Квазиоптика волновых пучков и интенсивных сверхкоротких импульсов в плазме с резонансной и столкновительной диссипацией

Оглавление
Введение 7
1 Квазиоптика анизотропных неоднородных сред 28
1.1 Введение............................................................... 28
1.1.1 Обобщение ГО для волновых пучков.................................29
1.1.2 Метод плавной огибающей......................................... 31
1.1.3 Векторное уравнение............................................ 36
1.2 Дисперсионные свойства волн огибающих.................................. 37
1.3 Малые параметры квазиоптики........................................... 40
1.4 Пространственная дисперсия............................................ 42
1.5 Скалярное уравнение в однородной среде ............................... 45
1.6 Скалярное уравнение в неоднородной среде.............................. 46
1.7 Квазиоптичсское приближение............................................ 49
1.8 Метод численного решения квазиоптического уравнения................ 51
1.9 Безаберрационное приближение в средах с диссипацией................. 53
1.9.1 Гауссов пучок ................................................. 55
1.9.2 Общее решение.................................................. 56
1.9.3 Ограничения.................................................... 56
1.9.4 Учет неоднородности и дисперсии поглощения .....................58
1.10 Сравнение точного и квазиоптических решений........................... 59
1.10.1 Модельные среды................................................ 59
1.10.2 Распространение пучков в линейном слое ........................ 63
1.10.3 Распространение пучков в среде с дисперсией поглощения .... 67
1.11 Распространение пучков в модельной диссипативной среде................ 70
1.11.1 Пространственная дисперсия поглощения.......................... 70
1.11.2 Пространственная неоднородность поглощения..................... 72
1.11.3 Резюме......................................................... 74
1.12 Результаты главы...................................................... 76
2
2 ЭЦ нагрев в ИТЭР: квазиоптическое описание 77
2.1 Факторы, влияющие на профиль энерговклада............................. 78
2.2 Особенности распространения квазиоптических пучков.....................80
2.3 Пространственное распределение поглощения..............................82
2.4 Зависимость профиля энерговклада от ширины пучка и углов ввода . . 85
2.4.1 Ввод в экваториальной плоскости..................................86
2.4.2 Ввод под углом.................................................. 89
2.5 Локализация энерговклада в условиях ИТЭР.............................. 94
2.6 Локализация генерации тока в условиях ИТЭР.............................96
2.7 Учет квазилинейных эффектов ..........................................102
2.8 Влияние неоднородностей магнитоактивной плазмы........................104
2.8.1 Модель неоднородностей мапштоактивной плазмы....................105
2.8.2 Распространение волновых пучков.................................106
2.8.3 Примеры распространения волновых пучков.........................109
2.9 Влияние флуктуаций плотности на локализацию энерговклада 112 .
2.9.1 Гармонические флуктуации фазы...................................113
2.9.2 Эффективная интенсивность пучка.................................114
2.9.3 Реальный турбулентный слой......................................117
2.10 Результаты главы......................................................118
3 Рамановская компрессия импульсов в плазме 120
3.1 Основные уравнения....................................................122
3.1.1 Решение в виде тг-импульса......................................126
3.2 Примеры компрессии в трехмерно неоднородной среде.....................127
3.3 Накачка из нескольких пучков с различными частотами...................130
3.3.1 Фокусируемость усиленного импульса .............................132
3.3.2 Подавление роста шумов..........................................134
3.4 Накачка со сложной частотной модуляцией...............................139
3.5 Влияние дополнительной ионизации .....................................142
3.5.1 Насыщение усиления..............................................142
3.5.2 Рефракция импульса..............................................146
3.5.3 Сравнение с экспериментом ......................................147
3.6 Усиление в плазме диэлектрических капилляров..........................149
3.7 Компрессия в режиме сильного затухания................................157
3.7.1 Сравнение с обычной схемой компрессии...........................161
3.7.2 Ограничения модифицированного режима усиления...................163
3.8 Результаты главы......................................................166
3
4 Динамика сверхкоротких импульсов 167
4.1 Постановка задачи. Основные уравнения................................169
4.2 Качественное исследование динамики самовоздействия ..................174
4.3 Динамика самовоздействия в среде без дисперсии.......................179
4.3.1 “Скалярное” (линейно поляризованное) поле......................179
4.3.2 Циркулярно-поляризованное иоле.................................182
4.4 Динамика самовоздействия в средах с дисперсией ......................187
4.4.1 Аномальная дисперсия...........................................189
4.4.2 Нормальная дисперсия...........................................190
4.4.3 ‘Нулевая” дисперсия групповой скорости.........................192
4.5 Насыщение нелинейности...............................................195
4.6 Динамика самовоздействия релятивистски сильных импульсов.............196
4.7 Самофокусировочная неустойчивость сверхкороткого релятивистски сильного лазерного импульса в плазме......................................203
4.8 Результаты главы.....................................................211
5 Электрон-ионные столкновения в сильных полях 212
5.1 Кинетическое уравнение в канонически инвариантной форме..............215
5.2 Ядро интеграла столкновений..........................................218
5.3 Метод возмущений.....................................................223
5.4 Уравнение движения частицы...........................................226
5.5 Проблемы численного интегрирования...................................230
5.6 Эффект притяжения ...................................................233
5.7 Низкочастотное приближение...........................................242
5.8 Притяжение с учетом корреляций.......................................245
5.8.1 Многопотоковость...............................................246
5.8.2 Сингулярность в функции корреляции.............................248
5.8.3 Стохастическая динамика .......................................250
5.8.4 Особенности поперечного рассеяния..............................252
5.9 Сечения столкновений.................................................254
5.10 Излучение при столкновениях . . 258
5.11 Эффект а3............................................................260
5.12 Дрейфовые координаты в релятивистски сильной ЭМ волне ...............261
5.12.1 Условия адиабатичностн........................................264
5.12.2 Изменение энергии при мгновенном ударе........................265
5.13 Распределение сверхбыстрых частиц....................................267
5.14 Столкновения в релятивистски сильных полях...........................270
4
5.14.1 Джоулсв нагрев..............................................274
5.14.2 Генерация быстрых частиц....................................276
5.15 Интеграл столкновений в сильных полях..............................280
5.16 Трехчастичные столкновения в плазме................................285
5.16.1 Постановка задачи...........................................287
5.16.2 Квазипродольное падение.....................................290
5.16.3 Квазипоперечнос рассеяние........:..........................291
5.17 Область применимости...............................................293
5.18 Результаты главы...................................................296
Заключение 298
А Квазиоптика в средах без пространственной дисперсии 300
Л.1 Вспомогательные соотношения ........................................301
А.2 Определение фазы несущей ...........................................302
A.З Первый порядок разложения по /х....................................303
Л.4 Второй порядок разложения по ц ....................................304
Л.5 Следующие порядки разложения........................................306
В ЭЦ поглощение на переферии плазменного шнура 308
B.1 Постановка задачи...................................................310
В.2 Анализ решений укороченного волнового уравнения ....................315
В.2.1 Распространение в среде без поглощения.......................316
В.2.2 «Горизонтальный» ввод излучения .............................317
В.2.3 «Вертикальный» ввод излучения ...............................317
В.З Анализ решений полного волнового уравнения..........................321
В.3.1 Решение уравнения ...........................................321
В.3.2 Связь решений укороченного и полного волнового уравнений . 324
B.4 Оценка ширины зоны энерговклада.....................................325
С Столкновения в статическом поле 329
C.1 Постановка задачи...................................................329
С.2 Классификация траекторий ...........................................331
С.З Изменение параметров при рассеянии..................................335
Список публикаций по теме диссертации 341
Литература 347
5
Определения, обозначения, сокращения
В диссертации применяются следующие определения, обозначения и сокращения: ИТЭР - между народный токамак-реактор (ITER)
ЭЦ(Р) -электронно-циклотронный (1>езонанс)
ЭМ - электромагнитный
УТС - управляемый термоядерный синтез
СВЧ - сверхвысокочастотный
ГО - геометрический оптика, геометрооптический
TORBEAM - название кода для расчета распространения волновых пучков без учета аберраций
мгд - магнитная гидродинамика, магнитогидродинамичейский QBRA - рамановскос усиление в среде с сильным затуханием НУШ - нелинейное уравнение Шрсдингера ЦП, ЛП - циркулярная поляризация, линейная поляризация
б
Введение
Актуальность темы
Проблема расчета распространения и дифракции электромагнитных (ЭМ) волновых полей важна для многих областей физики. Обычно для ее решения используют квазиоптичсское приближение (приближение плавной огибающей), поскольку аналитический и численный анализ соответствующих квазиоптических эволюционных уравнений проще. В настоящее время квазиоптическое описание полей распространено на однородные среды [163,164,167,108,201,223] (включая анизотропные и нелинейные), на кусочно однородные системы (линзовые и зеркальные линии передачи, открытые резонаторы [167,225]), плавко неоднородные• изотропные среды [87,185,207-209,225].
Целью настоящей работы является обобщение квазиоптики на плавно неоднородные анизотропные, гиротропные и нелинейные среды, включая и среды с резонансным поглощением (например, магнитоактивная плазма), и на случай предельно коротких импульсов с длительностью несколько периодов поля. При этом рассмотрена не только проблема создания и распространения сверхкоротких импульсов, но и особенности их взаимодействия со средой. Поскольку амплитуда лазерных импульсов, как правило, возрастает по мере их укорочения и легко достигает как порога ионизации среды, так и релятивистских значений. Эго приводит, например, к моди-фикации затухания волн из-за электрон-ионных столкновений в плазме в сильных электромагнитных полях. В результате, отклик среды (плазмы) может существенно НЗМСИИТ1,ся в сильных нолях.
Распространение волновых пучков в поглощающих средах относится в настоящее время к одной из немногих “недоисследованных” областей в физике линейных волновых процессов. Вместе с тем, ее актуальность очевидна для целого ряда направлений практической деятельности и, в .частности, для управляемого термоядерного синтеза. В настоящее время большие усилия ученых из разных стран прилагаются для завершения проекта системы электрон-цнклотронного (ЭЦ) нагрева в ИТЭР [48,124]. Важной задачей этой системы является контроль (подавление) неоклассических ти-
7
ринг мод (ХТМ) и пилообразных колебаний. Для ее решения требуется оптимизации системы ввода ЭЦ излучения для получения максимально локализованной области энерговклада [106]. Локализация достигается за счет использования резонансного ЭЦ поглощения, имеющего резкую зависимость от координат и волновых векторов излучения (сильную пространственную неоднородность и дисперсию поглощения). Поэтому успех реализации данного проекта существенно зависит от точности расчетов распространения волновых пучков.
Существующие программы для численного моделирования распространения микроволнового излучения в плазме, в лучшем случае, ограничены расчетом системы геометрооптических лучей [35,76,187| или квазиоптикой гауссовых пучков с расчетом поглощения по центральному лучу [86,87). Было проведено тщательно сравнение этих кодов друг с другом [103]. Однако, ни один из них не способен правильно описать распространение пучка в средах с сильной пространственной дисперсией, характерной для области ЭЦ резонанса [А29]. В ряде случаев такие приближения» не оправданы и приводят к несоответствию численных расчетов с реальным поведением волнового ноля [Л29]. Так, например, даже незначительное, на первый взгляд, расхождение в определении области энерговклада (буквально в несколько сантиметров) может оказаться весьма существенным в экспериментах по стабилизации так называемой “тирин г-моды” посредством локального нагрева потенциально опасного для развития неустойчивости “магнитного острова’’ [156]. Детальное исследование возможностей развития более точных методов расчета волновых пучков в этих условиях выполнено в главах 1, 2.
Еще одно из современных направлений в исследовании взаимодействия электромагнитного излучения с веществом связано с использованием все более коротких электромагнитных импульсов. При этом удается выйти на более высокий уровень интенсивности при той же самой энергии в импульсе. Новые возможности, которые открываются по мере укорочения импульса, связаны с уширением спектра волнового поля. Развитие оптических методов генерации и детектирования терагерцовых импульсов с использованием фотопроводников и нелинейных кристаллов [17,20,52,139] также стимулирует активный интерес к применению широкополосного излучения в фундаментальных и прикладных исследованиях [78,105,129]. Развивается и нелинейная оптика аттосекундных импульсов [55,66,85].
Использование обратного рамановского (комбинационного) рассеяния в плазме в настоящее время представляет один из наиболее перспективных способов получения ультра-интснснвных коротких лазерных импульсов. По сравнению с обычной техникой усиления частотно-модулироваииых импульсов, можно получить мощность на выходе в 104 — 105 раз выше ]72,73,126]. Для достижения такого уровня усиления
8
(
нужно использовать два типа оптических систем: (1) систему способную пропускать высокие плотности потока энергии (например, плазму), (11) фокусирующую систему, работающую на малом уровне мощности, для создания затравочного импульса. Фокусирующие системы не работают вблизи порога термического повреждения, но способны обеспечить точную фокусировку выходного импульса в дальнейшем [37) (вдали от области компрессии).
Режим компрессии, основанный на обратном романовском рассеянии, получил экспериментальное подтверждение [19,57,96,ЛИ, А13). В частности, был продемонстрирован выход на нелинейный режим с истощением импульса накачки. Однако нелинейный режим, достигнутый в экспериментах [19,57,96,А13], не перешел в стадию значительного усиления выходного импульса. Причиной этому стали различные паразитные эффекты, приводящие либо к усилению шумов (тепловых флуктуаций плазмы и предимпульса усиливаемого импульса [72,73,127)) либо к нарушению условий трехволнового синхронизма для рамановского усиления из-за неоднородности плазмы.
В однородной плазме усиление шумов плазмы и предимпульса можно подавить используя частотно-модулированный импульс накачки [72,73). Идея использования частотной модуляции состоит в том, что линейное усиление каждой спектральной компоненты шума ограничивается расстройкой бы трехволнового резонанса между волной накачки и шумом. Каждая из компонент шума может быть усилена в конечное число раз при условии, что бы меняется во времени из-за линейной зависимости частоты накачки ыо от времени. Если эта степень усиления1 малая (т.е. ецц меняется достаточно быстро), то тепловые колебания, хотя и усиливается, но не приводят к заметному истощению энергии накачки. С другой стороны, нелинейное усиление полезного сигнала сохраняется из-за уширения спектра на нелинейной стадии усиления. Будучи эффективной в однородной плазме, частотная модуляция накачки не обеспечивает подавление роста шумов в плазме с неоднородной плотностью. Поскольку мелкомасштабные флуктуации плотности плазмы могут выступать в качестве источника параметрической неустойчивости (30,82). Кроме того, неоднородности плотности плазмы могут разрушить фазовый (и амплитудный) профиль плазмы и привести к плохой фокусируемости выходного импульса [121).
Следует отмстить еще один перспективный механизм сжатия импульсов, основанный на модифицированном романовском усилении в режиме сильного затухания [70). Имея свои недостатки, такой механизм имеет неоспоримое достоинство, состоящее в получении одиночного выходного импульса. Это делает данный метод наиболее перспективным в качестве оконечного каскада усилителя сжатых импульсов. Исследование ограничений рамановской компрессии и возможностей их преодоления
9
выполнено в главе 3.
В связи с развитием методов сжатия ЭМ излучения возникает новая в теоретическом плане проблема исследования особенностей распространения интенсивных сверхкоротких импульсов, дифракции их в неоднородной среде и взаимодействия такого излучения с веществом. Особенности теоретического описания пространствен повременной эволюции импульсов с шириной спектра порядка несущей частоты связаны с невозможностью применения традиционно используемого в теории волновых процессов приближения медленно меняющихся амплитуд для исследования динамики системы. Необходимо также и получение материальных уравнений, адекватно описывающих линейную и нелинейную дисперсию показателя преломления среды в широком диапазоне частот в области прозрачности [9,183,184]. Следует отметить, что сходные задачи, связанные с описанием заметного уширения спектра излучения, возникают и в композитных средах, например, в кластерной плазме [174], и при изучении такого явления как сверхдальнее распространение ионизирующего фемтосекундного лазерного излучения в атмосфере [7,180].
На пути решения этой проблемы используются несколько подходов. Прежде всс-. го следует отметит!», что для исследования особенностей динамики сверхкоротких импульсов все чаще обращаются непосредственно к численному решению уравнений Максвелла. Однако даже при использовании самых сверхмощных компьютеров удается проводить исследование лишь двумерных волновых нолей на довольно ограниченной трассе распространения [43]. Очевидно, что этого недостаточно для описания реальной ситуации самовоздействия нолей, поскольку динамика процесса определяется конкуренцией эффектов дифракции и нелинейной. рефракции и существенно зависит от размерности задачи.
Наибольшее распространение получило обобщение приближенного метода медленно меняющейся огибающей, связанное с учетом зависимости групповой скорости от амплитуды волнового поля, линейной дисперсии среды (см. например [7,12,170,174,180]). В результате, задача сводится к анализу квазиопнческого уравнения для огибающей волнового пакета, которое иногда называют нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) высокого порядка. Порядок определяется максимальной щюнзвод!юй от показателя преломления среды по частоте, которую учитывают при получении уравнения. Третий подход основан на рассмотрении безотра-жатсльного распространения импульса в однородной среде. Предполагается, что пространственно-временная структура волнового поля плавно меняется в процессе однонаправленного распространения импульса по трассе из-за дифракции и нелинейности среды, т.е в пренебрежении эффектами отражения [9,158,184,199,205]. В случае квазимонохроматнческого излучения такой подход, очевидно, соответствует
10
переходу к уравнению для огибающей. Конечная ширина спектра приводит к новым эффектам, которые проявляются в долговременной эволюции пространственно ограниченного импульса: формирование дифракционного предвестника, образование характерной подковообразной структуры и дублета в спектре волнового поля [158,199,205, Л9]. Еще один способ основан на представлении решения исходных уравнений Максвелла в виде набора негармонических пространственно-временных структур автомодельного типа, распространяющихся как в прямом, таки в обратном направлении. В отличие от предыдущих подходов это позволяет*, например, рассматривать динамику отражения сверхкороткого импульса от плоской границы раздела-двух сред [235,236). Однако,, остается неясной возможность обобщения этого подхода на пространственно-ограниченные (в поперечном направлении) волновые поля. Данные вопросы исследуются в главе 4.
Переход ко все более коротким импульсам приводит, как правило, и к повышению их интенсивности, что, в свою очередь, способно заметно изменить диэлектрические свойства среды и особенно механизм поглощения интенсивного излучения. За не резонансное поглощение электромагнитного излучения ответственны электрон-ионные столкновения. Традиционно теоретическое исследование элсктрон-ионных соударений в электромагнитных полях проводят на основе- трех моделей.. Все эти модели базируются на приближении парных соударений, т.е. полагается, что вероятность одновременного столкновения трех частиц в одной точке пространства пренебрежимо мала. В этом приближении все-характеристики интеграла столкновений для-: одно-частичной.функции распределена могут быть найдены из решения задачи рассеяния пучка невзаимодействующих (тестовых) электронов на одном ионе.
Наибольшее распространение получила модель .малоуглового рассеяния-[26,79, 202,217,220], когда в качестве невозмущенной траектории электрона выбирается прямолинейная, и все эффекты оцениваются в рамках теории возмущений вдоль этой траектории. Очевидно, что в рамках этого приближения столкновения.электронов с нонами происходят в различные некоррелированные между собой моменты времени. То есть полагается, что в случае пучка с однородным и стационарным начальным распределением электронов моменты столкновения (моменты наиболее близкого подхода электронов к ионам) также будут равномерно распределены по периоду поля. Кроме того, в рамках малоуглового приближения не учитывается возможность притяжения (сближения) электрона к иону в процессе рассеяния, т.е. предполагается; что электрон не может сильно искривить свою траекторию в течении всего процесса рассеяния.
Другая модель (низкочастотное приближение [01,79]) описывает столкновения в том числе и с большими углами рассеяния. При этом предполагается, что достаточ-
11
но сильное внешнее электрическое поле, ускоряет электрон до п после столкновения (кулоновское поле нона на этих стадиях считается не существенным), а в процессе мгновенного рассеяния важно только статическое поле ближайшего нона. Как и в модели малоуглового рассеяния считается, что столкновения происходят в случайные моменты времени. Поскольку, в такой постановке задачи, вклад от рассеяния на большие углы мал, то результат с логарифмической точностью получился равным результату малоуглового приближения.
Квантовая модель (борновское приближение [79,92,166]) приводит к тем же результатам, что и предыдущие два приближения, в силу учета эффектов только первого порядка в квазиклассическом разложении.
Во всех перечисленных выше приближениях получались результаты, различающиеся только логарифмическим множителем. Основной причиной подобного совпадения, по-видимому, были одинаковые предположения о некоррелированности моментов столкновений и невозможности электрону искривить свою траекторию (притянуться к иону) в процессе многократных осцилляций около иона. Особенно наглядно это продемонстрировано в [219,220], где автор непосредственно из кинетического уравнения с интегралом столкновений в (}юрме Ландау получает, опять-таки, с логарифмической точностью, те же результаты (для эффективной частоты столкновений, генерации гармоник и т. д.), что и в цитированных ранее работах. Напомним, что вывод интеграла столкновений Ландау [202) базируется на предположениях о равнораспределенности моментов столкновений и определяющем вкладе дальних (почти прямолинейных) столкновений. По-видимому, совпадение результатов, даваемых тремя различными, на первый взгляд, приближениями стало причиной угасания интереса к этой тематике более чем на тридцать лет.
В последнее время в связи с возрождением интереса к проблеме электрон-ионных столкновений в сильных ЭМ полях предпринимаются попытки создания численных кодов для прямого численного моделирования процессов энергообмена в плазме с учетом электрон-нонных столкновений в сильных лазерных полях [13,27,95,138,204). В частности, уже в этих кодах [13,27,107,138] получающиеся результаты не совпадают с традиционными. В то же время появились экспериментальные данные (например, о генерации когерентного излучения на гармониках [18] и о генерации быстрых электронов [59]) не получившие удовлетворительного объяснения в рамках традиционных представлений.
Действительно, в сильных полях из-за большого размаха осцилляций гоас = еЕ/тшо » Ьоас = е^Е/ть^ электрон с дрейфовой скоростью меньшей осциллятор-ной уолс = еЕ/тшо многократно возвращается к иону и испытывает много далеких (иногда их называют <мягкими>) столкновений за время рассеяния. Энергия элек-
12
трона при этом практически не меняется, но происходит его приближение к иону. В результате перед последним («жестким») ударом, фактически и изменяющем энергию, электрон оказывается значительно ближе к иону, чем при прямолинейном дрейфовом движении. Вследствие этого, изменение энергии электронов при рассеянии существенно возрастает и появляется множество других новых эффектов. Исследованию электрон-ионных столкновений в сильных ЭМ нолях с учетом искривления траекторий электронов при рассеянии посвящена глава 5.
Цель и задачи диссертационной работы
Цслыо настоящей работы является развитие теории распространения пучков электромагнитных волн и интенсивных сверхкоротких импульсов в плавно неоднородных анизотропных средах с дисперсией и диссипацией, а также исследование механизма поглощения таких полей в плазме за счет электрон-ионных столкновений.
Целью и актуальностью темы обусловлены следующие задачи диссертационной работы.
• Развитие теории распространения волновых пучков в неоднородной слаборе-лятивисткой магнитоактивной плазме в условиях пространственной дисперсии среды и резонансного поглощения.
• Исследование компрессии пространственно-ограниченных лазерных импульсов при обратном романовском рассеянии в плазме.
• Исследование пространственно-временного самовоздсйствия сверхкоротких (длительностью в несколько периодов колебаний ноля) импульсов в нелинейных средах с временной дисперсией.
• Анализ электрон-ионных столкновений в сильных ЭМ полях, определение темпа джоулева нагрева и генерации быстрых электронов.
Научная новизна
1. Развита теория распространения волновых пучков в неоднородной слаборсля-тивисткой магнитоактивной плазме в условиях существенной пространственной дисперсии среды и резонансного поглощения. Для анизотропных и гиротрои-ных неоднородных сред с пространственной дисперсией предложен и обоснован
13
метод построения приближенного решения уравнений Максвелла на основе решения скалярного квазионтического уравнения. Найдены условия применимости и точное решение уравнения в безаберрационном приближении.
2. Впервые показано, что учет конечного пространственного спектра волнового пучка при ЭЦ нагреве плазмы в системах с магнитным удержанием приводит к более широким профилям энерговклада и тока в сравнении с результата- • ми традиционных расчетов. В типичных параметрах плазмы ИТЭР ширина профилей возрастает на 15-30% от рассчитанного существующими безаберра-ционными кодами.
3. Впервые предложен метод использования накачки из нескольких пучков, со слегка различными частотами, позволяющий подавить усиление паразитных •
. шумов в неоднородной среде (в условиях развития параметрической неустойчивости) при компрессии импульсов в плазме на основе механизма обратною . рамановского рассеяния.
4. Показано, что основными причинами, ограничивающими эффективность обратного рамановского рассеяния в экспериментах по компрессии>лазерных импульсов в плазме струи газа и в плазме капилляров, были дополнительная ионизация плазмы по мере роста амплитуды импульса, приводящая к нарушению.. условий трехволнового резонанса, и малая плотность плазмы, приводящая к опрокидыванию плазменной волны в процессе усиления и ограничившая эффективную длину усиления.
5. Обнаружен и детально исследован новый режим самофокусировки лазерных: импульсов длительностью в несколько периодов поля в диспергирующей нелинейной среде. Впервые доказано, что в процессе коллапса появляется опережающее опрокидывание продольного профиля импульса-и образуются ударные фронты, приводящие к. формированию степенных хвостов в спектре излучения.
6. Исследованы парные электрон-ионные столкновения в сильных ЭМ ПОЛЯХ в условиях когда осцилляторнан скорость заметно превышает дрейфовую. Впервые проведена классификация типов движения электронов и ожидаемых эффектов при рассеянии на ионе в присутствии ЭМ поля. Аналитически и численно получены оценки для эффективной частоты столкновений, интенсивности когерентного излучения гармоник, распределения быстрых частиц но энергии. Впервые показано, что эффективность указанных процессов не ослабевает с ро-
14
стом интенсивности поля накачки, в отличие от традиционных представлений. Особенностью всех представленных эффектов является их слабая зависимость от поляризации поля накачки. Получено общее выражение для интеграла парных электрон-ионных соударений в кинетическом уравнении для одночастичной функции распределения по дрейфовым координатам и скоростям электронов в иоле плоской ЭМ волны.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Разработка метода построения приближенного решения уравнений Максвелла в плавно неоднородных анизотропных и гиротропных средах с пространственной дисперсией, используя решение скалярного квазиоптичсского уравнения.
2. Создание теоретической модели уширения профилей энерговклада при ЭЦ нагреве и генерации тока в системах с магнитным удержанием плазмы из-за пространственной дисперсии ЭЦ поглощения.
3. Разработка метода использования накачки из нескольких пучков при римановской компрессии, позволяющий подавить усиление паразитных шумов в том числе и в неоднородной плазме в условиях развития иарамегрической неустойчивости.
4. Результаты исследования причин ограничивающих дальнейшее сжатие лазерных импульсов в экспериментах по рамановской компрессии в плазме струи газа и в плазме капилляров.
5. Создание теории коллапса сверхкоротких (в несколько периодов поля) лазерных импульсов с учетом нелинейной дисперсии среды и возможность формирования ударной волны в процессе коллапса в радиальном направлении.
6. Результаты исследования парных электрон-ионных столкновений и интеграл столкновений в сильных ЭМ полях.
Научная и практическая ценность
Проведенные исследования имеют большое теоретическое и практическое значение. Метод квазиоптическот описания в анизотропных неоднородных средах с пространственной дисперсией (глава 1) может найти широкое применение в различных
15
областях, включая моделирование распространения волновых пучков в магнитоактивной плазме токомаков и стеллараторов. Эффект уширения профилей энерговклада и тока увлечения при ЭЦ нагреве плазмы (глава 2) важен для термоядерного синтеза в системах с магнитным удержанием. Исследование римановского усиления в плазме (глава 3) важно для получения сверхкоротких (длительностью десять и менее периодов поля) лазерных импульсов тераваттного и петаваттного уровня мощности. Исследование динамики самовоздействня сверхкоротких импульсов в нелинейных средах (глава 4), помимо общефизического значения, может найти применение для создания нелинейных оптических систем со значительной перестройкой частоты и генерации когерентного излучения на высоких гармониках волны накачки. Исследование электрон-ионных столкновений в сильных полях (глава 5) важно для многих областей физики плазмы, включая-лазерный термоядерный синтез, эксперименты с кластерной плазмой, взаимодействие сверхсильных лазерных импульсов с плазмой. Для развития «различных методик моделирования поведения плазмы во внешнем поле большое значение имеет предложенный в диссертации интеграл столкновений, позволяющий существенно повысить точность и ускорить расчет динамики плазмы в сильных ЭМ полях.
Апробация работы
Основные результаты исследований, представленных в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: международной конференции “EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Phys.” (Чехия, 1998;
С.Петербург, 2003); международной конференции “Annual Meeting of the APS Division of Plasma Physics” (США, 1998, 2000; 2001:, 2002); международной конференции “Strong Microwave in Plasmas" (H.Новгород, 1999, 2002, 2005, 2008); международной конференции “Solitons, Collapses And Turbulence” (Черноголовка, 2001, 2007, 2009); международной конференции “International Conference on the Numerical Simulation of Plasmas” (США', 2003); международной конференции ‘Topical problems of nonlinear wave physics (NWP)” (H.Новгород, 2005, 2008); международной конференции “Frontiers of Nonlinear Physics” (Н.Новгород, 2001, 2004, 2007, 2010); международной конференции “International conference on Superstrong fields in plasmas” (Италия, 2005); международной конференции “Joint Workshop on ECE &; ECRH” (США, 2008); международной конференции “International Conference on Transparent Optical Networks” (ICTON 2009); российско-германской семинаре о микроволновом излучении (Германия, Россия, 2007, 2008, 2009); российской конференции “Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС” (Звенигород, 1999, 2002, 2006, 2007, 2008);
16
научной школе “Нелинейные полны” (II. Новгород, 2002, 2006).
Результаты исследований элект|юн-ионных столкновений в сильных электромагнитных полях (глава 5) удостоены Государственной премии для молодых ученых в области науки и техники в 2004 г. Результаты исследования самовоздсйствия сверхкоротких импульсов (глава 4) вошли в список наиважнейших результатов РАН в 2006 и 2010 гг. Результаты исследования рамановского усиления импульсов (глава 3) были подтверждены экспериментально [АН, А13).
По теме диссертации опубликовано: 30 статей в отечественных и зарубежных научных журналах, 29 статей в сборниках, 2 препринта.
Личный вклад автора
Все основные результаты, представленные в работе, получены автором лично. При выполнении всех работ автор принимал определяющее участие как в постановке, так и в решении задач, в обработке и обсуждении результатов эксперимента и численных расчетов. В работах [А1-А8,А15] автору принадлежат численные расчеты динамики электрон-ионных столкновений и частично качественные модели происходящих процессов. В работах [А10-А13] автором проведены численное моделирование компрессии импульсов при обратном рамановском рассеянии и сопоставление его результатов с экспериментальными данными. Помимо этого, в указанных работах вклад авторов'в постановку задачи и интерпретацию результатов экспериментов равноценен. В работах [А9, А17, А27, А28] автором выполнено численное моделирование динамики самовоздействия сверхкоротких лазерных импульсов и предложена идеи об опережающем характере опрокидывания огибающей импульса в процессе самофокусировки излучения. В работе [А18| автором предложен приближенный метод решения уравнений Максвелла, основанный на использовании скалярного уравнения для огибающей квазиоптического пучка, и метод численного решения этого уравнения. В работе [А23] автором предсказано возрастание ширины профилей энерговклада но сравнению с профилями, заложенными в стандартных сценариях ИТЭР. В работе [А2о| поставлена задача и получены аналитические оценки для величины эффекта. Работы (А24, А26] выполнены без соавторов. В остальных работах вклад авторов равноценен.
17
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложений, списка основных публикаций автора по теме работы и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 366 страниц, включая 158 рисунков, 11 таблиц и список литературы из 237 наименований.
Краткое содержание диссертации
Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели и задачи, основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая ценность работы. Приводится информация о публикациях по теме диссертации. Кратко излагается содержание работы.
В первой главе изложен метод получения квазионтического уравнения в анизотропных неоднородных средах с пространственной дисперсией, редукция квазиопти-ческого уравнения в безабсррационном приближении и найдено точное решение для последнего. Результаты главы опубликованы в работах (Л18-А22, А29].
Обзор существующих методов построения приближенного решения для волновых пучков, распространяющихся в плавно неоднородных средах представлен в разделе
1.1. Разделы 1.2-1.3 содержат общие соотношения о дисперсионных свойствах среды, параметрах малости, используемых при выводе квазионтического уравнения, и о свойствах сопутствующей пучку системы координат Сопутствующая си-
стема координат позволяет рассматривать при поиске решения только малую область пространства, в которой локализован волновой пучок.
Раздел 1.4 посвящен анализу особенностей сред с пространственной дисперсией и представлению операторов в виде удобном для численного моделирования. Следует отметить, что вид тензора диэлектрической проницаемости как оператора в неоднородной среде с пространственной дисперсией не известен. Известно только его выражение в коротковолновом приближении (т.е. только как функция от координат т и волновых векторов к в геометрической оптике), не позволяющее однозначно восстановить вид оператора. Соответственно, при практическом испол!>зованин квазиоптического уравнения была выбрана форма операторов, не противоречащая основным физическим законам (например, сохранению энергии в средах без диссипации). Следует отметить, что учет этих соображений оставляет неопределенность в форме оператора только для достаточно высоких аберраций.
Метод редукции векторных уравнений Максвелла к скалярному волновому уравнению в одио.модовом приближении представлен в разделах 1.5, 1.6. В частности,
18
показано, что приближенное решение уравнений Максвелла для электрического поля волнового пучка Е может быть записано в операторном виде
Е = e\U], где #[£/]= 0. (1)
Здесь U - скалярная амплитуда волны, Hue- операторы, построенные по собственному значению и собственному вектору среды, соответствующих выбранной волновой моде. Раздел 1.7 посвящен переходу от скалярного волнового уравнения (1) к уравнению эволюционного типа, записанному в сопутствующей системе координат. Метод его численного решения представлен в разделе 1.8.
Квазиоптическос уравнение справедливо и в диссипативной среде. В разделе 1.9 выполнен его анализ в без аберрационном приближении и найдено общее решение. Данное решение сохраняет форму гауссова пучка гауссовой при. его распространении, т.е. не вносит аберраций (искажений) в форму импульса. Именно-поэтому приближение называют безаберрационпым.
В разделе 1.10 решения квазионтического и безаберрациониого уравнений сравниваются с точным решением уравнений Максвелла в двух важных модельных плазменных средах: с линейным градиентом плотности и в модели с дисперсией поглощения (модели ЭЦ поглощения). Показано, что решения безаберрациониого уравнения и beam tracing кодов (типа TORBEAM |87]) совпадают в первом случае. Наоборот, в среде, моделирующей ЭЦ поглощение, безаберрационное решение и beam tracing дает значительное (на десятки процентов) расхождение с точным решением. В то время как квазиоптическос решение отличается от точного на доли процента.
Анализ поведения волнового пучка в модельных средах с неоднородным поглощением и с пространственной дисперсией поглощения выполнен в разделе 1.11. Показано, что неоднородность поглощения и в координатном и в импульсном (дисперсия) пространстве приводит к отклонению пучка в область более слабого поглощения. При этом ширина пучка может как уменьшаться для пространственной неоднородности, так и увеличиваться для пространственной дисперсии поглощения. Причем изменение ширины может происходить быстро в сравнении дифракционной душной.
Во второй главе квазиоптический подход применяется для анализа распространения волновых пучков в плазме ИТЭРа. Отмечен новый паразитный эффект - заметное ушнрение профилей энерговклада и ЭЦ тока увлечения из-за пространственная дисперсия ЭЦ поглощения. В отдельных сценариях профили оказываются на 50% шире чем в существующих расчетах, что может потребовать пересмотра требований к греющему излучению для стабилизации МГД неустойчивостей. Результаты главы частично опубликованы в работах [A23,A30j.
Факторы, влияющие на профили энерговклада и ЭЦтока, обсуждунотся в разделе
19
2.1. Соображения по выбору опорного луча и особенностей квазиоптического описания волновых пучков в области ЭЦР приведены в разделе 2.2. Раздел 2.3 содержит формулы для вычисления профилей по найденному распределению поля пучка.
Исследование зависимости ширины профилей энерговклада от параметров волновых пучков приведено в разделе 2.4. Показано, что учет пространственной дисперсии поглощения приводит к заметному уширению профиля энерговклада в сравнении с традиционными безаберрационными расчетами (106). Качественно это видно уже. из следующих соображений. Условие ЭЦ резонанса в слабо релятивистском пределе зависит от компоненты волнового вектора вдоль магнитного поля. В результате, каждая пространственная гармоника пучка начинает поглощаться в разных точках - . пространства. Это приводит к уширению профиля энерговклада, сопровождающимся появлением медленно спадающих экспоненциальных хвостов к периферии-плазменной) шнура. ' .• , ' ‘ '
Для широких волновых пучков начинает сказываться пространственная нсодно- . * родность плазмы, также приводящая к уширению профиля энерговклада. Соответственно, существует “оптимальная” ширина пучка, минимизирующая ширину профиля эиерговклада. Численное моделирование в плазме ИТЭР дало величину, опти-. мольной ширины пучка в фокусе порядка 2-3 см. Именно такие ширины планируется использовать в ИТЭР. • ;
Несмотря на использование “оптимальной” ширины пучка,, определение соответствующего профиля эиерговклада требует учета влияния;пространственной дисперсии, т.е. выхода за пределы геометрической оптики. Численное моделирование (раз- ■ дел 2.5) дает ушйрение профилей на величину 20-50% в сравнении с существующими : расчетами для реальных профилей'плазмы-(ИТЭР сценарии 2, За, 5). Аналогичное1 уширение имеет место и для профилей ЭЦ тока (раздел 2.6). Однако, уменьшение максимальной плотности тока увлечения не столь существенно (порядка 10-20%). Это связано с тем, что профили становятся не гауссовыми и значительный вклад в., увеличение ширины дают медленно спадающие экспоненциальные хвосты, содержащие относительно малую долю полного тока.
Вразделе 2.7 обсуждается возможность учета квазилинейных эффектов при ЭЦ нагреве плазмы. Обычно считается, что это-сугубо линейная задача. Однако, при использовании длинных греющих импульсов изменение температуры плазмы, и соответственно тензора диэлектрической проницаемости, может привести к смещению как области поглощения, так и волнового пучка.
В разделе 2.8 рассмотрено влияние неодшцюдностей магнитоактивной плазмы на распространение квазиоптических пучков. Найден новый вид неоднородности, приводящая к экспоненциально быстрому уширению волнового лучка непосредственно на
20
масштабе неоднородности. Этот эффект может оказаться важным при поглощении волнового пучка в окрестности магнитного острова с крупномасштабным возмущением магнитного поля.
Влияние флуктуаций плотности и температуры плазмы на границе плазменного шнура на распространение волновых пучков рассмотрено в разделе 2.9. В первую очередь, такие флуктуации приводят к случайному мелкомасштабному возмущению фазы волнового пучка в поперечном направлении, которое на длинных трассах из-за более сильной дифракции уменьшает эффективную интенсивность греющего излучения в области ЭЦР. Для последней получена оценка, подтверждаемая численным моделированием для гармонических возмущений плотности и для реальных профилей флуктуаций в токамаке TCV.
В третьей главе рассмотрено рамановское усиление лазерных импульсов в плазме, являющееся перспективным методом компрессии импульсов тераваттного и пе-таваттного уровня мощности. В данной главе представлены.как теоретические рекомендации по улучшению процесса усиления, так и экспериментальная демонстрация рамановского усиления. Результаты главы опубликованы в работах [Л10-Л13].
Основные уравнения для расчета усиления (компрессии) импульсов при обратном рамановском рассеянии с учетом различных “паразитных” эффектов (дифракции, диссипации, плазменной дисперсии, ионизации и нелинейности среды) приведены в разделе 3.1. Раздел 3.2 содержит примеры результатов расчета рамановского усиления трехмерных (я, у, z) импульсов во времени в различных предельных случаях.
Раздел 3.3 посвящен использованию накачки, состоящей из нескольких лазерных пучков. Предложен метод частотного разнесения пучков накачки, позволяющий не только сохранить хорошую фокусируемоегь усиленного импульса (при частотной расстройке До; > 7 = у/,о.'обэр/2/ао, 7 линейный инкремент римановской неустойчивости), но и подавить развитие паразитной параметрической неустойчивости в неоднородной плазме. Показано, что использование накачки а из N пучков с частотами ип € [с*/о — Д&*Л Со’о + Д^] и случайными фазами фп
N
Q, ~
п=1
позволяет подавить параметрическую неустойчивость даже в наиболее опасном случае с размером флуктуаций порядка длины усиления lcorr ~ с/7. Причем это достигается при параметре частотной модуляции q = 0.005... 0.1 в 3-4 раза меньшем, чем при традиционном способе [72,73) подавления паразитного усиления. Расчеты проведенные для 7 пучков дали оптимальную величину частотной расстройки До; = 87.
Схожего эффекта можно добиться выполнив сложную частотную модуляцию им-
21
пульса (раздел 3.4). Например, накачка вида а
^ е*<?72*/2+Прн о; = 1.5 эффективно соответствует 3 пучкам с частным разнесением Ли; = ия. Этот случай позволяет понять механизм подавления неустойчивости: сильная синусоидальная модуляция фазы останавливает параметрическую неустойчивость из-за изменения локальной величины частотной модуляции, но имеет области с медленно меняющейся частотой (области вблизи экстремумов синуса), где усиление шумов плазмы все еще возможно. Малая линейная частотная модуляция сдвинет экстремумы так, что шумы на линейной стадии смогут расти только на малом числе экстремумов, а все прочие будут иметь отстройку частоты вне условий трехволнового синхронизма. В результате рост шумов будет подавлен, а усиление; полезного сигнала на нелинейной стадии продолжится.
В разделе 3.5 представлены результаты экспериментального исследования рама-новского усиления в однократно ионизованной плазме, созданной в струс пропана. Плазма создавалась отдельным относительно низко-интенсивным импульсом с помощью ударной ионизации. Плазменный капал был порядка 80 дм в диаметре и длиной
1.3 мм с плотностью 1.1 • 1019 см-3. В эксперименте был продемонстрирован выход-на нелинейный режим усиления с интенсивностью усиленного импульса в 3-4 раза, больше интенсивности накачки.
Раздел 3.6 посвящен результатам экспериментального исследования, рамановско-го усиления в газонаполненных капиллярах, позволяющих значительно увеличить длину взаимодействия. Другая особенность эксперимента - применение в качестве накачки и усиливаемого сигнала излучения одной и той же тераваттной фемтосекундной лазерной системы. При этом спектры усиливаемого импульса и накачки идентичны друг другу, а выполнение условий синхронизма требует низкой концентрации плазмы, чтобы частота плазменных колебаний была мала или сравнима с шириной спектра лазерного излучения. В эксперименте было получено усиление затравочного импульса более чем 100 раз.
Использование малой концентрации плазмы ограничило длину усиления из-за опрокидывания плазменной волны. Предложен в рамках гидродинамического описания и подтвержден экспериментально сценарий, когда опрокидывание лишь ограничивает рост плазменной волны на пороге опрокидывания, не уничтожая уже созданную плазменную волну. Этот сценарий соответствует модификации только фоновой плазмы, но не существующей плазменной волны в процессе усиления.
Исследование рамаиовского усиления в плотной плазме с ир/и = 0.3...0.4 приведено в разделе 3.7. Использование плотной плазмы позволяет получить малую
22
длительность выходного импульса1 и перейти в режим модифицированного усиления с формированием уединенного импульса на выходе, но имеет ряд ограничений (потери на джоулев нагрев, расплывание и дробление импульса, и др.)*'
В четвертой главе рассмотрено самовоздсйствие сверхкоротких (длительностью несколько периодов поля) лазерных импульсов. Отличительная особенность динамики самовоздействия сверхкоротких импульсов связана с процессом опрокидывания волнового пакета, который всегда несколько “опережает” процесс самофокусировки излучения. Результаты главы опубликованы в работах [А9, А17,А27,А28).
В разделе 4.1 представлен вывод уравнений для импульса с шириной спектра порядка несущей часготы в среде с керровской нелинейностью. Стартуя с уравнений Максвелла и уравнения Дуффинга для поляризации среды получено уравнение со смешанной производной [9,205)
для амплитуды и = Ех+іЕу циркулярно поляризованного поля. Это уравнение имеет простейший закон линейной дисперсии к = Ьы3 — а/со, удовлетворяющий соотношениям Крамерса-Кронинга для широкого диапазона частот в области прозрачности. В отличие от уравнений использованных ранее [7,175,180] данное уравнение описывает нелинейную дисперсию более точно и естественным образом, не требуя привлечения сторонних соображсішй.
В разделе 4.2 уравнение (3) исследовано аналитически, показана возможность формирования особенности в средах без дисперсии и с аномальной дисперсией. Так-
же продемонстрировано формирование ударной волны огибающей на примере автомодельной структуры. Численное моделирование (раздел 4.3) подтвердило эти выводы для среды без дисперсии. Показано, что трасса формирования ударной волны всегда меньше трассы коллапса. В результате, спектр импульса уширяется в синюю
до тех пор пока амплитуда не уменьшится настолько, что импульс начнет дифрагировать как в линейной задаче.
Исследование самовоздействия сверхкоротких импульсов в средах с дисперсией представлено в разделе 4.4. В области аномальной дисперсии коллапс импульса протекает почти так же как и в среде без дисперсии. Наоборот, в области нормальной дисперсии происходит продольное уширеине и дробление импульса, останавливающее коллапс нз-за уменьшения локальной мощности в каждом поперечном сечении. Тем самым обобщается вывод относительно самовоздействия импульсов в средах с
1 Минимально возможная длительность усиленного импульса равна 2т(шр.
^ — А±и — аи.
(3)
область (становится ~ 1/о;3/2) и происходит поглощение энергии на высоких частотах
23
нормальной дисперсией, сделанный ранее [173) в рамках НУШ, и на случай динамики сверхкоротких импульсов. Влияние различных ограничивающих факторов на самовоздсйствие сверхкоротких импульсов рассмотрено в разделе <1.5.
Необычный режим самовоздействия реализуется в области “нулевой” дисперсии (раздел 4.4.3), когда центральная частота импульса и ~ \/а/ЗЬ. В этом случае часть спектра импульса “коллапсирует^ (в области аномальной дисперсии), а другая часть нет’ (в области нормальной дисперсии). Это приводит к перестройке частоты (потоку энергии) в коротковолновую область с нормальной дисперсией и формированию там максимума в спектре, величиной центральной частоты которого можно управлять. Такое дробление спектра может быть использовано для,создания аттосекундных импульсов.
Самовоздействия релятивистски сильных сверхкоротких импульсов представлено в разделе 4.6. Показано укручение переднего фронта импульса в начальной стадии коллапса связанное с тем, что большая амплитуда “рассталюшаст” плазму и увеличивает локально групповую скорость. Спектр импульса в процессе коллапса расширяется, преимущественно в длинноволновую область, не столь значительно как в случае коллапса в средах с керровской нелинейностью. В спектре волнового поля образуется дублет. Импульс в процессе коллапса заметно укорачивается (в 7 и более раз для выбранных параметров).
Исследование развитой стадии релятивистской самофокусировки импульса (раздел 4.7) показало 2 стадии в развитии самофокусировочной неустойчивости релятивистски сильного импульса. Сначала происходит самоизоляция поперечных пеодно родностей поля и формирование филаментов. Затем филаменты притягиваются и образуется фактически та же самая структура, что и при эволюции “сглаженного” распределения поля. Притяжение начинается на развитой стадии неустойчивости, когда амплитуда поля приводит к почти полному вытеснению плазмы из области максимума поля (насыщению показателя преломления), и обусловлено неоднородностью показателя преломления на границах филаменты со стороны другой филаменты и с 1раницы пучка.
В пятой главе рассмотрены парные электрон-иоиные столкновения в сильных полях и показано, что все энергетические процессы (джоулев нагрев, генерация излучения и быстрых электронов) не ослабевают с росл-ом амплитуды электромагнитного ноля. Получены выражения для частоты столкновений, распределения быстрых электронов по импульсам и интеграла элсктрон-ионных столкновений. Результаты главы опубликованы в работах [А1-А8, А14-А16, А24-А26|.
В разделе 5.1 вводятся общие понятия и приводится вывод интеграла парных
24
столкновений частиц сортов а и 6 в канонически инвариантной форме
31аь[/а\ = ^ 1(.(>ао)Маь{<*а} <*во)^<»вО> (4)
где <; — {»*>р} - координаты и импульс частицы, гиаь - ядро интеграла столкновений равное:
гиаЬ =
Здесь €|(&о,Оо,£) - координаты и импульсы с; на траектории тестовых частиц в момент времени £ в зависимости от “начальных” координат и импульсов <г0. Под тестовыми частицами понимаются частицы с гамильтонианом = На 4- #ь 4- IIаь-Выражение (5) показывает, что изменение функции распределения при столкновениях можно найти зная лишь траектории тестовых частиц.
Выражение (5) имеет канонически инвариантную форму, поскольку включает смещения частиц как 11 импульсном, так и в координатном пространстве. В разделе 5.2 это выражение упрощается в пренебрежении изменением пространственной координаты при столкновении в силу малости столюювительных масштабов. При этом теряется каноническая инвариантность и интеграл столкновений приобретет диффузионный характер, обычный для интеграла столкновений в форме Больцмана.
Раздел 5.3 посвящен анализу метода вычисления интеграла столкновений в приближении прямолинейности траекторий тестовых частиц. Такой метод традиционно используется для вычисления интеграла столкновений [202]. В’данном разделе показано, что его применимость ограничена достаточно энергичными частицами с дрейфовой скоростью больше осцилляторной V ~ у/Т/2т. Уозс = сЕ/тгьз.
Анализ уравнения для тестовых частиц проведен в разделе 5.4. Приведя уравнение к безразмеренному виду, впервые удалось выявить единственный безразмерный параметр П = \/Ь03С/г09С, определяемый отношением потенциальной энергии на расстоянии, осцилляторного радиуса гоас = еЕ/тпиз2 от иона к осцилляторной энергии частицы, от которого они зависят (где Ьозс = Ее2/гш%зс - резерфордовский радиус, оцененный по осцилляторной скорости). Это сразу же означает, что структура фазового пространства и ожидаемые эффекты определяются только этим параметром и принципиально различны в областях высокочастотного (слабого, П » 1) и низкочастотного (сильного, П « 1) поля. На базе этого проведена классификация типов движения, частиц и возможных эффектов. Обсуждение проблем численного интегрирования уравнений и способов их решения приведено в разделе 5.5.
В раздаче 5.6 обсуждаются качественные причины расхождения результатов численного интегрирования и традиционных представлений. Показано, что в реальной ситуации электрон вначале испытывает несколько дальних малоугловых столкновении с ионом, приближаясь к иону в поперечном направлении и “группируясь” в фазы
/
/ьЫ • ^(ся(<та<ъ<Гбо>£) - *)*>.
(5)
25
максимума осцилляторной скорости. В результате, последнее столкновение частицы с ионом происходит на меньших, чем начальное, прицельных расстояниях и, соответственно, рассеяние происходит на больший угол и с большим изменением энергии по сравнению с частицей, не менявшей свои дрейфовые прицельные координаты (что предполагает малоугловое приближение).
В разделе 5.7 предложено точечное отображение для описания электрон-ионных столкновений в сильных нолях П » 1. В разделе 5.8 оно упрощено в приближении малости дрейфовой скорости злектіюиа. Анализ этого максимально упрощенного отображения показывает стохастическую динамику частицы при столкновении и формирование распределения п ~ bv/p перед последним (жестким) ударом, что является основной особенностью столкновений в сильных полях. Знание этого распределения позволяет найти частоту столкновений
і'« = 4тг 2THvbvb03C = 47~2eAZ2ni/m?vvl;ic,
плотность столкновитсльного тока и пр., хорошо согласующиеся с результатами численного моделирования (разделы 5.9, 5.10 соответственно).
Помимо нагрева плазмы, при столкновениях в сильных полях генерируются быстрые частицы. Причем их максимальная энергия может достигать не только значений 2роасс » тс2 (рассеяние назад на кулоновском потенциале нона, posc = eE/wc), но и значений 2p*sc/m2c » 2роасс тс2. Столь высоких энергий частица достигает рас-
сеиваясь вдоль волнового вектора (направления распространения ЭМ волны, раздел 5.11). Соответственно, вид дрейфовых координат в релятивистски сильных полях-оказывается не тривиальным (раздел 5.12). Распределение таких быстрых частиц по импульсу найдено в разделе 5.13:
д{р) ~ l/р3 для р < posc\ д[р) ~ 1/р2 для р » розс > тс. (б)
Именно такую зависимость дает и численное моделирование столкновений в реля-
тивистски сильных полях (раздел 5.14). Эти расчеты показали также, что остальные характеристики столкновений (в частности, частота столкновений) описываются нерелятивистскими формулами с параметрами (6osc, гозс и пр.), записанными с учетом релятивистского движения частицы.
Раздел 5.15 посвящен выводу интеграла столкновений в сильных полях:
SU/] = + F(p) [ /(p„)dV (Г)
VPiPj J
о _ TT2niélZ2m ( , PiPj\ _ TiiVrbvbosc /oN
’ p-----------[Ôi> + W)' {P)= vrpi - (8)
26
В получившемся выражении выделены члены, описывающие диффузию функции распределения в пространстве скоростей (член с В^), и часть, описывающий рассеяние частиц с большим изменением скорости (член С .Р(р)).
Условия применимости результатов численного и аналитического анализа парных электрон-ионных столкновений в сильных нолях в размерном виде обсуждаются в разделе 5.17. Особое внимание уделено условиям на плотность плазмы - условием малости трех-частичных столкновений, обсуждаемых в разделе 5.16. Численное моделирование трех-частичных столкновений показало, что соседние частицы не мешают парным столкновениям если плотность плазмы удовлетворяет условию
т.е. условию прозрачной плазмы. Масштаб г в = \/ЬОІСгоас ~ основной новый (нелинейный) столкновнтельный масштаб, “отвечающий” за все эффекты притяжения элек-трона при столкновениях. Очевидно, что процессы экранирования кулоновского потенциала иона не должны мешать рассеянию частиц. Это приводит к условиям
заведомо более легким и, как правило, выполняющимся. Эти условия выполняются тем лучше, чем выше амплитуда поля накачки Е.
В Заключении изложены основные результаты проведенных в диссертации исследований.
Благодарности
Пользуясь случаем хотел бы выразить глубокую признательность моим явным и неявным учителям и опекунам: Г.М. Фрайману, В.А. Миронову, А.И. Смирнову, А.Г. Литваку.
Я благодарен также своим коллегам и соавторам: С.А. Скобелеву, А.Г. Шалашо-ву, М.Н. Буяновой, Д. Кулагину, Г.В. Пермитину, Д.В. Карташову, А.Н. Степанову, Л.М. Киселеву, E. Westerhof, N.J. Fisch, S. Suckewer, О. Maj, N. Bertelli.
2nncr%rosc <§: 1 или wj, <§: u?
(9)
bv<g.rD, ге < rD или nrj, eZJr2D
(10)
27
(
Глава 1 Квазиоптика анизотропных неоднородных сред
1.1 Введение
Волновые процессы с узкими угловыми и относительно узкими частотными спектрами допускают приближенное квазиоптическое описание с помощью укороченного уравнения для медленных и плавных амплитудно-фазовых огибающих осциллирующих нолей (complex envelope). К таким процессам относятся широкие в масштабе длины волны волновые пучки (Ai. » Л, А9 ~ Ак±/к <§; 1) и квазимонохромати-ческие волновые пакеты (Acj/uj <£. 1). Каноническим для квазиоитики считается уравнение параболического типа с мнимым коэффициентом “диффузии”, формально совпадающее с уравнением Шрсдингера. По этой причине квазиоптику иногда отождествляют с “методом параболического уравнения”, хотя в общем случае уравнения для комплексных огибающих процессов могут содержать дифференциальные операторы от поперечных координат более высокого порядка, чем лапласиан. Роль эволюционной переменной для пучков играет продольная координата С, для пакетов - переменная С « = d£ — vgdt, vg - групповая скорость).
В данной главе мы ограничились рассмотрением только монохроматических волновых пучков процессов). При этом нс затрагиваются и не обсуждаются спе-
цифичные для электродинамики плазмы явления г такие, как плазменные и циклотронные резонансы, отсечки, резонансы по направлениями, взаимная трансформация мод и т.д.
28
1.1.1 Обобщение ГО для волновых пучков
Существуют различные способы поиска решения для амплитуды монохроматического (е,ьН процесса) волнового пучка, распространяющегося в неоднородной среде. Среди них можно выделить 3 группы: методы обобщающие геометрическую оптику (см. [226] и цитируемую там литературу); методы использующие разложение по плоским волнам [114); методы для плавной огибающей (метод Леонтов1па [198]). Продемонстрируем достоинства и недостатки этих подходов на примере уравнения Гельмгольца (fc0 = и/с)
AU 4- Ä:20e(r)U = 0 (1.1)
с граничными условиями для амплитуды U и ее производной nVU заданными на некоторой плоскости i • (г — г0) = 0 и равными нулю на бесконечности.
Одним из наиболее популярных методов его решения для широких в масштабе длины волны волновых пучков (Ах » А) является геометрическая оптика, когда поле ищется в виде U = А ехр(?<^) и в первом порядке малости по 1/fcoAl получается система уравнений [187]
(V<p)2 = fcfc, div(i42V<^) = 0. (1.2)
Первое уравнение (уравнение эйконала) задает перенос фазы вдоль лучей {г(т),р(т)}, подчиняющихся уравнениям гамильтона
dr dH dp dH гг 2 , . л
Tr = W 5Г* Я = р -£(г) = 0 (1'3)
В результате решение записывается в виде интеграла вдоль лучей
V = k*JeMror,T)dT, . (1.4)
где I = г/|г[, X = |г|.
Начальными условиями для семейства ГО лучей, удовлетворяющих уравнениям (1.3), обычно является координата гд. на плоскости начальных условий для уравнения (1.1) и соответствующие ей амплитуда А = \U(гд.)| и значение волнового вектора pMj.) = (Um(£VU)/iko + c.c.)/\U\2 = £V(pjk0 в данной точке. В реальных расчетах число ГО лучей выбирают конечным, а в ряде случаев ограничиваются вообще только центральным ГО лучом, стартующим из положения центра масс волнового пучка и с центральным значением волнового вектора у?0 = р(т = 0). Отметим, что величина гамильтониана Я равна нулю в начальной точке, в силу выбора начальных условий для ГО луча, и остается равной нулю на всем ГО луче.
Метод ГО встречает большие трудности вблизи точек пересечения лучей Мю-кусов и каустик) и в неоднородных средах с анизотропией или с пространственной
29
дисперсией, когда на распространение лучей влияет не только неоднородность среды (рефракция), но различие в волновых векторах (дисперсия). Частично обойти данные трудности позволяет включение дифракционных эффектов в ГО.
В рамках уравнения эйконала (1.2) для среды без диссипации (є - действительная функция) можно продвинуться дальше и учесть дифракцию пучка, вводя “мнимую” компоненту фазы, отвечающую неоднородности амплитуды пучка. Это можно сделать двумя способами.
Во первых, можно искать решение в виде V = что соответствует замене
векторар = VI? -> р + зі записать для него уравнения аналогичные (1.3) [35,84]
£=§• р-и(1-5) дополнив их уравнением для “мнимой” части эйконала
■ ^ = о.
дрі С)Гі
Последнее уравнение означает, что вдоль ГО лучей величина 5у остается неизменной и задается на плоскости начальных условий 5/ = 1п А(г^)/А(г0і.). Аппроксимируя реальный профиль пучка набором лучей (и тем самым определяя значения 5/ на лучах) можно учесть дифракцию волнового пучка при численном интегрировании уравнений (1.5).
Второй способ состоит в введении комплексной “ширины” волнового пучка (Ту, являющейся коэффициентом перед квадратичным членом разложения “комплексного” эйконала <р = —ПпГ/(г)/С/(го) вблизи центрального ГО луча [87]
у? -> ір(т) + + і(ту(т)&£, & = (г,- - г,(т))(<5у - №і).
Здесь & - координата поперек ГО луча г3(т). Подробнее о сопровождающей системе координат см. §1.1.2 (текст после (1.12)). Фактически это соответствует параболической зависимости 5/ = |1т(7у(тЙ^ в уравнении (1.5).
Уравнение для сгу получается из приравнивания нулю полной второй прозгзводной по координатам от уравнения эйконала
січ, і ( д2н д2н д2н д2п \ „
в.т 2 \дхідх^ + дхідрк ** а'кдх3()рь дркдрі)
Производные берутся на центральном ГО луче г = г(т). Начальными условиями служат начальная ширина и кривизна фазового фронта волнового пучка <7ц(т = 0) = 1/21/(го) д2и/д£ід£3. Параболическое разложение фазы позволяет описывать распространение и дифракцию гауссовых пучков основываясь на решении системы
30
обыкновенных дифференциальных уравнений (1.6). В литературе данный метод называют beam tracing.
Очевидно, что оба приближенных метода построения решения (1.5) и (1.6) справедливы только для плавных волновых пучков, распространяющихся в плавных на масштабе пучка средах L Ajl А. Кроме того, они не описывают влияние пространственной дисперсии волновой моды или среды на профиль волнового пучка. Действительно, оба метода ограничены использованием только лишь второго (параболического) члена в эйконале. Более того, учет аберраций (более высоких членов разложения эйконала) встречают значительные сложности уже на этапе вывода уравнений.
Наконец, можно использовать решение (1.4) при построения решения для сколь угодно узких волновых пучков, основываясь на разложении в ряд Фурье. Действительно, для каждой пространственной гармоники начального (при т = 0) Фурье спектра пучка можно построить свой ГО луч с начальным импульсом р0 -г q (р0 - ' импульс “центрального” луча) и начальной координатой в центре масс пучка, для каждому лучу сопоставить решение вида (1.4) для квазиплоской волны и свернуть их обратно с помощью процедуры аналогичной обратному Фурье преобразованию. Именно такой подход был реализован в [114].
Фактически, этот метод близок к разложению по плоским волнам в однородной среде. Его достоинством является возможность точного описания дифракции и дисперсии волнового пучка в однородной среде. Однако, в неоднородной среде, когда нарушается применимость решения (1.4), точность получающегося решения падает на расстоянии порядка минимального из радиусов кривизны используемых ГО лучей. Другими словами метод ограничен трассами хт <&■ R = Н2/М-
1.1.2 Метод плавной огибающей
В оптике и радиофизике часто используется другой подход, основанный на разложении уравнения (1.1) для плавной огибающей (метод Леонтовича (197,198)). Начнем со случая однородной среды є = 1. В нашем случае представляя поле в виде U — u[r)exp(ikoz), получаем
Соотношение (1.7) полностью эквивалентно уравнению Гельмгольца. Однако для волновых пучков, вытянутых вдоль г (Ац А^ ;» Л), можно пренебречь членом,
(1.7)
31
заключенным в квадратные скобки. В результате, получается параболическое уравнение с мнимым коэффициентом диффузии:
2**ь|“ = —А±и. (1.8)
Из (1.8) следует, что продольные и поперечные масштабы огибающей пучка согласованы друг с другом. Для них выполняется соотношение, которое принято называть френелевским: ~ АА|. Отметим, что Ад,Ац определяются не только распреде-
лением интенсивности в пучке, но и его фазовой структурой. Например, вдали от фокальных перетяжек одним из продольных масштабов является радиус кривизны фазового фронта: А^ ~ Лц. При этом поперечный масштаб фазовой структуры равен Ах ~ \ZXRu-
У этого подхода есть свои достоинства и недостатки. Во-первых, уравнение для комплексной огибающей волнового пучка и получилось не привязанным к центру масс волнового пучка. Во-вторых, в уравнении (1.8) нет ограничений на'величину диссипации в среде, на наличие аберраций формы пучка, каустик и пр. Тем самым исключаются проблемы поиска луча в сложных, диссипативных средах. Вся информация для определения огибающей содержится непосредственно в уравнении (1.8).
Однако, уравнение (1.8) обладает довольно существенным недостатком. Оно хорошо описывает иоле только в при осевой области, а на периферии приводит к значительным амплитудно-фазовым погрешностям. Этот недостаток можно исправить, если модифицировать метод Леонтовича и представить дифференциальный оператор
(1.7) в факторизованном виде [225] как произведение операторов, соотвстсвующих волнам, распространяющимся вдоль оси г в прямом и в обратном направлении:
§? + + Лх = {ш+1ко + п/*» + л-*-) {§; + 'ко ~ *\/*3+лх) •
Если учитывать волны, распространяющиеся только вправо, то получается наиболее общая (для (1.1)) форма уравнения для огибающей:
+1к° ~ + и=
Соотношение (1.9) содержит так называемый псевдодиффсрснциальный оператор. Смысл имеет только его разложение в ряд Тейлора,1 которое с точностью до членов четвертого порядка малости по А/Ах приводит к уравнению
2гка^ = -А±и + щА1и + ... (1.10)
1В Фурье-пространстве действие этого оператора сводится к умножению спектра огибающей
на функцию /(к) — \/к£ — к2. Однако эта процедура корректна только в области аналитичности функции /(к), т.е. в области существования ряда Тэйлора этой функции. Такой подход в случае однородной среды близок к используемому П [1141.
32
Рис. 1.1: Опорный луч и сопутствующая пучку система координат {т,£!,&}•
В квазиоптике (1.8) принято называть уравнением безаберрационного приближения, поскольку оно допускает группу преобразований координат и ноля идеальной тонкой линзой [224]. Уравнение (1.10) позволяет учесть сферические аберрации. В принципе, можно учесть и аберрации более высокого порядка, удерживая следующие члены разложения корня в (1.9). Однако при этом надо соблюдать определенную осторожность, так как процедура по своей сути является асимптотической.
Уравнение (1.10) можно получить и другим способом, более удобным при распространении пучков в сложных (анизотропных или неоднородных) средах. Действительно, считая член д2и/дг2 в уравнении (1.7) малым, молено представить его в виде производной от членов в правой части квазиоптического уравнения (от Дхи в случае (1.8)). В последнем можно вновь использовать квазиоптическое уравнение для исключения явной производной ди/дт. В результате получим
что вновь приводит нас к уравнению (1.10).
В неоднородной среде все еще можно пользоваться разложением (1.7) вдоль заданной оси г если степень неоднородности слабая е(г) — 1 -С 1. Однако, часто имеет место отклонение пучка как целого, что с некоторого момента приводит к нарушению приближения Л[ » Л. В этом случае удобно переписать уравнение в криволинейной системе координат, привязанной к некоторому лучу. Такая ситуация имеет место, например, в плавно неоднородных средах, когда волновые пучки локализованы вблизи некоторой опорной кривой го(т), где т - параметр, зависящий от длины дуги. В без-диссипативной среде в качестве такой кривой естественно выбрать центральный ГО луч пучка.
Введем некоторые базовые свойства криволинейной ортогональной системы ко-
ординат (рис. 1.1), связанной с кривой го(т):
г - г0(т) + + g2Ç2, (1.12)
где единичные орты <7,-(т)(г = 1,2) перпендикулярны опорному лучу Го(т) и переносятся вдоль него параллельно сами себе (в смысле Леви-Чевнта: giÇj = 0), т.е. подчиняются уравнению
9і = -{9і-*)£, £ = г0/Ы,
і - единичный вектор касательной к кривой го(т). Коэффициенты Ламэ такой криволинейной системы координат равны:
h-ij = âiji hr — h = х(1 — ©i£»')> ©» “ І9і ’ &)/Xi (1*13)
где x — l^ol» © “ вектор кривизны. Из формул (1.13), в частности, следует, что
сопутствующая система координат однозначно описывает точки пространства только при
©£ < 1, (1.14)
т.е. на расстояниях, меньших локального радиуса кривизны R = 1/|в|.
Особо отметим, что переход н криволинейную систему координат обоснован только для малой окрестности опорной кривой, на расстояниях, много меньших ее радиуса кривизны. В противном случае возникают сложности, связанные с неоднозначностью определения координат точки в пространстве.
При конкретных расчетах на компьютере выгоднее бывает вместо дифференци-ронания в {т,£} вычислять производные по направлениям в сопровождающей декартовой системе, реперы которой £{т)>д1(т),д2(т) поворачиваются при движении вдоль опорного луча. Например:
dp d , . . 1ЭНЛ дН
После дифференцирования, получаем
• дН . „
Рт = Х~дг + X Рі = ~~д9~ ~ ХРг' '
Перед переходом в связанную с кривой г0(т) криволинейную ортогональную систему координат, введем комплексную огибающую поля волнового пучка U, выделив в нем быстро осциллирующий множитель:
и = и(£,т). е“0*, Ф = Jx{r)f(r)dr. (1.16)
34