Правила сумм квантовой хромодинамики и статические свойства барионов в унитарных и кварковых моделях

ОГЛАВЛЕНИЕ
1 Магнитные моменты барионов в унитарной и кварковой моделях 9
1.1 Модель унитарной симметрии и магнитные моменты барионов........... 9
1.2 Кварковая модель и магнитные момепты барионов........................ 12
1.3 Кварк-бикварковая модель...............................'.............. 13
1.3.1 Кварк-бикварковая модель для магнитных моментов барионов 13
1.3.2 Лсптонные распады гиперонов в кварк-бикварковой модели ... 15
1.3.3 Массовые формулы для барионов в кварк-бикварковой модели . 18
1.3.4 Обобщение модели Сегала........................................ 22
1.4 Многопараметрические модели магнитных моментов барионов...........27
1.4.1 Новые феноменологические кварковые модели ..................... 27
1.4.2 Точные решения для модели Бартелского-Роденберга-Карла-Скэдрона 27
1.4.3 Магнитные моменты барионов в киралыгой модели Ch.PT .... 29
1.4.4 Нарушение октетной симметрии электромагнитного тока .... 31
1.4.5 Связь унитарной модели с моделями Герасимова и БРКС .... 34
1.4.6 Модель "Общей Параметризации”.................................. 37
1.4.7 Кварковая модель с тремя мезонними токами.......................40
1.4.8 Сравнение кварк-солитонной модели и модели унитарной симметрии .............................................................. 41
1.4.9 Сравнение модели кирального гипермешка и унитарной модели . 44
1.4.10 Магнитные моменты барионов в модели с нулевыми инстантонами 46
1.5 Однопетлевые поправки к магнитным моментам барионов октета .... 48
1.5.1 Введение в киральные формулы................................... 48
1.5.2 Киральные лагранжианы в НВ^РТ...................................49
1.5.3 Однопетлевые поправки к магнитным моментам октета барионов в ІІ%С1іРТ........................................................51
1.5.4 Вклады собственно-энергетических диаграмм с барионами дс-
куплета на внутренних линиях....................................56
1.5.5 Вклады мезонных токов с барионами октета на внутренних линиях .................................................................60
1.5.6 Мезонныс токи с барионами декуплета на внутренних линиях
диаграмм....................................................... 63
1.5.7 Вершинные диаграммы с октетными барионными токами ... 66
1.5.8 Вершинные диаграммы с дскуплстными барионными токами . 72
1.5.9 Вклады переходных октетио-декуплетных барионных токов . . 76
1.5.10 Обсуждение результатов расчетов............................... 82
04.
1
2 Слабое радиационное излучение гиперонов 87
2.1 Радиационное излучение гиперонов......................................87
2.1.1 Введение........................................................ 87
2.1.2 Кинематика процессов радиационного распада гиперонов .... 89
2.1.3 Новая трактовка формулы Вазанти................................. 90
2.2 ГИМ и радиационные распады гиперонов .................................92
2.2.1 Предсказание Хара и слабый ток Кабиббо.............................. 92
2.2.2 Модель ГИМ и радиационные распады гиперонов......................... 93
2.2.3 Радиационные распады шармовых барионов.......................... 95
2.3 Радиационные распады гиперонов в модели кварков........................... 97
2.3.1 Введение............................................................ 97
2.3.2 О структуре 1-кварковой амплитуды слабого радиационного распада ................................................................. 97
2.3.3 О структуре двухкварковой амплитуды слабого радиационного распада............................................................... 98
2.3.4 Переход от РС-амплитуд унитарной модели к 1- и 2-кварковым 101
2.3.5 РУ-амгглитуды в унитарной и кварковой моделях.......................103
3 Правила сумм КХД для магнитных моментов гиперонов В0 и А 115
3.1 Введение..............................................................115
3.2 Борслсвекое преобразование и правило сумм.................................117
3.3 Правила сумм КХД..................................................118
3.4 Соотношение между поляризационными операторами для В°- и А-токов
в КХД ................................................................120
3.5 Соотношения между борелевскими правилами сумм для масс В0 и А . 122
3.6 Новые соотношения между БПС для магнитных моментов В0 и А . . . 126
3.7 Заключение........................................................... 135
4 Правила сумм КХД для мезон - барионных констант связи 136
4.1 Правила сумм КХД для <7,,аа и <7*ае...............................136
4.1.1 Введение............................................................136
4.1.2 Соотношения между константами связи тг° и ту с В и А в 57/(3) 139
4.1.3 Соотношения между поляризационными операторами для гиперонов В0 и А .......................................................140
4.1.4 Правила сумм КХД на световом конусе для и 141
4.1.5 Борелевские правила сумм КХД для д„ае и д,,\\ ......................142
4.1.6 Обсуждение результатов и выводы.....................................145
4.2 Правила сумм КХД для констант дкуьг и Окуе ...........................146
4.2.1 Соотношения между константами KNY, К'ЕУ и тгВУ в 57/(3) . 146
4.2.2 Поляризационные операторы и правила сумм КХД........................149
4.2.3 Борелевские правила сумм для лоренц-струкгуры 75<т,1ид,‘р1' . . 150
4.2.4 Борелевские правила сумм для сильных констант связи при ЛОреіІ Ц-СТруктуре *75................................................156
4.2.5 Борелевские правила сумм для сильных констант связи при лоренц-структуре і'уьд.......................................................159
4.2.6 Заключение..........................................................162
2
4.3 Правила сумм КХД на световом конусе для констант связи псевдоскалярных мезонов с барионами...........................................162
4.3.1 Корреляционные функции ........................................162
4.3.2 Соотношения между корреляционными функциями !.............164
4.3.3 Выражения для функций П».......................................168
4.3.4 Численный анализ ..............................................173
4.4 Константы связи векторных мезонов с барионами.........................185
4.4.1 і?{/(3)/-классификация барионных констант связи с векторными
мезонами.......................................................185
4.4.2 Правила сумм на световом конусе для барионпых констант связи
с нонетом векторных мезонов....................................186
4.4.3 Коэффициентные функции электрического типа .........195
4.4.4 Коэффициентные функции магнитного типа ........................198
4.4.5 Численный анализ и обсуждение результатов......................201
3
Введение
Настоящая диссертация посвящена изучению в основном статических свойств 6а-рионов, таких как массы, магнитные моменты и константы слабых радиационных рападов, константы связи с мезонами. Эти свойства барионов интенсивно исследуются в течение последних нескольких десятков лет в рамках самых различных моделей. Однако, и сейчас мы не можем с уверенностью сказать, что понимаем в достаточной мере все свойства барионов. Выдающаяся роль в нашем понимании свойств элементарных частиц, в том числе и барионов, сыграла и продолжает играть, как будет показано в диссертации, унитарная симметрия элементарных частиц. Впервые сформулированная Гелл-Манном и Окубо в начаде 60-х, идея классификации всех элементарных частиц по мультинлетам унитарной группы БЩЗ) не только позволила распределить по унитарным мультиплетам почти все открытые к тому времени 6а-рионы и мезоны, но в дальнейшем дала возможность расширить эту классификацию до мультиплетов высших унитарных групп, в которые в настоящее время помещены большинство вновь открытых частиц, в том число барионов.
Оказалось, однако, что роль унитарной симметрии не ограничивается классификацией частиц по мультиплетам. По законам унитарной симметрии преобразуются мезонные и барионные токи, им подчиняются в той или иной мерс константы распадов частиц, электромагнитные и слабые токи. Возникает объединение унитарной и спиновой симметрии - модель 5/7(6), в которой исключительно из теоретикогрупповых свойств последовал вывод, что псевдоскалярные и векторные мезоны описываются 35-нлетом 5/7(6), а известные барионы спина 1/2 и 3/2 укладываются в 56-нлет 5/7(6) .
Появление в 1964 г. революционной идеи о кварках - прачастицах с дробным электрическим зарядом - позволило связать между собой различные мультиилеты и, соответственно, свойства частиц в этих мультиплотах. В этот момент казалось, что задача сильных взаимодействии решена - достаточно было выразить параметры частиц через кварковые степени свободы. Волновые функции элементарных частиц были выражены через волновые функции кварков. Это оказалось решающим для плодотворного развития всей феноменологии элементарных частиц. На протяжении полувека тс же волновые функции барионов. отчасти несколько модифицированные в различных релятивистских моделях и принявшие полностью релятивистскую форму в так называемых интерполирующих токах, господствуют в физике частиц.
Объединение слабого и электромагнитного взаимодействии в единое электросла-бое взаимодействие еще больше позволило связать между собой различные свойства адронов.
Калибровочная теория сильных взаимодействий - квантовая хромодинамика (КХД), позволила впервые вплотную подойти к количественным расчетам характеристик адронов, исходя из первичных принципов теории. Однако, отсутствие характерного малого параметра теории типа константы тонкого взаимодействия в квантовой электродинамике, а так же ненаблюдаемость кварков, не позволяют воспользоваться теорией возмущений при исследовании характеристик адронов.
Замечательно, что унитарная симметрия проявляется и в КХД. Более того, впервые появилась возможность количественного расчета поправок к результатам строгой унитарной симметрии. Бо многих случаях, как будет показано ниже, результаты
4
сложных расчетов но КХД практически воспроизводят прежние результаты унитарной симметрии, полученные до эры КХД.
Блестящей попыткой сохранить методы теории возмущений является создание теории киральной симметрии, позволившей вести расчеты на привычном языке диаграмм, правда, не выходя, как правило, за уровень второго порядка теории возмущений. В рамках киральных моделей были вычислены такие характеристики барионов, как магнитные моменты и параметры лептонних и нелептонных распадов адронов.
Среди других подходов выделяются, благодаря основнополагающим работам ИТЭФ-овской школы мощные непертурбативные методы расчетов, связанные с созданием формализма правил сумм.
Первые правила сумм для электромагнитных характеристик элементарных частиц были написаны более сорока лет назад. Правило сумм Балдина [1] установило связь между поляризуемостями нуклона мишени и интегралом по энергии от полного сечения фотопоглощения. Правила сумм Герасимова-Дрслла-Хирна [2, 3] связали между собой аномальный магнитный момент ядра мишени и дисперсионный интеграл по энергии от полного сечения фотопоглощения на этом ядро.
Вскоре появились сверхсходящиеся правила сумм (ССПС) для амплитуд электророждения пионов на нуклонах, позволившие связать между собой значения магнитных моментов нуклонов с радиационной шириной распада 33-резонанса [4], а их обобщение на гипероны октета и барионные резонансы дскуплета позволили связать магнитные моменты гиперонов с радиационными ширинами распада барионных резонансов спина 3/2 [5].
Следующим шагом явились правила сумм при конечной энергии, когда вплоть до некоторого значения энергии налетающих фотонов Ео дисперсионные интегралы вычислялись насыщением суммой полюсного члена и резонансов (с учетом фона), а выше Ео подынтегральные выражения аппроксимировались некоторой моделью взаимодействия высоких энергий, как правило, моделью полюсов Редже [6І, [7]. нуклонов и параметры рсджевской модели. Однако, на этом пути нельзя было поставить задачу собственно вычисления магнитных моментов нуклонов и тем болсс магнитных моментов гиперонов октета.
С построением КБантоБой хромодииамики появилась принципиальная возможность решения этой задачи. Однако, на сегодня вычисление магнитных моментов барионов исходя из первых принципов КХД превышает возможности теоретической физики. Поэтому в рамках КХД ищутся другие пути решения этой задачи.
Появление правил сумм КХД, предложенных впервые в 8], открыло путь и к решению задачи об определении магнитных моментов барионов.
Для барионов правила сумм КХД для масс и магнитных моментов были написаны более четверти века назад [9]. Были вычислены массы нуклонов г9, 10] и странных барионов [11], магнитные моменты протона и нейтрона [12, 13, 14], а затем и странных гиперонов 2і и Н0’” и переходного магнитного момента Е°Л [15]. Эти работы были подхвачены многими другими авторами [16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 19]. Правила сумм КХД применялись и для вычисления магнитных моментов тяжелых барионов ЕСі&,Л,ЛСіь и соответствующих переходных моментов [24, 25, 26]. Отметим, что при этом для Е- и Л -подобных барионов, а также для переходов типа Е —> А'у вычисления велись независимо. Также независимо друг от друга исследовались в рамках правил сумм КХД свойства Л и Е-гиперонов в ядерпой материи [29],[30] и переход ЕЛ в ядерной среде [31], что представлялось естественным из-за различного строения
соответствующих волновых функций.
В рамках этого формализма изучались и характеристики сильных взаимодействий. Силыювзаимодействующис константы связи октета псевдоскалярных 7г, К, 7} и нонета векторных мезонов р, ф, <*>, Кя с барионами являются фундаментальными параметрами в анализе существующих экспериментальных данных по мезон-нуклолному, нуклон-нуклонному, нуклон-гиперонному и гинерон-гиперонному взаимодействиям. Они необходимы и для анализа реакций фоторождения псевдоскалярных и векторных мезонов.
Уже поэтому надежное определение констант связи векторных мезонов с барионами оказывается очень важным. Унитарная и кварковые модели связывают между собой эти константы, но это не дает нам динамичского описания.
Вычисление этих констант на основе фундаментальной теории сильных взаимодействий - КХД в настоящее время практически невозможно, поскольку для характерных масштабов адронной физики оказывается невозможным применить теорию возмущений в рамках КХД. Поэтому вычисления различных характеристик адронов требует применения непертурбативных подходов.
Среди многих подход, основанный на формализме правил сумм в КХД оказался одним из самых мощных методов. В этом формализме весьма полно были исследованы константы связи псевдоскалярных мезонов с барионами [32]—[45]. Константа связи векторных мезонов с барионами частично исследовалась в рамках этого формализма в [46, 47, 48].
В целом в настоящее время правила сумм КХД являются весьма перспективным направлением, позволяющим уверенно вычислять самые разнообразные характеристики адроноп.
Задачи, связанные с вышеперечисленными проблемами унитарных и кварковых моделей и правилами сумм КХД и составили предмет настоящей диссертации.
Первая глава диссертации посвящена анализу унитарной и кварковых моделей на примере масс, магнитных моментов и констант распадов барионов. Излагается кварк-бикварковая модель, возникшая в результате этого анализа. Показано, каким образом тензорные; структуры ^ и О связи связаны с различной ролью, которую играют кварки в барионе в зависимости от того, находятся ли они в своеобразном бикварке, или являются единичным кварком. Оказывается, это определяет их характер взаимодействия с электрослабым полем, а также с мезонными полями. Впервые чисто математмчесим константам тензорной Р и О связи удалось придать четкий физический смысл. Э'го оказывается тем более важным, потому что в рамках формализма КХД вся совокупность кварковых диаграмм, описывающих барион-фотошгыс или барион-мезошшс вершины, распадается на две части - соответствующие взаимодействию кванта поля с кварком ‘’бикварка” и с одиночным кварком, демонстрируя явным образом наличие обобщенных Р и Б структур. Этот результат оказывается решающим при построении правил сумм КХД для масс, магнитных моментов и мезонных констант связи барионов.
Полученные соотношения позволяют легко проанализировать многочисленные модели барионов, в рамках которых вычислялись массы, магнитные моменты и другие характеристики барионов. Все множество моделей удается свести к нескольким формулам, имеющим четкий смысл в кварковых и унитарных моделях.
Проблема связи унитарного и кваркового описания решается на примере слабых радиационных распадов гиперонов во второй главе диссстации. Эта задача по-
6
существу связана с проблемами, изученными в первой главе, но имеет и свои особенности. Интерес к этой задаче был чрезвычайно высок в течение нескольких десятков лет. Это было связано с тем, что в открытом еще в 60-е годы радиационном распаде £+ —> />+7 в 1972 г. была обнаружена большая величина асимметрия гамма-квантов, хотя еще в 1964 г. Хара показал в достаточно общем виде, что в модели унитарной симметрии параметр асимметрии в этом распаде должен быть равен нулю. В диссертации показано, каким образом решается этот парадокс, и проведено описание известных слабых радиационных распадов гиперонов в рамках унитарной и кварковой модели. При этом удается решить еще одну проблему, занимавшую теоретиков последние 20 лот - а именно, явным образом показать совместность описаний в рамках этих двух моделей.
Как было сказано, появление КХД дало принципиальную возможность вычислять свойства барионов, исходя из первых принципов. Но в отсутствие реального малого параметра была разработана хиральная теория возмущений, позволяющая последовательно вычислять поправки к характеристикам барионов, полученным в рамках унитарных или кварковых моделей. В диссертации в рамках одной из таких моделей вычислены магнитные моменты октета барионов, подробно разобрано построение вкладов однопетлевых поправок. Показано в частности, что собственно-энергетические диаграммы обладают изотопической инвариантностью, характерные коэффициенты от диаграмм с пионными петлями одинаковы внутри каждого бари-онного иэомультиилета, а они же с каонным петлями обладают определенными свойствами относительно V - спина. Показано, что в сущности модель не обладает достаточной сходимостью. Вычислены также магнитные моменты секстета и триплета шармовых барионов,показано, что однопстлевые поправки секстета могут быть спрятаны в перенормировку констант нерелятивистской кварковой модели. В рамках ки-ральной модели вычислены также константы связи лептонных распадов гиперонов, явно показана сильная зависимость от предположения о вырождении масс барионов в соответствующих однопстловых поправках. Это справедливо и для поправок к магнитным моментам. Трудности со сходимостью заставляют обратиться к другим непертурбативным подходам, прежде веет к формализму правил сумм.
В диссертации предложен новый вывод правил сумм для А - подобных барионов из правил сумм для £ - подобных барионов на примере правил сумм для масс и магнитных моментов барионов октета. Разработан новый метод построения правил сумм для сильных констант связи псевдоскалярных мезонов с барионами октета, построены правила сумм для констант связи т] - мезона с Л - гипероном и Л - £ - гиперонов с пионом. Построены правила сумм на световом конусе не только для пионных, но и для хаонных констант связи в рамках единого формализма. Построены правила сумм на световом конусе для констант связи векторных мезонов с барионами, показало, что они описываются в общем случае, как для псевдоскалярных мезонов, тремя независимыми функциями, которые в проделе точной унитарной симметрии обращаются в структуры, в точности соответствующие вариантам Р- и Р- свяли модели ви(3)/.
Начало этому положили трудности расчетов с Л- подобными барионами, отмеченные еще в (15], невозможность сравнить между собой результаты взаимных, часто очень сложных и громоздких, вычислений, для масс, магнитных моментов и других характеристик £- и Л -подобных барионов. Все это заставило нас искать связь между соответствующими борелевскими правилами сумм. Изложению построения
7
соотношений между борелевскими правилами сумм, связывающих между собой Е°-и Л- гипероны и посвящена настоящая глава. Основанием для них служат соотношения между волновыми функциями барионов с определенными ИЗОС1ІИНОМ, С/-СП ином и У-спином.
Третья глава посвящена построению правил сумм КХД для масс и магнитных моментов и анализу соотношений между поляризационными операторами. Показано, что поляризационные операторы и, соответственно, правила сумм КХД для масс и магнитных моментов барионов вида Л?({<2ііуз}</з) (типа Е с кварками q^iq2 в симметричном состоянии) связаны с соответствующими выражениями для барионов вида Я([МзЫ (тина Л с кварками q\,q?. в антисимметричном состоянии). Полученные соотношения между поляризационными операторами носят весьма общий характер и позволяют связать между собой выражения для самых различных процессов и величин, в которых задействованы барионы типа А и Е. В четвертой главе построены правила сумм КХД для констант связи псевдоскалярных и векторных мезонов с ба-рионами октета. В рамках единого подхода удалось получить выражения не только для констант связи барионов октета с пионами и />-мезонами, но и для констант связи барионов со странными мезонами как псевдоскалярными, так и векторными.
Сложные тензорные выражения имеют, как оказалось, структуру, диктуемую наличием ^ и О связи. Получены весьма общие соотношения между структурами, описывающими эти вершины, не накладывая жестких ограничений, требуемых обычно в модели унитарной симметрии. Результаты тем не менее оказываются близкими к результатам унитарной симметрии.
В диссертации получены следующие основные результаты:
• Кварк-бикварковая структура барионов и физический смысл констант F - £> -связи в модели унитарной симметрии; бариоиные массовые формулы, магнитные моменты барионов, константы слабых и радиационных распадов барионов и константы связи барионов октета с псевдоскалярными и векторными мезонами
• Унитарная и кварковая структура однопетлевых поправок для магнитных моментов барионов октета и шармовых барионов в моделях киральной симметрии
• Кварковая и унитарная модели слабых радиационных распадов гиперонов - новое решение для теоремы Хара о нулевой симметрии в распаде Е+ —> р -4- 7 и связь между кварковым и унитарным описанием этих процессов
• Новые соотношения между характеристиками А - и Е - подобных барионов в унитарной симметрии и в кварковой модели; новый вывод правил сумм КХД для масс и магнитных моментов А - и Е - подобных барионов
• Правила сумм КХД для констант сильных связи псевдоскалярных и векторных мезонов с барионами октета, унитарная структура правил сумм, соотношения между корреляционными функциями
8
Глава 1 Магнитные моменты барионов в унитарной и кварковой моделях
С появлением унитарной симметрии, а затем кварковых моделей проблема вычисления магнитных моментов барионов октета в течение десятков лет привлекает внимание теоретиков. Известно, что модель унитарной симметрии 56/(3)/ с помощью двух параметров вполне описывает экспериментальные данные на качественном уровне [49]. Кварковые модели .начиная с [50]), вводят обычно число параметров > 3 и в состоянии количественно описать магнитные моменты барионов с точностью лучше 10%. Эти модели в целом улучшили согласие с экспериментом. Однако, в настоящее время экспериментальные данные уже имеют точность на уровне 1% [51], что вызывает стремление повысить точность феноменологического и теоретического описания магнитных моментов. В связи с этим появилось много новых интересных моделей, пытающихся с. разных точек зрения решить эту проблему [52] - [74]. Они будут подробно обсуждены в этой главе. Основными вопросами будут, возможно ли построить модель для магнитных моментов, которая могла бы учесть различного рода поправки к первоначально двух-параметрической модели, в рамках унитарной симметрии и каким образом различные модели соотносятся между собой.
1.1 Модель унитарной симметрии и магнитные моменты барионов
В модели унитарной симметрии 56/(3)/ барионы 1/2+ помещаются в октетное представление группы 56/(3),
*? =
+ М £-
Е+
~^2° + 7вЛ
р
п
-ТоА
(1.1)
Здесь Вг] - обозначение унитарной волновой функции октета барионов, так что В\ — р, В\ = 5° и т.д.
9
Первое описание магнитных моментов барионов в рамках теории унитарной симметрии было выполнено с использованием барионного электромагнитного тока, который преобразовывался но октетному представлению группы SU(3) [49] (при записи волновых функций пространственно- временные индексы здесь опущены):
jc-m,lv,nm = -/1р(Щв' - в\в1) + + Тз\В1) - \мЦв*).
Здесь В\J - обозначение унитарной волновой функции октета барионов, так что В\ = p. В2 — и т.д. 13 итоге получаются следующие выражения:
1 2 н(р) ~ P-V + g/iD, р(п) =
/*(£+) = fiF + /*(S°) = i/io, MS”) = -PF + i/ID,
MS°) = M5") = -t*F 4-
/»(A) = -!«,, л/Зм(2°Л) = Me. (1.2)
В этой модели все магнитные моменты описываются двумя параметрами. Предсказывается, что fi(A)/fi(n) = 1/2, что согласовалось с первыми измерениями магнитного момента Л -гиперона. —1.5 ± 0.5; —1.39 ± 0.72 [75]. Нынешний уровень эксперимента полностью отводит унитарную модель в се простейшем виде. Но, как будет видно в дальнейшем, и сегодня сохраняется во многом положение, что основной вклад в магнитные моменты дается именно членами типа констант pf,pd, а остальные вклады играют роль поправок к ним. Более того, характерные структуры барионного тока типа F. D возникают и в правилах сумм КХД.
Появление модели симметрии 51/(6), а затем кварковой модели позволили получить волновые функции барионов через волновые функции кварков
\/18 В“р = + перестановки
ql =г и, (j2 = d, (f = s, t (ф) означает проекцию спина +§(—|) на ось л. Воспользуемся, однако, боллс простой записью, при которой, правда, уже нельзя переставлять местами волновые функции кварков в произведении. Изменим также обозначения, введя вместо стрелок индексы 1,2 так, что щ = Д|, и2 = и± etc.
V6B2 = epS,{q?,<liW, (1-3)
откуда получаем А - подобные состояния
у/бВ\ = u\d\s2 + d\U\s2 — u\s\,d2 — s\U\d2 = 2A([efo]u) = 2AU„ (1-4)
у/ЪВ\ = di3iu2 -f s\d\U2 — uidl32 — diU\S2 — 2Л([мя]е£) = 2Ad*
VbBl — SiU\d2 -f UiS\d2 — Sidiu2 — di$iu2 = 2A([n</].s) = 2A.
Сумма этих состояний есть как раз след барионной матрицы ]T)a=i = 0, т.е.,
только два из этих состояний линейно независимы. Но мы не можем выбрать какие-
10
либо два из них, поскольку они неортогональны между собой. Построим три ортогональные комбинации, по одной к каждому состоянию
— и^і»2 — »\U\d2 — = 2\/ЗЕ °({<&}д) = 2\/3£”я
— у/Ь(В1 — В\) = 4" 2>ЗіИі(І2
—ііі(іі82 — сііщзг — (ІіЗіщ — Зі<Іі7і2 = 2\/ЗЕ°({7^}<і) = 2ч/ЗЕ|]3
у/в(В\ — ВІ) = 2иі(ііз2 4* 2(ііДі«2 —и\3\(І2 — з\и\(І2 — (1\3\П2 — Зі<1\Хі.г = 2\/ЗЕс({?/<і}.5) = 2\/ЗЕ°
ІІО построению эти £ - состояния построчно ортогональны к Л - подобным состояниям, так что формально можно выбрать любую пару Е°, А с одной и той же строки в (4.12) и (3.30). 3-я строка выбирается потому, что волновые функции в этом случае несут определенный изотопический спин и связываются с наблюдаемыми Е° - и Л -гиперонами.
Эти состояния построчно связаны друг с другом поворотом на 60° и 120°:
Эти формулы позволяют с помощью простых преобразований связать с собой характерные величины Е° - и А - гиперонов, поскольку справедливы следующие соотношения для матричных элементов некоторого довольно произвольного оператора а в обкладках между этими гиперонами:
Эти соотношения позволят нам получить много интересных результатов как в унитарных и кварковых моделях, так и на уровне правил сумм КХД.
Сказанное справедливо и для шармовых и бьюти- Е- и Л- подобных барионов. Существенная разница заключается, однако, в том, что если и Е°, и Л находятся в одном унитарном мультиплете, то для шармовых и бьюти-барионов это не так. Три шармовые £„- подобные барионы £+(W, с), HJ'(hjs,c), EjfftAs, с), "состоящие" из разных но ароматам кварков, относятся к секстету по 5С/(3):
а Лс- подобные Л+(ш/с), Sj(tMc), ’’состоящие” из тех же разных кварков,
образуют унитарный антитриплет:
—л/б(— Bj) = 2d\SiU2 4* 2sidiu2 (1-5)
-Е^ = Е° cos 60° - Л sin 60° - Лия = Е° sin 60° 4- Л cos 60°
-Е3„ = Е° cos 120° - Л sin 120° - = Е° sin 120° 4- Л cos 120°
3(Л|в|Л> = 2(£°Jâ|Ei;e) 4- 2(S(’Jâ|E°ue> - <£°|«|£) _ 3(Е°|«|Е) - 2(Ал|в|Ал> 4-2(AtM|â|Au,> - <Л|л|Л) V/3(<S°|«|A> + (A|a|2)) = 2<£°,|â|£“,) - 2(S“,|ô|£“,) V^((£°|â|A> + (Л|«|2>) = —2{Л<і,|0|Л^,) + 2(Au,|â|A„.)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
11
То же справедливо для трех бьюти- X*,- подобных барионов и трех бьюти- Л;,-подобных.
1.2 Кварковая модель и магнитные моменты ба-риоиов
Приведем кратко известные результаты нерслятивистской кварковой модели (НРКМ). Магнитные моменты барионов в НРКМ определяются кварковыми магнитными моментами /у(/, что можно описать простыми кварковыми диаграммами рис.1.1.1 :
(.{В) = £ < В\(1дО*\В >, (1.9)
где В -волновая функция бариона октета: /іч - кварковые магнетоны, а -г-компонента спинового оператора кварка (\
Д1 щ и2 ✓ «2 <*1 £7 <*1
д-1 «1 щ 7/.1 «1 «1
С?2 <*2 <*1 и2 г*2
и даются формулами [50]
Рис.1.1.1
и(р) = рМ = ~ “/І«
/*(Е+) = -/*« - І/і*, /і(2“) =
2/х(Х0) = /у(Х+) + ,у(Х-) (1.10)
/-о\ 4 1 \ 4 1
М- ) = ) = 3М1. - з^1
/1(А) = /хл, \/3/*(Х°Л) =
Связаны ли формулы (1.2) с кварковой моделью? Оказывается, магнитные моменты сигма-подобных барионов. т.е. всех барионов октета кроме Л - гиперона, могут быть записаны с учетом их кварковой структуры в виде [76],[77], [78]
= (сд + сч>)цр + е/Д/х^ - /Хд). (1.11)
Здесь использованы НРКМ и тот факт, что тензорные индексы сигма- -подобных
барионов октета однозначно связаны с кварковыми индексами. Для Л-гиперона можно
воспользоваться соотношениями (1.7).
3/|(Л([дф)) = 2д(Е°(1м,<*)) + 2р(Е°(ЛмО) - /*(Х°(Ы,*),
12
получив в результате:
2 1 Л*(А) = (еи + ed)(nF - -hd) + e,(fiF + -/Xd), (1.12)
\/3/i(S0A) = (си - ed)/iD. (1.13)
Можно убедиться, что из формул (1.11-1.13) следуют формулы унитарной симметрии (1.2).
При hf = (2/2)цо = 2/3 и cQ —Ь fiq мы возвращаемся к формулам кварковой модели (1.11)
Замена тензорного формализма простыми алгебраическими выражениями чрезвычайно удобна и имеет гораздо большую общность, чем может показаться вначале. Позднее мы увидим, что эта замена тензорного формализма имеет общий характер
для барионов спина 1/2 и их токов и окажется чрезвычайно удобной при постро-
ении правил сумм в КХД. Полученные формулы позволяют также тесно связать между собой унитарную и кварковую модели, придав, в частности, чисто теоретико-групповым константам F и D четкий физический смысл. Это составит предмет следующего раздела.
1.3 Кварк-бикварковая модель
В этом разделе построим кварк-бикварковую модель, в которой введен Ansatz следующего типа: квант поля (электромагнитного, слабого, и т.д.) различным образом взаимодействует в 2-лодобном бар ионе B(qq. к) с бикварком из кварков одного аромат та (<?</), с одной стороны, и одиночным кварком к, с другой. Это довольно формальное с виду предположение о строении бариона, введенное в обычную НРКМ, позволяет получить все результаты модели унитарной симметрии для барионов октета, включая наличие характерных для унитарной симметрии констант связи F- и D- типа. Более того, именно в кварк-бикварковой модели можно придать физический смысл этим константам, возникающим в унитарных моделях исключительно из теоретико-групповых соображений.
Для доказательства наших предположений мы последовательно построим в рамках этой модели магнитные моменты барионов, слабые аксиально-векторные константы лситонных распадов гиперонов и массовые формулы для барионов.
1.3.1 Кварк-бикварковая модель для магнитных моментов барионов
В этом разделе введем новый оператор а,, матричные элементы которыго в обкладках между волновыми функциями барионов сигма-подобных барионах B(qq.h) различны в зависимости от того, взаимодействует ли фотон с кварком q, находящемся в бикваркс кварков одного аромата (qq) или с одиночным кварком к ( или 7’)[77, 80].
Магнитные моменты барионов B(qq,k)n нсрслятивистской кварк-бикварковой модели задаются формулой [68, 76, 77]:
№) = £ < В >, (1.14)
13
где В -волновая функция бариона октета сч - заряд кварка д. а сг| -у. -компонента спинового оператора кварка д.
При а = 1 и ед —> ця возвращаемся к обычной кварковой модели (см.,напр., (50]).
Структура шести сигма-подобных барионов В(<743г, /г) октета такова, что в них содержатся два кварка одного аромата,В = В(<7<7,<7')- Новый оператор а? вводит различие между взаимодействием электромагнитного ноля с бикварком кварков одного аромата и с одиночным кварком в волновой функции барионов с помощью следующих матричных элементов:
А А
< <№Ъ Ч\ >= \ап\ти <1\ >=
< (юміКіммі >= 4Г’> < >=
В правой части двойные стрелки относятся к ориентации проекций спипов кварков в бикварке. Вводя обозначения
ии,4 dd.it _ ии,з сіі.з / _ йз,11 .33,4 п
?/;п =™п =ь)П,Ь)п - гип =адп,шп = = го п,
( то же для получаем выражения для магнитных моментов барио-
нов через іи,у.
При вырождении всех по ароматам при |= ?нц = (3/2)/і/г, (2г»ц —Уц) = V = (/х/т — получаем [80]:
4 1 1 2 2 2
/4?) = 3^11 - + 3/^» /Чп) = “з70“ + = ~у1£>'
/^+ч 4 1 1 2 1 1
//(Е ) = - -V = /1/т + ~/А£>, /і(Е ) = — “Тоц - -V = + -/*£>,
2 2 2 2 1 1 М5°) = — з^п + зУ = -3/^. /4-“) = -3^11 ~ з77 = + 3М0. (1-15)
Кварк-бикварковая модель воспроизводит, как видим, для магнитных моментов барионов результаты модели унитарной симметрии. Более того, теоретико-групповые константы /іу и цо приобретают физический смысл - константа /гр пропорциональна матричному элементу, отвечающему взаимодействию излучения с бикварком (однО) в то время как разность (/і/? — цо) пропорциональна матричному элементу, описывающему взаимодействие излучения с одиночным кварком д\ Отмстим, что бикварк с разнонаправленными спинами кварков (<7^</;) вклада в магнитные моменты не дает.
Формально можно записать волновую функцию Л-гиперона в кварк- бикварковой модели как [69] 4
|Л^Т = + ^(116)
где считается, что кварки, заключенные в круглые скобки, образуют бикварк. Вычисления по этой формуле приводят к тем же результатам, что и вычисления по формуле (1.12), что и неудивительно, поскольку волновая функция (1.16) в сущности есть разность вспомогательных волновых функций Е°(?«,<і) и Е.° (<&,«) с несколько другой нормировкой. Удобнее на самом деле прибегнуть к формулам (1.7).
Предлагаемая кварк-бикварковая формулировка кварковой модели, суть которой состоит в том, что квант поля, в данном случае фотон, различает в барионе между
14
бикварком и одиночным кварком, носит довольно общий характер и не ограничивается примером магнитных моментов бариопов.
В дальнейшем будет показано, при каких дополнительных предположениях в рамках этой модели можно воспроизвести экспериментальные значения магнитных моментов бариопов.
1.3.2 Лептонные распады гиперонов в кварк-бикварковой модели
Обсудим в рамках этой же модели проблему слабых лептонных распадов гиперонов В —¥ В' -f (l.ui), где (/,*//) - лептонные пары с~, ис_ или их античастицы.
НРКМ для лептонныч распадов бариопов приводит к предсказанию G^/G^ = —5/3, что сильно расходится с экспериментальным значением G^/Gj^ = —1.267 ± 0.0U35. Поэтому обычно вместо ЫРКМ прибегают к модели унитарной симметрии и ее модификациям, хотя, как уже говорилось, для магнитных моментов барионов наблюдается обратная картина: унитарная симметрия, располагая всего двумя параметрами, описывает их хуже, чем I1PKM с тремя параметрами (кварковыми магнетонами), и поэтому основные усилия часто направлены на модификации именно кварковых моделей.
Покажем, что результаты модели унитарной симметрии для слабых констант лептонных распадов барионов октета могут быть получены и в кварковой модели, если обратиться к ее модификации в виде кварк-бикварковой модели. При этом как мы увидим, удастся установить физический смысл величины отношения F/D = 2/3, характерного для модели SU(6) S0].
В модели 5t/(3)/ аксиально-векторные слабые константы Gj|fl, определяются слабым акешшьно-векторным барионным током (пространственные индексы для краткости опушены)
Aw = {(d - тв\ + (d + {)В\В1)\ cos 9с + [(</ - /ВД + (d + S)B\Bl)} sin 1.17) и даются выражениями [102], [173]:
<?Д = (/ + d)cos9c, G*. s- = (-/ + d)co»9c,
СД = ^(3/ + d)sin9c, = i(3/ - d)sin9c,
СД- = (-/ + 4)»гпвс, 6'Дз. = (/ + d).nnUc,
gae- = J^dcos9c.
Как видно, при / = 2/3, d = 1 воспроизводятся результаты НРКМ, в частности <?Д/СД = -5/3
Попробуем вернуться к кварковой модели и вычислить матричные элементы слабых переходов в кварк-бикварковой модели. Определим матричные элементы аналогично (1.15), поставив всюду значок W в знак того, что мы имеем теперь дело со
15
слабыми взаимодействиями:
< \<*%\п\яъя\ >= >= ™?Г>
< ЯгЯьЯх\<*™\ЯїЯьЯІ >= vnq’> < 9іяья\\<*™\яі<1ияі >=
Матричные элементы вообще говоря, не совпадают с матричными элемен-
тами w9v. Обозначим через w™ матричный элемент, аналог которого не появлялся в вычислениях магнитных моментов ( вернее, там он сокращался при вычислениях), ти'Я \w = wjo и введем оператор слабого перехода который переводит кварк d или з в кварк и с множителем cos 9с или sin Ос-, соответственно.
Проведем вычисление матричного элемента /3-распада нейтрона в кварк-бикварковой
МОД<!ЛИ.
Y^ipWWq Pq I7*) = --(2aTurd| - ti^dyui - dt7i^ui\ocq\2u^ui + 2d^ui - u^at<(a.l8) v ®
-{-</74/774 J — xi^xudi + щи-^di) cos 9c = — (4ta^ -f 3-f 3toJ£) cos 9c = (f + d) cos Oc,
который оказывается в точном соответствии с результатом унитарной симметрии при (2/3)wu = /, v>i2 — d. Значок “ показывает, что именно с этим кварком взаимодействовал W-бозон и что именно по этому кварку выбирается матричный элемент из (1.18). Отметим, что в ответе не появляются величины vл , связанные с излучением квантов одиночным кварком, так как в распаде нейтрона не участвует одиночный и - кварк.
Подобным образом мы можем вычислить все аксиально-векторные константы лептонных распадов гиперонов при условии, что кварки хотя бы в одном из барионов, участвующих в распаде, принадлежат бикварку (qq) ( для упрощения вычислений при наличии Л следует действовать оператором именно на Л):
£(PWa2WlA) = - - d^n^o^v^u^dx + 1.19)
—</7747144 — u^d-tUi) sin 0 = ""^^(6^11 + wi2 + w{j) sin Oc = — + d) sin 9C,
X)(A| "?аГДЛЕ+> =
1 2
274*11734, — 74+3+744 — .S+W+ttJ.) COS Oc = T=(2wJK + %W12 ) sill Oc = —J=d COS $(7, (1.20)
2\/6 ' “ v6
|E°) = -i(-2l4t14t34 - l£t3t744 - 3tWtt44|a9|2U|3f144 + 237147144
—14^14734 -f 37147144 — 747H7.S4 -f 1473714J) sin = ^(4u»5i + бін}?) sin Oc = (d+ /) sin ОД.21)
53(А|<т’а^+|Н") = ” s^slla^sts^
—stdiS± — <^3734) sin 0C = _ 2iyJ^) sin Oc = ^=(3/ “ *0 sin (1.22)
1G
> = -^=(2^*4. + 2dts}sx - sfadi - sts^dx + d^sl + Vf*iKI
1 ' ■ .w , с w> - - 1
23-Wj — ~ ^t5t<s4-) sin + 6w12)sin 0C = + /) s^u ^5 (1-23)
В том случае, когда кварки, участвующие в слабом переходе, являются одиночными кварками гиперона B{qq, /г), конечные выражения будут выражаться только в терминах vw, так что получаем
E<»K4W-> = -i<-2<WI - <W - 4ViKI
2df(Usi — d^Sfdi — sin 0C = — 2?'}2)= (<* “ /)8“1 (1-24)
Е<5°1ор«аГ^1Е )= _^2stst«* - -’tut^ -
—2.Sf$fii7 — cos вс — ~ ^vn)cos вс = (d ~ f) cos вс- (1-25)
Этим завершается вычисление аксиально-векторных констант лептонных распадов гиперонов, а также доказательство совпадения результатов модели унитарной симметрии и кварк-бикварковой модели для слабых лептонных распадов барионов октета.
Важным для дальнейшего является тот факт, что в модели появляются в сущности три независимые константы, соответствующие F, (D — F) и D в пределе симметрии 517(3)/.
Они же появляются, как легко понять, и в задаче о константах мезон-барионного взаимодействия, поскольку в рассматриваемой задаче лептонных распадов гиперонов токи имеют квантовые числа мезонов октета. Мы это покажем в следующем разделе, так как это окажется важным при построении правил сумм КХД для констант связи псевдоскалярных и векторных мезонов с барионами октета.
Важно отметить, что пренебрежение разницей между вкладом от бикварка (<?t<?t) и от бикварка [q*qi) с различной взаимной ориентацией спинов кварков приводит к соотношению F/F=2/3 (соответственно, к iif/hd—2/3 для магнитных моментов и к f/d=2/3 для слабых констант распадов). Как известно, модель SU(Q) предсказывает это соотношение. Оно выполняется для легких кварков, что ведет сразу к соотношению /1п//1р=-2/3, прекрасно согласующемуся с опытом. В нашей модели основанием этого результата является равенство матричных элементов с участием легких кварков для протона
и аналогичного равенства для нейтрона с заменой и f-> d.
17
1.3.3— Массовые формулы для барионов в кварк-бикварковой модели
Продолжим изложение кварк-бикварковой модели, но в отличие от предыдущих двух параграфов, обратим внимание на связь с теорстико- групповыми формулами моделей унитарной симметрии на примере массовых формул для барионов. В большинстве подходов за основу обычно берется некоторый вариант кварковой модели с п ароматами, Tt=4,5. Это связано с тем, что уже в модели унитарной симметрии 5£7(4)/ различие в массах барионов 1/2+ 20-плета так велико, что считается невозможным следовать аналогии с SU(3) (см.однако, [81) ). Тем более это относится к 45-плету SU(5), в которых размещаются барионы 1/2+ с квантовыми числами В (beauty/bottom).
Вместо с тем можно показать, что феноменологические одноглюонные потенциалы во многих случаях (см.напр.[82]) приводят к массовым формулам барионов, параметры которых линейно связаны с константами F и О- связи барионной симметрии SU(3) . В ряде работ было предложено рассматривать кварк-дикварковую структуру внутри барионов (см.капр.[83]). В работе [84] массы барионов вычислялись в потенциальной кварк-дикварковой модели. Для октета барионов 1/2ь в 517(3) недавно было показано, что кварк-бикварковук» структуру по ароматам можно однозначно соотнести с характерным для гиперзарядового тока тензорными структурами F- и D- типа [85]. В кварковой модели с тремя ароматами это приводит к известной формуле масс Гелл-Мннна-Окубо. Покажем, что массовому члену гамильтониана в 5t/(3) [8G]
•Нм (3) = (Mo - Dy)B°bBba + (Dy + Fy)B*Bl + (Dy ~ Fy)B3bBb, (1.26)
//£- октет барионов l/2+, a. b = 1,2,3, p = B\, в кварковой модели с тремя ароматами Ujd,A можно поставить в соответствие оператор расщепления масс сигма-подобных барионов октета
АМ= £ m,[B)Yq + mJ, (1.27)
q=u,J,s
Л
где Yq- оператор гиперзаряда. Собственные значения тп\ и тл оператора т^в) различают в барионе B(qq^qr) одиночный кварк q' и бикварк (<ї</), соответственно, и однозначно выражаются через константы F- и D- связи гиперзарядового тока в (1): Ш\ = —Fy, т[ == Dy — Fy. Mo + (2/3)Dy = m0.
В результате для сигма-подобных барионов получим:
2 1 2 2 M(N) — mo + -7Пі + -т[; Af(S) = m0 + -т1 - ~т[]
_ 4 1
М(Е) = т0 - -тлі -|- -тп[.
Массовую формулу для гиперона А получим с помощью соотношений (1.7), записанных для массового оператора (1.27):
2 2 М(А) = т0 - -TTij + -т\.
Массы барионов удовлетворяют соотношению Гелл-Манна-Оку бо [86].
Сделаем обобщение на п ароматов, наиболее подробно рассмотрев массовые формулы для 20-плета барионов 1/2+ в SU(4).
18
Выражение (1.26) обобщается на 20-плет барионов 5(7(4), описываемых тензором (Ь^ = —Ь*р, Ь“п — 0, а,/?,7 = 1,2,3,4 ), введением в Нм шармового тока
барионов:
Нм(4) = (М0 -£>с + Я,)®*+ І(Оу + РГ)Ь^„+ (1.28)
(Ог - Ру)ь;х, + і(ос + + (ос - ^)ь;4ь;4,
причем Ь£. = #£. л, Ь = 1,2,3.
В кварковой модели с 4-мя ароматами расщепление масс введем не только через оператор гииерзаряда У^, но и через оператор шарма д. Собственные значения оператора д равны нулю для 7 = и. (і, л и -1-І для q = с. Поскольку масса кварка с намного больше масс легких кварков , естественно определить для него отдельно собственные значения оператора тпд(д), равные т\ и т4 и отвечающие одиночному кварку с в барионе В((7<7,) и с-кварку в бикваркс (сс) или (сд), соответственно. Оператор расщепления масс в кварковой модели для сигма-подобных барионов вида при этом можно записать в виде:
— 6м) 4 6мСпк] 4 то/, ^1<2>3'4 = (1.29)
*=і
Массы шармовых изомультиилетов (в МэВ) секстета тогда даются формулами:
2 4
М(ЕС(<7</,с)) = то + ~тг + М(Юс(з£, с)) = т0 - -т! т'4
М(К(Л<Ь с)) = то - |ті + т4 М(Зсс{сс, 7)) = т0 4 -ті + 2т4
2
М(12сс(се,.ч)) = т0 — -т[ + 2т47,</ = «, (I.
и
Эти формулы в точности соответствуют массовым формулам, следующим из (1-28) при 77*1 = — Ру> гп4 = Не, тп\ = Б у — Бу, 77?. 4 = Б с — Бс- При этом ту = М0 + (2/3)Бу — Бс. Этот результат показывает справедливость гипотезы о связи кварк-бикварковой структуры барионов по ароматам с тензорной структурой тока барионов.
Обратим внимание на формулу для масс Е'-частиц. Соответствие с барионной симметрией 5(7(4) достигается здесь только при выборе бикварка в виде (.$<7), а одиночного кварка в виде с, 7 = и. (1. Выбор бикварка в виде (7) противоречит (2). Численные расчеты для секстета барионов помещены в табл. 1.1.
Для шармовых барионов Ес и Ас, имеющих строение волновой функции как у Л-гиперона, массовые формулы ( значения приведены в табл.1.1) получены с помощью соотношений (1.7):
М(Зс(л'7с)) = І[2М(Ес(с5,7)) 4 2М(Ес(«с, 7) - М(Нв(й<у,с)],
«/
аналогично для А+(п(1с)у в результате