимает вид
СЛ-) = -^—~Е JЛ(^)ХЛ(жА'»)ехР(-«Ро)х
+-7TWZ у,__Л со »
я
X | exp{/^(N-l) + /W + 9(/V + l)-n]}^.
-X
Поскольку
X
Jexp{/^[p(7^ -1) + Atf + tf(iV +1) - w]}^ =
(1.19)
о, p(N-]) + kN + (](N + \)-n*0;
2л, p(N -\) + /cN + q(N+1) - л = 0, (1*20)
полученное выражение упрощается. В результате получаем решение, описывающее изменение спектра ВКА в процессе распространения в нелинейной среде
Cn(z) = ~ Jр(nzKH)^ Л(га)ехрН#0) £/,(лг/:я). (1.21)
/»=-» к=-л ц-—х>
При = Кв =0 из (1.21) приходим к решению Бесселя-Фубини [13], дающему спектральное разложение первоначально гармонической ВКА в области до разрыва.
В трехчастотной волне максимальная амплитуда равна Лй(\ + Кн +КВ), а средняя частота заполнения из условия узкополосности (N >>\) составляет «Мо. Поэтому разрыв в волновом профиле наступает значительно ближе х,,, т.с. на расстоянии
х _______________£о__________ ^
~s (,Na>)-A0(\ + KH+KB)' (122)
Выражение (1.21) справедливо при условии
z, = — szNQ + K,, +KÜ)<\, (1.23)
т.е. на расстояниях
zZ\/N(\ + KH+Ke). (L24)
Решение (1.21) отражает пространственную эволюцию спектра плоской трехчастотной ВКА на пути от излучателя до z = [ 1/ N(1 + КИ + /Сс)]. Получаемые закономерности соответствуют сильному проявлению нелинейности (Re0 » 1), когда основную роль
34
играет нелинейность среды, а вкладом диссипации можно пренебречь. В эксперименте такие условия реализуются на начальном этане распространения ВКА. Выражение (1.21) справедливо при произвольных амплитудно-фазовых соотношениях в спектре излучаемой волны, задаваемых параметрами ß0, Ки и Кр.
1.3. Зависимость параметров трехчастотной волны от амплитудно-фазовых соотношений в начальном спектре
Воспользуемся равенством (1.20) и произведем замену индексов суммирования в (1.21), после чего амплитуды и фазы компонент исходной волны запишутся в виде
2 і
(iV-l)z
/)—«о
х Jp-\ ((^ - ) ехр[- /2(1 - j?)ßo];
V0(z) = Vn(z) = \2C„(z)\ =
Q И 00 = 9ЛГ-1 (Z) = агё СЫ-\ 00;
21
77“ -2/>)ß0]
рт-€0
^(z) = ^„(z) = |2CA4I(z)| =
0oOO = 0A'OO = argC„(z); 21
(tf + l)2_
|]Л2р((ЛГ + 1)2У|,((^ + 1)^//)х
х + !)^)exp(/2pß0)|;
е/>00 = ел+і00 = aTgCiV+1 (z).
(1.26) . (1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
Условие (1.22) и быстрая сходимость ряда позволяют в практических расчетах ограничиваться первыми членами ( р = 0, ±1):
(z) ~
[Л ((Л' + l)z)J, ((N+1 )zKH )У„ ((/V+l)zÄTe ) -
(WTl)z
- У, ((Л’ + 1)г)Л((N + V)zK„ )У, ((N+1 )zK„) exp(-/2ß0)];
(1.31)
С„ (г) (ЛЬ) ехр(-/р0 )[У„ (№тК„ )У„ (Л'г£д ) - У, (№АГ„ )У, (№*„ ) ехр</2р0)]; (1.32)
N2
Структура решений (1.31) и (1.32) отражает влияние фазонезавиешмых (первые слагаемые) и фазозависимых (вторые слагаемые) нелинейных процессов на поведение амплитуд
35
и фаз первичных компонент ВКА. Эта зависимость обязана множителю ехр(± i2ß0). При ß0 =0. я/2 и я рассматриваемые волны не испытывают дополнительных набегов фаз, распространяясь с одинаковыми скоростями (синхронно). Случаи ß0 = (0, я) и ß0 = я/2 различаются между собой: если в первом знаки членов суммы противоположны, то во втором они одинаковы. Это указывает на то, что в зависимости от значения ß0 фазозависимые процессы могут усиливать или тормозить нелинейное затухание первичных волн.
С учетом порядка функций Бесселя второе слагаемое можно рассматривать как малую поправку к амплитуде, формируемую фазозависимыми процессами. Из (1.31) и (1.32) видно, что при ß0 ^ mr/2 комплексный характер второго слагаемого приводит к дополнительным набегам фаз, достигающим максимальной величины при ß0 = ±я/4.
Переписав пространственные зависимости комплексных амплитуд в виде
где 0/м(2) = 0и(г), 0д,(2) = 0о(г), О„и(г)«0в(г) - набеги фаз в каждой из исходных
волн, обусловленные нелинейным взаимодействием между собой. Общее решение для трехчастотной волны с учетом (1.35) и (1.36) представим двумя равноценными выражениями относительно т и т,:
С^fi(z) * -;[Z>V?1 + l)z;
Онщ (z) = J0 ((NT 1 )z)J, ((N T1 )zKH )J0 ((N T1 )zKB) -- J2 ((N T1 )z)J0 ((N T1 )zK„ )JX ((N T1 )zKR) cos 2ß0;
(z) = J2 ((N T1 )z)JQ ((N T \)zKn )JX ((N T1 )zKH) sin 2ß0;
C’jV (2) « ~/|Ar (z) + iBN (z)]exp(-/ß0 )/Nz;
DK, (z) = Jx (Nz)[J0 (NzK„ )JQ (NzKn ) - Jx (NzK„ )JX (NzKB)cos 2ß0 ]; BN (z) = (Nz)Jt (NzKH) J, (NzKB)s in 2ß0;
0-34)
(1.33)
для действительных амплитуд и фаз этих волн получаем
Уни
(z) * 2^Dlv(z) + Bl,x(z)l(NT\)z;
(1.35)
V„(z) * 24dI (z)+~BI(z)/Nz ;
(1.36)
36
у(х;г) = Ан (г)зт[(ЛГ-1)сох + <р//0 + 0„(г)]+ Л0(г)5т[Дг(ОХ + ф0 + 0о(г)]+ •ь Ан (2)5ш[(ЛГ ч- 1)о)х + фво + 0д(г)]; у(т,;г)* Ля(*)8т[(^-1)ют, + 0„(*)]+ -^(фи^Мот, -ро + 0о(г)]ч-+ А в (2) зт[(# + 1)шх, +0л(г)],
(1.37)
(138)
где 4(:) = Л^.,(г), А0(г)^Л0Ум(г), ^(г)Ц^,(г).
Для малых расстояний г, «1 функции Бесселя можно заменить асимптотическим приближением, ограничив его главными членами. Тогда (1.31) и (1.32) иредстанут в виде, удобном для анализа роли фазовых соотношений в пространственных изменениях амплитуд и нелинейных набегов фаз рассматриваемых волн
2СЖ11(г)и *-/*
И(П)
\ (А/Т1)2 ,, . 1Гг 2 (/У + 1)2 А'й(„)
1 ^ О + Л.0(//))2 g ' ^ сХР( ^Ро)
И(И)
\~(.К2„+К1)х2 -^КНКВ:2 ехр(/2р0) 4 4
ехр(-/р0).
Первые слагаемые соответствуют начальной (г = 0) амплитуде волн, второе - характеризует вклад нелинейного затухания из-за фазонсзависимых процессов, приводящих к перекачке энергии в гармоники и волны комбинационных частот. Третье слагаемое отражает вклад фазозавиегшых процессов, которые усиливают (р0 = яя) или частично компенсируют (Р0 = л/2) ослабление амплитуд, вызванное фазонезависимыми процессами.
Третье слагаемое не достигает величины второго, т.е. фазозависимьте процессы не способны сравняться с фазонезависимыми. Это следует из закона сохранения энергии, в противном случае возникает вопрос об источнике энергии для усиления волн. Множители (N±1) отражают частотную зависимость нелинейных процессов, приводя к количественным различиям пространственных распределений амплитуд волн (0„ , ю0 и <ов. В случае г «1 выражения для амплитуд и фаз имеют вид
у и*, (--)| « *ям V1 - °.5(^ +1): -2 (1 + Кг„т + 0,5 соз2р„ К„(И)/К„(В));
е«|(2)
«о*-| + агс'8
(^ + 1)гг25т2р0А'да,)/8А'н(й)
(1.39)
_1-(1 + А^+со52Р0 Кпн) /2Кнт )(Л' + 1)2г2/4 Ук(г)|-_,о * V1 -0,5Л'2г3(А-£ + К1, + КиК„ соз2р0);
»«(*)
~Ро -агс«
А^2зт2р0 КЙК„/4
_1 -//V (А2 + К\ + К„КН со52р0)/4_
(1.40)
37
При симметричном амплитудном спектре Ан = Ав выражения (1.39) и (1.40) можно записать через коэффициент амплитудной модуляции т = 2КН{В):
Кга(г)|;_,0 *ОМф-0,5(1 + 0,25т2 + 0,5со5 2ро)(/'/ + 1) V ;
®ЛГ1| (г)
л (А^+1)2225т2р0/8
.—♦о ~ 2 ^ 1 - 0,25(1 + 0,25т2 + 0,5 соь 2ро )(А' +1)2 г2 _
“ >/1-(^2'»1г1/4)0 + со82ро/2) ;
бд-ОО
-|-Ро-агст
Л^ст У5ш2р0/1б I - (Лг2/и2г2/8)[1 + соз2р0/2]
На рис. 1.4-а приведены зависимости от расстояния нелинейных набегов фаз компонент трехчастотной волны. Изменяя значение Р0, можно влиять на фазовую скорость гармонических составляющих волнового пакета, которая может быть больше (кривые 1 -3), меньше (кривые 5-7) или равна (линия 4) скорости волны малой амплитуды с0.
&Н 0. и,
град.
1. во, Ро=~ л/4
2. 0&, ро= тиА
3. 0//,ро= л/4
Л/ = 10 А// ш А0 = Ав
4. Оодв • Ро= 0; -/2; п
5. в к у ро= - я/4
6. в л, Ро=~ л/4
7. 0о.Ро=л/4
Рис. 1.4. Пространственные зависимости нелинейных набегов фаз и фазовые характеристики Фурье-компонент трехчастотной волны
Согласно рис. 1.4-а возникновение нелинейных набегов фазы происходит по мере появления и последующего роста вторичных волн, образующихся в процессе взаимодействия первичных волн. С приближением к расстоянию образования разрыва (т, ->1) изменения фаз усиливаются. Фазовые характеристики (ФХ) компонент, - зависимость нсли-
38
нейных набегов фаз от р0, показаны на рис. 1.4-6 для расстояний =0,5 и г, =1. Зави-
симости 0(р0) изменяются с периодом повторения 71.
Знаки 0О и 0//(в) противоположны для любых значений ро (исключая ро = итг/2),
это приводит к взаимной расфазировке (нарушению синхронизма распространения) компонент волнового пакета. В результате появляется расстройка фазового инварианта
Д(3(г) = [6Я (.-) + 0„ (.-)1/2 - 0О(2), (1.41)
величина которого зависит от р0, рис. 1.5. Изменение фазовой структуры трехчастотной волны при распространении в нелинейной среде отразим в (1.38):
г(т2 ,г) = Ан (г)біп[(іУ - 1)сот2 ]+ А0 (г)біп[іУют2 - Р0 - Д Р(^)]+ + 4,(г)Бт[(ЛГ + 1)(0т2],
(1.42)
Чтобы исключить “расплывание” волнового пакета, достаточно потребовать др(г) = 0, что выполняется при р0 = пл/2.
Рис. 1.5. Зависимость расстройки фазового инварианта Др трехчастотной волны от его начального значения р0
На рис. 1.6 показаны пространственные распределения амплитуд исходных волн при разных р0 и амплитудно-фазовые характерне гики (АФХ) на расстояниях гі = 0,5 и
2, =1. Различие зависимостей К(г,), обозначенных кривыми 1 и 5, является результатом действия фазозависимых процессов и отражает диапазон их влияния. Из рис. 1.4 и рис. 1.6 видно, что случаям минимальной (кривые 5) и максимальной (кривые 1) убыли амплитуд с расстоянием соответствуют условия фазового синхронизма, Др = 0.
При р0 =±ти/4, когда нелинейные набеги фаз и приращение фазового инварианта
39
Aß максимальны, нелинейное затухание волн занимает промежуточное значение, кривые
3. Положения максимумов (минимумов) АФХ смещены относительно экстремумов ФХ на тг/4 вдоль оси ß0. Из-за частотнозависимого характера нелинейных процессов изменения амплитуд и фаз нижней и верхней боковых компонент спектра трехчастотной ВКА подчиняются неравенствам (2,) < Gд (z,) и Д VH (z,) < Д VB(z,).
а)
б)
Ун.ь*/Ун.св(2> = 0) N~ 10
Лн ™ Ло - Aß
(1,2,3) - г, =0.5
0 90 180 270 К град.
Г)
Рис. 1.6. Пространственные зависимости амплитуд и амплитудно-фазовые характеристики Фурье-компонснт трехчастотной ВКА
Для сравнения кривой 6 на рис. 1.6-в показано пространственное распределение амплитуды одиночной (Аи =ЛВ=0) волны с частотой Л'со и амплитудой 3/^, равной максимальной амплитуде трехчастотиой ВКА. Столь сильное затухание обусловлено тем,
40
что в монохроматической ВКА разрыв формируется в каждом периоде, рис. 1.7-6. Для грех частотной волны такой же амплитуды и частоты высокочастотного заполнения разрыв начинает образовываться лишь в тех частях профиля, где амплитуда заполнения принимает максимальное значение (сот « 0), рис. 1.7-а.
-4-2 О 2 4 -| - 0,5 0 0,5 I
а) б)
Рис. 1.7. Формирование разрывов в волновом профиле трехчастотной (а)
и гармонической (б) волны
tW~ 10 Г| - 0 линия
Ац = Л в- 0 zi- 1 пунктир
от,*|)
Сравнив между собой зависимости AK„(z,), AK0(z,) и Д VB(zt) нарис. 1.6, можно
проследить за изменениями амплитудных соотношений в спектре трехчастотной ВКА. На рис. 1.8-а показаны пространственные распределения отношения амплитуд боковых и центральной компонент. Изменением ß0 можно влиять на величину Vu/\\ и VHjV(), сохраняя соотношения начального спектра или наоборот, вносить различия, рис. 1.8-6.
С увеличением расстояния в первоначально симметричном амплитудном спектре (А{/ = Ан) низкочастотная компонента доминирует над высокочастотной составляющей, рис. 1.S-в. Степень превышения VtJ (z,) над КЛ.(2,) зависит от фазового инварианта.
Фазозависимые изменения амплитудного спектра интересны для использования при минимизации искажений модулированных сигналов в устройствах связи, управления, передачи информации. Отмеченные закономерности могут быть использованы для ослабления искажений, вносимых дифракционными процессами, где низкочастотное “крыло” спектра ослабляется сильнее высокочастотного в силу большей расходимости низкочастотных волн, т.е. более широкой диаграммой направленности излучателя.
41
90 180 270 ßо, град.
б)
Ь)
Рис. 1.8. Зависимость амплитудных соотношений в спектре трехчастотной ВКА от расстояния и фазового инварианта
Таким образом, распространение модулированной волны в нелинейной среде сопровождается двумя качественно различающимися процессами, — зависящими и независящими от исходных фазовых соотношений. Первые лежат в основе нелинейного затухания и частотнозависимых искажений амплитудного спектра. Вторые наряду с отмеченными проявлениями способны повлиять на фазовый спектр. В зависимости от величины (30 фазозависимые процессы могут усилить или ослабить действие фазонезависимых эффектов, нарушить фазовый синхронизм воли, изменить амплитудные соотношения в спектре.
42
1.4. Гармоники волны разностной частоты
В процессе самодетектирования модулированной волны в квадратично нелинейной среде образуются 1-я и 2-я гармоники (О, 2С2) волны разностной частоты (ВРЧ), являющиеся низкочастотными компонентами спектра второго порядка [14]: 2П = (соЛ -со,,), П = (со0-сом) = (сой-со0). Рассмотрим их поведение в зависимости от соотношений амплитуд и фаз в исходном сигнале. Для этого в общем решении (1.21) воспользуемся выражениями для низших по частоте компонент (п = 1 и /? = 2):
С,(г) = Сп(г) = -4 £ Л(^)./ДгА„)У,(гК„)ехр(-/А:р0);
- к.р^-~*
С2(г) = С2П^) = -~ ./к(2г).1г(2гКиУя(2гК0)ехр(-1кр>0). (1>44)
к.р.Ц=-<А
11одставляя в равенство
Ш + рОV -1) + с№ +1) = /7 (1.45)
соответствующие значения /?, произведем в выражениях (1.43) и (1.44) замену индексов
Са О) = -- £ З.г?л (г)У, {гКн )УрИ (:КВ) ехр[/(2р + 1)Р0 ]; (] ,4б)
% р-~т
С2п(*) = ~ У] ^„(22уг(2гХ„У^(22^)ехр1а(/> + Щ]. С-47)
Л~'£ р--00
С учетом (1.24) и быстрой сходимости ряда при достаточной для практики точности расчета можно шраничиться р = (-1, 0) для 1-й ВРЧ и р = (-2, -1, 0) для 2-й ВРЧ
Сй(г) = -У, 0)[У, (гАГя )У0 (_-А:8 ) ехрНР0 ) + У0 {Ж„ )У, (гЛГ„ ) ехр<(ро)]; (1-48)
сш (г) = -- [л (2г)У, (2.-ЛГ,, )Jl{2zKв)-J2 (2г)Уг (2гАГ„ )У0 (2гК„) ехр(Ч2р0) -
- У, (2г)У0 (2гК„ )У2 (2.-ЛГ,,) ехр(/2ро)]. (1 А9)
Соотношения (1.48) и (1.49) дают наглядное представление о влиянии фазовых соотношений на процесс генерации в среде 1-й и 2-й гармоник ВРЧ. В частном случае Кн = Кв оба слагаемых в (1.48) равны по модулю, в результате получаем конечное выражение:
Cn(z)s2-Jl(z) У,(2ЛГ„) «*Ро- С1-50)
43
Наличие множителя cosP0 позволяет изменять амплитуду волны в широких пределах. При р0 = я/2 генерация 1 -й ВРЧ полностью прекращается (режим «фазового запрета»). Особенности этого режима рассмотрены в следующих разделах. Напротив, при Рс =0 и Р0 = л генерация 1-й ВРЧ идет эффективно, обеспечивая наибольшую амплитуду волны. Изменение р0 в пределах (-л/2 ... л/2) или (-л/2 ... я/2) не влияет на фазу 1-й ВРЧ. Не величина претерпевает скачек на л при переходе через значения ро = л/2 и р0 =-я/2 из-за сдвига на полпериода фазы огибающей АМ сигнала.
Отмечаемые особенности фазовой зависимости амплитуды 1-й ВРЧ следуют из структуры решений (1.4В) и (1.50). Видно, что 1-я ВРЧ состоит по существу из двух волн равных частот (Q), которые распространяются коллинсарно и синхронно, но имеют разные значения начальных фаз. Компоненты 1-й ВРЧ образуются при взаимодействии разных пар исходных волн: Q s ш = (со0 -со„) и Q = со = (со„ -со0). При Кн - Кн амплитуды компонент оказываются равными и суммируются (ро=0) или вычитаются (р0=л/2). Последний случай можно представить как акустическое короткое замыкание находящихся в противофазе мнимых источников, отвечающих за образование этих компонент. При этом энергия первичных волн не расходуется на образование 1-й ВРЧ.
Первое слагаемое в (1.49) учитывает вклад фазонезависимых нелинейных процессов в образование 2-й ВРЧ, второй и третий члены суммы характеризуют влияние фазоза-внеимых процессов. Роль последних наглядно прослеживается при условии Кн = Кв :
С2п (г) = ±- [Л (2-у,2 (2 гК„ ) - Ы2 (2 z)J2 (2 zKH )./0 (2 гК„ ) cos(2p„)]. (1.51 )
Второе слагаемое в (1.51), будучи величиной второго порядка малости относительно первого слагаемого, является малой добавкой и не способно оказать действия, аналогичного наблюдаемому в режиме фазового запрета 1-й ВРЧ. Тем не менее, в зависимости от величины р0 генерация 2-й ВРЧ может идти с большей или меньшей эффективностью. Примечательно, что при условии Ки = Кв изменение фазового инварианта оказывает влияние на амплитуду и никак не сказывается на величине фазы 2-й ВРЧ.
В случае т/2 = Кн = Кя и ро =0 из выражений (1.50) и (1.51) получаем известные выражения амплитуд 1-й и 2-й ВРЧ, генерируемых АМ волной [26 - 28]:
Сп (г) = 2-0, Ш, (/яг/2) J„ (/яг/2) ; Vn (г) = 2|Cn (z)| » mz/2 ;
44
С2П (z) s 4. [л (2г)У,2 (отг) - 2У2 (2 г)У2 (тг)У0 (даг)] - ±- У0 (2 2)У,2 (тг) ;
ZZ ZZ
K2n(z) = 2|C2n(z)|*m2z/4.
При Ки ф Кв влияние фазовых соотношений уже нельзя рассматривать без учета значений Ки и Кн в спектре исходного сигнала. Покажем это, переписав (1.48) и (1.49) виде
Cn(z) = -[Dn(z)+ /«„(*)];
2
Da (z) = У, (z)cos(P„ )[У, № )У0 (гЛГв ) + Л (гА„ )У, (zA„ )]; 0-52)
Вп (г) = -У, (z) sin(P0 )[У, (zA„ )У„ (zA'„ ) - У0 (zA„ )У, (zAa )];
zz
Dm (z) = У0 (2z)y, (2zAT„ )У, (2zA„ ) - У2 (2 z) cos(2po )[У2 (2zA„ )У0 (2zAa ) +
+ J„(2;KH )J2(2zKB )]; (1.53)
530(z) = У2 (2z)sin(2P0 )[У, (2zA„ )У0 (2z£„ ) - У0 (2zA„ )У2(2гА6)].
Действительные амплит> ды и фазы 1-й и 2-й ВРЧ
K„(z) S -VrfiW + 4(z) = -•/, (г) х (1.54)
X д/У,2 (ZA„ )У2 (zA„ ) + У о (--*•„ )У2 (ZA„ ) + 2У, (zA„ )У„ (zA„ )У0 (zA„ )У, (zA„ ) cos(2po ) ;
' У, (zA„ )У0 (zKB)~ У0 (zA„ )У, (zA„ )
Xn(2) = ~ “arctg
Jx (zKH )J0 ( zKB ) 4 ./0 (zA. ) J, (zKB ) г/т(г)=1^п(г),4(г) =
tg(Po)
= " + 0n(z); (1.55)
= і {У0 (2z)y, (2:K„ )./, (2zA„ )[У0 (2z)y, (2 zA„ )У, (2zAa ) - 2У2 (2z) cos(2p0) x
Z
x [y2 (2zA„ )У„ (2zA„ ) + y0 (2 zKH )J2 (2zK„ )]]+У2 (2z)[y2 (2zKH )J2 (2zA„ ) + + y2(2zA„ )У2 (2zA„) + 2У, (2zA„ )J0(2zKB)J,(2zKH )У2 (2rAe)cos(4po)f'5 ;
B2a(z)
Хга(г) = 2+arctê
û2n(z)
= f + 62n(z).
(1.56)
(1.57)
В случае ЛГЯ * Кв амплитуда 1-й ВРЧ (1.54) остается конечной при любых значениях (30, и полное подавление 1-й ВРЧ становится невозможным. Здесь появляется дополнитель-
45
ный сдвиг фазы 0о(г), величина которого (1.55) зависит от значений р0 и Кн/Кв.
Исключением является случай р0 = пк (к = 0, 1, 2,...), когда равенство 0Й =0 выполняется при любых соотношениях амплитуд исходных волн. Несложно убедиться, что при Кн «Ку величина 0Й стремится к р0. В ситуации Кн » К„ получаем 0П -*(-Р0).
Наглядное представление об этих закономерностях дают векторные диаграммы для комплексной амплитуды 1 -й ВРЧ.
Для 2-й ВРЧ характер влияния амплитудно-фазовых соотношений качественно повторяет поведение 1-й ВРЧ, что следует- из сходной структуры фазозависимых членов в (1.48) и (1.49). Различия нося г лишь количественный характер. Так для сдвига фазы из-за асимметрии амплитудного спектра справедливо равенство 02й =0 при (30 -пк/2 и любых Ки / К у . В случае Ки «Кв и Кн » Кв величина 02п(~) принимает соответственно положительные и отрицательные значения, оставаясь малой величиной, 02й « ро.
Для расстояний г, «1 полученные выражения упрощаются:
На рис. 1.9-а показаны зависимости Уп(г) при разных значениях р0 и условии Ки = К В области г, < 1 изменения амплитуды с расстоянием близки к линейному закону, наклон распределений зависит от величины Р0. Эффективность генерации 1-й ВРЧ максимальна при р0 =пк, в случае ро =п(2к -])/2 волна практически не образуется (крива! 5). Наблюдается хорошее согласие с результатами из приближенных выражений (1.62).
Хо(*)в“агс£
{х.„+к^1-к„квг-/ 4
(1.59)
(1.60)
(К1 -/ф228Ш(2Р0)
(1.61)
При /л/2 = Кн = Кв выражения (1.58) ~ (1.61) принимают вид
«|>/х;/+^+2А://Клсоз(2р0) -усоз(Р0); Хо(*) = \\
(1.62)
(1.63)
46
\.КВ/КМ = 0,125; гі = 1,0 3.KB/KH=0JS; s, »1.0 K„! K„ = 0,125; 2, = 1.0 K»l К в = 0,5; s, = 1,0
2. AV A'// = 0,25; г, = !.0 4. **= A'* *= 1; г, - 0.5
90 180 270 ßo, град.
б)
40
20
0
-20
-40
1.2,3: (0п + ßo): 1. Кц/Кцш0,5
5,6, 7: (0п - ßo). 2. Кц/Кц - 0,25
4. 0п, град 3. Кщ! А-,/" 0,125
iV= 10 4. КктКцш 1
і ,-ч ^ г,-(0.-1) , V \ / \ '' / \
- / о ' / \ * \ / \ ' / \ і І -—. \
у/ У\ \
- Y6 \ • \ / * / / 1 /
\У ч/ \ J 'У
5. К*/АТ, = 0,125
6. КиіК*- 0,25
І.Кц/Kt-0,5 ...... і ... і Ро. <paà. і
Рис. 1.9. Пространственные распределения амплитуды (а), амплитудно-фазовые (б) и фазовые (в) характеристики 1-й ВРЧ
0 90 180 270 360
ß)
На рис. 1.9-6 показаны АФХ 1-й ВРЧ при разных соотношениях Лн и Ан. Увеличение асимметрии амплитуд Ан и Aß сужает динамический диапазон АФХ, превращая характеристику в горизонтальную линию при KH/KR = 0 и Кв/ К и =0. В обоих случаях из двух компонент в составе 1 -й ВРЧ остается лишь одна. АФХ при К„ = Ки проходит через ноль при ß0 = я(2к -1)/2, сохраняя эту особенность с расстоянием, кривые 4 и 5. Нулевые переходы АФХ соответствует режиму фазового запрета 1-й ВРЧ, а максимальные значения - амплитудной модуляции исходного сигнала. Отмеченные особенности АФХ прослеживаются и в приближенном выражении (1.58).
Усиление неравенства между Аи и Ли сужает диапазон изменений ФХ 1-й ВРЧ (0П -> |ро|), рис. 1.9-в. Знак 0Л для одного и того же значения ß0 определяется тем, какая из амплитуд ( А[{ или Ан) больше. ФХ 1-й ВРЧ не зависит от расстояния при фиксирован-
47
V(z) - V2n 1 - z3 [2 + cos(2po )]}«^z3[2 + cos(2po)]. (1.64)
ном значении Кв/Ки , оставаясь неизменной на всем протяжении области 2, = (0 ... 1).
Особенности поведения ФХ определяются двухкомпонентной структурой волны и отражены в приближенном выражении (1.59). На характеристике для случая Ки — KR (линия 4) не показаны изменения 012 на п при переходе значений р0 = л(2Л:-1)/2, происходящие из-за скачкообразного сдвига фазы огибающей высокочастотного колебания.
На рис. 1.10-а приведены пространственные распределения разности между линейной функцией V(zl) = KHKfjzl и рассчитанной зависимостью V2a(zx) при разных значениях ро и симметричном амплитудном спектре (Кн = Кв) исходного сигнала. Приведенные характеристики хорошо аппроксимируются кубической параболой, отличаясь постоянным множителем, в чем легко убедиться из (1.63) при малом аргументе z:
4 v с g
Роль коэффициента параболы выполняет фазозависимый множитель [2 + cos(2|30)]. Область между кривыми 1 и 5 характеризует вклад фазозависимых эффектов. Наибольшая амплитуда 2-й ВРЧ обеспечивается при Р0 = я(2&-1)/2, когда отток энергии в 1-ю ВРЧ отсутствует (режим фазового запрета). И, наоборот, при (30 = эффективность генерации 2-й ВРЧ из-за фазозависимых процессов наименьшая, - все каналы оттока энергии из первичных волн во вторичные волны максимально “открыты”, и участвующие в генерации 2-й ВРЧ первичные волны испытывают наибольшее нелинейное затухание.
На рис. 1.10-6 приведены АФХ 2-й ВРЧ при разных амплитудных соотношениях в спектре исходного сигнала. Кривыми 1- 3 и 5 показано, что усиление неравенства между амплитудами Ли и Аи приводит к росту диапазона изменений АФХ. Такое поведение может показаться неожиданным, однако вполне объяснимо, если при Кн = const в рамках
(1.60) рассмотреть зависимость КП(Р0, Кв/Кн) относительно переменной КВ/Ки
Ка{*)*К2н2 (1-2г3)^---^-[1 + ||-1-2со52р0 . (1.65)
При Кв/К„ -> 0 первое слагаемое под корнем, отвечающее за влияние фазонсзависимых нелинейных процессов, является величиной второго порядка малости относительно второго слагаемого, опережая его по скорости убывания. Увеличение вклада фазозависимого (второго) слагаемого приводит к росту диапазона изменений АФХ. Кривые 4 и 5 соответствуют АФХ 2-й ВРЧ при КИ = Кв на расстояниях гх = 0,5 и гх = 1, отражая нарастающее
48
влияние фазозависимых процессов но мере удаления от излучателя.
О 0,25 0,5 0,75
а)
1. **//0,-0.125; *.-1,0 3. **/Кц-0.5; г. - 1.0 *«/** = 0.125; - 1,0 *„/*„ = 0.5; г, — 1.0
2.**/*„ = 0,25; г, = 1,0 4. **=*„=!; г, =0.5 *„/** = 0,25; г, -1,0 5. **=*„= 1; 2.= 1,0
Ро.
270 Ро, град.
С„- 0.5; 2,-1
7. А*/*„-0,25; 2,-1
8.**/*„-0,125; г,= 1
і___________|__________
0:п, град.
Л'= ю
1. *„/** = 0,125; *, = 1
2. *„/ Аз = 0,25; 2, - I 3 *„/** = 0,5; г,= 1
Рис. 1.10. Пространственные распределения амплитуды 2-й ВРЧ (а); амплитудно-фазовые (б) и фазовые (в) характеристики 2-й 81*4
Фазовые характеристики 2-й ВРЧ на рис. 1.10-в имеют сходную с АФХ зависимость динамического диапазона от амплитудных соотношений, рис. 1.10-6. Подобно ФХ 1 -й ВРЧ знак фазового сдвига 02Г), возникающего при Кн * Кв, определяется тем, какая из амплитуд (Аи или Ав) доминирует.
В отличие от 1-й ВРЧ диапазон изменения ФХ 2-й ВРЧ увеличивается с расстоянием (кривые 5 и 6). Предпосылки этого отличия связаны с различными порядками фазоне-зависимой и фазозависимой компонент в составе 2-й ВРЧ. Если первая образуется во втором порядке, т.е. при взаимодействии первичных волн, то вторая - в третьем порядке и выше за счет взаимодействия первичных волн с вторичными волнами и между последними. Поэтому вклад фазозависимых процессов, определяющих диапазон изменений ФХ,
49
растет с расстоянием, что следует1 из приближенного выражения (1.61).
Поведение ФХ в случае 1-й ВРЧ характеризуется тем, что обе ее компоненты появляются одновременно во втором порядке. Имея практически одинаковые пространственные распределения амплитуд и фаз, эти компоненты делают ФХ 1-й ВРЧ независимой от пройденною расстояния.
Используя общее выражение (1.21) для спектра ВКА, можно рассмотреть характеристики и других гармоник ВРЧ (3il, 4Q):
СшЮ = -4- Ё (З*)'',&КН )Jpt,(3zKa )exp[i(2p + 3)ß0]; (166)
p=—:0
C4(1(z) = -± Ё Jp(4zK(4zKB)exp[/2(p + 2)ß0]. (1-67)
42 p=_„
Учитывая неравенство (1.24) и быструю сходимость ряда в обоих рассматриваемых случаях, в выражениях (1.66) и (1.67) можно ограничиться /? = (-2, -1) для 3-й гармоники
ВРЧ и р = (-3, -2, -1) для 4-й гармоники:
с, о(г) s~J, (3z)p2 (3 zK„ )J, (3zArß)exp(-;ß0) + Jx (3ztfH(3zA'„) exp(,ß„ )];
3z (1.68)
C4q(z) = [Л (4z)./2 (4zA'„ )/2 (4гЛГ, ) - ./2 (4z)./, (4zA'„)./, (4zAT„) exp(-;2ß0) -
4z (1.69)
- J2 (4z) J, (4 zK„ )J, (4 zK„ ) exp(i2ß0 )].
Очевидно, что структура (1.68) аналогична выражению (1.48) для 1-й ВРЧ, а соотношение (1.69) с точностью до порядков функций Бесселя повторяет структуру выражения (1.49) для 2-й ВРЧ. Отмеченное сходство между выражениями для нечетных (Q и 3Q) и четных (2Q и 4П) гармоник ВРЧ подчеркивает аналогичный характер их зависимости от ампли-тудно-фазовьтх соотношений в спектре исходного сигнала. Различия имеют лишь количественный порядок в отношении параметров этих воли, а также пространственного масштаба проявления имеющихся закономерностей.
1.5. Высокочастотные вторичные волны второго порядка
Наряду с 1-й и 2-й ВРЧ при распространении трехчастотной волны в квадратично-нелинейной срсдс образуются и другие волны второго порядка. К ним относятся вторые гармоники 2а>н =2(/У-1)со, 2со0=2Мо и 2(ой = 2(ЛГ +1)©, а также волны суммарных частот со,, +сод = 2Мо, соя +е>0 = (2Л> -1)со и (о0 +сой = (2Аг + 1)со. Две из них (со,, +(ов и
50
2со0) являются компонентами одной волны, называемой в дальнейшем волной суммарной частоты (ВСЧ). Рассмотрим поведение амплитуд и фаз высокочастотных вторичных волн в зависимости от амплитудно-фазовых соотношений в исходном сигнале. Для этого воспользуемся выражением спектра трехчастотной ВКА (1.24) поочередно при и = 2#, и = (2# -1), п- (2# +1), п = 2(ЛГ - 1) и /7 = 2(^ + 1):
Сгл*) = ~7 Ё Л (2Мг)/ (2№К„ )/, (2№К„ ) ехр(-/*р0 );
СтЪ) = -—-4— ЁЛ«2А'Т 0*У,((2* Т 1)-/Сй)х
* Л, ((2 ^ ) ехр (-Нф0);
С»«- -^Г-1 ./2(ы(2№УД2№А:/;у„(2^)ехр[-/2(1-^)Р0];
р-_£С
С2*., (*) = ~(2л/_1)г Ёуз-2, «2Л1 - 0.У, ((2Л' - 1)*КЯ) х х Л-. ((2Л' -1)гКа) схр[- /(3 - 2р)Р0 ];
С2„„ (г) = - (^Д ))г ЁЛ-2/(2Л^ + 1)гУД(2ЛГ + 1)гК„) х х J ((2N + 1)гК„)ехр[- /(1 - 2,;)р0];
(1.71)
с«”"й>-даЬ; <1п)
х ^(2(Лг + 1)гА'д)ехр(-7^о);
Используя для соответствующих значений п равенство
кМ + р(М-[) + ц№ + \) = п, проведем замену индексов суммирования в (1.70) - (1.72):
(1-73)
(1.74)
(1.75)
хУрТ2(2(^Т1)^Л)ехр(/2/7р0);
В выражениях (1.73) - (1.76) пределы суммирования можно ограничить без существенной потерн точности, т.к. рассматриваемые решения согласно (1.24) справедливы для
0<^<П/ЛД1 + КН +К„), где Л^»1 и (Кн, Кя)>0, что обеспечивает быструю сходимость ряда. Для С2Л,(г) и
51
^2(^-|)(2) достаточно ограничиться р-(0, 1);для С2л._,(г), С2Д,+1(г) и С2(,у+|)(2) соответственно имеем р = (0, 1, 2), р = (-1, 0, 1) и р = (-1, 0). В результате получаем:
с2Я(г)£-^ехР(-)р°)[/2(2№)Л(2№/гн)/0(2№Л:8)ехр(-/,30)+ (1?7)
+ У„ (2№)У, (2№К„у, (2ЛЬАГ„) схр(/Р„)]; сгд»1(г) = ~е>фНРе)[Л ((2ЛГ + 1)г)((2 А' + 1)гАГ„(Я))./0((2Л/ + 1)гАГв(,„) -
- У,((2Л' Т 1)2)Л ((2.^ + 1)гАГ„(в)) У, ((2ЛГ Т 1)^2Са(„))ехр(-/2р0) - (1.78)
- У, ((2Л' + 1)г)У2 ((27/ + \)гКщщ ) У, ((2,¥ + 1);Кв(и)) ехр(,2ро)];
С2(от,)(г) з - [Л (2(^ * ВДЛ (2(7У Т 1)г*„ )У2 (2(Л/ +1)гКв)-
2(ЛГ +1)2 0.79)
- 32 (2(// * 1)2)./, (2(ЛГ * 1)2/:,,)./, (2(уУ Т 1)2/С в ) ехр(±/2Ро)];
Простой вид приближенных выражений (1.77) - (1.79) позволяет анализировать влияние фазовых соотношений на поведение генерируемых волн. Например, в выражении (1.77) для комплексной амплитуды ВСЧ оба слагаемых имеют модули одного порядка и при любом-значении [30 получают равные по величине, но противоположные по знаку сдвиги фаз. Уравняв модули, что достигается подбором К„ и Ка, при ро =я(2&-1)/2 слагаемые вычтутся, что указывает на запрет генерации ВСЧ. Таким образом можно перекрыть еще один канал оттока энергии из первичных волн. Идентичность выражений (1.48) и (1.77) отражает совпадение проявлений фазозавнеимых процессов у ВСЧ и 1-й ВРЧ.
Отметим сходство выражений (1.49) и (1.78), соответствующих 2-й ВРЧ и волнам С2т\(г). В отличие от первого слагаемого два последующих являются величинами одного порядка и имеют равные по величине, но противоположные по знаку начальные фазы. Фазозависимые слагаемые являются величинами более высокого порядка малости в сравнении с первым членом суммы и выступают в качестве накапливающейся с расстоянием небольшой добавки. Первое слагаемое описывает вклад фазонезависимых нелинейных процессов, тогда как второе и третье слагаемые отражают влияние фазозависимых эффектов. В случаях р0 = кк и [30 = п(2к-\)/2 фазозависимые процессы соответственно ослабляют или усиливают генерацию рассматриваемых компонент.
Решение (1.79) содержит два слагаемых и подобно выражениям (1.31) - (1.32) для первичных волн. Второе слагаемое является фазозависимым. Учитывая порядки функций Бесселя, для расстояний 0 < г, ^ I фазозависимый член суммы является малой величиной
52
в сравнении с первым слагаемым. При значениях р0 = пк/2 рассматриваемые волны не испытывают дополнительных фазовых набегов. Как и в случае первичных волн, здесь следует разделять случаи р0 = пк и р0 = п(2к-1)/2, отличающиеся знаками во втором члене
суммы. В зависимости от величины р0 фазозависимые процессы могут ослаблять или усиливать генерацию компонент С2^Я)(г). При р0 * пк/2 эти волны испытывают дополнительные набеги фаз, достигающие своего максимального значения при р0 =±л/4, что указывает на изменение фазовых скоростей.
Перейдем в (1.77) - (1.79) к действительным амплитудам и фазам:
С2ЛГ (-) 2-^-ехр(-,Ц0)[О„ (г) + /в2,. (г)];
(г) = [./г (2Л&У,, (2 №КН )7„ (2 №Ке ) +
+ 7„ (2№)7, (2№А„ )7, (2 №К„ )]соз 2р„; (1.80)
В2„ (г) = -[72 (2Л/2)70(2№А„ )Л (2Л^Л:с ) -- Л (2№)7, (2№К„ )7, (2№А„ )]з!п 2р„;
®*Р(—)[^2^ и (“) + ^2Л,и(г)];
А»*1 (2) = ■/, ((2 .V ? 1)2)Л ((2Л' + !)гА„(8) )./0 ((2ЛГ + 1)2А'„((0 ) -- со52р0 р3 ((2 Л' + 1)2)Л ((2#+1)2*н(„)7, ((2// +1 )гАв(,„) + С1-81)
+7, ((2 N +1)2)7, ((2ЛГ + 1)2А„(В) )7, ((2// + 1)2А„(Я))];
Я2„, О) = зт 2р0рз((2.^ -Т 1)=)70 ((2Л' + 1)гА„(в) у, ((2М + 1)гКат)-- 7, ((2Л/ +1)2)7, ((2Л/ + 1)гК11(в) )7, ((2Л‘ + 1)-Ая(//) )];
С2 (ля)(г) 3 _2Wïnz^2(,™,(Z) +
2(jV + I)z
)(z) = 70 (2(jV + l)z)70 (2(.V + l)zA„ )72 (2{N + l)zA„ ) -- 7, {2(N T l)z)7, (2(.V + l)zA„ )7, (2(W T l)zA„ ) cos 2po ; 0-82)
^(л.п)(г) = +7, (2(N T 1)2)7, (2(ЛГ T l)zA„ )7, (2(1V T l)zAa ) sin 2po, после чего получаем
F^O) = F"co(z) = 2|C2„(z)j = + (2) ;
X2,v(z) = argC2„(z)sarctg^i^-^-p0 = e2w(z)-ï-p0 ; 0-83)
53
^2лгя (2) - Vа/(,св) (2) — 2|С21уТ, (г)| = + \)г Л^2ЛГ*1 ^ + 1 ^ ’
5С2Л*, (2) = а*^,, (г) = \- (30 = 02^, (г) - £ - Р0; (Ь84)
^2(-У?1)(2) = ^2//(2г)(2) = 2|с2^,)(г)| = ^ 1)2 а/^2(а’Т|)^2^ + ^2(лт)(2) 5
/ \ ~ /-• / \ ~ ^2(^?1)(2) ТС 71 (1*85)
Х2(^1)(2) = аг8 ^2(//я)(2) = агс1о- гг -- = 02(^.)(2) -Т;
2(Л'^1) ч2-' -
где 02М(г), Э2.ут|(2) и 02(лгя)(2) - дополнительные набеги фаз в рассматриваемых компонентах. Из (1.80) — (1.82) несложно проследить различие механизмов, лежащих в основе появления фазовых набегов 0(г). Величина 02.у(2) принимает конечное значение, если модули слагаемых в выражении С2Л,(2) не равны. В противном случае 02А,(г) = О при любом Р0 подобно 1-й ВРЧ.
Аналогичный механизм лежит в основе 02/т(г). Здесь конечные набеги фаз обязаны неравенству амплитуд фазозависимых слагаемых в выражениях (1.78). Если же амплитуды равны, то при любом значении р0 имеем 02„±1 (г) = 0. Подобная ситуация отмечалась для 2-й гармоники ВРЧ. Различия 02/Дг) и 02Л,±,(*) сводятся к тому, что в случае ВСЧ две фазозависимые компоненты равных частот образуются во втором порядке и являются главными членами суммы. Для С2//.,(2) фазозависимые компоненты возникают в четвертом порядке и являются величинами второго порядка малости в сравнении с фазонезависимым слагаемым. Данная особенность приводит к ослаблению влияния фазозависимых процессов на поведение С2,у±1(2) .
Таким образом, в трех рассмотренных случаях дополнительные сдвиги фаз вызваны доминированием амплитуды одной из двух фазозависимых компонент и не связаны с накопительным характером нелинейных процессов. Фазовая зависимость в выражении С2(А,±,)(2) реализуется иначе. Согласно (1.79) основной вклад вносит первое слагаемое, не
зависящее от Р0, которое дополнено фазозависимой добавкой более высокого порядка малости. Подобная структура характерна для исходных волн (1.31) - (1.32), демонстрируя накапливающийся с расстоянием дополнительный набег фазы.
Для расстояний г1 «1 выражения (1.77) - (1.79) упрощаются:
2С2*(2) * -~Л^ехр(-/р0)[ехр(-/р0) + 2К„КВ ехр(1р0)]; (135)
54
2С2т](г) = -~(2*V + 1)гЛГ„(„ exp(-ip„){ 1-^(2^ + l)VA3OT -
_j_
4
-i-(2ЛГ +1)3z2 [exp(- /2P0) + 3K2H{ln exp(/2p0)] 44 ^H(B)
2C2{nti)(z)*--(NT\)zKI
K.
1 - (Ar +1)2 (1 + Kl )z? - (N +1)2 z? —^exp(±/2(i0)
K,
(1.87)
(1.88)
Полученные выражения отражают линейный закон нарастания амплитуды с расстоянием в области z < 1, что свойственно волнам второго порядка, и в частности - второй гармонике монохроматической ВКА [30J. Воспользуемся (1.86) - (1.88), тогда с учетом (1.83) -(1.85) для действительных амплитуд и фаз высокочастотных компонент получим:
V1k(z)*?j{\ + 4K2hKI+4K„К„ cos2р0 --2A'V[*?, t-Kl +4K1HKl+2K,,KB(2-i- К2Н + A3)cos2p0]fS; (1.89)
7Г
---Ро -arctg
Г1 - 2KHKb - N2z\Kf{ +Kj- 2K„K„)] [\ + 2KHK„ -N2z\k'l + Kl +2KHKn))
tgPc
(z) w
(2Ar + l)z
(2iV + l)2
XnwJI
12
^'i»,+“iO + 3^)cos2P0
Л
X2™(z)«---p0+arctg
(2N=Fiyz2£M,(1_3K)sin2p0
24
К
нт
1-
(2^ +1)2 _2 24
К
H{B)
(1.90)
V2(N*\)(Z)
l + A'2+^-cos2p0
z~ ;
(WTl)J^-z3sin2p0
K-b
K,
1 + */2/ + -rr-cos2pc Л. n
(1.91)
1-(Л' + 1)'
Из (1.89) следует, что для выполнения Г„(») = 0 достаточно обеспечить условия:
2КЯКВ=\\ Ро=тг/2.
(1.92)
При 2КНКВ =1 фазовый сдвиг 02д/ равен нулю при любых значениях ро. В этом случае 02АГ не зависит от пройденного волной расстояния, а определяется амплитудными (Ки,