Газодинамические явления в газоразрядной плазме и средах с рэлеевским механизмом энерговыделения

2
Газодинамические явления в газоразрядной плазме и средах с Рэлее веки м механизмом энерговыделения.
Введение и постановка задачи, 6
Глава 1. Обзор литературы. 21
1.1. Исследования по взаимодействию акустических 21 волн с плазмой газового разряда.
1.2. Исследования по взаимодействию ударных волн 25 с газоразрядной плазмой.
1.3. Исследования по динамике вихрей в плазме. 35
1.4. Исследования по оптимизации аэродинамического 39 обтекания с помощью внешних воздействий на поток.
Глава 2. Взаимодействие акустических волн с газоразрядной 45
плазмой и средами с Рэлеевским механизмом энерговыделеиия.
2.1. Ведение и постановка задачи. 45
2.2. Распространение акустических волн в неоднородном газе. 46
2.2.1. Плоская волна при нормальном падении. 46
2.2.1.1. Альтернативный вывод одномерного 46 уравнения распространения акустических воли в
неоднородном газе.
2.2.1.2. Отражение акустических волн при распространении 54 в неоднородной среде.
2.2.2. Плоская волна при наклонном падении. 62
2.3. Распространение акустических волн в средах с 68
Рэлеевским механизмом энерговыделения. Случай
газоразрядной плазмы молекулярных газов.
2.3.1. Плоская звуковая волна в Рэлеевской среде, 69
3
одномерный случай.
2.3.2. Распространение звуковой волны в газоразрядной 74 плазме молекулярных газов.
2.3.3. Плоская звуковая волна в Рэлеевской среде, 86 двумерный случай.
Приложение 2.3.3.1. 99
Приложение 2.3.3.2. 101
2.3.4. Неэквивалентность задач о распространении 102 акустических волн с начальными и граничными условиями
в Рэлеевской среде.
2.3.5. Решение полной задачи о взаимодействии 109 акустических волн с безстеночной плазмой воздуха.
2.3.5.1. Случай нормального падения. 109
2.3.5.2. Случай наклонного падения. 120
2.3.6. Акустическая дисперсия в Рэлеевской среде. 130
2.3.6.1. Получение основных соотношений. 131
2.3.6.2. Анализ полученных результатов. 139
2.4. Основные результаты гл. 2. 145
Глава 3. Взаимодействие ударных волн с плазмой как с Рэлеевской 227 средой.
3.1. Введение. 227
3.2. Формирование и распространение ударных волн в 228 неоднородном газе.
3.2.1. Вывод основных уравнений. 228
3.2.2. Интерпретация экспериментальных данных по 246 взаимодействию бегущих ударных волн с газоразрядной
плазмой.
3.3. Структура ударной волны при внешнем энергоподводе 253
4
в зону ударного слоя.
3.3.1. Интегральные соотношения на разрыве. 253
3.3.2. Вывод уравнения ударного слоя в присутствии 270 внешнего источника тепла и анализ решения.
3.3.3. Асимптотические решения уравнения ударного слоя. 285
3.3.4. Зависимость решения для ударной волны от 303 пространственной формы и интенсивности источника тепловыделения.
3.3.5. Случай энергоподвода, равного критическому. 313
3.3.6. Случай энергоподвода, превышающего критический. 319
3.4. Распространение ударной волны в среде с Рэлеевским 325
энерговыделением.
3.4.1. Вывод основных уравнений. 326
3.4.2. Исследование асимптотики решения уравнения 332 распространения.
3.4.3. Аналитическое решение уравнения распространения 343 в рамках теории сингулярно возмущенных уравнений
3.4.4. Обсуждение полученных результатов. 348
3.4.5. Случай молекулярной плазмы газового разряда. 351
3.5. Основные результаты гл. 3. 360
Г лава 4. Динамика вихря в среде с Рэлеевским механизмом 412
энерговыделения и в проводящей среде с магнитным полем.
4.1. Случай несжимаемой Рэлеевской среды. 412
4.1.1. Введение и постановка задачи. 412
4.1.2. Математическая модель цилиндрической вихревой 413 трубки в несжимаемой среде с Рэлеевским механизмом энерговыделения.
4.1.3. Физическая модель течения. 418
5
4.2. Учет сжимаемости. 421
4.2.1. Приближение малых чисел Маха. 421
4.2.2. Обсуждение полученных результатов. 433
4.3. Одиночный вихрь в проводящей среде с магнитным полем. 436
4.3.1. Постановка задачи. 436
4.3.2. Формулировка уравнений и их решение. 437
4.3.3. Обсуждение полученных результатов. 447
4.4. Основные результаты гл. 4. 453
Г лава 5. Сверхзвуковые течения с малыми возмущениями при 479
наличии внешних силового и энергетического воздействии
5.1. Введение и постановка задачи. 479
5.2. Случай тонкого тела вращения. 479
5.2.1. Постановка задачи и вывод основных уравнений. 479
5.2.2. Обсуждение полученных результатов. 490
5.3. Случай тонкого крыла бесконечного размаха. 494
5.3.1. Вывод основного уравнения и его решение. 494
5.3.2. Обсуждение полученных результатов. 506
5.4. Решение оптимизационных задач сверхзвукового обтекания 508 тонких тел.
5.4.1. Случай тонкого тела вращения. 508
5.4.2. Случай тонкого крыла бесконечного размаха. 511
5.5. Основные результаты гл. 5. 516
Пр и л ожение 5.1. 516
Заключение. 548
Список литературы
552
6
Введение и постановка задачи.
В последнее время исследователи уделяют большое внимание изучению различных газодинамических явлений в ионизованном газе. Главным образом, это относится к акустическим и ударным волнам (УВ), а также вихревым структурам. Дело в том, что, с одной стороны, с помощью этих явлений возможно эффективное управление свойствами плазмы и ее диагностика, с другой - в плазме указанные явления протекают существенно отличным от нейтрального газа образом. Данные особенности представляют значительный интерес как с точки зрения фундаментальных исследований, так и для решения прикладных задач.
Так, изучение взаимодействия акустических волн с плазмой инициировало попытки создания альтернативных традиционным динамикам мощных источников звука. Кроме того, работы в данной области получили мощный импульс, когда возникла задача уменьшения уровня звукового давления, который возникает при сверхзвуковом движении летательных аппаратов. Результаты исследований влияния мощных звуковых полей на параметры самостоятельного газового разряда показывают, что таким образом возможно управление важнейшими параметрами плазмы -электрическим полем в плазме, пространственным распределением и величиной температуры нейтралов, средней энергии электронов и пр. Изучение взаимодействия акустических волн с плазмой молекулярных газов актуально в связи с попытками управления с помощью мощных звуковых волн процессами конденсации в атмосфере и использованием при этом явления усиления звука в неравновесных колебательно-возбужденных газах.
С точки зрения прикладной науки интерес к проблеме распространения ударных волн в плазме, в первую очередь, связан с попытками разработки нетрадиционных методов оптимизации аэродинамического сверх и гиперзвукового обтекания при разработке летательных аппаратов следующего поколения. Так, в экспериментах по, так называемому, плазменному обтеканию обнаружено значительное снижение коэффициента
7
лобового сопротивления обтекаемых тел, уширение и ослабление бегущих ударных волн.
Интерес к исследованию динамики вихревых областей в плазме (как в присутствии магнитного поля, так и без него) связан, в основном, с попытками улучшить аэродинамические характеристики современных летательных аппаратов и показатели реактивных двигателей за счет изменения свойств целого класса течений. К таким течениям относятся турбулентные, отрывные течения, течение в погранслое и др. Например, основной идеей улучшения маневренности современных истребителей при больших углах атаки является генерация вихрей на передних кромках дельтаобразных крыльев или на специальных крыльях-спутниках перед основным крылом.
Несмотря на большое количество работ по данной тематике, многие вопросы остаются невыясненными. Так, в частности, отсутствует интерпретация экспериментальных результатов по распространению акустических волн в плазме молекулярных газов. Такая ситуация, не в последнюю очередь связана с тем, что исследователей, в основном, интересовало влияние мощных звуковых волн на параметры плазмы, а не наоборот. Надо отметить, чго процесс взаимодействия звуковой волны со свободно горящей безстеночной плазмой включает и ее прохождение области неоднородности на границе нейтральный газ — плазма. Учитывая, что, как будет показано ниже, длина звуковой волны оказывается порядка протяженности градиентной области, расчет коэффициентов прохождения и отражения волны в такой ситуации - нетривиальная задача, которая до сих пор не решена.
Аномальные эффекты, наблюдаемые в экспериментах с ударными волнами (на баллистических трассах и в аэродинамических трубах), достаточно хорошо изучены. Тем не менее, до сих пор отсутствует единый взгляд на механизмы, вызывающие такие изменения, и на перспективы их практического применения. Так, в литературе интенсивно обсуждается
I
8
вопрос, является ли это следствием чисто теплового воздействия, или же имеет место специфическое влияние собственно плазмы на характер течения. Кроме того, предпринимаются попытки исследовать возможность изменения структуры ударного слоя за счет внешнего энергоподвода, что позволяет, в частности, снизить лобовое сопротивление при сверхзвуковом обтекании. Большинство работ по данной тематике носило характер численных расчетов для частных случаев пространственной формы области энерговыделения, что затрудняло проведение анализа физических причин изменения структуры потока при локальном энергоподводе, характерном при распространении ударных волн в плазме.
Главным недостатком современных исследований по динамике вихрей в плазме является их ориентированность на численные методы решения полной системы уравнений газовой динамики и уравнений, описывающих состояния плазмы и полей (электрического и магнитного). Единственным механизмом учета относительного влияния различных процессов, происходящих в плазме, является введение безразмерных параметров, например, магнитного числа Рейнольдса. На основе оценки величин этих параметров делаются выводы, упрощающие уравнения, но не позволяющие в полной мере проследить влияние различных физических механизмов на рассматриваемое явление. Кроме того, проверка численных решений на устойчивость относительно малых возмущений условий задачи проводится далеко не всегда, а без нее делать выводы о физических причинах полученных особенностей временной динамики рассматриваемого явления некорректно.
Таким образом, актуальность выбранной темы научного исследования обусловлена, с одной стороны, важным прикладным значением, с другой -недостаточной изученностью вышеупомянутых явлений.
Надо отметить, что при исследовании газодинамических явлений в плазме общая методология, в основном, сводилась к тому, что рассматривалась совместная система уравнений для нейтралов и плазмы при
9
начальных и (или) граничных условиях, определяемых видом исследуемого газодинамического явления. Такой подход, позволяя исследовать влияние газодинамических возмущений на характеристики плазмы, приводит к необходимости численного решения системы большого числа нестационарных, зачастую нелинейных, дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях - это весьма проблематично, затрудняет анализ физических закономерностей изучаемого явления и пракгически делает невозможным решение многопараметрических оптимизационных задач. В то же время, учитывая вышесказанное, наибольшую практическую ценность в данных задачах представляет, во-первых, эволюция именно газодинамических возмущений, во-вторых, -решение сложных оптимизационных задач.
С учетом этого, нами был предложен и развит единый поход к исследованию влияния самостоятельного газового разряда в плазме на различные газодинамические явления. Суть его заключается в следующем. Мы рассматриваем плазму такого разряда как упругую среду с Рэлеевским механизмом энерговыделения. Как известно, такая среда характеризуется тем, что если в первоначально однородном ее объеме возникает возмущение плотности нейтралов, то в месте этого возмущения происходит поглощение или выделение тепла. На то, что этот механизм играет основную роль, в частности, при распространении акустических волн в плазме, указывали многие авторы (см. гл. 1). Рэлеевский механизм энерговыделения, например, в атомарной плазме самостоятельного газового разряда заключается в том, что если градиент плотности нейтралов параллелен внешнему электрическому полю в плазме, то при постоянной плотности электрического тока в этом месте с ростом плотности нейтралов растет электрическое поле. Если же градиент и электрическое поле ортогональны, то при постоянном электрическом поле падает плотность электрического тока. Таким образом, в первом случае в соответствующих областях плазмы растет энерговыделение при росте плотности нейтралов, во втором - падает. Как мы увидим в
10
дальнейшем, в плазме азота и воздуха Рэлеевский механизм реализуется по несколько более сложной схеме. Мы будем рассматривать, в основном, слабоионизованную плазму воздуха при давлениях в десятки Topp и выше (хотя все основные результаты применимы и для атомарных газов). Тогда, учитывая, что характерные времена изменения параметров газа в газодинамических возмущениях составляют величины порядка десятых мс и меньше (за исключением УВ, о чем будет сказано далее), можно утверждать, что Рэлеевский механизм в такой плазме реализуется мгновенно. Напомним, что нас, в первую очередь, интересует влияние плазмы на интегральные характеристики нейтралов. Поскольку при степенях ионизации порядка КГ6 суммарный импульс заряженных частиц в плазме много меньше импульса нейтральных частиц, то такой подход позволяет решать задачу исследования развития газодинамических возмущений в плазме на основании системы законов сохранения для нейтралов, а плазму учитывать лишь в законе сохранения энергии посредством вышеупомянутого Рэлсевского механизма энерговы деления.
Следует отметить, что плазма самостоятельного газового разряда — не единственный пример среды, обладающей подобным механизмом. Другим таким примером может служить газовая среда, в которой происходят химические реакции с выделением (поглощением) тепла. В настоящее время ведутся работы, направленные на развитие теории детонационного горения на основе предложенной модели Рэлеевского механизма.
Целью данной диссертационной работы является: теоретическое исследование особенностей формирования и динамики газодинамических явлений в плазме самостоятельного газового разряда (в том числе и в неоднородной области на границе нейтральный 1*аз — плазма), а именно акустических волн, ударных волн и вихревых образований на основе единого подхода к плазме как к среде с Рэлеевсктгм механизмом энерговыделения; решение оптимизационных задач плазменной аэродинамики с использованием результатов проведенных исследований.
11
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
• разработать физическую и соответствующую ей математическую модель прохождения акустических волн через неоднородный газ с произвольным распределением плотности;
• построить физическую модель для описания Рэлеевского механизма в плазме молекулярных газов;
• построить аналитическое решение задачи о распространении звуковых волн в газоразрядной плазме (в том числе и в молекулярных газах) и исследовать особенности полученных решений;
• разработать аналитическую теорию процесса формирования и распространения ударных волн в неоднородном газе с произвольной неоднородностью;
• разработать физическую модель распространения ударных волн в среде с Рэлеевским механизмом энерговьтделения;
• получить аналитическое решение о распространении ударных волн в 1-азоразрядной плазме и провести исследование его особенностей по сравнению с нейтральным газом;
• на основе модели плазмы как среды с Рэлеевским механизмом энерговыделения исследовать динамику вихревых образований в плазме самостоятельного газового разряда и в ионизованном газе в присутствии магнитного поля;
• разработать математические модели и получить аналитические решения некоторых основных задач плазменной аэродинамики.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений. Список литературы включает 183 наименования. Работа изложена на 567 страницах.
В первой главе представлен краткий литературный обзор по исследованию процессов распространения акустических, ударных волн и динамики вихревых образований в плазме газового разряда. Здесь же
12
сформулированы основные проблемы, остающиеся до настоящего времени не решенными. Далее формулируются основные идеи подхода автора к решению вышеперечисленных задач.
Вторая глава посвящена теоретическому исследованию взаимодействия акустических волн с плазмой самостоятельного разряда. Отдельно рассмотрены распространение звука через область неоднородности на границе нейтральный газ - плазма и случай плазмы молекулярных газов, в частности, воздуха. В главе подробно описаны физические модели и математические методы для расчета параметров звуковой волны при взаимодействии с плазменными образованиями, проводится сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными других авторов.
В третьей главе рассматривается взаимодействие слабых и умеренных ударных волн с плазмой самостоятельного газового разряда, включая область неоднородности на границе нейтральный газ — плазма. Для задачи формирования и распространения ударных воли в неоднородном газе получены аналитические выражения для параметров ударной волны при прохождении неоднородности произвольной формы; предложена модель влияния плазмы на параметры ударных волн. Все полученные аналитические теоретические результаты проверяются на соответствие численным расчетам и известным экспериментальным данным.
Четвертая глава посвящена рассмотрению динамики вихревых структур в самостоятельном газовом разряде и в ионизованном газе в присутствии магнитного поля. На основе модели плазмы как среды с Рэлеевским механизмом энерговыделения рассмотрена временная динамика бесконечной вихревой трубки при различных условиях в плазме и при различной ориентации оси вихревой трубки относительно вектора электрического поля в плазме. Исследован также случай наличия магнитного поля при его различной ориентации.
В пятой главе рассмотрены некоторые оптимизационные задачи сверхзвуковой плазменной аэродинамики в предположении, что в тонком
13
приповерхностном слое около обтекаемого тела осуществляются энергетическое (за счет плазмы самостоятельного разряда) и силовое (за счет МГД - воздействия) воздействия на поток с целью оптимального изменения распределения давления на поверхность обтекаемого тела. Эти оптимизационные задачи решаются на основе аналитической теории сверхзвуковых течений с малыми возмущениями, разработанной в этой же главе.
В заключении перечислены основные результаты данной диссертационной работы.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Физическая модель и аналитическая теория для расчета параметров акустической волны при прохождении через одномерную газовую неоднородность произвольной пространственной формы, в том числе и для случая наклонного падения; результаты исследования зависимости коэффициента пропускания звука неоднородностью на границе нейтральный газ — плазма от частоты звука, параметров плазмы и угла падения.
2. Физическая модель взаимодействия звуковой волны с газоразрядной плазмой самостоятельного разряда (в том числе и в молекулярном газе) при произвольной ориентации волнового вектора относительно вектора электрического поля в плазме; результаты расчета коэффициентов прохождения звуковых волн различной частоты плазмы при различных условиях.
3. Результата исследования дисперсии звуковых волн в плазме самостоятельного разряда; аналитическая теория для расчета групповой и фазовой скоростей звука в зависимости от параметров плазмы; результаты расчетов асимптотической формы немонохроматических волновых пакетов при их распространении в плазме.
14
4. Результаты решения задачи о взаимодействии акустической волны с пространственно ограниченным плазменным образованием без диэлектрических стенок, в том числе и в случае наклонного падения.
5. Физическая модель и аналитическая теория душ описания структуры плоской ударной волны при наличии в области ударного слоя внешнего источника энерговыделения, движущегося вместе с ударной волной; результаты исследования структуры ударной волны при различном внешнем энергоподводе, в том числе и превышающем критический.
6. Аналитическая теория для расчета параметров ударной волны, формирующейся из начального возмущения и затем распространяющейся в неоднородной области нейтральный газ — плазма самостоятельного разряда; результаты расчетов по этой теории параметров ударных волн в условиях известных экспериментальных работ.
7. Физическая модель и аналитическая теория, описывающая формирование ударных волн в плазме на основе Рэлеевского механизма энерговыделения; результаты решения уравнения распространения ударных волн в плазме и расчетов структуры ударной волны в условиях экспериментальных работ, где наблюдались известные аномалии.
8. Физическая модель и аналитическая теория динамики вихрей в плазме самостоятельного газового разряда; полученные аналитические зависимости от времени и радиуса тангенциальной и радиальной составляющих скорости вихревой трубки в несжимаемой Рэлеевской среде в приближении начальных времен, а также сжимаемой среде в приближении малых начальных чисел Маха вихря.
9. Результаты исследования поведения одиночного вихря в проводящей среде в присутствии магнитного поля при различной ориентации этого поля относительно оси вихревой трубки; полученные аналитические
15
зависимости циркуляции скорости от времени для вихря в проводящей среде при наличии внешнего магнитного поля, расчеты влияния вязкости и теплопроводности.
Апробация работы.
Основные результаты работы были доложены на Всероссийской научно-технической конференции «Фундаментальные исследования для гиперзвуковых технологий», Москва, Жуковский, 1998; 2nd Weakly Ionized Gases Workshop Norfolk, VA., 1998; 9th International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference Norfolk, YA 1999, AIAA; A1AA 9th International Space Planes and Hypersonic Systems and Technology Conference, 1-4 November, 1999, Norfolk, VA; Workshop «Perspectives of MHD and Plasma technologies in Aerospace Applications», Moscow, IVTAN, 1999; совещании «Перспективы МГД и плазменных технологий в аэрокосмических приложениях». Москва, ИВТ РАН , 2000; American Institute of Aeronautics and Astronautics, Norfolk, VA, 2001; II международном симпозиуме «Термохимические процессы в плазменной аэродинамике», СПБ, 2001; Ргос. ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting, may 29-Junel, 2001, New Orleans, LA; Г1 AIAA Flow Control Conference, 24-26 June, 2002, St. Louis, МО; международной конференции «Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений, ЦЛГИ, 2004г; 43rd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit 10-13 January 2005 Reno, Nevada, AIAA; Всероссийской научной конференции ВНКСФ-15, Томск, 2009 г., XI международном симпозиуме «Термохимические процессы в плазменной аэродинамике», СПБ, 2010. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. V.S. Sukhomlinov, N. Gerasimov, and V.A. Sheverev, «Acoustic wave propagation in uniform glow discharge plasma at an arbitrary angle between the electric field and wave vectors», J. Applied Physics, 104, 043301, 2008.
2. Sukhomlinov V., Nikolay G., Valery S., «Propagation of sound in glow discharge plasma», J. Phys. D: Appl. Phys. V. 40, p.p. 2507-2512, 2007.
16
3. V.S. Sukhomlinov, V.A. Sheverev and C. Tarau, «Reflection of sound by glow discharge plasma», J. Phis. D: Appl. Phys., 39, (2006), p. 1-6.
4. Sukhomlinov V.S., Kolosov, V. Y.; Sheverev, V. A.; Otugen, М. V., «Acoustic dispersion in glow discharge plasma: A phenomenological analysis», Physics of Fluids, Volume 14, Issue 1, pp. 427-429, 2002.
5. Sukhomlinov V., Sheverev V., Otiigcn V., « Distribution of Gas Temperature in an Unconfined Glow Discharge Plasma», J. Appl. Phys., 94, n. 2 (2003), p.p. 844-851.
6. V.S. Soukhomlinov, V.A. Sheverev and M.V. Otugen, «Evolution of a vortex in glow discharge plasma», Ph. FI., 17, 058102, (2005).
7. Sukhomlinov V.S., Kolosov V.Y., Sheverev V.A. and Otugen M.V. “Formation and propagation of shock wave in a gas with temperature gradient” J. Fluid Mech. 2002, vol. 473, pp. 245-264.
8. ГолятинВ.Ю., Кучинский B.B., Сухомлинов B.C., “Влияние внешнего энергоподвода в область ударного слоя на параметры ударной волны”. Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 4, с. 25-30.
9. Soukhomlinov V.S., Sheverev V.A., Otugen M.V., Evalution of a vortex in glow discharge plasma, Phys. Fluids, 2005, v. 17, №5.
10. Soukhomlinov V.S., Stcpaniuk, V., Tarau, C., Otugen, V., Sheverev V., Raman G., «Acoustic Wave Attenuation through Glow Discharge Plasma», AIAA Paper No. 2002-2433 (2002).
11. Soukhomlinov V.S., Stepaniuk, V., Tarau, C., Otugen, V., Sheverev V., Raman G., «Acoustic Wave Attenuation through Glow Discharge Plasma», AIAA Paper no. 2002-2731 (2002).
12. V.Y. Golyatin, A.L. Kuranov, V.V. Kuchinsky, V.S. Soukhomlinov, «The Mechanism of Influence of JLow-Temperature Plasma on Aerodynamic Streamlining», AIAA Paper no. 2001-3055 (2001).
17
13. V.Yu.Kolosov, Soukhomlinov V.S., V.A.Shaverev, M.V.Otugen., «Formation and Propagation of a Weak Shock Wave in a Gas with Temperature Gradient», AIAA Paper no. 99-4943 (1999).
14. Sukhomlinov V.S., Stepaniuk, V., Sheverev, V., Otiigen, V., Tarau,
C., Raman, G., «Sound attenuation by glow discharge plasma», AIAA J. 42, 454-550 (2004).
15. Sheikin E.G, Sukhomlinov V.S., V. A. Sheverev, М. V. Otugen, «Scramjet Inlet Flow Control Using Combined MHD and GDP Effect», Journal of Propulsion and Power, v. 20, № 5, 2004.
16. Иванов В.А., Куранов A.JI., Кучинский В.В., Сухомлинов B.C., «Плазменные методы управления обтеканием», Журнал «Полет», №12, 2004, стр.28-34.
17. ГолятинВ.Ю., Кучинский В.В., Сухомлинов B.C., «Влияние внешнего энергоподвода в область ударного слоя на параметры ударной волны», ЖТФ, 2005, т.75, в.4, с. 25-30.
18. I.G. Sheikin, V.S. Sukhomlinov, «Calculation of Space Distribution of Energy Deposited by E-beam for Flow Control Applications», AIAA Paper no. 2006-1369 (2006).
19. Герасимов H.A., Сухомлинов B.C., «Сверхзвуковые течения с малыми возмущениями при наличии внешних воздействий на поток. Часть 1 «Тонкое тело вращения»», ЖТФ, 2010, т. 80, вып. 1, стр. 34-41.
20. Герасимов Н.А., Сухомлинов B.C., «Сверхзвуковые течения с малыми возмущениями при наличии внешних воздействий на поток. Часть 2 «Тонкий профиль»», ЖТФ, 2010, т. 80, вып. 6, стр. 25-31.
21. GolyatinV.Y, Kuchinsky V.V., Sukhomlinov V.S., «Mechanism of low-temperature plasma effect on aerodynamic flow», AIAA Paper 2005 -403 (2005).
22. H.A. Герасимов, B.B. Кучинский, B.C. Сухомлинов, C.B. Сухомлинов, «Распространение ударных волн в среде с Рэлеевским механизмом энерговыделения», ЖТФ, 2007г., т.77, вып. 7, стр. 11-19.
18
23. Иванов В. А., Сухомлинов B.C., «Способ управления аэродинамическим обтеканием летательного аппарата и генератор плазмы», Патент Российской Федерации №2004115373, приоритет от 17.05.2004.
24. A.L. Kuranov, V.V. Kuchinsky, V.S. Sukhomlinov, V.Yu. Sepman and Yu.A. Tolmachev, «Influence of Dispersive Properties of Plasma on Acoustic Wave Propagation», AIAA-99-3536, 30th Plasmadynamics and Lasers Conference Norfolk, VA, 1999.
25. V.Yu. Kolosov, V.S. Sukhomlinov, V.Yu. Sepman, Y.A. Tolmachev, A.L.Kuranov, V.V.Kuchinsky, V.A.Shaverev, M.V.Otugen, «Acoustic Dispersion Effect on the Propagation of a Shock Wave in a Glow Discharge Plasma», 9th International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference Norfolk, VA 1999, AIAA Paper no. 99-4882.
26. A.L. Kuranov, V.V. Kuchinskyi, V.S. Sukhomlinov, V.Yu.Sepman, «The main features of distribution of shockwaves in nonunifonn mediums created with the help discharge plasma», Workshop «Perspectives of MHD and Plasma technologies in Aerospace Applications», IVTAN, 2000. P. 25-28.
27. A.L. Kuranov, V.V. Kuchinskyi, Sukhomlinov V.S., V.Yu.Sepman, «Optimization of the Methods of Energy Impact on High Speed Flows», Workshop «Perspectives of MHD and Plasma technologies in Aerospace Applications». Moscow. IVTAN, 1999. P. 137.
28. B.B. Кучинский, Сухомлинов B.C., B.A. Шеверев, M.B. Отаген, «Влияние стационарного энергоподвода в область скачка плотности на формирование и параметры ударной волны при пролете тела в низкотемпературной плазме», Совещание «Перспективы МГД и плазменных технологий в аэрокосмических приложениях». Москва, МВТ РАН, 2000. С. 307-312.
29. В.В. Кучинский, B.C. Сухомлинов, «Оптимизация методов энергетического воздействия на высокоскоростные потоки и
19
распространение ударных волн в слабоионизованном газе», Всероссийская научно-техническая конференция «Фундаментальные исследования для гиперзвуковых технологий». Москва, Жуковский. 1998. С. 379-381.
30. В. А. Иванов, B.C. Сухомлинов, «Генераторы плазмы нового типа», Труды II симпозиума «Термохимические процессы в плазменной аэродинамике», СПБ, 2001. С.74-78.
31. A.L. Kuranov, V.V. Kuchinskyi, V.S. Sukhomlinov, V.Yu. Sepman, Yu.Tolmachev, V.Borzov and A.Yuricv, «Flow About Power Control for the AJAX Project», 2nd Weakly Ionized Gases Workshop, Norfolk, VA., 1998, pp. 379-384.
32. V. Kolosov, Sukhomlinov V., V. Sheverev and M.V. Otugen, «Formation and Propagation of a Weak Shock Wave in a Gas with temperature Gradients», AIAA 9Ul International Space Planes and Hypersonic Systems and Technology Conference, 1-4 November, 1999, Norfolk, VA.
33. V.V. Kuchinsky, Sukhomlinov V.S., V. Sheverev and M.V. Otugen, «Formation and Structure of a Shock Wave Around a Body Under the Condition of Direct Heat Addition», Proc. ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting, may 29-Junel, 2001, New Orleans, LA.
34. Sukhomlinov V., V. Sheverev, G. Raman, М. V. Otugen and V. Stepaniuk, «Acoustic Wave Control Using Glow Discharge Plasma», 1st AIAA Flow Control Conference, 24-26 June, 2002, St. Louis, MO.
35. Иванов B.A., Куранов A.JI., Кучинский B.B., Сухомлинов B.C., «Оптимизация аэродинамического обтекания за счет локального плазменного воздействия и генератор для его реализации. Результаты и перспективы», Международная конференция «Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений, ЦАГИ, 2004г, с. 245-247.
36. Иванов В.А., Сухомлинов B.C., Куранов А.Л., Кучинский В.В., «Оптимизация аэродинамического обтекания за счет локального
20
плазменного воздействия и генератор для его реализации», 43rd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit 10-13 January 2005 Reno, Nevada.
37. Sukhomlinov V., Nicholas DiZinno, V. Sheverev, V. Otugen, G. Vradis, «THE EVOLUTION OF ACOUSTIC WAVES IN A WEAKLY IONIZED GAS», 43rd Aerospace Sciences Meeting and Exhibit 10 - 13 January 2005 Reno, Nevada.
38. В.Ю. Голятин, B.B. Кучинский, B.C. Сухомлинов, «Механизм влияния низкотемпературной плазмы на аэродинамическое обтекание», Международная конференция «Фундаментальные проблемы высокоскоростных течений», Москва, ЦАГИ, 2004г, с.с. 242-244.
39. Н.А. Герасимов, B.C. Сухомлинов, «Сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения при наличии внешних воздействий на поток», ВНКСФ-15, Томск, 2009 г, стр. 603-604.
40. Н.А. Герасимов, B.C. Сухомлинов, «Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля при наличии внешних воздействий на поток», ВНКСФ-15, Томск, 2009 г, стр. 604-606.
21
Глава 1. Обзор литературы.
1.1.Исследования по взаимодействию акустических волн с плазмой газового разряда.
Исследования по распространению акустических волн в газоразрядной плазме и в молекулярных газах можно условно разделить на две группы: 1) изучение влияния специфических свойств упругой среды на параметры акустических волн (см., например, [1 - 3]) и 2) влияние звуковых волн на интегральные и локальные параметры упругой среды (см., например, [4 - 8]). Более подробно мы рассмотрим первую группу. В свою очередь, эта группа может быть условно разделена на следующие подгруппы:
1.1) исследования по распространению звука в плазме инертных газов;
1.2) исследования по распространению звука в термодинамически равновесных и неравновесных молекулярных газах;
1.3) исследования по распространению звука в плазме молекулярных газов; отметим, что эта группа работ весьма немногочисленна;
1.4) исследования по рассеянию акустических волн плазменными образованиями.
Во введении к данной работе было дано определение Рэлеевского механизма энерговыделения. Как следует из определения, этот механизм, по сути, является тепловым. Название Рэлеевский возникло, по-видимому, потому, что в своей работе [9] Рэлей, разбирая дискуссию Паскаля с Ньютоном о скорости звука в газе, подробно остановился на гипотетической ситуации, когда в газе при увеличении плотности происходит дополнительное выделение энергии, и показал, что в этой ситуации звук будет усиливаться.
Остановимся на работах группы 1.1). По-видимому, одними из первых теоретических работ по анализу роли Рэлеевского (в статьях он назван тепловым) механизма в усилении звука в газоразрядной плазме являются [1] и [2, 3]. Здесь авторы рассмотрели ситуацию, когда волновой вектор плоской
22
звуковой волны коллинеарен вектору элекфического поля в плазме. Основной результат (в плане влияния плазмы на звуковую волну), полученный авторами, заключался в том, что в этой ситуации звуковая волна может усиливаться. При этом для математического описания взаимодействия волны с плазмой авторы применяли модель, описывающую временную (а не пространственную) динамику малых однородных возмущений. Как будет видно из дальнейшего, строго говоря, такая постановка задачи не эквивалентна задаче о распространении малых упругих колебаний от источника. Одной из первых экспериментальных работ по данной тематике была [10], в которой измерены зависимости коэффициентов усиления и фазовой скорости звука бегущей волны от тока в плазме Не, Ne, Аг. Дальнейшие измерения коэффициентов усиления звука в самостоятельном газовом разряде проводились в [11, 12]. Результаты аналогичных измерений в молекулярных газах приведены в [13]. Здесь же анализируются причины различия коэффициентов усиления звука в случаях, когда направление волны параллельно и антипараллельно направлению вектора электрического поля в плазме. В работе [13] также развита теория усиления звука в газоразрядной плазме, которая, как констатируют авторы, не описывает приведенные в этой же статье экспериментальные данные для молекулярных газов. Кроме того, при выводе основных соотношений авторы использовали предположение о постоянстве плотности тока в плазме в присутствии волны, что, как показано в [14, 15], выполняется только при коллинеарности волнового вектора и вектора электрического поля в плазме. Общим недостатком цитированных экспериментальных работ, на наш взгляд, является схема эксперимента. Дело в том, что в этих работах звуковая волна при распространении от источника звука (динамика) до микрофона проходила область неоднородности на границе нейтральный газ - плазма. Это, как известно [16] (см. ниже), приводит к отражению волны и, таким образом, к уменьшению коэффициента усиления. При этом ошибка зависит от температуры газа в плазме, которая определяется параметрами плазмы. В работах [17, 18]
23
рассматривалась ситуация, когда амплитуда звуковой волны настолько велика, что при наличии акустической волны происходит контракция разряда в инертных газах. Показано, что это приводит к скачкообразному увеличению коэффициента усиления звука в плазме инертных газов. В работе [17] экспериментально измерен коэффициент усиления-звука в плазме диффузного разряда в азоте при условиях, сходных с условиями работы [13]. Из сравнения данных этих работ следует, что измеренные коэффициенты усиления различаются в 3 - 5 раз в зависимости от условий. В более поздней работе [17] этот факт никак не комментируется.
Рассмотрим исследования по п. 1.2). Исследования по данной тематике проанализированы в обзоре [19]. В работе [20] анализируется распространение акустических волн в термодинамически равновесном молекулярном газе при наличии химических реакций. Выяснено, что в такой среде существует специфическое затухание волны, связанное с учетом медленных релаксационных процессов (передача энергии от поступательных к колебательным степеням свободы). В [21] рассматривается аналогичная ситуация, но в неравновесном молекулярном газе, когда колебательная температура выше поступательной. Показано, что для сильной звуковой волны ее усиление в такой плазме ограничено процессами диссипации энергии в волне, интенсивность которых растет с амплитудой. Следует отметить, что существенное отличие рассмотренной в этих работах ситуации с нейтральным газом от случая плазмы заключается в том, что, во-первых, в пучностях волны всегда увеличивается поток энергии из колебательных степеней свободы в поступательные (в плазме это не всегда так), во-вторых, в случае плазмы в пучностях изменяется закачка энергии в колебания из-за изменения температуры электронов. Этих эффектов нет в нейтральном молекулярном газе. Кроме того, во всех без исключения перечисленных работах решается задача с начальными условиями, а не с граничными (см. гл. 2). Как будет видно из дальнейшего, решения этих двух задач в плазме, по крайней мере, с высоким энерговыделением близки лишь в ограниченной
24
области изменения параметров задачи (частота, плотность тока, давление газа). В [22] рассмотрено распространение акустических волн в термодинамически неравновесном молекулярном газе, но при этом, в отличие от [21], учитывается влияние колебаний параметров газа на свойства самого газа, которое проявляется при высоких коэффициентах усиления. При построении теории авторы пренебрегали колебаниями плотности газа по сравнению с колебаниями температуры. В плазме это не совсем корректно, поскольку именно из-за колебаний плотности нейтралов изменяется параметр E/N (где £, N - величина электрического поля и концентрация нейтралов в плазме соответственно), а значит, и средняя энергия электронов, что оказывает заметное влияние на процесс распространения звуковой волны.
Кратко рассмотрим работы, где экспериментально и теоретически исследовалось рассеяние акустических волн плазменными образованиями. В данном случае речь идет о ситуации, когда звуковая волна генерируется вне плазмы, а затем, распространяясь, рассеивается на пространственно ограниченной безстсночной плазме самостоятельного разряда в молекулярном газе. Исследования по данной тематике проводились, в основном, автором (с соавторами). Теоретически задача о рассеянии плоской звуковой волны, падающей на границу нейтральный газ — плазма под произвольным углом, была решена в работе [16]. Обнаружено, что коэффициент отражения звуковых волн в случае плазмы воздуха при давлениях в десятки Topp может достигать величины, близкой к единице. Экспериментально этот вопрос исследовался в ряде работ [23 - 25]. Эксперименты подтвердили теоретические выводы.
Явление акустической дисперсии оказывает большое влияние на формирование параметров звуковой немонохроматической волны при ее распространении через газоразрядную плазму. На наличие акустической дисперсии плазмы самостоятельного газового разряда указывалось еще в
25
первых работах по данной тематике [1 - 3]. В дальнейшем, этот вопрос исследовался, в частности, в работах [26 - 28].
Кратко рассмотрим работы, где исследуется влияние звуковых волн на параметры плазмы. Этой тематике посвящен, в частности, обзор [29]. В работах [30, 31] экспериментально исследовано влияние акустических волн на электрическое поле в плазме самостоятельного разряда при различных интенсивностях и частотах звуковой волны. Показано, что изменяя эти параметры, можно управлять электрическим полем в плазме. В работе [32] экспериментально изучались процессы, связанные с влиянием звуковой волны на температуру газа в плазме и ее пространственное распределение. Обнаружены значительное снижение температуры газа на оси разрядной трубки под воздействием звуковой волны, а также уменьшение радиального 1радиента температуры газа. В [33, 34] исследовалось влияние интенсивных стоячих акустических волн на концентрацию и температуру электронов в газоразрядной трубке. Экспериментально обнаружено, что при определенных частотах звука возможно уменьшение концентрации электронов и увеличение их температуры на десятки процентов. В работе [30] авторы обнаружили уменьшение радиального градиента распределения электронов в несколько раз под воздействием интенсивной звуковой волны. Исследования [35 - 37] посвящены экспериментальному изучению влияния интенсивной звуковой волны на процесс контракции тлеющего разряда. Обнаружено, что под воздействием волны в зависимости от условий возможны как переход разряда из диффузного в контрагированное состояние, так и обратно. При контракции разряда под воздействием звуковой волны происходит резкое увеличение ее амплитуды.
1.2.Исследования по взаимодействию ударных волн с газоразрядной плазмой.
Исследование влияния низкотемпературной плазмы на параметры ударных волн, распространяющихся в слабоионизованном газе, проводились
26
большим числом авторов [58 - 132]. Интерес к этой теме, в частности, связан с обнаруженным в экспериментах аномальным поведением ударных волн как при пересечении границы нейтральный газ - плазма, так и при дальнейшем распространении.
Имеющуюся совокупность экспериментальных работ по данной тематике можно условно разбить на две группы. Первая группа - это экспериментальные данные о распространении бегущих ударных волн в ударных трубах через плазму газового разряда. Другая группа - это эксперименты на баллистических трассах и эксперименты по обтеканию сверхзвуковым потоком неподвижных тел с искусственной плазмой около поверхности.
Рассмотрим экспериментальные данные, полученные в работах первой группы. В этих экспериментах были зарегистрированы увеличение скорости распространения ударных волн, их ослабление, уширение фронта ударной волны и появление на этом фронте немонотонной структуры.
Большинство экспериментов проводилось по следующей схеме. На части ударной трубы формировалась слабоионизированная плазма газового разряда. Ударная волна генерировалась в нейтральном газе и после прохождения части ударной трубы входила в плазму. Регистрировались скорость ударной волны, температура плазмы, форма ударного слоя и амплитуда ударной волны. Типичная экспериментальная установка приведена на рис. 1.1, взятом из работы [75].
Исследования скорости и амплитуды ударных волн в продольно [79, 62] и поперечно [62, 63] ориентированных тлеющих разрядах показали, что скорость ударных волн в плазме существенно превосходит скорость ударной волны в неионизированном газе, нагретом до температуры плазмы. При этом амплитуда ударной волны в плазме была намного меньше, чем соответствующее значение в нейтральном газе. Наблюдалась слабая зависимость скорости ударной волны в плазме от скорости ее входа в плазму.
27
Для диагностики структуры ударной волны авторы цитированных работ применяли различные методы. Так авторы работы [81] использовали интерференционные измерения для определения распределения плотности нейтралов в окрестности ударного фронта для ряда характеристик разряда.
Е В
При давлениях более 3 Topp и величине параметра — = 6-8------------ (где Е -
Р см Topp
величина электрического поля в плазме, Р - давление газа) ударная волна увеличивала свою ширину в 10 раз и принимала форму двухволнового профиля, составляющие которого авторы назвали предвестником и остаточной волной. Для случаев с разрядом, где давления не превышали 3 Е В
Topp и - = 20-40----------. возникала трехволновая система, в которой к
Г см Topp
предвестнику и остаточной волне добавлялся, так называемый, лидер (см. рис. 1.2).
В работе [73] использовалась микроволновая интерферометрия для измерения профиля электронной концентрации в области распространения ударной волны в слабоионизованной плазме, создаваемой при помощи импульсного разряда. Было показано, что в отсутствии ударной волны распад электронной плотности после выключения импульса согласуется с распадом плотности за счет диссоциативной рекомбинации. Когда ударная волна распространялась через разряд после импульса, характер распада электронной плотности значительно изменялся и сопровождался резким увеличением концентрации электронов в области фронта ударной волны.
В работе [131] было установлено, что распространение ударной волны в плазме с электрическим полем, перпендикулярным к направлению движения ударной волны, сопровождается воздействием на параметры ударной волны за счет усиления ионизации в окрестности фронта ударной волны.
В работах [107, 108] использовались измерения коэффициента
фотопреломления для того, чтобы показать, что скорость распространения предвестника ниже, чем остаточной волны, что приводит к расширению
иссл :î л окна а: балл свер эксп В тр см д труб неск
OKOJ1
вели
нейт
аэро
сопр сопр нахо возд обте с иль удар волн плав отче Заре coup
28
ударного профиля при прохождении через разряд. Было обнаружено, что после того, как ударная волна покидала область разряда, наблюдалось восстановление интенсивности ударной волны.
Измерение параметров ударной волны в распадающейся плазме воздуха проводилось, в частности, в работе [80]. Исследования показали, что аномальные динамические свойства ударной волны сохраняются по времени дольше, чем это предсказывается кинетикой рекомбинации. Авторы работы [80] первыми обратили внимание на это явление, показав, что аномальные динамические качества исчезали приблизительно за 0,02 с.
Один из основных вопросов, которые подлежат- прояснению, - это вопрос о том, являются ли наблюдаемые аномалии следствием некоторых "специфических" плазменных механизмов, или они обусловлены прохождением ударной волной "тепловой ямы”, вызванной разогревом газа в плазме. Попытка получить ответ на этот вопрос была предпринята в работе [116]. В этой работе представлены результаты измерений параметров ударной волны в небольшой ударной трубе с осевым электрическим полем. Показано, что наблюдаемые изменения в характеристиках ударных волн не появляются сразу после образования плазмы, но только по прошествии времени, достаточного для увеличения температуры плазмы. Идея эксперимента [116] состояла в том, что гибель заряженных частиц в слабоионизованной плазме при выключении разряда происходит значительно быстрее, чем релаксация температуры нейтралов. Если изменение параметров ударной волны вызвано только действием теплового механизма, то непосредственно после выключения разряда и распада плазмы сохранившееся тепло приведет к тем же изменениям параметров, которые зафиксированы во время горения разряда. Эти результаты, по мнению авторов, представляют собой доказательство (на уровне точности эксперимента) того, что возникновение градиентной области температуры на границе плазма - нейтральный газ из-за увеличения температуры в плазме является доминирующим фактором в изменении ударных волн для
29
исследуемых условий, когда ударная волна распространяется в направлении электрического поля.
Вторая группа экспериментов по влиянию низкотемпературной плазмы на аэродинамическое обтекание, как уже отмечалось, - это эксперименты на баллистических трассах [88, 66] и эксперименты по обтеканию
сверхзвуковым потоком неподвижных тел с плазмой [89, 113]. Схема экспериментов на баллистических трассах [88, 66] заключается в следующем. В трубе длиной несколько метров на некоторой ее части (длиной от единиц см до нескольких десятков см) создается газовый разряд. Затем вдоль этой трубы выстреливается тело с характерными линейными размерами порядка нескольких см. Регистрируется форма, отход ударной волны, возникающей около тела, и коэффициент лобового сопротивления. По отличиям этих величин для случаев полета тела в холодном нейтральном газе, нагретом нейтральном и ионизованном газе можно судить о влиянии плазмы на аэродинамическое обтекание модели.
Авторы [113] исследовали изменение коэффициента лобового сопротивления при следующих условиях. Тело в форме «усеченный конус, сопряженный с цилиндром» помещалось в сверхзвуковой поток. Внутри тела находилось сопло Лаваля, через которое вперед выбрасывалась струя воздуха, нагретого до температуры значительно выше температуры газа, обтекающего тело. При этом реактивная сила отдачи составляла менее 7% от силы сопротивления. Таким образом осуществлялся энергоподвод в область ударного слоя. При некоторой мощности энергоподвода прямая ударная волна около носка тела исчезала, т. е. изменение плотности было настолько плавным, что не визуализировалось. На рис. 3.27, взятом из работы [113], отчетливо видно размывание, а затем «исчезновение» ударной волны. Зарегистрированное максимальное уменьшение коэффициента лобового сопротивления составило около двух раз.
зо
Основные результаты экспериментальных исследований аэродинамического обтекания в плазме, таким образом, сводятся к следующему:
1. Отход ударной волны при полете тела в слабоионизованном газе значительно (до двух раз) превосходит эту величину при полете тела в нейтральном газе, нагретом до той же температуры.
2. Коэффициент лобового сопротивления для плазмы при трансзвуковых скоростях значимо ниже, чем для газа, нагретого до той же температуры.
3. При энерговкладе в плазму, превышающем некоторое значение, которое растет с увеличением числа Маха летящего тела, или при фиксированном энерговкладе и уменьшении числа Маха, ударная волна диссипирует и уходит вперед от тела на значительное расстояние.
Таким образом, результаты экспериментов на баллистических трассах и опытов со сверхзвуковым обтеканием неподвижной модели свидетельствуют, по утверждению авторов, о наличии "специфических" плазменных эффектов, которые и обуславливают зарегистрированные аномалии параметров ударной волны. Как видно из вышесказанного, это противоречит результатам работы [116]. То есть, в настоящее время нет единого мнения по интерпретации выше описанных экспериментов. Рассмотрим подробнее аргументацию в пользу гипотезы о тепловом влиянии и предположения о наличии "специфических" плазменных эффектов.
Для объяснения эффектов, наблюдаемых в экспериментах на баллистических трассах, авторы [88, 66] предположили, что скорость распространения звука в плазме значительно (на десятки процентов) превосходит эту величину для нейтрального газа, имеющего ту же температуру. При этом авторы не обсуждают физического механизма, обуславливающего такое различие в скоростях распространения звука. Данное предположение, однако, находится в противоречии как с
31
экспериментальными данными [124, 116], так и с теоретическими
результатами [117].
Другая из предложенных гипотез [127] основана на рассмотрении уравнения распространения ударной волны в среде с акустической дисперсией, которой, как известно [116, 117], обладает низкотемперагурная плазма. В работе [127] показано, что дисперсия, характерная для слабоионизованной плазмы, приводит к образованию на заднем фронте ударной волны волнообразной структуры, которая по количественным параметрам (пространственная частота и т.п.) сходна с наблюдаемой в экспериментах [81].
В работе [60] высказана версия, что при полете с большими скоростями тел в плазме должны возникать термоэмиссионные явления, вызывающие появление токов и магнитных полей в плазме вблизи тел. Эти токи связаны с 1радиентами температур нагрева самого тела или газа в ударных волнах в режиме гиперзвукового обтекания. Сравнение оценок нагрева среды при действии описанного механизма с результатами экспериментов указывает на необходимость привлечения более эффективного механизма взаимодействия ударной волны с плазмой.
Альтернативная гипотеза обосновывается другими авторами. Так в работе [91] было показано, что увеличение скорости, ослабление и уширение фронта ударной волны вполне объясняются в рамках распространения ударной волны через продольную (относительно направления движения ударной волны) тепловую неоднородность на границе плазма — нейтральный газ. Для объяснения немонотонной структуры фронта ударной волны в плазме выдвигалась гипотеза о влиянии отраженных от стенок ударной трубы вторичных ударных волн [101]. появляющихся в результате отклонения формы ударного фронта от плоскости из-за радиальной зависимости температуры газа. Это, по данным авторов, может приводить к появлению на регистрируемом сигнале ступенчатой структуры.
32
Одна из гипотез основана на возникновении теплового источника в области ударного слоя при прохождении ударной волны через плазму. Один из возможных механизмов появления теплового источника, инициированного прохождением ударных или акустических волн через плазму, предложен в работах [117, 128]. Согласно гипотезе, повышение плотности в результате сжатия плазмы приводит к росту напряженности электрического поля или к падению плотности тока (в зависимости от ориентации поля в плазме относительно градиента плотности нейтралов), и, как следствие, к изменению выделения тепловой энергии в плазме.
Появление теплового источника (стока) в окрестности фронта ударной волны приводит к заметному изменению ее параметров. Этой проблеме посвящена работа [94], в которой получены, в частности, аналитические выражения для распределения скоростей, давлений и температур, формирующихся в результате воздействия теплового источника.
Таким образом, результаты экспериментальных и теоретических исследований позволяют предположить существование двух потенциально возможных механизмов изменения характеристик ударной волны при ее распространении внутри слабоионизованного газа: а) возникновение
градиентной области температуры на границе плазма - нейтральный газ; б) локальное изменение электрического ноля и плотности тока в окрестности фронта ударной волны, ведущее к локальному изменению энерговыделения в газе. Как показывают результаты цитированных выше работ, по-видимому, оба механизма оказывают влияние на изменение структуры ударной волны.
Обсудим предположение б) более подробно. Согласно этой гипотезе при движении бегущей ударной волны (или тела, движущегося со сверхзвуковой скоростью), например, вдоль электрического поля в плазме, в зоне ударного слоя из-за роста электрического поля возникает источник дополнительного энерговыделения, что может приводить к деформации структуры ударной волны. Известно, что локальное энерговыделение, характеризующее распространение ударных волн в низкотемпературной плазме, оказывает
33
значительное влияние на аэродинамические характеристики обтекаемых тел [88, 661. До сих пор, однако, рассматривались преимущественно случаи подвода тепла вверх по потоку от ударного слоя. Большинство работ по данной тематике носило характер численных расчетов для частных случаев пространственной формы области энерговыделения, что не позволяло авторам провести анализ физических причин изменения структуры потока при локальном энергоподводе. Собственно структура ударной волны достаточно хорошо изучена, однако аналитическое решение для структуры прямого скачка параметров газа с движущимся источником энерговыделения, характерного как раз для распространения ударных волн в плазме, до сих пор неизвестно. Таким образом, первым шагом на пути выяснения физических механизмов влияния плазмы на процесс распространения в ней ударных волн является решение одномерной задачи о структуре ударной волны при наличии локального энергоподвода, рассматриваемого в настоящей работе.
Как уже говорилось, в цитируемых нами экспериментальных работах ударная волна проходила область неоднородности на границе нейтральный газ - плазма. Теоретически задача об одномерном распространении ударной волны в неоднородной среде впервые рассматривалась в работе [105]. Представляя градиентную область последовательностью подобластей с постоянной плотностью, автор получил выражение для числа Маха ударной волны. Позднее, автор работы [125] исследовал автомодельное решение этой задачи для частного случая степенной зависимости плотности газа от координаты. В [132] был предложен приближенный аналитический метод расчета числа Маха при произвольной зависимости плотности ог координаты. Приближенные методы, развитые в этих работах, имеют ряд недостатков. Например, они не учитывают известного факта асимптотического затухания ударной волны. Кроме того, одним из следствий развитого в этих работах подхода является то, что число Маха ударной волны перестает меняться сразу же после выхода ударной волны из зоны
34
неоднородности. В то же время, численные расчеты, проведенные в [103] указывают на то, что число Маха ударной волны продолжительное время после прохождения зоны неоднородности продолжает изменяться. В работе [103] также отмечается, что если неоднородность носит характер области разрежения, то приближенные методы [105, 125, 132] дают большое расхождение с численными расчетами методом характеристик. В работе [91] численно и на основе приближенного метода [132] рассчитывалась скорость ударной волны при прохождении области повышенной газовой температуры в условиях экспериментов, описанных в работе [62]. Было получено качественное согласие расчетных и экспериментальных данных. Большинство описанных выше работ рассматривали квазистационарное распространение уже сформировавшихся ударных волн и не позволяли проводить анализ их формирования из начального возмущения в присутствии тепловых неоднородностей. Используя метод характеристик, авторы [118] проанализировали сжатие волны, запущенной в радиально сокращающемся газе, и установили время и место формирования ударной волны из начального возмущения. Трудность заключается в том, что во всех известных экспериментах всегда присутствовали температурные градиенты, поэтому наблюдаемые эффекты могут быть отнесены как к "плазменному”, так и к "тепловому" механизму. В настоящей работе осуществляется попытка аналитически оценить степень влияния продольных градиентов температуры на изменение ударной волны, наблюдаемое в экспериментах.
Подытоживая данную часть обзора, отметим, что аномальные эффекты, наблюдаемые в экспериментах, как на баллистических трассах, так и в аэродинамических трубах достаточно хорошо изучены. Тем не менее, до сих пор отсутствует единый взгляд на механизмы, вызывающие такие изменения, и на перспективы их практического применения. Так, в настоящее время не ясно, является ли это следствием чисто теплового воздействия, или все же имеет место специфическое влияние собственно плазмы на характер течения.
35
Одной из первых попыток аналитического исследования влияния плазмы на формирование слабых ударных волн стала работа [134]. В ней в рамках одномерного приближения решалась задача о структуре ударного слоя при наличии в нем внешнего источника энергоподвода произвольной мощности и пространственной конфигу рации. Показано, что наличие такого источника позволяет объяснить все аномалии в поведении ударных воли и предсказывает новую, особенность: диссипацию ударной волны при
мощности энергоподвода выше некоторого критического значения, зависящего от плотности набегающего потока и его числа Маха.
Целью данной диссертационной работы, в частности, является проведение аналитического исследования проблемы взаимодействия ударной волны с областями внешнего энергоподвода и влияния самостоятельного газового разряда на распространение ударных волн умеренной интенсивности.
Следующим этапом аналитических исследований, очевидно, должен стать учет зависимости мощности энергоподвода в ударном слое не от координаты, а от плотности газа в соответствии с моделью, предложенной в работах [118, 128, 94]. Именно такая задача и рассматривается в гл. 3 данной работы.
1.3.Исследования по динамике вихрей в плазме.
Рассмотрим теперь работы по исследованию вихревых движений газа в плазме. Практическая ценность подобных исследований заключена в идее управления газовым потоком с помощью внешних воздействий: внешней силы и энергоподвода в поток. Сама идея не нова [135], но, в связи с развитием проектов сверхзвуковой авиации [136, 137] и значительным усовершенствованием устройств для создания и поддержания плазменных образований и воздействия на них [138], она по-прежнему является актуальной. Круг решаемых задач делится на две большие области:
36
- управление течениями в каналах двигателей;
- управление течениями у поверхности летательных аппаратов.
Основное внимание исследователей в обоих случаях сосредоточено на влиянии плазменных областей и внешних полей на:
- отрыв пограничного слоя от обтекаемой поверхности;
- динамику вихревой области в течении и развитие турбулентности.
Как известно [45], отрыв погранслоя определяется распределением
давления в нем, а образовавшееся отрывное течение всегда вихревое. Таким образом, первую задачу можно считать частью остальных.
Исследованию вихревых движений в плазме посвящено большое количество работ [140 - 158]. Первоначально задача ставилась
применительно к удержанию высокотемпературной плазмы в сильном магнитном поле [140, 141]. Исследовались вихревые течения, возникающие у полюсов магнитной ловушки. Были сформулированы постановка задачи, основные уравнения движения плазмы и уравнения полей, введены основные безразмерные параметры, характеризующие влияние внешних полей на движение плазмы (магнитное число Рейнольдса, число Гартмана и др.). Вместе с этим активно исследовались течения потока ионизованного газа в магнитном поле и возникающие при этом турбулентные течения [142 - 146]. При изучении течений плазмы в одних работах магнитное число Рейнольдса Я„ полагалось много больше единицы (такие условия реализуются в атмосфере многих космических объектов [142, 143]), в других - основное внимание уделялось движению заряженных частиц и отличию свойств плазмы с гидродинамическими течениями от покоящейся плазмы [144 - 146]. В работе [147] исследовалась временная динамика завихренности в проводящей среде при наличии постоянного магнитного ноля и малых магнитных числах Рейнольдса. Обнаружено, что если вектор магнитной индукции ортогонален вектору завихренности, то последняя монотонно падает со временем.
37
Одним из важных направлений в данной области является исследование влияния продольного магнитного поля на развитие турбулентности. 'Георетическое моделирование этого эффекта до сих пор до конца не изучено [148]. Наиболее сложные - переходные (от ламинарного к турбулентному) режимы течения в первых теоретических и численных исследованиях, как правило, не рассматривались. В работе [149], с привлечением уравнения турбулентной вязкости, впервые осуществлено численное моделирование развитого течения в каналах в осевом магнитном поле во всем диапазоне чисел Рейнольдса. Была предложена нелинейная математическая модель развития возмущений в круглых каналах, которая в зависимости от начальной интенсивности возмущения «переводит» течение либо в ламинарный, либо в турбулентный режим.
Большинство современных работ по динамике вихревой области в плазме - это совместное численное решение системы уравнений Навье-Стокса и уравнений для полей и токов в плазме на основе различных систем безразмерных параметров с применением разных численных схем решения. Гак, в работе [150] исследованы возможные конфигурации линий тока для плазмы, находящейся в сильном магнитном поле, перпендикулярном плоскости вращения плазмы, в двухжидкостном приближении. Показана возможность существования стационарных конфигураций на основе элементарных ячеек, состоящих из 3 или 6 вихрей. Работы [151, 152] посвящены исследованию динамики и устойчивости вихревых возмущений в стационарных и нестационарных внешних условиях. Предсказываются аномалии в поведении линий тока и интенсивности вихрей, однако, получающиеся соотношения включают в себя столь большое количество параметров, что нет возможности проследить физические механизмы, оказывающие основное влияние на поведение вихрей в плазме.
Важным разделом в исследованиях течения ионизованного газа в каналах является случай тракта реактивного двигателя. В этом случае плазма равновесна по концентрациям заряженных частиц, но может быть
38
неравновесна по внутренним колебательно-вращательным свободам (если газ молекулярный). В трактах двигателей течение стараются сделать турбулентным для интенсификации смешения топлива и равномерности горения. При обтекании выступающих деталей внутри канала двигателя образуются вихревые дорожки Кармана. Исследованию динамики этих структур также уделяется большое внимание. Так, в работах [153, 154] на основе модели неравновесной среды как среды, в которой может происходить выделение тепла в зависимости от плотности и температуры газа, численно решены уравнения динамики вихревой дорожки Кармана при обтекании цилиндра в двумерном приближении. Показана деформация вихрей: ослабление в центре из-за выделения тепла и усиление на периферии из-за выноса массы и тепла из центра.
В приложениях к обтеканию тел динамика BifxpeBoft области также является весьма важной задачей. Основной идеей улучшения маневренности современных истребителей при больших углах атаки является генерация вихрей на передних кромках дельтаобразных крыльев или на специальных крыльях-спутниках перед основным крылом. Основные явления и сложности, связанные с реализацией этой идеи, отражены в работах [156 -158].
Главной проблемой современных исследований по динамике вихрей в плазме является их ориентированность на численные методы решения полной системы уравнений газовой динамики и уравнений, описывающих состояния плазмы и полей. Единственным механизмом учета относительного влияния различных процессов, происходящих в плазме, является введение безразмерных параметров вроде магнитного числа Рейнольдса. На основе анализа значений величин этих параметров делаются выводы, упрощающие уравнения, но не позволяющие в полной мере проследить влияние различных физических механизмов на рассматриваемое явление. Кроме того, численные решения должны быть проверены на устойчивость относительно малых возмущений условий задачи. Такая проверка проводится далеко не всегда, а
39
без нее делать выводы о причинах полученных особенностей динамики некорректно. Лишь небольшое число работ (например, [153 - 155]) используют модели плазмы как гидродинамической среды с особыми, но относительно простыми свойствами, оказывающими основное влияние на динамику вихрей в плазме. Развитие именно таких физических моделей и получение на их основе аналитических решений является приоритетной задачей современных исследований в области газодинамики плазмы.
1.4. Исследования по оптимизации аэродинамического обтекания с помощью внешних воздействий на поток
Конечной целью использования внешних воздействий на поток является усовершенствование летательных аппаратов и улучшение их характеристик:
- уменьшение лобового сопротивления;
- увеличение подъемной силы крыльев;
- уменьшение уровня звукового давления у поверхности земли от летательного аппарата;
- улучшение маневренности и управляемости.
Все эти характеристики напрямую зависят от распределения давления у поверхности летательного аппарата. Имеющиеся экспериментальные работы по управлению потоком с помощью плазменных образований предсказывают возможности значительного улучшения параметров обтекания.
Еще в 1968 году VelkofF и Ketchman опубликовали результаты эксперимента о влиянии коронного разряда в атмосферном давлении на плоскую пластинку, установленную под нулевым углом атаки к набегающему потоку [158]. Скорость потока была 60 м/с, приложенное напряжение между анодом и катодом - 9 кВ постоянного напряжения и 2 кВ переменного, протекающий ток в цепи - 1 мА. Было зарегистрировано смещение точки отрыва потока вниз по течению на 7 см. Дальнейшее развитие данного направления проходило, прежде всего, применительно к
40
дозвуковым скоростям, т.к. на больших скоростях существенной проблемой было поддержание самостоятельного разряда в быстром потоке газа [159]. В работе [160] изучалось обтекание модели профиля крыла под закритическим для него углом атаки 12° при скорости потока 2,85 м/с (число Рейнольдса при этом было около 104). При помощи барьерного разряда на обеих плоскостях профиля авторы добились безотрывного обтекания профиля под этим углом (без разряда критический угол атаки составлял 4°). Авторы объяснили это ускоряющим влиянием электрического ветра от барьерного разряда по скорости сравнимым со скоростью самого потока.
В работе [161] проводилось сравнение двух методов контроля за отрывом течения от профиля при больших углах атаки: пассивного метода генерации вихрей механическими препятствиями и активного метода создания барьерного разряда на поверхности профиля. Исследования проводились на модельном профиле при скоростях от 10 до 20 м/с (число Рейнольдса 8 - 10 х 104). Было показано полное преимущество плазменного механизма контроля, дававшего увеличение критического угла атаки на 8° большее, чем пассивный метод, а увеличение аэродинамического качества - в 4 раза. Так же было показано, что наиболее выгодное положение области плазмы - передняя кромка крыла. Это обстоятельство стало причиной разногласия в трактовке физического механизма эффекта: с одной стороны, он мог быть вызван все тем же электрическим ветром у поверхности, а с другой - переходом от ламинарного к турбулентному пограничному слою с усилением турбулентных пульсаций скорости, что, как известно, предотвращает отрыв потока.
Позднее теми же авторами была проведена серия экспериментов, результаты которой опубликованы в работах [162 - 165]. Исследовался модельный профиль при скоростях 20-30 м/с (число Рейнольдса порядка 3 х 105). Были проведены более точные измерения аэродинамического качества на весах и усовершенствованы устройства генерации плазмы. Было показано преимущество нестационарного разряда и обнаружено значительное влияние
41
колебаний крыла. Увеличение угла атаки для стационарного разряда при этих скоростях составило 4° для вложенной в разряд мощности 20 Вт. Для нестационарного разряда увеличение угла атаки составило 9° при вложенной интегральной мощности 2 Вт.
Ясность в вопросе о физическом механизме присоединения потока для углов атаки выше критического внесла работа [166]. В ней авторами исследовался отрыв потока от модельного профиля при скоростях 110 м/с и углах атаки до 20° при конфигурации электродов, создававшей электрический ветер в перпендикулярном к плоскости крыла направлении. Было показано, что при направлении ветра вдоль плоскости крыла наблюдаются все те же эффекты, что и в работах [161 - 165]. Т.о. основной гипотезой влияния барьерного разряда на обтекающий поток является ускорение потока в разряде за счет электрического ветра.
Эксперименты по влиянию плазмы на обтекание тел сверхзвуковым потоком газа в основном проводятся для условий, когда плазменные образования находятся в пределах пограничного слоя. Это связано с тем, что ввиду высокой скорости выноса частиц из разряда требуется очень большая мощность для его поддержания. Так, в работе [166] исследовалось уменьшение поверхностного трения плоской пластинки размерами 10 х 5 см при скоростях 300-320 м/с и статическом давлении 500 Topp за счет создания на ее поверхности тлеющего разряда. Было зарегистрировано уменьшение силы сопротивления на 25% при вложенной мощности 15 кВт. Температура в разряде при этом по оценкам достигала 1500 К. В работе [167] исследовалась возможность генерации плазмы СВЧ разрядом у поверхности. Была получена плазма длиной 15 см и сечением 1 х 2 см при числе Маха набегающего потока 2. Для этого вкладывалась импульсная мощность от 35 до 175 кВт, оценочная температура газа при этом составляла от 500 до 1700 К. Нагрев газа осуществлялся за счет возбуждения колебательных уровней азота.
Все экспериментальные работы, проводимые в данной области, имеют принципиальный недостаток: они исходят из теории гидродинамического
42
подобия и исследуют влияние плазмы на модели профилей при модельных же скоростях набегающего потока таких, чтобы число Рейнольдса эксперимента было приближено к числу Рейнольдса для реальных летательных аппаратов. Но это не корректно, поскольку гидродинамическое подобие не учитывает процессов в плазме. Аналитического решения общей постановки задачи об обтекании тел сверхзвуковым потоком при наличии внешних энергетического и силового воздействий, насколько известно автору, не проводилось. В одном из приложений к данной работе дается пример аналитического решения сложных оптимизационных задач плазменной аэродинамики.
Подытоживая данный обзор, еще раз отметим острый недостаток аналитических исследований при общих постановках задач о влиянии плазмы на такие явления как:
влияние плазмы самостоятельного газового разряда на распространение акустических волн;
- динамика вихревых областей;
- формирование ударных волн;
- оптимизация распределения давления у поверхности обтекаемых тел за счет плазменного и МГД-воздействия.
Как уже отмечалось, целью данной диссертационной работы и является решение этих задач.
рис. 1.1. Схема экспериментальной установки из работы [75]. 1 - ударная труба; 2 - генератор ударной волны; 3 -формирующая секция; 4 - рабочая секция; 5 - гасящий бак; 6 - кольцевые электроды; 7,8 - пьезодатчики; 9 - блок питания; 10 - электронный ключ.
Рис. 3. Временная развертка профиля плотности в У В в холодной плазме нестационарного тлеюшего разряда в воздухе (сплошная кривая). Р=3 Тор, ) =30 мА/см^, Е/В=20-40 в/см-Тор, = =400 мкс, скорость УВ (/'=1.4 км/с, скорость предвестника сГП" = 1,56 км/с, АС-лидер, АВ-пред вестник, ВЙ -остаточная УВ. Гг; тиром показано изменение плотности в УВ в воздухе без разряда
*
рис. 1.2. Пример трехволнового профиля плотности ударной волны взятый из работы [81).
45
Глава 2.Взаимодействие акустических волн с газоразрядной плазмой и средами с Рэлеевским механизмом энерговыделения.
2.1. Веден не и постановка задачи.
При изучении явления взаимодействия звуковых волн (генерируемых вне плазмы) с плазмой необходимо исследовать процесс распространения этих волн в области границы плазма - нейтральный газ. Поскольку в рассматриваемых условиях температура газа в области плазмы может достигать нескольких тысяч градусов К , то указанная граничная область является областью существенной неоднородности газа, что отражается на характеристиках звуковой волны. Ситуация осложняется тем, что геометрические размеры неоднородной области в условиях существования газоразрядной плазмы и длина звуковой волны на верхнем диапазоне интересующих нас частот звука оказываются сравнимыми. Так, исследования других авторов [38] и наши оценки показывают, что при давлениях в десятки Тор и плотностях тока в десятки мА/см2 протяженность неоднородной области на границе плазма-нейтральный газ в воздухе составляет величину порядка нескольких сантиметров. Это по порядку величины совпадает с длиной звуковой волны, которая, например, при частоте у0 -10 кГц составляет Я^ «3,4см.
Необходимо отметить, что в литературе детально изучены два крайних случая соотношения размеров неоднородности А„ и длины звуковой волны. Первый из них - дн « Яу соответствует известному приближению слоистой среды и детально изучен в [9]. Обратное соотношение Д„ »Д, описывает случай, так называемой, слабой неоднородности. Как мы увидим далее, в этом случае коэффициент отражения звуковых волн пренебрежимо мал. Нам не удалось найти работ, где бы последовательно решалась задача распространения акустической волны в неоднородном газе при произвольном соотношении Дп и Яу. Отдельные аспекты этой задачи были
46
разобраны в [39]. В связи с вышесказанным, мы начнем решение поставленной задачи с вывода системы уравнений распространения упругих волн в неоднородном газе при произвольном виде неоднородности. Здесь и далее при проведении конкретных расчетов мы будем пользоваться результатами работы [41], где развита теория для расчета пространственного распределения температуры нейтралов в газоразрядной плазме воздуха без диэлектрических стенок.
Поскольку, как указывалось выше, известно, что основное влияние на параметры звуковой волны в плазме имеет Рэлеевский механизм, то мы рассмотрим плазму именно с этой точки зрения. Особые трудности (см. гл. 1) представляет интерпретация экспериментов по распространению звуковых волн в плазме молекулярных газов и, в частности, в воздухе. В данной главе последовательно будет построена аналитическая теория Рэлесвского механизма энерговыделения в молекулярных газах. На последнем этапе будет решена полная задача о взаимодействии акустических волн с пространственно ограниченной плазмой самостоятельного газового разряда.
2.2.Распространение акустических волн в неоднородном газе.
2.2.1.Плоская волна при нормальном падении.
2.2.1.1.Альтернативный вывод одномерного уравнения распространения акустических волн в неоднородном газе.
Уравнение распространения акустических волн, как известно, записывается в виде:
д2и 2/ .д2;/
а^=а°(х)а?
Однако, поскольку сильные акустические волны представляют собой слабые ударные, то мы приведем альтернативный изложенному в работе [41] метод вывода этого линейного уравнения. Подход, развитый в при этом,
47
понадобится нам в следующей гл. 3. Для этого сначала будем оставлять в уравнениях нелинейные члены и лишь на последнем этапе при сведении полученной системы к одному уравнению пренебрежем этими нелинейными членами.
Для решения поставленной задачи используем систему уравнений Эйлера. Это возможно, поскольку, как показывают оценки, на длине волны акустических колебаний за время периода диссипация энергии из-за вязкости и теплопроводности пренебрежимо мала [9].
|£+Лу(р//) = 0
— + (мУ)м +—£гас1Р = О бг р
— = 0 — = — + и —
(П ’ сії 61 6г
= ■: д ~.д г д
Уи1&+У*+ &
Г-ІХ + ]у Л-ІІ2
(2.1)
Здесь ■ соответственно гшотность, массовая скорость, давление и
энтропия газа; ^уУхуг - время и проекции радиуса-вектора г рассматриваемой точки на оси декартовой системы координат. В одномерном случае можно в качестве оси координат выбрать ось X, направленную вдоль вектора массовой скорости и.
В системе уравнений (2.1) любые функции, определяющие состояние газа (плотность, температура, массовая скорость и т.д.), могут быть выражены через какую-нибудь одну, в качестве которой мы выберем массовую скоросгь. Для вывода уравнения распространения нам понадобится доказательство следующих соотношений, которые выполняются, в том числе, и для однородного газа [39]:
48
Ф =
ди а
да-±У~'
ди 2
(2.2)
где верхний и нижний знаки соответствуют волнам, бегущим вправо и влево, соответственно; у- показатель политропы, а- скорость распространения возмущения по потоку в системе координат, связанной с потоком.
При доказательстве соотношений (2.2) в однородном газе используется тот факт, что р = р(и) и а - а(и), т.е. в явном виде параметры течения зависят только от массовой скорости. В нашем случае неоднородной среды эго не так и р = р(и,х,/);а = а(п, х,/). Поэтому, доказательство соотношений (2.2) мы будем строить более общим методом, который применим, в частности, и в случае однородного газа. В соответствии с вышесказанным, первое уравнение системы (2.1) запишется в виде:
М„,х,0 +иМ!!^Л+р(и^)Мьй - о, (2.3)
сх дх
В дальнейшем для краткости будем опускать аргументы функций. Для сложной функции выполняются соотношения:
на,ни <2-->
наш- (2-5>
Нижний индекс у производных обозначает переменную, которая считается постоянной при дифференцировании. Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.3) и, используя, что
получим:
м
= 0.
(2-6)
Рассмотрим теперь уравнение сохранения импульса - второе уравнение системы (2.1). Из соотношений, справедливых, в том числе, и для неоднородного газа [41]:
а2 = уКГ\Р = рКГ, где Т - температура газа, Я- универсальная газовая постоянная, следует:
(2.7)
др да
— = а2-&- + 2ар&-
дх у у
(2.8)
(2.9)
Используя (2.5) и (2.9), соотношение (2.8) запишем в виде:
др ди ди дх
да ди +
и
(2.10)
У
У
При этом введены обозначения:
50
др ( дрЛ _ ( ,да ( ооЛ _ f ЭоЛ| du Iot/Jx \dii)t'uu [dwj,
Подставляя (2.10) во второе уравнение системы (2.1), ползаем:
ди
~dt
и+а
др
дн
ур
да4
+ 2 а^-У
+ 2а
= 0.
(2.11)
Уравнения (2.11) и (2.6) - дифференциальные уравнения в частных производных относительно функции м(х,0- Поскольку решение любой физической задачи единственно, то дифференциальные операторы этих уравнений должны совпадать. Огсюда получаем:
Теперь рассмотрим уравнение сохранения энергии. Поскольку внешнее тепловыделение отсутствует, то уравнение запишется в виде: dS = 0
Р
(энтропия постоянна на траектории частицы), где S = CKln—+const. С
РУ
использованием соотношения (2.7) уравнение для энтропии преобразуется к виду:
да да
— + и —
дг_____с*
а
= (у-1)
др др — + и —
-пЖ дх_
2 р
(2.13)
51
Поступая совершенно аналогично предыдущему (т.е. используя (2.5) и (2.9)), уравнение (2.13) преобразуем к виду:
Данное уравнение также можно рассматривать как дифференциальное относительно функции //(.V,/), поскольку входящие в него функции зависят от переменных иух и /. Рассмотрение дифференциального оператора уравнения (2.14) приводит к выводу, что не существует соотношения между входящими в него функциями, при котором (2.14) было бы совместно с (2.11) и (2.16). Таким образом, единственная возможность - это тождественное равенство 1гулю первого произведения в левой части (2.14). Отсюда получаем:
да др
^-=(/-1)^ (2.15)
а 2 р
(да) (да) (др)
К&)и \дх
(др
+ //
(Яг Л \дх.
=(г-О
а 2 р
Используя первое из соотношений (2.15) и первое из соотношений (2.12), для
др
величины — получим уравнение, которое имеет два корня:
ди
— = ±— - первое из соотношений (2.2). Из первого уравнения (2.15)
ди а
получаем второе из соотношений (2.2).
Таким образом, доказано, что соотношения (2.2) выполняются и для неоднородного газа с произвольной неоднородностью при условии отсутствия внешних источников тепла. Отметим, что из второго соотношения (2.2) следует, что:
52
а = Ф(х,0±-р-и,
(2.16)
где для Ф(х, 0 справедливо:
дкФ
гз0, к = 0,1,2, , то есть эта функция в явном виде не зависит от и.
ди
Использование третьего из уравнений системы (2.1), определения энтропии и соотношения (7) приводит к следующему соотношению:
Г-1
(2.16а)
где /'(*,/) - некоторая функция, которая удовлетворяет уравнению
дР дР л — + и— = 0 & дх
(2.17)
и соотношению:
дкР
— 0,1,2 т.с. также в явном виде не зависит от массовой скорости и.
ди
Исходная сисгема уравнений Эйлера (2.1) в одномерном случае для функций м(х,/),Ф(х,/)и Р(х, г) запишется в следующем виде (при этом мы воспользовались (2.16), (2.17) и (2.2)):
си . ди 2 (дФ дФ
— ±(а±и)— = Т {-------------------+ и-}
61 6х у-\ с* дх
дФ дФ дФ а2 ^дР
— ли — = ±а— + —Ь — а дх дх у дх
дР дР _
— 4и— = 0 С1 дх
(2.18)
где верхние знаки соответствуют волне, бегущей вправо, нижние - влево.
53
Теперь можно приступать к выводу уравнения распространения акустических волн в неоднородной среде с произвольным видом неоднородности. Для этого следует линеаризовать систему (2.18) и исключить функции Ф(х,/)И Р(уС,О-
Необходимо пояснить следующее. В невозмущенной среде, т.е. при // = 0, справедливы следующие выражения для функций Ф(х,/)и Е(х,/):
Соотношение для функции Е|и=0 получается с учетом формулы (2.16а) в
предположении постоянства давления в отсутствие возмущения. Поскольку функции Ф(г,0 и Е(х,/) в явном виде не зависят от массовой скорости //, то они являются не функциями от нее, а ее функционалами. По этой причине мы не можем линеаризовать систему (2.18), разлагая эти функции в ряды Тейлора по степеням и. Вместо этого воспользуемся вариационным подходом. Система (3.18) имеет точное частное решение:
Если и * 0, то с учетом того, что, как можно показать, при и —► 0 выполняется: Т7-»а,?(х),Ф->дг0(х) непрерывно на всей оси X, представим функции Ф(х,/)и /7(х, г) в виде:
ф\и,о = *<>(*); Е|и=0=а0г(х) .
(2.19)
7/ = О Ф = <70(Х)
(2.20)
(2.21)
где дФ,5Р' - некоторые функции х, / , для которых выполняется:
54
при шах и(х,/)=>0. Тогда можно получить систему уравнений, линеаризованную относительно малых возмущений п и. Подставляя
(2.21) в (2.18), для волны, бегущей вправо, получили
Путем ^дифференцирования, последовательно исключая из сисгемы уравнений (2.22) функции окончательно имеем:
Из линеаризованной системы для волны, бегущей влево (аналог системы
(2.22)), получается волновое уравнение для м(х,/)> тождественно совпадающее с уравнением (2.23). При оставлении в (2.21) членов следующего порядка малости по вариациям неизвестных функций можно получить уравнение для слабых ударных волн, что и будет сделано позднее.
2.2.1.2.От ражен не акустических волн при распросг ранении в
неоднородной среде.
Рассмотрим вопрос о существовании отраженной волны при условии, что первоначально из х -» -» слева направо распространяется гармоническая
волна с частотой й)0 и длиной волны тате, что если Птя0(х) = Л, то А = ^~,
х->-<я А’о
. 2лг
где к0 = волновое число.
01
(2.22)
(2.23)
Л