Нелинейные магнитоакустические явления в кристаллических и аморфных средах

2
Содержание
Введение........................................................... 6
Глава 1. Магнитоупругое взаимодействие в магнитоупорядоченных средах с непрерывным распределением дефектов.................................. 19
1.1 Кристаллический ферромагнетик .................................. 23
1.1.1 Лагранжиан кристаллическою ферромагнетика................... 23
1.1.2 Уравнения движения........................................ 31
1.1.3 Условия интегрируемости..................................... 35
1.1.4 Магнитоупругие волны в одноосном ферромагнетике
при наличии дислокаций..................................... 40
1.2 Двухподрешеточный антиферромагнетик.............................. 44
1.2.1 Лагранжиан двухподрешеточного ангиферромагнетика...........44
1.2.2 Уравнения движения........................................ 46
1.2.3 Условия интегрируемости................................... 48
1.2.4 Влияние дислокаций на динамику спиновой подсистемы
в ортоферритах............................................. 49
1.3 Пространственно-неупорядоченный ферромагнетик.................... 54
1.3.1 Калибровочно-инвариантный лагранжиан пространственно-
неупорядоченного ферромагнетика..................................54
1.3.2 Уравнения движения и условия интегрируемости.............. 59
1.3.3 Взаимодействие спиновых и упругих волн в неупорядоченном
ферромагнетике с дисклинациями и дислокациями ............. 60
1.4 Заключение к главе 1 ........................................... 67
Глава 2. Нелинейные акустические эффекты в нространствснно-
упорядоченных средах..................................................70
2.1 Эффективный энгармонизм.......................................... 70
2.2 Генерация вторых гармоник........................................ 74
2.2.1 Эффекгивный энгармонизм .................................... 74
2.2.2 Генерация второй акустической гармоники в гадолинии ........ 85
з
2.3 Трехчастотные процессы.......................................... 88
2.3.1 Нелинейные уравнения движения в ортоферрите туллия 88
2.3.2 Генерация монохроматической квазифононной моды..............93
2.3.3 Солитон огибающей квазифононной моды....................... 96
2.4 Заключение к главе 2............................................ 109
Глава 3. Нелинейные магнитоупругие явления в антиферромагнетиках, допускающих существование магнитоэлектрического эффекта............. 111
3.1 Акустика центроантисимметричных антиферромагнетиков в линейном приближении по магнитоупругой связи........................ 116
3.1.1 Антиферромагнетик типа “ легкая ось “ L Tf z .......... 120
3.1.2 Антиферромагнетик типа “легкая плоскость“ L_Lz......... 126
3.1.3 Антиферромагнетик с четной осью 2„(+) ................. 131
3.2 Эффективный энгармонизм в антиферромагнетиках Т(—)4 г (—)2 d (—) 135
3.2.1 Легкая ось ............................................ 137
3.2.2 Легкая плоскость ...................................... 141
3.3 Эффективный энгармонизм в антиферромагнетиках Т(-)4, (+)24 (-) 143
3.3.1 Лег кая ось................................................ 143
3.3.2 Легкая плоскость........................................... 146
3.3 Условия синхронизма............................................. 147
3.4 Вынужденное комбинационное рассеяние звука....................... 153
3.4.1 Структура Т(-)4, (-)2, (-).................................. 154
3.4.2 Структура Т(-)4,(+)2d (-)................................... 163
3.5 Заключение к главе 3............................................ 168
Глава 4. Магнитоакустика пространственно-неупорядоченных
магнетиков..........................................................171
4.1 Геометрия группы вращений SO(3)................................ 173
4.2 Спиновое стекло................................................ 178
4
4.2.1 Лагранжиан................................................ 178
4.2.2 Трехчастотные взаимодействия к±Н ......................... 185
4.2.3 Трехчастотные взаимодействия волн к ft Н ................. 188
4.3 Пространственно-неупорядоченный ферромагнетик.................. 192
4.3.1 Лагранжиан ............................................... 192
4.3.2 Магнитоупругие волны...................................... 197
4.3.3 Взаимодействие продольных спиновых волн
с упругими волнами.............................................. 205
4.3.4 Трехчастотные взаимодействия магнитоупруг их волн 208
4.3.5 Взаимодействие волновых пакетов........................... 223
4.4 Заключение к главе 4................................... 230
Глава 5 Распространение упругих волн в средах, содержащих магнитные
слои................................................................ 235
5.1 Прохождение упругих поперечных волн через ферромагнитный слой,
разделяющий два немагнитных полупространства........................ 237
5.1.1 Граничная задача.......................................... 237
5.1.2 Коэффициенты прохождения и отражения вдали от
магнитоакустического резонанса................................. 244
5.1.3 Коэффициенты прохождения и отражения в области магитоакустического резонанса.................................... 247
5.2 Прохождение упругих линейно поляризованных поперечных волн через антиферромагнитный слой, разделяющий два немагнитных полупространства.................................................. 254
5.2.1 Граничная задача..................................... 254
5.2.2 Прохождение волн в области АФМР...................... 259
5.2.3 Прохождение волн в области спиновой переориентации..... 262
5.3 Заключение к главе 5....................................... 265
Заключение..................................................... 268
5
Рисунки............................................................... 274
Таблицы............................................................... 286
Приложения............................................................ 289
Литература............................................................ 295
6
Введение
Акустика сред, обладающих магнитным порядком, является в настоящее время развитой областью физики твердого тела. Тем не менее, исследования в этой области продолжаются интенсивно и в настоящее время. Связано это с тем, что распространение звука в магнитоупорядоченных системах обладает рядом специфических особенностей [1-4], представляющих как физический интерес, так и имеющих прикладное значение. Впервые на эти особенности было обращено внимание в работах[5-7], в которых предсказано существование магнитоакустического резонанса и связанных магнитоупругих волн в ферро - и антиферромагнетиках. При этом оказалось, что наиболее просто низкочастотные магнитоакустические эффекты описываются в рамках феноменологического макроскопического подхода [3,4,6-9], когда магнетик представляется в виде двух взаимодействующих между собой континуумов, один из которых описывает электронную спиновую подсистему, а другой-решеточные степени свободы. Состояние магнетика в этом случае характеризуется одним (или несколькими в зависимости от количества магнитных подрешеток) магнитным моментом единицы массы и вектором упругого смещения элемента магнитной среды [3,4,8,9]. Существенным является то, что плотность потенциальной энергии магнетика инвариантна относительно вращений тела как целою [3,4,8,9].
Вскоре был обнаружен эффект, получивший название «магнитоупругой щели». В работах [10-12] было установлено, что частота однородной прецессии спинов в ферро- и антиферромагнетиках оказывается больше ее значения, полученного теоретически и определяемою анизотропией и магнитным полем. При этом отличие оказывалось заметным при достаточно малых магнитных полях. Дополнительное слагаемое, введенное в
7
аналитическое выражение для частоты прецессии, для согласования со теоретического и экспериментального значении, и получило указанное выше название. Подробным теоретический анализ этого явления показал [13-16], что магнитоупругая составляющая в резонансной частоте ферро - или антиферромагннтного резонанса вызвана появлением эффективной магнитной анизотропии, связанной со спонтанными стрикционными деформациями Эги деформации обусловлены наличием в системе дальнего магнитного порядка и обладают той особенностью, что не следуют за колебаниями намагниченности. Таким образом, оказалось, что упругая подсистема влияет на динамику спинов не только вблизи частоты магнитоакустического резонанса
Исследование магнитных ориентационных фазовых переходов позволило найти и обратное воздействие электронных спинов на акустические свойства магнитоупорядоченных систем вдали от частоты магнитоакустического резонанса Это воздействие проявляется в размягчении одной из квазиакустических мод связанных магнитоупругих колебаний в точке ориентационного перехода [14,15]. Эффект «магнитоупругой щели», а также размягчение квазиакустической моды является следствием спонтанного нарушения симметрии, имеющего место в системах с дальним магнитным порядком. Дело в том, что релятивистские взаимодсйсгвии исключают из операций симметрии гамильтониана магнетика повороты спипов на один и тот же угол 116]. Эго приводит к появлению энергетических щелей в магнонподобных возбуждениях, тогда как унругоподобные моды магнитоупругих колебаний остаются голдстоуновскими, поскольку именно они восстанавливают теперь нарушенную симметрию и размягчаются при переходе. Однако в этом случае при размягчении изменяется закон дисперсии квазифононной моды с линейного на квадратичный при к-*0.
8
В настоящее время эти явления, обусловленные линейной
магнитоуиругой связью, находят практическое применение, например, в генераторах гиперзвука [3,4,17 ), магнитоакустических линиях задержки [17], магнитоакустических преобразователях [4,17]
Открытие магнетиков с аномально высокими коне 1 антам и
магнитоупругой связи [18 ], а также создание экспериментальных методик для возбуждения спиновых и упругих воли большой мощности сделало возможным исследование новых эффектов, в которых влияние электронных спинов на упругую подсистему простирается и на область нелинейных явлений. Действительно, в немагнитных упругих средах решетку можно рассматривать слабо нелинейной [19,20]. В средах же с магнитным порядком наряду с обычным упругим энгармонизмом имеет место дополнительный эффективный энгармонизм, вносимый в упругую подсистему сильно нелинейной системой спинов и нелинейным 110 своей природе магнитоупругим взаимодействием [21]. Этот дополнительный энгармонизм может быть гигантским и на несколько порядков превосходить обычный упругий энгармонизм [21].
В ферромагнетиках эффективный энгармонизм проявляется на частотах, близких к частоте магнитоакустического резонанса [22,23]. В антиферромагнетиках эта нелинейность становится существенной вблизи ориентационных фазовых переходов, или же в случае, когда одна из квазнферромод размягчается вследствие легкоплоскостного характера анизотропии [21]. При этом в антиферромагнегиках влияние спиновой подсистемы на упругие свойства среды проявляется существенно и на частотах, значительно меньших частот магнитоакустического резонанса (нижней частоты АФМР, если нет пересечения ветвей спиновых и упругих волн).
9
Отметим, что в некоторых ферромагнетиках, к которым относится, например, гадолиний, также имеют место ориентационные переходы. Естественно встает вопрос о величине эффективного энгармонизма при спиновой переориентации в таких ферромагнетиках на частотах, значительно меньших частоты магнитоакустического резонанса. Ответ на пот вопрос представляет интерес, поскольку в экспериментальной работе [24] найдены аномалии в поведении нелинейного акустического параметра в гадолинии в области спиновой переориентации
В пределах применимости ангармонических разложений удастся объяснить многие нелинейные акустические эффекты, наблюдавшиеся экспериментально как в ферро-, гак и в антиферромагнетиках В частности, теоретически удается проанатнзнровать генерацию вторых акустических гармоник [21], а также описать нелинейные трехчастотные взаимодействия при распространении монохроматических волн [22,23). Монохроматичность волн является существенной для получения точных решений уравнений, описывающих их нелинейные взаимодействия [25,26|. Однако экспериментально чаще реализуется другая ситуация, а именно: взаимодействуют между собой не монохроматические, а квазимонохроматические волны (волновые пакеты)- Нахождение точных решений уравнений, характеризующих нелинейные взаимодействия волновых пакетов, также представляет интерес. Эти решения мшуг указать, например, те процессы, в которых происходит возбуждение солитонов огибающих магнитоупругих волн
Большая часть исследований, о которых говорилось выше, проводилась в предположении, что магнетики имеют идеальную кристаллическую решетку. Между тем реальная решетка, как известно, содержит линейные и точечные дефекты. Если дефектов мало и их можно считать одиночными не связанными друг с другом, то традиционный макроскопический подход к
10
описанию магнитоупругих явлений продолжает работать [27]. Однако, если линейных дефектов много и можно ввести их непрерывное распределение, то феноменологическая теория магнитоупругих взаимодействий требует обобщения. Суть этого обобщения состоит в следующем. Структура дифференцируемого многообразия, описывающего сплошную среду без учета магнитной подсистемы, позволяет внутренним состояниям твердого тела с линейными дефектами сопоставить внутреннюю геометрию, отличную от евклидовой. В связи с этим возникает возможность связать плотность дислокаций и дисклинацнй в среде с геометрическими характеристиками многообразия [28-30] кручением и кривизной. Установление же взаимно однозначного соответствия между кинематическими уравнениями динамики дефектов и структурными уравнениями Картана, описывающими внутретною геометрию среды, отождествляет связность на многообразии с ковариантной производной отображения из начального бездефектного в конечное состояние твердого тела, содержащего дефекты [30] 13 этом случае энергия системы оказывается инвариантной относительно локальных вращений и трансляций точек среды. В такой ситуации при включении в рассмотрение и магнитной подсистемы энергия системы должна быть уже инвариантной относительно совместных локальных вращений и трансляций намагниченности и точек среды, то есть макроскопическая теория магнитоупругих взаимодействий в средах с непрерывным распределением дефектов в решетке становится калибровочной. В рамках этого подхода, как будет ниже показано, дефекты могут приводить к изменению закона дисперсии магнитоупругих воли. Кроме того, возможно, появление дополнительных ветвей колебаний.
Традиционно считается, что на магнитоакустические свойства магнитоупорядоченных сред оказывает влияние лишь внешнее магнитное поле, тогда как внешнее электрическое поле таким свойством не обладает.
II
Однако в антиферромаптетиках, допускающих существование магнитоэлектрического эффекта, и электрическое поле может заметно влиять на акустику, как это показано, например, в работе [31), поскольку в этих системах скорость звука зависит не только от магнитного, но и от электрического поля. Перспективными объектами для исследования такого рода зависимостей оказываются центроантисимметричные тетрагональные антиферромагнетики. В частности, как показано ниже, наличие магнитоэлектрического эффекта может сказываться не только на линейных, но и на нелинейных акустических свойствах этих антиферромагнетиков.
В настоящее время большое внимание уделяется изучению пространственно-неупорядоченных магнетиков, в которых магнитные атомы распределены хаотически, но в среднем однородно и изотропно. К ним относятся, например, системы с малой концентрацией магнитных атомов в немагнитной матрице - спиновые стекла, а также неупорядоченные ферромагнетики - аморфные среды, содержащие магнитные атомы [32,331. Основное внимание в этих исследованиях уделяется выяснению природы магнитного состояния и магнитных свойств этих сред, в частности спиновых волн.
Феноменологическая теория спиновых волн в пространственно-неупорядоченных магнетиках построена в работах [32-36,43] при существенном предположении, что обменные взаимодействия в них значительно превышают по величине релятивистские. В этих работах принято во внимание, что намагниченность не является интегралом движения при распространении спиновых волн, а сами спиновые волны в обменном приближении рассматриваются как голдстоуновские, связанные с явлением спонтанного нарушения симметрии обменных взаимодействий [37-42]. Мри этом теоретическое описание этих волн основано на метоле феноменологических лагранжианов [34,35 ].
12
В известных нам аналитических работах не рассматривались динамические магнитоупругие эффекты и пространственно-неупорядоченных средах при тех условиях, которые упоминались выше. Экспериментальные работы, однако, указывают на го, что в неупорядоченных магнитных средах спиновая и упругая подсистемы связаны между собой, что проявляется, например, в изменении скорости упругих волн вблизи температуры замерзания в спиновых стеклах, а также в целом ряде других явлений [44,45]. Обращает на себя внимание то обстоятельство, что в неупорядоченных магнетиках отсутствует полное магнитное упорядочение. Эю, как ниже показано, приводит к новым магнитоупругим эффектам, отсутствующим в магнитоупорядоченных кристатлах.
Отметим теперь, что в последнее время благодаря развитию технологии все более широкое применение в технике находят многослойные магнитные структуры. Эго обстоятельство потребовало детального изучения явлений, связанных с распространением спиновых, упругих, магнитоупругих волн в многослойных системах. В большинстве работ рассматривается распространение этих волн вдоль слоев Однако представляет интерес и другая ситуация, когда волны распространяются не вдоль, а поперек слоев. Возникающие в этом случае граничные задачи представляют интерес, поскольку, например, упругая волна трансформируется в магнитоупругую при переходе из немагнитного в магнитоупорядоченный слой, и в этой ситуации на ее распространение оказывают влияние не только упругие характеристики соприкасающихся сред, но и их магнитное состояние.
Все сказанное выше определяет актуальность исследования динамических магнитоупругих явлений, предпринятых в данной работе.
Тема диссертации посвящена изучению магнитоакустических явлений в кристаллах с большим числом дефектов, в пространственно-неупорядоченных магнитных средах, а также в многослойных системах.
13
Научная новизна результатов диссертации заключается в том, что:
- в модели сплошной среды найдены связанные уравнения движения для спиновой, упругой подсисгем и линейных дефектов для ферро- и антиферромагнетиков с неидеальной кристаллической решеткой, а также в пространственно-неупорядоченных ферромагнетиках в рамках калибровочной теории;
- показано, что взаимодействие спиновой и упругой подсистемы среды с дефектами приводит к появлению мод, описывающих совместные колебания спинов, упругих смещений и дефектов решетки типа дислокаций, а также к дополнительному вкладу в энергию активации магнонподобных возбуждений,
- найдено, что в пространственно-неупорядоченных ферромагнетиках взаимодействие дисклинаций с магнитной подсистемой приводит к наличию минимума в законе дисперсии спиновых волн при некотором отличном от нуля значении волнового вектора,
- предложен способ возбуждения низкочастотной квазифононной моды в ортоферритах в результате ее нелинейного взаимодействия с квазиферромат ионными модами, при котором возможно формирование динамического солитона огибающей этой волны;
- установлено влияние электрического поля на акустические свойства и частоты антиферромагнитного резонанса тетрагональных
антиферромагнетиков, допускающих существование магнитоэлектрического эффекта;
- показано, что в тотрагональных анти ферромагнетиках с нечетной осью 4Г при некоторых определенных ориентациях внешних электрического и магнитного полей и магнитного состояния акустическое двулучеиреломление, сдвиг частот АФМР, а также появление
14
дополнительных ангармонических модулей целиком обусловлены магиитоэлектрическим эффектом;
найдены нелинейные трехчастотные процессы взаимодействия магнитоупругих волн, в которых некоторые из этих дополнительных ангармонических модулей могут проявляться;
- в модели сплошной среды записаны нелинейные уравнения движения для спиновой и упругой подсистем спиновою стекла и неупорядоченного ферромагнетика с учетом магнитоупругой связи,
- показано, что в спиновом стекле в линейном приближении отсутствует взаимодействие между спиновой и упругой подсистемами, а нелинейные трехчастотные взаимодействия обеспечивают возможность параметрического усиления спиновых воли волной упругой накачки;
установлено наличие двух магнитоакустических резонансов в неупорядоченном ферромагнетике, вызванных взаимодействием поперечных (по отношению к внешнему магнитному полю) спиновых волн как с левой, так и с правой поляризацией, с упругими колебаниями;
- показано, что статические магнитные поля, возникающие в результате релятивистских взаимодействий спинов, приводят к резонансной магнитоупругой связи продольных спиновых и упругих воли, распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля, порождая новый тип волн- продольные магнитоупругие волны, которые можно возбудить за счет их нелинейного взаимодействия с поперечными магнитоупругими волнами;
в неупорядоченных ферромагнетиках изучены трехчастотные взаимодействия продольных упругих волн с поперечными магнитоупругими волнами, распространяющимися перпендикулярно к внешнему магнитному полю, и установлены наиболее эффективные способы возбуждения одной из этих волн двумя другими;
15
проанализировано условие полной перекачки энергии при взаимодействии магнитоупругих волновых пакетов;
- на основе точного решения граничной задачи найдены коэффициенты прохождения и отражения упругих волн, распросграняющихся через магнитоупорядоченный слой, разделяющий два упругих полупространства, найдено, что наиболее сильное изменение этих коэффициентов (в пределах ог О до 1) может происходить для ферромагнитного слоя вблизи магнитоакустического резонанса, а для антиферромагнитного слоя - в области частот АФМР;
- установлено, что вблизи ориентационных фазовых переходов в ортоферритах коэффицие1гт прохождения может существенно изменяться по величине в зависимости от толщины разделяющего слоя и волнового вектора распространяющейся волны.
Научная ценность настоящей работы состоит в теоретическом изучении эффектов взаимодействия между спиновыми и упругими волнами и влияния на них дефектов и внешних электрического и магнитного полей, дающем возможность экспериментальног о исследования магнитоупорядоченных сред. Полученные результаты указываю! на возможность создания устройств для перестройки частот, магнитоакустическнх преобразователей, линий задержки, работой которых можно управлять не только внешним магнитным нолем, но и электрическим полем.
Построение диссертационной работы: Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии.
В первой главе приведены необходимые сведения о калибровочной теории дефектов кристаллической решетки, используемые в дальнейшем для описания их взаимодействия со спиновой и упругой подсистемами магнитоупорядоченной среды. На основе вариационного принципа стационарного действия получены уравнения движения для
16
намагниченности, нолей смещений и калибровочных полей, определяющих дефекты, в ферромагнетике, двухподрешсточном антиферромагнетике и неупорядоченном ферромагнетике. Рассмотрены условия интефируемости этих уравнений. Исследовано взаимодействие спиновых и упругих волн с дислокациями для одноосного ферромагнетика и оргоферрита туллия, а также дисклинаций со спиновыми и упругими волнами в неупорядоченном ферромагнетике.
Во второй главе исследован эффективный энгармонизм и проанализирована генерация второй акустической гармоники в области спиновой переориентации из ферромагнитной фазы в угловую в гадолинии Изучено влияние затухания волн на эту генерацию На основе нелинейных уравнений движения для намагниченности и упругих смещений изучены трехчастотные процессы взаимодействия монохроматических и квазимонохроматических волн с участием квазифононной моды в ортоферрите туллия Рассмотрена возможность формирования солитона огибающей квазифононной моды.
В третьей главе изучено влияние магнитоэлектрического эффекта на акустику и частоты АФМР центроаюисимметричных тетрагональных антиферромагнетиков с нечетной осью четвертого порядка. Рассмотрены различные магнитные состояния антиферромагнетиков, а также ориентации внешних электрического и магнитного полей Исследованы как линейные, так и нелинейные по магпитоупругой связи акустические явления. Проанализированы условия синхронизма различных трехчастотных процессов. Найдены точные решения укороченных уравнений, описывающих изменение амплитуд квазимонохромагичсских волн, участвующих в таких процессах.
В четвертой главе диссертации приведены краткие сведения о параметризации труппы спиновых вращений 80 (3), необходимые для
17
описания динамики магнитной подсистемы пространственно-
неупорядоченных магнетиков. На основе вариационного принципа стационарного действия получены нелинейные уравнения движения для магнитной и упругой подсистем спиновою стекла и неупорядоченного ферромагнетика с учетом магнитоупругого взаимодействия Рассмотрено усиление спиновых волн упругими волнами в спиновом стекле. Получены и проанализированы дисперсионные уравнения магнитоупругих волн в неупорядоченном ферро магнетике. Изучено изменение частот
магнитоакустических резонансов иод действием внешнего магнтного поля. Рассмогрены трехчастотные взаимодействия как монохроматических, так и квазимонохроматических упругих и магнитоупругих волн при их распространении перпендикулярно к внешнему магнитному полю. Получены условия полной перекачки знергии от упругого к магнитоупрут им пакетам В пятой главе исследовано распространение упругих воли через магнитоупорядоченный слой, разделяющий два немагнитных упругих полупространства. Точно решены граничные задачи, позволяющие найти коэффициенты прохождения и отражения волн, когда магнитоупорядоченный слой есть кубический ферромагнетик или двухподрешеточный ангиферромагнетик. Как к первом, так и во втором случае исследована частотная зависимость коэффициентов прохождения и отражения Определены условия, при которых изменение этих коэффициентов оказывается экстремальным. Изучено поведение коэффициента прохождения при низких частотах в области спиновой переориентации ортоферрнта туллия.
Апробация работы: основные результаты диссертации обсуждались на XIV, Х1У,Х1Х Всесоюзных конференциях по физике магнтных явлений, (Харьков 1979 г. , Пермь 1981 г. ,Ташкент 1991г.), Международной конференции по магнетизму 1СМ 94 (Варшава 1994г.), Всероссийских
18
школах-семинарах «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва 1996 г., 1998 г. ), V Всесоюзном семинаре « Магнетизм
редкоземельных соединений» (Москва 1989г.), на научных сессиях Института физики металлов УрО РАН и опубликованы в журналах ЖЭТФ, ФПГ, ДМММ, ФММ
19
Глава 1
Магнитоуиругос взаимодействие в магнитоупорядоченных средах с непрерывным распределением линейных дефектов
Магнитоупругое взаимодействие в магнитоупорядоченных средах возникает, как известно [1-4 I, вследствие зависимости от расстояния между атомами обменного, диполь-динольного и спин-орбитального взаимодействий. В динамических процессах это взаимодействие приводит к тому, что колебания спинов сопровождаются колебаниями решетки [1-4| и наоборот. Поэтому в магнитоупорядоченных средах распространяются магнитоупругие волны, предаавляющие собой связанные колебания спинов и атомов кристаллической решетки.
В макроскопическом описании динамики магнетиков потенциальная энергия системы является функцией определенных комбинаций динамических переменных, которые инвариантны относительно вращения тела как целою, го есть при совместном повороте спинов и решетки. При этом предполагается, *гто тело испытывает однородные повороты, не зависящие от координат точек системы 13,4,8,9].
Наличие дефектов в кристаллической решетке среды приводит к тому, что при макроскопическом описании глобальная симметрия, которая выше использовалась для записи энергии системы, должна быть заменена на локальную. Поскольку последнее утверждение нетривиально, поясним его более подробно.
Известно [30], что при рассмотрении среды как деформируемого континуума, лагранжиан, описывающий теорию упругости, оказывается инвариантным относительно группы О, которая представляет собой полупрямое произведение 50(3) г> 7(3) ортогональной вещественной группы
20
ЯО (3) >< группы трансляций Т (3). Убедиться в указанной инвариантности достаточно просто, если заметить, что группа в действует на эйлеровы координаты точки х согласно формуле
где А єЯО(3),Ь є7(3), Л - некоторая постоянная ортогональная матрица, а Ь-постоянный вектор-столбец. В этом случае тензор деформации
г де -лагранжевы координаты точки среды, оказывается инвариантным относительно действия ГруППЫ О . Остается неизменным иод действием однородных преобразований труппы С также и скалярное произведение хях, ( где точка означает дифференцирование по времени). Вследствие этого инвариантны относительно группы О потенциальная и кинетическая энергии системы, а, значит, и лагранжиан теории упругости. Отметим, что в рассматриваемой ситуации векторы смещений точек из положения равновесия определяют взаимно-однозначное соответствие между исходным недеформированным и конечным деформированным состоянием тела.
При наличии в решетке дефектов типа дислокаций или дисклинаций уже нельзя установить взаимно-однозначного соответствия между исходной недеформированной и конечной конфигурацией среды, поскольку векторы смещений точек из положения равновесия не являются теперь однозначными функциями координат [19,46].
Пусть трехмерное евклидово пространство /£,, снабженное глобальной декартовой системой координат, является пространством исходных конфигураций упругих тел, то есть начальная конфигурация тела без дефектов содержится в Л, [30] . Материальная среда, содержащая дефекты.
х’^Ах+Ь
21
не может быть подпространством Я, . Она может быть рассмотрена как гладкое 3-мерное многообразие £ [28|,то есть такое пространство, каждая точка Р которого содержится в окрестности 11с £ , гомеоморфкой некоторой области V евклидова пространства Л, [47-50|. В отой ситуации совокупность внутренних характеристик среды определяет ее внутреннюю геометрию, отличную от евклидовой. При этом, например, тензоры, заданные в разных точках многообразия, не могут даже сравниваться между собой ввиду того, что они определены в различных системах координат, которые связаны между собой лишь дифференцируемыми нужное число раз функциями перехода. Для проведения операции сравнения на многообразии необходимо ввести понятие параллельного переноса вдоль кривой, то есть связности, а значит, и ковариантной производной [47-51]. В этом случае лагранжиан системы, описывающий макроскопичсскуто динамику решетки, должен быть инвариантен уже относительно локальных вращений и трансляций точек среды.
В рамках рассматриваемого подхода характеристики дефектов, имеющихся в среде, такие как плотности дислокаций и дисклинацнй, можно связать с параметрами, описывающими ее внутреннюю геометрию Впервые на это обратил внимание Кондо [52]. который отождествил тензор плотности дислокаций в среде с тензором кручения. Возможность такого отождествления основана на следующем обстоятельстве. Для описания внутренней геометрии в каждой точке Р многообразия £ для атласа (11, її), где И- отображение окрестности и точек Р в область V евклидова пространства Я,, задают поле объекта связности, то есть набор чисел
Г*(Р) = Г,*(г',Xі,х1), преобразующихся при переходе от одной системы
координат к другой по закону
В этом случае многообразие £ становится пространством аффинной связности (53), которое имеет кривизну, а в случае несимметричности связности Г* = -Г* также и кручение. Геометрический смысл кручения
состоит в следующем. Выберем какую-либо кривую В 4 • Будем рассматривать изображение этой кривой в аффинном пространстве А3. Под изображением С кривой С и тензоров в любой точке Ре £, понимается следующее (53). Все линейные зависимости векторов 4,-'в точке Р сохраняются в изображении; вектор бесконечного малого смещения вдоль кривой С изображается вектором бесконечно малого смещения вдоль кривой С'; параллельно переносимый вдоль С вектор $■'(/) изображается вектором , параллельно переносимым в А, , то есть постоянным . Если кривая выбрана в % замкнутой, го при наличии кручения ее изображение в аффинном пространстве не будет замкнуто и наоборот. Нарушение замкнутости, как показано в работе (53), при переходе от кривой С к ее изображению определяется тензором кручения 5* = Г,* - Г*,. (.'равнение этого
поведения изображения кривой С с определением дислокации в континуальной теории (19,28,46,52) и позволяет связать тензор кручения с тензором плотности дислокаций. Дальнейшее обобщение лого статического подхода континуальной теории дефектов описано в работах ( 54-56].
Динамика непрерывно распределенных линейных дефектов при их «геометрическом» описании построена в работах (30) на основе теории калибровочных полей. Формально этот метод в некотором смысле является обобщением случая, рассмотренного в предыдущем абзаце. При изучении линейных дефектов в рамках калибровочной теории для задания внутренней
23
геометрии среды над многообразием 4 , ее характеризующим,
рассматривается расслоение аффинных реперов, которое, как показано в работе (49], является главным расслоением. Тогда внутренняя геометрия описывается с помощью структурных уравнений Картана, которые определяют 2-формы кривизны и кручения для обобщенной аффинной связности через 1-форму связности и припаивающую 1-форму. ( Эти структурные уравнения приведены в Приложении I ). Однако теперь авторы работы [30] не связывают прямо кручение с плотностью дислокаций. Они устанавливают взаимно-однозначное соответствие между структурными уравнениями Картана и кинематическими уравнениями дефектов в твердом теле, которое возникает при погружении 4 в евклидово пространство /<, с координатным покрытием {*,/}, где I- время. Этим самым Л. Кадич и Д. Эделен удается придать определенный физический смысл дифференциальным формам, входящим в структурное уравнение с одной стороны, а с другой стороны выразить через калибровочные потенциалы плотности дислокаций и дисклинаций. Отметим еще, что 1- форма связности обобщенной аффинной связности задает на координатной окрестности и точки р е 4 коэффициенты связности Г‘ о которых речь шла выше.
1.1 Кристаллический ферромагнетик
1.1.1 Лагранжиан кристаллического ферромагнетика
Рассмотрим магнитоупорядоченную среду с непрерывно распределенными линейными дефектами с учетом магнитоупругих взаимодействий. Следуя схеме построения теории, предложенной в [30], нужно записать лагранжиан среды, инвариантный относительно неоднородных ( то есть зависящих от координат ) пространственных
24
вращений и трансляций Для этого необходимо ввести конариантные производные для эйлеровых координат х и магнитного момента единицы массы /}. Коварианзная производная для х получена в (30] и имеет вид
где а -лагранжевм координаты, ув-генераторы (руины вращений 80 (3), V“ ,<р\компенсирующие поля, возникающие при неоднородных преобразованиях группы БО (3) и трансляций Т (3) соответственно. При этом под действием элементов группы С, описывающих все возможные вращения и трансляции среды, ковариан гная производная (1.1) испытывает преобразование [30]
где А(а)~ матрица трехмерных вращений. Равенство (1.1) формально следует из отождествления 1-формы скорости дисторсии, возникающей в кинематических уравнениях движения дефектов в среде, с припаивающей 1-формой в структурных уравнениях Картана для расслоения аффинных реперов. При этом мы рассматриваем не всю группу вЬ (31*), а лишь подгруппу 80(3). Более прямой путь состоит в построении обобщенной аффинной связности при естественной реализации матричного представления группы 50(3) > 7(3) в подпространстве У, с Я,, состоящем из вектор-столбцов
[х'.х1,**,!]' При этом обобщенная аффинная связность разбивается на 80(3)-
значную часть, задающую коэффициенты связности = у'а>У?и я., -
значную часть ф‘, определяющую компенсирующее поле <р) .
<?х'
(1.1)
/Ух' = А(а)1)}х
(1.2)
25
Аналогично в магнитной подсистеме ковариантная производная для /7 запишется в виде
где \¥* -компенсирующие поля, возникающие при неоднородных поворотах {1. Закон преобразования д при неоднородных преобразованиях группы вращений такой
Сделаем относительно равенства (1.3) одно замечание. Мы считаем, что неоднородные трансляции не изменяют векторы /7 ни по величине, ни по направлению Поэтому в (1.3) нет компенсирующего поля, связанное с зависящим от координат перемещением д. Неизменность /7 но величине следует из того, что деформации, вызванные неоднородными трансляциями среды, не меняют массу Отсутствие же переориентации /7 связано с тем, что в этом случае элементы среды, которыми определяется направление /7, не испытываюг вращения. Ясно, однако, что это обоснование справедливо лишь в том случае, если энергия рассматриваемых процессов не превосходит энергию внутриатомных взаимодействии, определяющих величину /7.
Потенциальная энергия II магнетика зависит от величин 1),х,У4д,д . Из
условия калибровочной инвариантности и вытекает, что должны
входить в выражение для и в виде комбинации, инвариантных относительно группы С. Такими инвариантами являются следующие |57]
(13)
•У//7' = Л(«)?,Д.
(1-4)
26
Используя (1.5), можно записать калнбровочно- инвариантный лагранжиан ферромагнетика, учитывающий магнитоупругую связь, в виде
где />„-плотность среды по деформации. Г,, -кинетическая энергия упругой подсистемы 1.9,/л.,1^ - лагранжианы калибровочных полей
ф'Уа,Н'а соответственно. В (1.6) Т,, имеет вид (30)
Плотност и лафанжианов 1,9 ,Ц. ,1^ строятся, исходя из следующих положений (48,58)
1) они должны быть скалярами.
2) не должны изменяться при калибровочных преобразованиях. В этой ситуации лагранжианы для полей Vй УУ“ ,ф1 записываются по аналогии с лагранжианом электромагнитного поля. Как известно (58), в последнем случае плотность лагранжиана задастся через свертку антисимметричных
(1.6)
(1-7)
электромагнитного ноля, и имеет вид
(1.8)
27
Если алгебра Ли группы калибровочных преобразований, в которой принимай значение калибровочное ноле Л„,отлична от алгебры Ли
унитарной группы 11(1), то лагранжиан (1.8) должен быть обобщен.
Действительно, вычисляя коммутатор двух ковариантных
д
производных Уп „ = —------4- АмУ, найдем, что он выражается через
С'ХР.г
антисимметричный тензор 2-го ранга /•],„, равный
определяющий 2-форму кривизны П = ^/*р1.<Лгя л<*-‘связности Ау, где
сіх* л<Лг' внешнее произведение, обладающее свойством (Ы" л4х1' = -Ж' лЛ' .
Для рассматриваемой ситуации простейший лагранжиан калибровочного поля Аа определяется через антисимметричный тензор 1-\, в виде [48]
(110)
Здесь ц?* метрика в рассматриваемом пространстве, а < , > -форма Киллинга для алгебры Ли калибровочной труппы. (Напомним, что форма Киллинга <А,В> двух полей Л и В алгебры Ли определяются следующим образом <А,В>= -ИР (ас! А, ас! В).
При этом операция ас! А действует на поле X так
ас! А : Х->ас1 А(Х)=[А,Х], где [ А,Х]- коммутатор полей, принадлежащих рассматриваемой алгебре Ли.) Проделаем явно процедуру нахождения латранжиана калибровочного поля Vа. Как видно из примера, рассмотренного выше, нам необходимо
28
прежде всего определить 2-форму кривизны П обобщенной аффинной связности, исходя из структурных уравнений Картана
= -а> + Й , (111)
где (О - связность обобщенной аффинной связносгн.
Тогда форма кривизны П равна
П - й5> + т л &. (1-12)
Подставим теперь в уравнение (1,12) явное выражение для <у
* = ’о) Ч») ЭД"'** (113)
где у“ (а=1,2,3) - генераторы группы вращения 80(3), а {/^}(£=1,2,3)-генераторы группы трансляций У(3), [0]- нулевая матрица-строка
размерности 3, а {0}- нулевая матрица-столбец размерности 3. В этом случае для 2-формы кривизны имеем выражение
■ “■■(и 'Э-Ч; З’Нм *3—(и *')
< ?)-{; ?))
Здесь А- внешняя производная.
Преобразуя последнее равенство, получим окончательно
Гй дЛ 1о о J
где
С1 = ЫУ + V л V ь Г)ф = с{ф 4- V л ф
' Л
(1.14)