Имитационное моделирование на ЭВМ элементарного скольжения в кристаллах

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................6
1. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ИМИТАЦИИ НА ЭВМ ЭМИССИИ ДИСЛОКАЦИОННОЙ ПЕТЛИ ИСТОЧНИКОМ И ПРОЦЕССА ЕЕ ЭВОЛЮЦИИ В ПЛОСКОСТИ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОГО СКОЛЬЖЕНИЯ СО СЛУЧАЙНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ДИСКРЕТНЫМИ ПРЕПЯТСТВИЯМИ.......................................... 28
1.1. Барьерная модель постоянного линейного натяжения............ 28
1.2. Некоторые усовершенствования барьерной модели постоянного линейного натяжения......................................... 32
1.3. Основные алгоритмические проблемы........................... 34
1.4. Формирование поля препятствий............................. 35
1.4.1. Блочная структура случайного поля препятствий.
Оптимизация размера блока............................... 37
1.4.2. Формирование отдельного блока.......................... 44
1.4.3. Используемые датчики псевдослучайных чисел............. 47
1.5. Представление дислокации в ЭВМ.............................. 50
1.6. Организация активационного процесса......................... 52
1.7. Алгоритмизация имитации эмиссии дислокационной петли источником и процесса ее эволюции...............................57
1.7.1. Критерий возможного расположения точки относительно прямой....................................................... 59
1.7.2. Критерий пересечения отрезков ......................... 62
1.7.3. Прогибание дислокационного сегмента.................... 64
1.7.4. Проверка дислокационных узлов на стабильность. Силовое и термоактивнрусмос преодоление препятствий.................... 70
1.7.5. Локализация места замыкания сегмента-источника в дислокационную петлю. Отделение островов незавершенного кристаллографического сдвига................................. 74
1.8. Общая схема работы программного комплекса................... 78
Основные результаты и выводы по разделу 1........................ 88
2. ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ........................................ 91
2.1. Параметры модели и их классификация........................... 91
2.2. Некоторые характеристики элементарных кристаллографических скольжений................................................. 93
2.2.1. Общая площадь элементарных кристаллографических скольжений..................................................... 93
2.2.2. Площадь элементарного кристаллографического скольжения .. 94
2.2.3. Плотность дислокаций в нерелаксирующем деформируемом кристалле...................................................... 96
2.2.4. Средняя площадь элементарного кристаллографического скольжения в нсрслаксируюшсм деформируемом кристалле .... 97
2.2.5. Число элементарных скольжений в нерелаксирующем деформируемом кристалле.......................................98
2.2.6. Число активных скольжений в деформируемом кристалле 99
2.3. Формирование поля препятствий................................ 103
2.3.1. Прочности и относительные концетрацин препятствий 103
2.3.2. Размеры площадки моделирования. Число стопоров вдоль скользящей дислокации......................................... 107
2.4. Замечания о некоторых предположениях модели.................. 111
2.5. Интервал вариации длин потенциальных сегментов - источников 114
2.6. Безразмерные параметры модели................................ 114
Основные результаты раздела II.................................... 117
3. ЭМИССИЯ ДИСЛОКАЦИОННОЙ ПЕТЛИ ИСТОЧНИКОМ И ЕЕ ЭВОЛЮЦИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ СЛУЧАЙНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ТЕРМОАКТИВИРУЕМЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ 119
3.1. А гсрмнчсское напряжение старта дислокационного источника 124
3.2. Кинетика дислокационного сегмента до конфигурации потери механической устойчивости.................................. 129
3.2.1. Классификация облааей.................................. 129
3.2.2. Конфигу рация потери механической устойчивости сегментом-источником.......................................... 143
3.2.3. Средняя длина дислокационного сегмента................. 149
4
3.2.4. Углы огибания на препятствиях в стабильных конфигурациях 151
3.2.5. Линейный прогиб, заметаемая площадь и скорость прогиба сегмента-источника............................................. 152
3.2.6. Время жизни стабильных конфигураций.................................... 155
3.3. Эмиссия дислокационной петли источником....................... 166
3.4. Зависимости времени эмиссии дислокационной петли от напряжения, температуры, длины источника.................... 175
3.5. Распределение времени эмиссии дислокационной петли источником 182
3.6. Эволюция дислокационной легли or источника в поле случайно распределенных однородных препятствий....................... 195
Результаты и выводы по разделу 111................................ 20*1
4. ЗАРОЖДЕНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ СКОЛЬЖЕНИЙ В ПОЛЕ ДИСЛОКАЦИЙ НЕКОМПЛАНАРНЫХ СИСТЕМ СКОЛЬЖЕНИЯ 209
4.1. Стадии типичных экспериментов и форма их представления.........210
4.2. Частота срабатывания потенциального источника как источника Франка-Рида..................................................222
4.3. Классификация механизмов замыкания сегмента - источника в дислокационную петлю........................................ 231
4.4. Напряжение старта дислокационного источника в поле препятствий дислокационной природы.......................................237
4.4.1. Атермическое напряжение старта дислокационного источника .. 244
4.4.2. Термоакгивируемое напряжение старта источника........... 272
4.5. Вероятностно - геометрические характеристики дислокационной
петли в момент сё образования.................................. 278
4.5.1. Концентрация стопоров вдоль дислокационной петли.........282
4.5.2. Форма и размеры петли в момент замыкания................ 283
4.5.3. Распределение длин дислокационных сегментов............. 290
4.6. Эволюция ачанарной дислокационной петли в поле препятствий дислокационной природы под действием напряжения старта источника ... 298
4.6.1. Кинетика замкнутой планарной дислокационной петли.......... 298
5
4.6.2. Концентрация стопоров вдоль дислокационной петли..........302
4.6.3. Распределение длин дислокационных сегментов.............. 305
4.6.4. Процесс петлеотделения....................................308
4.6.4.1. Структура островов незавершенного кристаллографического сдвига...............................316
4.6.4.2. Распределение площадей островов и периметров их границ.....................................................323
4.6.4.3. Интенсивность процесса петлеотделения............ 340
4.6.4.4. Начало процесса петлеотделения....................348
4.7. Инволюция вогнутых дислокационных петель, ограничивающих области незавершенного кристаллографического сдвига, и сопутствующие динамические эффекты...................................350
4.7.1. Кинетика сжатия островов незавершенного сдвига............350
4.7.2. Динамические эффекты, связанные с эволюцией островов незавершенного сдвига........................................... 356
4.8. Начальная конфигу рация дислокационного источника во втором цикле действия и динамическая локализация кристаллографического скольжения.....................................................362
4.8.1.Классификация восстановленных источников...................364
4.8.2. Динамическая локализация кристаллографического скольжения 375
4.9. Геометрический параметр в уравнении интенсивности генерации дислокаций.................................................... 388
4.9.1. Приближение выпуклых самоподобных кривых................. 390
4.9.2. Оценки геометрического параметра по результатам имитационного
моделирования эволюции дислокационной петли в поле
случайно расположенных точечных препятствий............... 394
Результаты и выводы по разделу IV...................................397
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ...........................................405
Приложение I........................................................412
Приложение 2....................................................... 418
ЛИТЕРАТУРА............................................................ 423
6
ВВЕДЕНИЕ
Макроскопическое формоизменение твердых тел. имеющих кристаллическое строение, может происходить двумя путями: 1) посредством диффузионного мас-сопереноса по вакантным узлам или межузельному пространству кристаллической решётки; 2) безднффузнонным путём в результате кооперативных смешений атомов. Кооперативные смещения атомов в кристаллическом веществе имеют кристаллографический характер, они происходят в определённых кристаллографических плоскостях и направлениях и переводят кристаллическую решётку в решётку того же или другого типа. Если решетка после осуществления кооперативных смещений преобразуется в кристаллическую решётку' другого типа, то говорят о деформации фазового превращения (или о мартенситном механизме деформации) [1-5].
Если в результате бездиффузионных смешений атомов кристаллическая решётка переходит в решётку того же типа, но зеркально симметричную исходной отностгтслыю некоторой кристаллографической плоскости, то говорят о деформации двойни кования. И, наконец, в случаях, когда коллективное смещение атомов преобразует решётку в себя самой, формоизменение кристалла называют деформацией скольжения [6].
Эти четыре вида деформации исчерпывают возможные типы микромеханизмов пластичности кристаллических тел. Вес пластические формоизменения твёрдых тел без утраты ими кристаллического состояния и сплошности совершаются посредством диффузии или бездиффузионных фазовых превращений, двойникова-ния и скольжения, а также различных комбинаций перечисленных микромеханизмов пластичности.
Деформации фазовых превращений, двойникования и скольжения обычно сопутствуют друг друг\% обеспечивая достаточное число трансляционных и ротационных степеней свободы, чтобы формоизменение кристалла, задаваемое внешним деформирующим воздействием, могло произойти без нарушения сплошности деформируемого пластически кристалла.
Так, при деформации фазового превращения необходимые повороты могут осуществляться в результате микродвойшпеования. При деформации скольжения
7
необходимые для сохранения сплошности повороты осуществляются посредством деформации двойникования и (или) диффузионного массопереноса.
Диффузионная деформация всегда сопровождает деформацию скольжения. В отличие от бездиффузионных кооперативных смешений атомов при фазовой деформации и деформации двойникования смешения атомов при деформации скольжения происходят на вектор трансляции решётки, равный по модулю межатомному расстоянию в направлении скольжения. Возникающие при скольжениях нарушения регулярного кристаллического строения имеют, поэтому, атомные размеры, по крайней мере, в одном измерении: ЭТО - экстраплоскости и ядра дислокации, ряды межузельных атомов и вакаагтнмх узлов решетки, отдельные атомы, расположенные в межузельном пространстве и вакантные узлы.
Межузельные атомы и вакансии в условиях градиентов их концентраций, а также градис1ггов напряжений и температур, а в сплавах, ещё и градиентов концентрации компонентов сплавов, возникающих при пластической деформации скольжения, совершают диффузионные перемещения на макро- и микроскопические расстояния, обеспечивая при этом диффузионный массоперенос и некристаллогра-фичсскую составляющую пластического формоизменения [7-12].
Кристаллофафнчсскос скольжение в кристалле, содержащем дислокации систем, нскомпланарных активной системе скольжения, порождает точечные дефекты [8, 9]. Изучение дислокационной динамики кристаллографического скольжения показало, что в процессе распространения кристаллографического скольжения дислокация на его фронте движется со скоростями, достигающими величин, близких к скоросги поперечного звука [13, 14]. Движение быстрых винтовых дислокаций сопряжено с интенсивным производством вакансий и межузельных атомов [8, 9]. Обусловленный точечными деформационными дефектами массоперенос может достигать величин, соизмеримых с массопереносом, производимым собственно кристаллографическим скольжением [9].
Имеются многочисленные экспериментальные наблюдения поверхностной картины, связанной с пластичностью скольжения, которые свидетельствуют о значительных некристаллографических деформациях, сопутствующих кристаллофа-фическому скольжению (волнистый характер следов скольжения, полосы сброса.
8
не вполне кристаллографическая ориентация линии скольжения и др.) (15. 16]. Деформация кристаллографического сдвига в чистом виде, по-видимому, вообще не может быть воспроизведена экспериментально (за исключением достаточно низких температу р, при которых невозможны диффузионные перемещения наиболее подвижных точечных дефектов - межузельных атомов). Если даже деформирующее устройство таково, что оно обеспечивает возможность чистого сдвига, реальный наблюдаемый сдвиг всегда включает некоторую составляющую, обусловленную диффузионным массопереносом.
Интенсивность производства точечных дефектов при деформации скольжения зависит от уровня сил Пича-Келера, действующих на скользящие дислокации в локальных объёмах кристалла. Поэтому интенсивность диффузионною массопсрс-носа наиболее велика вблизи концентраторов напряжений. Диффузионная пластическая деформация осуществляет аккомодационную деформацию там, где она необходима для сохранения сплошности деформируемого кристалла. Диффузионные аккомодационные деформации происходят с высокой точностью на любых масштабных уровнях от макроскопического до атомного. Обладая бесконечным числом степеней свободы связанного с нею формоименения, диффузионная деформация является универсальным механизмом релаксации напряжений, создаваемых деформирующим воздействием и вызванной им деформацией скольжения [9].
Следует подчеркнуть аккомодационную роль кристаллографического скольжения, связанную с порождением нм сопутствующей диффузионной деформации. При достаточно высоких температурах диффузионный массоперенос обеспечивает ротационные составляющие деформации (поворот, изгиб-крученме). необходимые для отклика материала на моментпые напряжения, возникающие в процессе реализации трансляционных мод деформации.
Пластичность скольжения есть результат кристаллографических скольжений (трансляционные моды деформации) и некристаллографических деформаций (включающих необходимые повороты и изгибы-кручения) (17. 18]. обусловленных диффузионным массопереносом (9]. Пластически деформируемое кристаллическое твердое тело самоорганизуется в многоуровневую иерархическую систему, в которой трансляционные и ротационные моды пластической деформации на различных
9
масштабных и структурных уровнях находятся в неразрывной органической взаимосвязи [17-19]. Рассмотрение всей иерархии трансляций и ротаций в деформируемом кристаллографическом твёрдом теле составляет содержание новой научной дисциплины - физической мезомеханики. Основы концептуального, понятийного и математического аппарата физической мезомеханики заложены в работах академика В.Е.Нанина и руководимого им Института физики прочности и материаловедения РАН [20-33].
Следует отметить нередко встречающуюся излишнюю идентификацию трансляционных деформаций с кристаллографическими механизмами массопере-носа (скольжение, двойннкованнс. мартснснтнос превращение). Сдвиговые деформации могут осуществляться и непосредственным диффузионным массопереносом материала. Оба типа механизмов пластической деформации: кристаллографический и некристаллографический в той или иной мере присутствуют на всех уровнях иерархии механизмов пластичности [8. 9]
Здесь возникает определённая аналогия между формоизменением твёрдого тела и жидкости. Трансляционный массоперенос объёмов жидкости может в определённых пределах происходить подобно диффузионному массонсреносу в твердых телах. в произвольном направлении и сопровождаться любыми поворотами.
На этом, однако, аналогия заканчивается. Кристаллические тела отличаются от жидкостей высокой сдвиговой устойчивостью. Жидкоподобные перемещения масс кристаллического тела возможны в этом случае лишь благодаря локальной потере сдвиговой устойчивости вблизи концентраторов напряжения и дефектов кристаллического строения деформируемого тела [3. 6. 28, 38].
Потеря сдвиговой устойчивости кристаллической решётки вблизи концентратора напряжения сопровождается локализованной деформацией. Возникнув вблизи концентратора, сдвиговые процессы развиваются катастрофически и распространяются па значительные расстояния от исходного концентратора. Если это линия скольжения или серия линий скольжения, то значигельная локализация (десятки или сотни дислокаций от одного источника [8. 9. 41]) возникают при каждой активации источника в едином динамическом процессе, обусловленном фундаментальными свойствами кристаллографического скольжения [41-44]. Процесс воз-
10
никновения линии скольжения осуществляется в динамике, в значительной степени детерминирован и происходит за время порядка нано микро - и миллисекунд [45-47]. За такие времена, обычно весьма малые по сравнению со временем деформации при лабораторных испытаниях и многих технологических процессов, по краям области локального сдвига создаётся линия концентрации напряжении на расстоянии равном глубине проникновения элементарного кристаллографическою скольжения в кристалле. Локализованное скольжение осуществляет своего рода перенос концентратора напряжения внутрь кристалла и возникновение новых зон кр I кпгалл ограф ического скол ьжения.
Происходит эстафетное перемещение локализованным скольжением концентраторов напряжения по объему деформированного тела. В результате всё кристаллическое тело или значительная его часть втягивается в деформацию, хотя деформирующие силы М01уг при этом действовать лишь непосредственно в области пятна контакта.
При глубоких деформациях, когда происходит интенсивное взаимодействие кристаллографических скольжений по различным системам скольжения (взаимодействие дислокаций некомпланарных систем скольжения), сопровождающееся производством точечных деформационных дефектов, возникает другой вид неустойчивости деформируемого материала, которую можно назвать кинетической [8.
9].
Точечные деформационные дефекты, осаждаяеь на дислокациях, осуществляют их аннигиляцию. Производство деформационных вакансий и межузельных атомов происходит тем интенсивней, чем выше напряжения реально действующие на скользящие дислокации. Поэтому атомно-дислокационные аннигиляционные процессы протекают наиболее интенсивно у концентраторов напряжения. Если при этом интенсивность аннигиляции дислокаций превосходит интенсивность их производства в результате кристаллографическою скольжения, может происходить уменьшение плотности дислокаций с деформацией [48. 49] и, следовательно, деформационное разупрочнение материала в локальной области вблизи концентратора напряжения. Происходит локализация деформации, в силу чего напряжение у концентратора релаксирует [50]. Но по контуру области локализации сдвиговой
11
деформации возникает новый концентратор напряжения (50]. порождающий описанную, кинетическую локализацию, более глубоко в объёме материала.
Локализация деформации кристаллографического скольжения имеет место всегда. После деформации кристаллографического скольжения кристалл состоит из областей локализации скольжения и областей, нетронутых скольжением. Говорить о гомогенной (дислокационной) деформации можно лишь в том смысле, что области локализации деформации более или менее равномерно заполнили деформируемый кристалл. Такая квазиоднородная пластическая деформация возникает в случае. когда локализованная деформация сопровождается деформационным упрочнением и при повышении деформирующего напряжения в процесс формоизменения кристалла вовлекаются всё новые области локализации скольжения.
Таким образом, детальное описание пластической деформации кристалло-фафического скольжения включает описание динамики взаимодействия концентраторов напряжения - первичных и возникающих в процессе деформации - с порождённой ими локализованной деформацией [3, 6,9,50].
До недавнего времени (начало 80-х годов) этот вопрос оставался практически вне поля зрения исследователей, работающих в области физики прочности и пластичности твердого тела. Сейчас положение меняется к лучшему в связи с возникновением и развитием физической мезо.механнки. одной из главных задач которой является именно изучение динамики взаимоденсгвия концентраторов напряжений п локализованной пластической деформации.[ 17-20. 28-30. 32. 37-40. 50-52].
Макроскопически некристаллографнческое поведение кристаллических тел осуществляется посредством множества неустойчивостей пластической деформации на мезоскопических уровнях (типа «кинетической» неустойчивости), возникновением локализованной деформации вблизи концентраторов напряжения, распространением по кристаллу локализованной деформации и индуцированных ею концензраторов напряжения. Суть процесса везде одна - эстафетное распространение пластической деформации по кристаллическим телам, материалам, средам.
Возможность самоорганизации кристалла, деформация которого осуществляется одним лишь скольжением, в сплошную иерархию трансляций и поворотов
12
[17-33] имеет своим основанием тот факт, что кристаллографическому скольжению при не слишком низких температурах сопутствует аккомодационный диффузионный массоперенос. В температурном интервале вблизи абсолютного нуля, когда вес точечные дефекты неподвижны, аккомодационные повороты осуществляются двойинкованисм или бездиффузионным фазовым превращением.
Благодаря сопутствующему ей диффузионному массопереносу деформация скольжения обладает большей способностью к аккомодации, чем деформация двойни кован ия и мартенситного фазового превращения. Поэтому вовлечение деформации скольжения на поздних стадиях деформации фазового превращения и двойннковання повышает ресурс пластической аккомодации кристаллического тела к деформирующему воздействию.
Таким образом, пластическая деформация скольжения явление наиболее распространённое при пластическом формоизменении кристаллов при механических воздействиях. Она часто выступает как основной или единственный способ формоизменения кристаллов и сопутствует в той или иной мере другим явлениям, лежащим в основе пластичности кристаллов. Поэтому исследование элементарных процессов пластичности скольжения есть необходимая составляющая (одна из основ) познавательной и практической деятельности человека в области изучения пластичности и прочности кристаллических твёрдых тел.
Первая попытка описания кристаллографических скольжений в кристаллах как самостоятельного явления была предпринят лордом Кельвином и Тагом в 1867 году [53). Первое систематическое описание явления кристаллографического скольжения дано в докторской диссертации В.И.Вернадскою '’Явления скольжения кристаллического вещества" [6], опубликованной в 1897 году. В работе собран обширный литературный материал по скольжениям в каменной соли, кальците, корунде и других (всего 77 кристаллических веществ) минералах. Данные других авторов В.И.Всрнадский дополнил результатами разносторонних собственных исследований кристаллографического скольжения. Установлены плоскости и направления кристаллографического скольжения в исследуемых кристаллах, показано, что кристаллография скольжения определяется кристаллической структурой материала. На основе исследований особенностей поляризации света на скольжениях в
13
кристалле автор приходит к выводу, что кристаллографическое скольжения неразрывно связано с образованием в плоскостях скольжения многочисленных линейных дефектов - "каналов", которые имеют молекулярные поперечные размеры. Описание "каналов" таково, что в терминах современной теории дислокаций их можно отождествить с дислокационными диполями, которые, как сейчас хорошо известно, нередко являются преобладающим элементом дислокационных структур, возникающих при пластической деформации многих кристаллических материалов. В.И.Вернадский считает, что явления скольжения в кристаллах составляют основу механического поведения реальных твердых тел. Во всех случаях, когда в кристаллах развито двойникование, В.И.Вернадский тщательно выделяет кристаллографическое скольжение как самостоятельное явление.
Понимание природы пластичности кристаллов и, на его основе, адекватное формальное описание механического поведения кристаллических твердых тел возможно лишь через определенный промежуточны» этап синтеза знаний об атомнодислокационных микромеханизмах пластичности на уровне элемента дислокационной дефектной структуры, достаточно большого, чтобы он уже обладал фундаментальными свойствами дислокационной подсистемы кристалла.
Фундаментальным механизмом, лежащим в основе пластичности скольжения. и естественным минимальны объектом при ее описании является элементарное кристаллографическое скольжение0, при котором происходит относительное смещение частей кристалла по определенной кристаллографической плоскости и в определенном кристаллографическом направлении на расстояние равное длине минимального вектора трансляции решетки в направлении скольжения (вектор Бгоргерса). Распространение скольжения внутри кристалла осуществляется эстафетным механизмом: посредством перемещения дислокации - области атомных смещений, окаймляющей область, где произошло скольжение. С границей кристаллографического скольжения дислокацией - связаны искажения кристаллической решетки, которые обычно описывают как поля упругих деформаций. При
0 Термин »элементарное скольжение» может обозначать, как процесс относительного смешения частей кристалла. так и результат этого процесса. Обычно из контекста ясно, в каком смысле употреблен этот термин в каждом конкретном случае. В дальнейшем этот термин используется преимущественно по втором смысле как область, по которой прошло относительное смешение частей кристалла
14
этом выделяется малая область в окрестности оси дислокации - ядро дислокации, где искажения решетки слишком велики, чтобы для их описания можно было применить теорию упругости. Эта область рассматривается на атомном уровне с использованием потенциалов межатомного взаимодействия. Заметим, что именно здесь, на уровне кристаллографических скольжений и дислокаций начинается переход от описания на атомном уровне к описанию в терминах сплошной среды. Микромеханика дислокаций рассматривает механизмы сдвиговой пластической деформации уже на надатомном уровне. Именно на этом уровне начинается конти-нуализация при изучении макроскопических проявлений пластического поведения кристаллических тел. Вместо сил межатомных взаимодействии на дислокационном уровне рассмотрения (на уровне дислокационной микромеханики) фигурируют уже такие величины, как протяженность дислокации, энергия единицы длины дислокации, ее линейное натяжение, эффективная масса и т.д. Все эти величины, с одной стороны характеризуют большие совокупности атомов, а с другой, вычисляются на основе теории упругости. Математический аппарат дислокационной мнкромехани-ки - уравнения движения упругих струн и бесконечно растяжимых нитей.
Таким образом, динамика кристаллографического скольжения может и должна рассматриваться как динамика связанных с ним замкнутых планарных дислокаций (дислокационных петель).
Выбор элементарного кристаллографического скольжения и качестве минимального мезоскопического уровня иерархической организации явления пластичности скольжения представляется адекватным прежде всего потому, что в условиях внешнего механического воздействия на кристалл именно на этом уровне действуют основные движущие силы микромеханики пластичности скольжения - силы Пича-Кслсра. На уровне элементарного скольжения совершается работа этих сил, происходит изменение конфигурационной и кинетической составляющих внутренней энергии деформируемого кристалла, связанной с его деформационной дефектной подсистемой, осуществляется диссипация энергии.
При рассмотрении элементарного кристаллографического скольжения как единого целостного процесса может быть в полной мере реализован энергетический подход и применен закон сохранения энергии для получения необходимых
15
микромеханических характеристик кристаллографического скольжения и нахождения описывающих это явление количественных соотношений.
Однако до настоящего времени в подавляющем большинстве исследований доминирует представление дислокационной подсистемы бесконечными прямолинейными дислокациями. Такое приближение должно было породить и действительно породило чисто модельные эффекты и проблемы и. вместе с тем. привело к утрате части информации о дислокационной подсистеме.
Гакова, например, проблема генерации дислокаций в процессе сдвиговой деформации. В случае представления дислокационной подсистемы бесконечными прямолинейными дислокациями интенсивность генерации дислокаций приходится вводить в теоретические модели как параметр, в то время как при конкретном рассмотрении распространения кристаллографического сдвига, как расширения дислокационной петли, его окаймляющей, деформация и накопление дислокаций связаны необходимым кристаллогеометрическим соотношением (ВЛ.Индеибом. А.Н.Орлов; 1962 [54]).
Приближением бесконечных прямолинейных дислокаций порождено представление о неразрешимости проблемы шшрриш'а - нахождения числа препятствий. пройденных дислокацией атермнчески, после одной термической активации. Нет даже каких-либо подходов к ее теоретическому решению. Именно в связи с проблемой ип/1ррш§'а было впервые применено имитационное моделирование для описания движения дислокаций через поле случайно расположенных препятствий (А.Формен. М.Мэйкии; 1966 [55]).
Отметим еще одно следствие приближения прямолинейных бесконечных дислокаций, которое принципиально меняет нею картину дислокационной пластичности кристалла. Бесконечная прямолинейная дислокация находится в безразличном равновесии. Ничего не изменится, если поступательно переместить се на некоторое расстояние Ах. Такие представления, в какой-то мере, приемлемы для рассмотрения дислокационных подсистем в статическом приближении. Если же учесть, ЧТО в действительности дислокации образуют замкнутые дислокационные петли, картина кардинально меняется. Дислокационная петля, если даже предположить что ее линейное натяжение и радиус кривизны постоянны, и она имеет
16
форму, близкую к окружности, может находиться в неустойчивом равновесии лишь при строго определенном напряжении. При малом увеличении радиуса АХ петля будет ускоренно расширяться; при малом уменьшении Л/? - ускоренно сжиматься вплоть до аннигиляции.
Таким образом, применительно к дислокационной подсистеме, состоящей из конечных замкнутых петель, статический подход неприемлем. Эволюция дислокационной подсистемы происходи как совокупный результат многочисленных локальных последовательных неустойчивостей, которые сопровождаются движением. размножением и взаимодействием дислокаций в динамическом режиме. В областях локальных потерь устойчивости эволюция дислокации происходит по законам дислокационной микромеханики, учитывающей кристаллографию, топологию и инерционные свойства дислокаций, сосредоточенные и распределенные силы, действующие на дислокацию, включая силы самодействия дислокаций. Развитие событий в этих областях имеет определенные характерные масштабы и времена, и не зависит от длительности деформирующего воздействия.
Элементарная деформационная неустойчивость в кристаллических материалах. деформирование которых осуществляется кристаллографическим скольжением - спонтанное расширение дислокационной петли после преодоления сегментом-источником критической конфигурации. Из этих минимальных объектов пластической деформации складываются серии дислокаций, возникающих при формировании зоны сдвига в результате последовательных испусканий петель источником. В свою очередь, поля упругих деформаций возникающих при формировании зоны сдвига активируют следующие источники, в результате чего по деформируемому кристаллу распространяются автоволны возбуждений кристаллографического скольжения [22]. Из автоволн возбуждений кристаллографических сдвигов формируется макропластичность.
Именно планарная замкну тая дислокация, а но бесконечная прямолинейная или квазнпрямолннейная дислокация, которая была доминирующим объектом исследования в традиционной теории дислокаций, является минимальным представительным структурным элементом дислокационной подсистемы кристалла, «молекулой пластичности». Потому что ни бесконечная прямолинейная или квазнпрямо-
17
линейная дислокация, ни некоторый выделенный по какому-либо признаку, элемент замкнутой дислокации не отражают в достаточно полной мере фундаментальных свойств дислокационной подсистемы (в частности, «размножения» дислокаций, то есть увеличения их протяженности в процессе кристаллографического скольжения).
Естественным аппаратом для описания распространения элементарных кристаллографических скольжений на этом фундаментальном уровне является понятийный и математический аппарат микромеханики дислокаций, включая ей статические. динамические и кинематические аспекты. Первым шагом последовательной теории пластичности к описанию макроскопического пластического поведения кристалла является описание методами дислокационной мнкромеханики работы дислокационного источника, формирование первой дислокационной петли, испускание серии дислокационных петель.
При изучении элементарных кристаллографических скольжений появляются трудности принципиального характера. Казалось бы, зарождение и распространение кристаллографического скольжения можно описать на основе уравнений динамики дислокаций. Однако уже описание конфигураций прогибающегося индивидуального дислокационного сегмента в отсутствие препятствий на основе дифференциального уравнения струны возможно лишь до достижения этим сегментом критической конфигурации (дальше уравнение струны неприменимо). Кроме того, если бы такое описание было все же возможно, оно было бы применимо лишь для описания распространения элсмс1гтарного кристаллографического скольжения в кристалле, в котором развивается единственное скольжение. В процессе распространения элементарного скольжения ограничивающая его расширяющаяся замкнутая дислокация пересекает десятки тысяч дислокаций других систем скольжения [56]. При контактном взаимодействии дислокаций возникают дефекты дислокации: пороги и перегибы, дислокации вступают между собой в дислокационные реакции, в результате которых возникают дислокационные соединения-дислокации, вектор Бюргерса которых не совпадает с векторами Бюргсрса взаимодействующих дислокаций. Конфигурация дислокаций, участвующих во взаимодействии, в частности, протяженность “продукта реакции" - дислокационного соединения, определяется
18
минимумом энергии полей смешений, связанными со всеми дислокациями, участвующими во взаимодействии и возникающими в результате взаимодействия [57-84].
Контактные силы, связанные с образованием порогов и перегибов, невелики, поскольку при пересечении происходит их удлинение лишь на длину вектора трансляции в направлении скольжения. Для того чтобы произошло перерезание скользящей дислокацией дислокации леса, силами внешнего напряжения должна быть совершена работа, величина которой равна энергии двух порогов или двух перегибов или сумме энергий порога и перегиба [74]. В случае же взаимодействия реагирующих дислокаций происходит значительное изменение протяженности дислокаций и их линейной энергии. Поэтому, хотя реагирующие дислокации составляют относительно небольшую часть всех дислокаций, пересекаемых замкнутой дислокацией, связанной с кристаллографическим скольжением, при распространении скольжения они создают основную часть сопротивления дислокационной подсистемы движению скользящей дислокации. Силы, необходимые для взаимного пересечения реагирующих дислокаций, определяются равновесием линейных натяжений в тройных узлах. Величина этих сил в зависимости от ориентации и векторов Бюргерса пересекающихся дислокаций может быть весьма различной (от нуля до величин, несколько превышающих силу линейного натяжения). Взаимодействия двух факторов: 1) сил линейного натяжения, стабилизирующих конфигурацию замкнутой дислокации в форме, соответствующей минимуму сс собственной энергии, и 2) сил контактных взаимодействий, вызывающих локальные отклонения замкнутой дислокации от этой конфигурации, приблизительно одинаковы по величине сил. их характеризующих (фактор, сохраняющий конфигурацию дислокации. соответствующую минимуму её конфигурационной энергии и, фактор, ведущий к нарушению этой конфигурации, приблизительно одинаковы по величине сил их характеризующих). Поэтому контуры распространяющегося элементарного скольжения приобретают очень сложную конфигурацию. Кроме того, дислокации взаимодействуют с атомами растворенных элементов, частицами второй фазы и т.д. (препятствиями, стопорами). Разумеется, взаимодействие дислокации со стопором. оказывает влияние на ее взаимодействие с другими стопорами; то есть за-
19
дача описания движения дислокации, осуществляющей кристаллографическое скольжения, является разновидностью проблемы многих тел [85]. которая относится к числу нсннтсфирусмых. Аналитическое решение таких задач принципиально невозможно.
Кроме того, дислокации некомпланарных систем скольжения, пересекающие плоскость скольжения, ориентированы и распределены в пространстве случайным (или сшс каким-либо) образом. Существуют, следовательно, сгущения дислокационных препятствий высокой прочности, которые могут оказаться непреодолимыми для скользящей дислокации. Учет случайности в расположении препятствии приветит к соответствующим теоретико-вероятностным проблемам, серьёзно усложняя н без того сложную задачу.
Многое даст реальный эксперимент. Но в обсуждаемых вопросах далеко не вес: действительные деформационные дефекты структуры, формирующиеся в процессе деформации и осуществляющие ее, существуют в динамике и в сложных взаимодействиях. Экспериментатор же имеет дело с реликтовыми структурами, сохранившимися в материале после релаксационных процессов динамического возврата, и поэтому крайне сложно проследить динамические эффекты. Диаметр элементарных скольжений довольно велик по сравнению с межатомными расстояниями в кристалле: он составляет в реальных кристаллах от десятков до сотен микрометров [15. 16, 86-89]. В этом проявляется основная трудность наблюдения элементарных кристаллографических скольжений с помощью методов просвечивающей электронной микроскопии. Эксперименты подобного рода уникальны и крайне редки [90]. С другой стороны, они обычно много меньше, чем размеры деформируемого кристалла. Поэтому лишь небольшая часть элементарных скольжений выходит на поверхность кристалла.
Можно пойти двумя путями.
1. Сделать следующий шаг по пути континуализаиии в описании механизмов пластической деформации: заменить суммарное сопротивление дискретных препятствий, какими являются дислокации леса, распределенными силами трения, которые обеспечивают такое же сопротивление. Так и поступают, например, при моделировании действия дислокационного источника [91-93]. при описании движения уча-
20
стка дислокации (94-96], расширении замкнутой дислокационной петли (8-9), моделировании генерации и эволюции дислокационных петель мод действием ультразвука (97-103]. Следует, однако, ожидать, что результаты такого моделирования могут дать лишь весьма приблизительное представление о конфигурации "пятна" распространяющегося кристаллографического скольжения, поскольку, как уже отмечалось, силы линейного натяжения дислокации и силы сопротивления, связанные с дискретными препятствиями, соизмеримы.
2. Имитировать распространение кристаллографического скольжения на
ЭВМ.
Таким образом, многофакторность, сложность и линейные масштабы процесса распространения элементарного кристаллографического скольжения, а также высокая скорость этого процесса приводят к тому, что в настоящее время его не удаётся проследить ни аналитическими, ни существующими экспериментальными методами. Приемлемым выходом из этой ситуации представляется воспроизведение распространения элементарного кристаллографического скольжения посредством машинных экспериментов, в частности методами имитации соответствующих процессов на ЭВМ. Их постановка, как и постановка реального эксперимента, должна осуществляться на основе каких-либо принятых концепций (обоснованных для каждой конкретной задачи) или континуальных математических моделей.
Математическое моделирование пластических деформаций в кристаллах на основе математических соотношений, выражающих фундаментальные кристалло-гсометричсскнс. топологические и физические свойства деформационных дефектов кристаллической решетки, становится в настоящее время необходимой составной частью арсенала методов исследования явления пластичности кристаллов [8, 9. 19. 104-108]. Математические модели, достаточно полно отражающие механизмы возникновения деформационных дефектов, их движения, взаимодействия, аннигиляции позволяют исследовать явление пластичности кристаллов во всей области условий. в которой оно существует, включая такие условия деформирования, состояния кристалла и масштабы проявления пластичности, которые трудно или невозможно осуществить в реальном физическом эксперименте.
В 70-х годах в науке о пластичности кристаллов была осознана роль математического моделирования еще и как формализованного инструмента синтеза огромного объема знаний (в исходном их виде обычно разрозненных и фрагментарных) об элементарных механизмах, процессах и закономерностях пластической деформации в целостную картину пластического поведения кристаллов в условиях различных деформирующих воздействий [104]. Были предприняты широкие коллективные системные исследования, направленные на синтез знаний о пластичности кристаллов |3. 8, 9. 17. 19. 20. 66. 106. 108-122]. Это дало более глубокое понимание явлений, связанных с пластическим формоизменением кристаллических твердых тел.
Реальный и компьютерный (математический, вычислительный) эксперименты становятся двумя необходимыми взаимно - дополняющими сторонами единого экспериментального метода. Имитационное моделирование поставляет для построения модели кинетики пластичности и деформационного структурообраюва-ння необходимые соотношения; например, для интенсивности генерации дислокаций в процессе сдвиговой деформации, соотношения для суммирования вкладов препятствий различной природы в деформирующее напряжение, полный набор геометрических параметров расширяющейся дислокационной петли и многое другое. Имитация на ЭВМ элементарного кристаллофафичсского скольжения позволяет корректно поставить (иногда непосредственно увидеть) вопросы, требующие рассмотрения методами дислокационной динамики, вероятно, в весьма упрошенных моделях. О допустимости тех или иных упрощающих предположений можно судить опять-таки на основе наблюдений за конфигурациям)! расширяющейся дислокационной петли.
Поэтому привлечение методов имитационного моделирования к описанию кристаллофафичсского скольжения представляется не только актуальным, но и совершенно необходимым.
В последнее время имитационное моделирование привело к весьма существенному профессу в изучении самых общих явлений, связанных с пластическим формоизменением кристаллических твердых тел. Однако оно не прошло ещё есте-
22
ствснного пути от набора частных изолированных результатов, до сведения их в единый и целостный раздел фундаментальных знаний.
В связи с этим, главной целью настоящей диссертационной работы является систематическое изучение зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения в поле препятствий дислокационной природы методами имитационного компьютерного моделирования планарного движения дислокаций, связанных со скольжением, охватывающее вес стороны этой проблемы.
Для реализации цели необходимо исследовать и описать: 1) докритические конфигураций дислокационного сегме!гта, являющегося потенциальным источником при его выгибании иод действием внешнего напряжения; 2) прохождение выгибающимся дислокационным сегментом околокрнтнчсскнх конфигураций и конфигурации потери механической устойчивости; 3) дальнейшее выгибания дислокации - источника после потери устойчивости, сс замыкание к отделение от нее замкнутой расширяющейся планарной дислокационной петли; 4) расширение отделившейся замкнутой планарной дислокации до диаметра порядка среднего диаметра наблюдаемых экспериментально кристаллографических скольжений; 5) конфигурации дислокаций-источников в начале второго цикла их действия:6) эволюцию обнаруженных в процессе моделирования островов незавершенного кристаллографического сдвига, оставшихся за фронтом распространения элемшгтарного скольжения.
Научная новизна. Предложен новый эффективный способ имитации эволюции замкнутой дислокации, связанной с элементарным скольжением, не имеющий аналогов в соответствующих имитационных моделях, как по лотке реализации, так и по методам алгоритмизации, позволивший впервые воспроизвести на ЭВМ единичное скольжение в кристалле как целостный процесс. В рамках единой модели поставлен полный цикл экспериментов, имитирующих процесс зарождения и распространения элементарного скольжения в поле как слабых точечных стопоров. преодолеваемых с помощью термической активации, так и в поле точечных стопоров, имитирующих все виды дискретных препятствий дислокационной природы, возникающих при пересечении скользящей дислокации с нереагирующими, реагирующими и аннигилирующими с нею дислокациями вторичных систем
23
скольжения. Пространственно-временная организация скольжения, его временные, масштабные и динамические характеристики, полученные в двумерной модели замкнутой дислокации, образующей фронт распространяющегося элементарного скольжения, во многом принципиально отличны от представлений классической дислокационной теории пластичности, сложившихся на основе рассмотрения движения квазипрямолиненных дислокаций. Скольжение осуществляется преимущественно посредством атермнчсского надбарьерпого движения дислокаций, термически активируемое скольжения происходит лишь в небольшой (около 0.1%) части активной плоскости скольжения. Установлены закономерности изменения напряжения активации скольжения с изменением начальной длины источника, свойств и расположения препятствий в плоскости скольжения, температуры. Обнаружено отделение от скользящей дислокации вогнутых замкнутых петель, ограничивающих острова незавершенного скольжения. Установлены условия возникновения петлс-отделения и факторы, определяющие его интенсивность, описана эволюция островов незавершенного сдвига, их вероятностно-геометрические и динамические характеристики, локализация диссипации энергии, связанной с аннигиляцией вогнутых петель. Впервые воспроизведена в компьютерном эксперименте и детально исследована конфигурация дислокации-источника в момент отделения первой порожденной источником замкнутой петли и начала второго цикла действия источника. Установлена локализация скольжения дислокационно-динамической природы, и исследована зависимость величины такой локализации от длины источника и механизма его действия.
Научная и практическая значимость. Разработанная методика имитации на ЭВМ элементарного скольжения в кристаллах позволяет единым образом воспроизводить этот процесс как на его начальной термоактивируемой стадии, так и на стадии атермического скольжения. Полученная информация о масштабных, временных и динамических характеристиках элементарного кристаллографического скольжения является необходимой составляющей основания глобальных математических моделей пластического поведения кристаллов, включая его температурно-зависимую и атермичсскую составляющие и позволяет- целенаправленно планировать эксперименты по исследованию пространственно-временной органи-
24
зации скольжения в кристаллах, корректно ставить вопросы, требующие рассмотрения методами дислокационной динамики.
Выявлены границы допустимости некоторых приближенных подходов соотношений при математическом моделировании элементарного скольжения, гем самым обоснована возможность построения ряда простых моделей скольжения, допускающих аналитическое описание.
Разработанная методика может быть непосредственно применена при воспроизведении на ЭВМ кристаллографических скольжений в различных материалах от твердых растворов (где в число точечных стопоров входят атомы растворенных элементов) до гетерофазных материалов с произвольным (в частности, реальным) распределением упрочняющей фазы.
Решения, предложенные в процессе алгоритмизации модели, имеют самостоятельное значение и могут непосредственно применяться в тех задачах стохастического моделирования, где среди случайно расположенных точек необходим выбор части с заданными свойствами (например, в задачах плоскою случайного блуждания, перколяцнй, при вычислении площадей сложных областей). При этом эффективность их применения нелинейно возрастает с увеличением числа учитываемых точек.
Результаты применения представленной в работе методики имитационного моделирования скольжения в объёме кристалла и возможности её приложения к широкому кругу материалов (металлы, сплавы, твердые растворы, гстсрофазныс материалы) позволяют говорить о новом научном направлении «Исследование явлений скольжения в кристаллических материалах методами имитационного моделирования».
Автор выносит на защиту:
1. Модель для компьютерной имитации зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения как целостного процесса, её алгоритмизация и комплекс соответствующих программ.
2. Результаты, полученные в компьютерных экспериментах на основе двумерной модели распространяющегося элементарного скольжения, включая временные. масштабные и динамические характеристики, а также общую иросгранст-
25
венно-временную организацию этого процесса в ряде аспектов принципиально отличные от существующих представлений, сложившихся на основе одномерных по существу моделей приближения квазипрямолинейных дислокаций.
3. Распределение времени термоактивируемой стадии элементарного скольжения, найденное посредством компьютерных экспериментов и обоснованное теоретико-вероятностными методами, а также зависимости параметров этого распределения от приложенного напряжения, длины дислокации-источника, температуры.
4. Обнаруженные закономерности изменения минимального напряжения начала необратимого кристаллографического скольжения в зависимости от свойств и расположения препятствий в плоскости скольжения, температуры, длины ссг-ме1гга-источника. В случае источников малой длины положения и свойства единственного препятствия могут существенным образом влиять на напряжения старта источника и дальнейшую эволюцию петли; замена сопротивления движению дислокации дискретных препятствий эквивалентным напряжением трения при анализе начальной стадии действия источника во многих случаях некорректна.
5. ЭВМ-эксперимеиталыю выявленные закономерности изменения полного набора верояигостно-гсомстрических характеристик замкнутых дислокационных петель в момент отделения их от источника и в процессе дальнейшего распространения скольжения в зависимости от особенностей механизма действия источника, приложенного напряжения, свойств препятствий, включая методику расчетов кри-сталлогеометричсского параметра в уравнениях типа интенсивности накопления дислокаций.
6. Установленную зависимость величины локализации скольжения в линии скольжения, связанной с действием одного источника, от вероятностно - геометрических параметров восстановленного источника и конфигурации потери устойчивости сегмента-источника в нервом цикле его действия. Наблюдаемая локализация кристаллографического скольжения является в определенной степени дислокационно-динамическим эффектом, непосредственно следующим из динамических свойств дислокаций как замкнутых линейных дефектов в кристаллах.
26
7. Закономерности протекания обнаруженного процесса петлеотделения, сопровождающего распространение элементарного кристаллографического скольжения, включая условия для начала процесса, его интенсивность, вероятностно-геометрические характеристики островов незавершенного кристаллографического сдвига, эволюцию островов и сопутствующие динамические эффекты.
Все перечисленные выносимые на защиту положения подробно рассматриваются и обосновываются в четырех главах диссертационной работы, содержание которых достаточно полно отражено в оглавлении.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих симпозиумах, конференциях, совещаниях и семинарах:
постоянных всесоюзных семинарах по моделированию радиационных и других дефектов на ЭВМ (Горький, 1981; Ростов-на-Дону, 1983; Свердловск, 1984; Калуга. 1987; Караганда. 1991; Тольятти. 1993); международных зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 1995, 1997, 1999); международных семинарах "Эволюция дефектных структур в металлах и сплавах" (Барнаул, 1992, 1994. 1996, 1998); всесоюзных семинарах "Структура дислокаций и механические свойства металлов и сплавов" (Свердловск, 1987, 1990; Екатеринбург, 1993, 1996); международных семинарах "Современные проблемы прочности" им. В.А.Лихачева (Великий Новгород, 1997; Старая Русса, 1998. 1999); постоянных семинарах "Актуальные проблемы прочности" (Томск, 1982; Барнаул, 1985; Новгород, 1994; СПб. 1997; Псков, 1999); всесоюзных школах по физике пластичности и прочности (Сайтов. 1984. 1987.1990); всесоюзной научно-технической конференции исполнителей программы "Металлы" (Абакан. 1988); всесоюзном семинаре "Структурные дефекты и свойства металлов и сплавов" (Череповец, 1988); всесоюзной научно-технической конференции по тепловой микроскопии "Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур" (Каунас. 1989); координационных семинарах "Физика деформационного упрочнения сталей и сплавов" (Барнаул, 1979, 1981); республиканских семинарах "Пластическая деформация и актуальные проблемы прочности сплавов и порошковых материалов" (Томск, 1982, 1983, 1984; Барнаул, 1985 1988; Калуга, 1990; Могилев. 1991); международных научно-технических конференциях "Прочность и пластичность материалов в условиях внешних энергетиче-
27
ских воздействиях" (Новокузнецк, 1988, 1993, 1999); всесоюзных совещаниях но взаимодействию между дислокациями и атомами примесей и свойствам сплавов (Тула, 1985, 1988, 1991); всесоюзных конференциях по физике прочности и пластичности металлов и сплавов (Куйбышев. 1989. Самара. 1991); межгосударственных семинарах "Структурно-морфологические основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий" (Обнинск, 1995,1997, 1999); международной конференции MJFHCFS-90 (ГДР, Дрезден. 1990); всесоюзной школе-семинаре "Сфуктурная и химическая микронсоднородность в материалах" (Киев, 1990); международной конференции "Взаимодействие дефектов и неупругие явления в твердых телах" (Тула, 1997); IWCMM9 по проблемам вычислительной механики и компьютерного конструирования материалов (Берлин. 1999); Российско-Китайском симпозиуме "Фундаментальные проблемы создания новых материалов и технологий XXI века" (Байкальск, 1999); Петербургских чтениях по проблемам прочности (СПб, 1996, 1999, 2000); международной конференции "Релаксационные явления п твердых телах" (Воронеж, 1999).
Математические аспекты работы были доложены и обсуждены на: международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 1999), международной конференции "Всесибирскне чтения по математике и механике" (Томск. 1997), третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), международной конференции по прикладной и индустриальной математике "ICIAM 99" (Edinburgh. Scotland. 1999).
В полном объёме работа докладывалась в ЦНИИЧерМет им. И.П.Бардина. в ФТИ им. Л.Ф.Иоффе РАН. на семинаре 1-го научного направления ТГАСУ, на научных семинарах кафедры физики ТГАСУ, общеобразовательного факультета ТГАСУ, на общегородском семинаре по физической мезомеханпке при ИФПМ СО РАН.
28
I. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ИМИТАЦИИ НА ЭВМ ЭМИССИИ ДИСЛОКАЦИОННОЙ ПЕТЛИ ИСТОЧНИКОМ И ПРОЦЕССА ЕЕ ЭВОЛЮЦИИ В ПЛОСКОСТИ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОГО СКОЛЬЖЕНИЯ СО СЛУЧАЙНО РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ДИСКРЕТНЫМИ ПРЕПЯТСТВИЯМИ [56. 107. 123-135]
1.1. Барьерная модель постоянного линейного натяжения
Принципиальные основы имитации скольжения исхолно прямолинейных дислокаций в относительно небольшом поле случайно расположенных препятствий заложены в работах А.Формена и М.Мэйкина [55, 136J. В многочисленных последующих исследованиях Б.М.Струнина [137-143], А.И.Ландау [144-149]. Л.А.11редводителева с сотрудниками [57, 60, 61, 63, 66, 96, 150], Р.Арссно и Т.Кэдмена [151-155], Ю.Кокса [156-160], Дж.Моррнса с соавторами [161-168], РЛабуша [169, 170], С.И.Зайцева, Э.М.Надгорного [171-174], А.Аргона [175-178] и др. сформирована модель, известная в литературе [179J как барьерная модель постоянного линейного натяжения. Ниже формулируются ее основные положения.
1. Соглашения о распределении препятствий и плоскости кристаллотафнчсского скольжения. В ранних работах [158, 180J предполагалось, что препятствия расположены в плоскости скольжения строго упорядоченно, например в вершинах квадратов. Следующий шаг в приближении к реальной ситуации в кристалле состоял в предположении о случайном равномерном распределении препятствий в плоскости кристаллографического скольжения [87|. Круг вопросов, связанных с данным предположением подробно проанализирован в [145, 181-185]. Многочисленные электронно-микроскопические снимки различных дислокационных структур нс противоречат гипотезе о случайном равномерном распределении дислокаций иском планарных систем скольжения. В цикле исследований, выполненных в ЦНИИЧсрМет [183-185], предложены приемы и методы, позволяющие судить о характере пространственного распределения частиц выделившейся фазы в матрице, заключающиеся в специальной статистической обработке электронно-микроскопических снимков. Авторы [145, 181-183, 186] приводят примеры. когда стопоры имеют тенденцию заполнять плоскость кристалло1рафическо-
29
го скольжения не совсем случайным образом. Так, например, с помощью методов, развитых в [182-184] , установлено, что в некоторых стареющих сплавах частицы второй фазы - стопоры - имеют тенденцию к формированию так называемых "квазипсрноднчсских макрорешеток” [185, 187-191]. Этими же авторами было показано, что закономерное распределение частиц второй фазы в материале можно формировать специальной его обработкой [186].
2. Препятствия в плоскости кристаллографического скольжения неподвижны. Это означает, что при рассмотрении процессов в одной из систем при множественном скольжении, дислокации других систем скольжения считаются неподвижными.
3. Точсчность препятствий. Под этим понимают, что расстояние, на котором заметно взаимодействие дислокации с препятствием, значительно меньше среднего расстояния между ближайшими препятствиями или в формализованном виде [170]
«I* (1.1)
где у о - радиус взаимодействия дислокации со стопором, Fy - сила взаимодействия дислокации со стопором, /, - среднее удвоенное расстояние между ближайшими стопорами в плоскости кристаллографического скольжения, ц - линейное натяжение дислокации.
4. Герметическая форма дислокационного сатснга между двумя последовательными препятствиями находится в приближении постоянною линейного натяжения /л не зависящего от ориентации дислокации. Как правило, линейное натяжение принимается равным среднему геометрическому' линейных натяжений краевой fl*' и винтовой цг) составляющих
И-(^/Р)м. (1-2)
На этом предположении фактически "держится" вся барьерная модель постоянного линейного натяжения: оно позволяет, в конечном счете, при алгоритмизации модели использовать "геометрию" круга и его элементов вместо эллипса.
зо
5. Вязкие силы и инерционные эффекты нс учитываются. Предполагается, что время движения дислокации в промежутке между стопорами пренебрежимо мало по сравнению с временами ожидания термических активаций. В действительности переход из одной стабильной конфигурации в другую происходит со скоростью, не превышающей скорость распространения поперечных звуковых колебаний в кристалле.
6. Начальная конфигурация - прямолинейная ограниченная дислокация, расположенная на нижнем участке площадки моделирования, а при введении соответствующих граничных условиях - бесконечная. При аналитических оценках в рамках барьерной модели постоянного линейного натяжения, как правило, явно или неявно присутствует еще одно требование: в процессе скольжения дислокация остаётся "квазнпрямолинейной" - средний угол между хордами, стягивающими свободные дислокационные сегменты в точках "контакта" со стопорами, приблизительно равен *( и„ * я на Рис. 1.1 при усреднении по всей дислокации) 1192-
193]. Предположение квазипрямолннейносги пробной дислокации в случае представления дислокационной подсистемы бесконечными прямолинейными дислокациями не противоречит результатам моделирования движения дислокаций через хаотическую сетку однородных слабых препятствий [193-196].
7. Общие предположения о случайной приполе активационного процесса:
а) термоактивационные попытки предполагаются стохастическими в том смысле. что вероятность успешной попытки в данном испытании нс зависит от предыдущих попыток [148, 152, 161, 171-174];
б) активационные попытки на данном препятствии независимы от попыток на других препятствиях, находящихся в одновременном контакте с дислокацией. и могут происходить в случайное время с заданным, как правило, показательным законом распределения [148. 174). Мотивы введения этих предположений чисто математические. Они служат для простоты анализа явлений, связанных термоактивационными процессами, теоретико-вероятностными методами [161].
8. Движение дислокации предполагается консервативным [193].
31
Рис 1.1. Параметры, описывающие конфигурацию элемента дислокационной петли в окрестности к - го препятствия (схема), к-/, к к-1 • последовательные препятствия вдоль дислокации. /ч . сила, действующая со стороны дислокации на к - с препятствие. К - равновесный радиус кривизны дислокационного сегмента. Л4_1, ЛА -длины дислокационных сегментов, 6к - углы прогиба дислокационных сегментов, Д./. /д - расстояния между соседними препятствиями вдоль дислокации. <рI - угол огибания к - го препятствия (утл между дислокационными сегментами в точке контакта дислокации с к • ым препятствием)
Из предположений постоянства линейного натяжения дислокации и точечно-ста препятствий следует, что дислокация, прижатая к стопорам приложенным напряжением г, разбивается на дуги окружности постоянного радиуса (равновесного радиуса кривизны дислокационного сегмента)
(1-3)
2г г Ь
образуя излом на каждом стопоре к с углом между дугами дислокации в точке излома называемым углом огибания (Рис. 1.1); здесь Ь - модуль вектора Бюргсрса. (7 - модуль сдвига.
Сила . действующая со стороны дислокации на к - е препятствие, может быть записана в виде [162, 197]:
Гк =2,исо$(ч\ /2).
(1.4)
32
Прочности препятствий удобно представлять критическими углами огибания <р,л (при </>, < <р(Л происходит безактивационное преодоление *-го препятствия) или
критическими силами Fe.k- минимальными силами, под действием которых стопор с номером к также безактивационно перерезается. В описываемом приближении критические значения <рсЛ и связаны равенством:
<pr) = 2arccos(/^r /2/у). (1.5)
1.2. Некоторые усовершенствовании барьерной модели постоянного линейного натяжения
Значительное число исследований скольжения дислокаций в поле случайно распределенных препятствий проведено при освобождении от ряда офаничений барьерной модели постоянного линейного натяжения. Так в работах [170. 1981 учтены реальные размеры препятствий, а в [200J и распределения препятствий по размерам. Вязкие и инерционные эффекты рассмотрены в моделях, развиваемых в [201-208]. В работе [209] моделировалось движение дислокации через массив случайно расположенных препятствий на основе ранее развитых методов [63. 150. 198. 210-211]. позволяющих учитывать самодействне дислокации. В полном объеме авторам [209] самодействне учесть не удалось. В 1999 году в [212] для нахождения равновесных конфигураций дислокаций предложен, так называемый, метод конечных сегментов (the finite - segment method), позволяющий строго и в полном объеме учитывать самодействне.
С.И.Зайцевым [179J показано, чго учет сил самодействия. инерционных свойств дислокации, реальных размеров препятствий, в конечном счете, сводится к соответствующей перенормировке критического угла огибания препятствий, иногда очень сложной (например, в случае учета реальных размеров препятствий) [ 170. 200]. Несомненно, работы в этом направлении чрезвычайно важны для уточнения количественных результатов для ряда характеристик, получаемых в рамках барьерной модели постоянного линейного натяжения, благодаря этим результатам стало возможным говорить о количественном сопоставлении результатов реальных
33
(классических) и компьютерных (машинных) экспериментов, например, по таким параметрам как критическое напряжение сдвига, распределение длин дислокационных сегментов. Однако к принципиально новым аффектам исследования в этом направлении не привели.
Цикл исследований (213-221] школы А.А.Предводителева по влиянию гиб-кости дислокаций вторичных систем скольжения на характер скольжения пробной дислокации обобщен и, в некотором роде, завешен Б.М.Лопшовым [222]. В частности, установлено существование двух механизмов влияния гибкости дислокаций «леса» на упрочнение. Механизмы существенно зависят от структуры ансамбля дислокаций. Возможность дислокаций «леса» смещаться из своего первоначального положения за счет гибкости при взаимодействии со скользящей дислокацией приводит к увеличению прозрачности дислокационных ансамблей, а способность дислокаций ансамбля реагировать со скользящей дислокацией, напротив, приводит к уменьшению прозрачности ансамбля. Найдены критические значения плотности дислокации в ансамблях, начиная с которых качественно и количественно проявляются свойства гибкости дислокаций. При таких плотностях дислокаций отмечено нарушение пропорциональности между критическим напряжением сдвига и %/р. где р - плотность дислокаций вторичных систем скольжения [215-216].
Подчеркнем еще раз, что упомянутые работы выполнены в рамках ограничения 6 из п. 1.1 - когда объектом исследования были прямолинейные бесконечные дислокации. Диссертант не ставит целью дать обзор всех возможных уточнении барьерной модели постоянного линейного натяжения, позволяющих расширить область ее применения, а комментируег лишь работы, не связанные с коренным изменением стержневой идеи модели. По этой причине здесь нс рассмотрен ряд исследований школы В.Кубина с привлечением 31) моделирования (см. подробные обзоры в (223. 224)). Возможности барьерной модели постоянного линейного натяжения далеко не исчерпаны. Например, в ей рамках выполнен цикл работ
О.Г.Тюпкиной по имитации деформационных процессов в поликристаллах [225-226]. Ниже будет продемонстрировано, что особенно продуктивен подход, связанный с ревизией предположения о прямолинейных бесконечных дислокациях.
34
1.3. Основные алгоритмические проблемы
Методы имитационного моделирования хорошо разработаны для описания движения квазипрямолинейных участков дислокаций по относительно небольшому полю случайно расположенных стопоров (см. обзоры (96. 179, 225, 226]). Применение их для описания работы дислокационного источника и эволюции замкнутой планарной дислокационной петли в плоскости кристаллографического скольжения, содержащей препятствия для скользящей дислокации, а так же к описанию макроскопической пластичности кристаллических тел предъявило ряд новых требовании к этому методу. Оказалось (9], что удовлетворительное описание макроскопического пластического поведения кристалла может быть достигнуто уже в рамках трехуровневой модели с использованием единственною мезоскопического структурного уровня- зоны кристаллографического сдвига. Но даже в этом случае необходим учет сотен тысяч препятствий (56, 127, 123-135]. Кроме того, препятствия могут существенно отличаться уровнем напряжений, необходимым для их преодоления скользящей дислокацией, например, реагирующих и нереагируюших дислокаций некомпланарных систем скольжения (76]. Все это приводит к тому, что в процессе алгоритмизации модели появляется круг проблем, которые условно можно сгруппировать как задачи связанные с:
а) эффектом перехода от представления дислокационной подсистемы бесконечными прямолинейными дислокациями к рассмотрению распространения кристаллографического сдвига как расширения дислокационной петли, его окаймляющего;
б) эффектом "большого" массива препятствий;
в) эффектом возможных самопересечений участков дислокационной конфигурации;
г) эффектом начальной дислокационной конфигурации.
Разумеется, пункты а) - г) в некотором роде условны гг пересекаются в ряде частных вопросов, часть из которых рассмагривалась в различных постановках, применительно к разным задачам и упрощающим предположениям [166. 194. 227-
35
238]. Связать такие решения воедино, вряд ли возможно. Поэтому основная часть раздела посвящена описанию того, как могут быть разрешены очерченные выше задачи. Попутно указываются достижения и оригинальные находки других исследователей. В тех случаях, когда по каким-либо причинам их подход и результаты представляются недостаточными, даются необходимые комментарии.
1.4. Формирование ноля препятствий 1134-135)
При имитации распространения кристаллографического скольжения на ')ВМ центральной проблемой становится формирование поля дискретных препятствий, как можно более близкого к полю реальных препятствий движению дислокаций, связанных с контактными взаимодействиями дислокаций различных систем скольжения. Содержание понятия "поля препятствий как можно более близкого к реальному" может бьгть различным в зависимости от характера решаемой задачи. Для различных конкретных задач допустимые упрощения при формировании ноля препятствий (стопоров 1133]) различны.
Оставим обсуждение этих вопросов до численных реализаций модели. Согласимся только с тем, что. как и в барьерной модели постоянного линейного натяжения. препятствия в плоскости кристаллографического скольжения расположены случайно, в соответствии с равномерным законом распределения, и что препятствий (стопоров, барьеров - эти термины мы далее используем как синонимы) в плоскости кристаллографического скольжения должно быть много. Строгих оценок пока не требуется. Но на вопрос: "Это тысячи или сотни тысяч препятствий?" предстоит ответить уже здесь - отт является ключевым при алгоритмизации модели. Дело в том. что для тысяч препятствий имитировать кристаллографическое скольжение удастся в "лоб", обычным перебором стопоров. Но реальная ситуация значительно сложнее. Прежде всего, скользящая дислокация взаимодействует с огромным числом препятствий. Уже число ее пересечений с дислокациями некомпланарных систем скольжения составляет несколько десятков т ысяч, а, кроме тою. дислокация взаимодействует с атомами растворенных элементов, частицами второй фазы
36
и т.д. При моделировании скольжения квазнпримолинейных дислокаций через сетку случайно расположенных стопоров установлено [166], что некоторые параметры скольжения, например, критическое напряжение сдвига, зависят от размеров площадки моделирования. Эта зависимость выходит на насыщение только при числе стопоров, превышающем 60000. Результаты наших исследований [239, 240] показывают, что существуют условия, при которых образуются острова незавершенною кристаллографического сдвига, охватывающие порядка 10000 препятствий (напомним. что в пионерской работе А.Формсна, М.Мэйкина (55] было учтено всего 1000 стопоров и подобные эффекты в принципе обнаружить было невозможно). Поэтому. при моделировании распространения элементарного кристаллографического скольжения алгоритмы должны "справляться" с сотнями тысяч препятствий. А здесь уже совсем иная ситуация.
Конечно же. в настоящее время сформировать массив случайно расположенных точек на части плоскости практически любого размера не представляет трудностей. Другой вопрос, как их эффективно хранить и использовать.
Очевидно, что алгоритмы, требующие хранения всех стопоров площади кристаллографического скольжения в оперативной памяти ЭВМ. неприемлемы. Даже если оставить в стороне оперативную память ЭВМ. то такие алгоритмы работали бы крайне медленно (огромное число переборов после преодоления очередною препятствия).
Оригинальное решение проблемы “большого массива препятствий” предложено А.И. Ландау и В.Н.Выдашенко [ 1941, Дж. Моррисом с соавторами [ 166] - так называемый метод "подсыпания стопоров", сущность которого состоит в том, что массив последних заполняется не сразу, а по мере надобности - по фрошу движущейся дислокации. Этот прием позволяет моделировать движение дислокации в плоскости, содержащей практически любое число стопоров; процесс ограничен только машинным временем. Однако этот метод принципиально не может быть применен к анализу некоторых интересных аспектов движения дислокаций. В частности, при таком полходе нельзя проследить за движением дислокации при уве-
37
личиваюшемся и уменьшающемся сдвиговом деформирующем внешнем напряжении в одном и том же массиве стопоров.
При наличии в плоскости кристаллографического скольжения стопоров нескольких типов нельзя проследить за движением дислокации, как через Вес стопоры массива, так и через стопоры только определенного типа, опять же в одном и том же массиве стопоров. Таким образом, метод "подсыпания стопоров" при всех его несомненных достоинствах не "помнит" массива пройденных стопоров, тогда как в некоторых вопросах моделирования движения дислокаций это принципиально необходимо. Кроме того, от сформированного таким образом ноля стопоров трудно ожидать "хороших" статистических свойств.
На международной конференции по машинному моделированию в материаловедении Дж. Моррисом [166] было предложено хранить стопоры на внешних запоминающих устройствах по блокам и в оперативную намять ЭВМ вызывать для просмогра необходимый в данный момент времени блок. Прием выгоден в смысле экономии оперативной памяти и организации просмотра областей поиска, но неудобен для реализации алгоритмов продвижения дислокаций, которые предполагаю г удаление из массива пройденных стопоров (резко возрастает число обращений к внешней памяти, что сильно сказывается па скорости вычислений и на вероятности сбоя ЭВМ).
1.4.1. Блочная структура случайного ноля препятствий. Оптимизация размера блока (56. 123, 129. 130. 132]
В настоящей работе предложен новый способ формирования случайного поля препятствий в плоскости кристаллографического скольжения, показавший свою эффективность при имитации зарождения и распространения элементарного кристаллографического скольжения. Суть предлагаемого решения в следующем [130]. Число стопоров в плоскости кристаллографического скольжения является параметром модели, ограниченным только временем работы ЭВМ. а сама плоскость крн-сталлографичсского скольжения условно разбита на т равных но плошали и определенным образом занумерованных блоков. Размеры одного блока определяются
38
из требования минимизации времени обработки на ЭВМ локальной ситуации и условия, чзо “локальная перестройка” происходит на участках не более чем из четырех смежных блоков. Термин "локальная перестройка" - в разных приложениях наполняется конкретным, присущем данной задаче, содержанием. Эти требования вытекают из следующих соображений [132]. Общее время обработки дислокационною сегмента складывается из времени создания блоков, накрывающих обрабатываемый сегмент, и времени "просмотра блоков". С одной стороны, блок должен быть маленьким, чтобы сократить время на его создание и "просмотр". С другой стороны, если блок будет малым, то дислокационный сегмент не поместится в одном блоке и в "просмотре" будет занято несколько блоков, следовательно, их нужно будет формировать поочередно в оперативной памяти ЭВМ. К тому же при переходе к следующему сегменту, как правило, потребуется смена блоков. Значит, желательно брать блок не слишком малым. Два отмеченных конкурирующих положения и наводят на мысль [123] минимизации общего времени работы ЭВМ при создании и "просмотре" блоков препятствий.
Формализуем эту задачу [123]. Потребуем, чтобы
а) любой дислокационный сегмент помещался на участке случайного поля препятствий не более чем из четырех смежных блоков;
б) время обработ ки дислокационного сегмента было минимальным.
В таких условиях при обработке дислокационного сегмента возможны следующие ситуации (события):
Л’ц ={для обработки дислокационного сегмента требуется / блоков и один из них находится в оперативной памяти ЭВМ);
Ал= {требуется / блоков и ни оОного из них нет в оперативной памяти),
/=1,2, 3,4.
Если через Т, обозначить время обрабогки /-ой ситуации, то
Т;,.,=/Г [гУ„+(Н)К1 (1-6)
Тг, = Ы2(УЯ+ КД / = 1, 2. 3. 4. (1.7)
39
где Ус - скорость формирования препятствий в блоке. У„ - скорость их просмотра и ггом блоке, А - линейный размер блока. Среднее время <Т> обработки одного дислокационного сегмента составляет
В (1.8) р,=Р(А) - вероятности событий А„ к вычислению которых мы и переходим. Очевидно, что события А} и А6 являются невозможными (в ТОЧНОСТИ три блока участвовать при обработке одного и того же дислокационного сегмента не могут), а события А; , Аі , Л$ в силу принятого обхода дислокационной петли -редкими. То ссгь.
Для подсчета оставшихся вероятностей введем дополнительные обозначения. Пусть А и В начало и конец обрабатываемого сегмента с координатами А(ха. Уа) и В(х/,у(1}.. Для нахождения блоков, которые должны участвовать в просмотре при обработке дислокационного сегмента А В. на хорде А В, как на диаметре длиной
строим окружность. Около окружности описываем квадрат, стороны которого параллельны плоской квадратной сетке, разбивающей площадку моделирования на отдельные блоки. Тогда событие А/ можно представить в виде
(1.8)
Г (А і) - Р(Лд - О; Р(А^ *Р(Л<) *Р(Ац) *0.
(1.9)
В* (хл-х>)г +(уа-уь)2
А. = {</ < {.V, -В/2 > Х}п{хе < Х + Іі
Г\(у'-<т>у)ъ{у' + <//2<Г + /»} =
* {</ <Іі}п{Х + <//2 < дг, <Х + /$-<//2}п г\ {}'+<// 2 < уг < У + Л-<//2},
(1-Ю)
где хг=(ха+х^)/2,уе=(уа+у^)/2",(Х,У) - координаты левой нижней вершины
блока. Заметив, что событ ие
{Л' + <//2 <л:г < Х + /1-<1/2}ъ{У + ,П2<у< < У + Л-т//2} = В
40
равнозначно попаданию копра построенной окружности в квадрат со стороной (И-<1) с центром в точке О, (Л' + Л/2,У+А/2), и, применяя формулу умножения вероятностей. имеем
По определению Р(б </?) - функция распределения случайной величины г/ - длины хорды, стягивающей обрабатываемый дислокационный сегмент АВ. Обозначим се Г,.(/|). Условная вероятность/>(/?/{</ < А}) легко вычисляется на основании геометрическою определения вероятности [241] и составляет
Отметим, что при Л ~> се (больших блоках) р, -> 1. р, ->0. р. ~*0. То есть, при выборе больших блоков, как этого и следовало ожидать, будет, в основном, реализовываться первая ситуация - для обработки дислокационного сегмента требуется просматривать только один блок.
Подставляя в (1.8) выражения (1.6, 1.7, 1.13-1.15) и учитывая (1.9), после необходимых преобразований находим:
Строгое исследование (1.16) на экстремум требует знания зависимости в аналитической форме. Это серьезно усложняет задачу. Примем за Г, (Л) ее верхнюю оценку - единицу. Применительно к рассматриваемой задаче это будет озна-
р, = Р(А, ) = />(</< Л) Р(Д/{</</#}).
(1.11)
Р(В/{(І <//}) = (! -(І/її)2.
(1.12)
Таким образам, окончательное выражение для р/ принимает вид р,= Г, (А) ■<!-<//*)*.
(1.13)
Аналогичные рассуждения приводят для р.» и р,- к соотношениям:
(1.14)
р, = 1 - /^(Л)(1 )0)•
' Л 2 Л
(115)
(Г) = Г, (Л) К.(А - А)2 +■ Л) ■ (2УЯ + К, )(//-</)</ У 2 + + +4^)[А2-/^(/г)-(Л-</>(Л-///2))
(1.16)
41
чать, что длина свободного дислокационного сегмента всегда меньше линейного размера блока. Поэтому данное предположение фактически таковым не является, так как для рассматриваемого круга вопросов оно всегда может быть удовлетворено. Тогда (1.16) становится многочленом и классические методы исследования на экстремум дают:
"~=|<|-^>* <1Л7>
где Vc и \'п постоянные используемой ЭВМ и применяемого алгоритма формирования и просмотра блока препятствий, причем, в реальной ситуации Vc « Ц,. Таким образом.
(1.18)
Комментарии к соотношению (1.18) будут даны ниже, в разделе 2.3.2.
Вероятности р, с целью контроля и проверки последних грех допущений в
(1.9) были найдены эмпирически (оценены статистическими вероятностями - относительными частотами) при различных напряжениях и разном числе испытаний, но при выполнении (1.18). Соответствующие результаты [123]представлены в Таблице
1.1 и иллюстрируют приемлемость сделанных предположений.
Таблица 1.1 Эмпирические вероятности событий А , I В
№ число э м лирические вероятности
экс. замер Р< . Р: Р: Р4 PS р* Л\
1 10790 0.764 0.069 0,150 0,006 0,000 0,000 0,009 0,002
2 13288 0.692 0,078 0,197 0,012 0,000 0,000 0,020 0,001
3 14438 0,602 0,066 0,262 0.022 0.000 0.000 0.047 0.000
4 12630 0.595 0.066 0,270 0,023 0.000 0.000 0.046 0.000
5 751 0.802 0.086 0,109 0,000 0,000 0.000 0.003 0,000
6 196 0.791 0.030 0,143 0,020 0,000 0,000 0,015 0,000
7 611 0,807 0,073 0.115 0.002 0.000 0,000 0.003 0.000
S 945 0.830 0.068 0.095 0.005 0,000 0,000 0.001 0,000
9 639 0.878 0,045 0,064 0,008 0,000 0,000 0,003 0,002
10 2615 0.6S8 0.062 0,192 0.034 0.000 0.000 0.022 0.002 1
42
Если не принимать во внимание различие в событиях А, и использовать только события с нечетными номерами, то оценку для оптимального размера одного блока плоскости крнсталлоірафического скольжения удается получить используя ставшие уже классическими результаты, обобщающие известную задачу Бюффона об игле [242]. Обобщение состоит в том, что в отличие от классической постановки, игла длины (І бросается на сетку параллелограммов со сторонами а и Ь н острым углом О. Конечно же, в нашем случае игла - это обрабатываемый дислокационный сегмент, а сетка параллелограммов с а = Ь = к и 0= 90° - блоки в плоскости кристаллографического скольжения. Тогда результаты, представленные в [243] в предположении, что длина иглы не превосходит линейного размера блока плоскости кристаллографического скольжения, приводятся к виду:
где рц, рі, Р2 - вероятности пересечений сетки соответственно в 0. 1,2 точках, и к
- в случае "бросания" окружности диаметра (I В отличие от предыдущего, здесь Р/.ру- вероятности пересечений 0. 1,2 линий сетки (что в нашем терминолог ии означает. что для обработки дислокационного сегмента требуется просмотреть 1. 2. 4 блока сетки соответственно). Зависимости вероятностей р, от отношения сУЬ приведены на Рис. 1.2.
4(1 її </*
—Г^ + -ГГ1
(1.19)
(1.20)
р
\
\
\
08
0.6
04
0.2
00
00
02
0.4
0.6
d/h
Рис. 1.2. Изменение вероятностей ро, р/,рг в зависимости от отношения длины обрабатываемого дислокационного сегмента к линейному размеру Л квадратной сетки плоскости кристаллографического скольжения
Поиск оптимального размера блока hljpt в данных предположениях приводит к результату:
не зависящему от характеристик используемой ЭВМ. и превышающему ранее найденное значение (1.18) почти в два paw. Объясняется данное расхождение тем. что во втором случае учтены не все возможные события А, и, тем нс менее, конечные результаты в определенном смысле можно считать близкими.
Напомним, что А - предполагаемый параметр модели, и здесь найдено его оптимальное значение (в смысле затрат машинного времени на проведение компьютерных экспериментов) в зависимости от максимальной длины свободного дислокационного сегмента и характеристик используемой ЭВМ. При постановке машинных экспериментов модельер, разумеется, может отступать от . если в этом сеть необходимость.
(1.21)