Перенос тепла в плазме токамака в переходных процессах при ЭЦР нагреве

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................5
ГЛАВА I. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕ1П-1ЫХ ПАРАМЕТРОВ В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА
§1. Общие вопросы построения градиентных алгоритмов для решения
обратных задач теплообмена......................................40
§2. Обратная задача восстановления коэффициентов переноса и правых
частей для уравнений транспортной модели........................51
§3. Алгоритм решения обратной задачи для уравнения
теплопроводности................................................58
§4. Численная реализация градиентного алгоритма при решении
обратных задач для уравнения теплопроводности...................75
§5. Учет эволюции равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением при решении обратной задачи для системы транспортных
уравнений.......................................................87
Выводы..........................................................99
ГЛАВА II. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕНОСА, ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА И ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА ИЗ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
§1. Исследование единственности решения обратной задачи для
восстановления коэффициентов переноса в плазме токамака...100
§2. Восстановление коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака из анализа переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева..........................113
2
§3. Вычисление коэффициента теплопроводности, скорости конвективного переноса и коэффициента электропроводности для
системы транспортных уравнений.................................121
§4. Восстановление коэффициента диффузии и скорости пинчевания
частиц при импульсном напуске газа в токамаке Т-15.............126
Выводы.........................................................140
ГЛАВА III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПОСЛЕ ВКЛЮЧЕНИЯ/ОТКЛЮЧЕНИЯ ЭЦР НАГРЕВА
§ 1. Математическая модель для описания переходного процесса после
включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке....................141
§2. Численное исследование точности восстановления профиля ЭЦРН
и коэффициентов переноса из решения обратных задач.............148
§3. Восстановление профиля ЭЦР мощности и коэффициентов
переноса по эволюции мягкого рентгеновского излучения..........161
§4. Анализ переходного процесса после отключения ЭЦРН на основе
локальной и нелокальной модели коэффициентов переноса..........166
Выводы....................................................... 174
ГЛАВА IV. АНОМАЛЬНО БЫСТРОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В ПЕРЕХОДНОМ ПРОЦЕССЕ ПОСЛЕ ВКЛЮЧЕНИЯ/ОТКЛЮЧЕНИЯ ЭЦРН §1. Скачок коэффициентов переноса после включения/отключения
нецентрального ЭЦР нагрева на токамаках Т-10, TEXTOR и ASDEX
Upgrade.........................................................175
§2. Скачок потока тепла после включения центрального ЭЦР нагрева
на токамаке Т-10................................................190
§3. Самосогласованный профиль давления и аномально быстрое
изменение переноса тепла после включения/отключения ЭЦРН 205
§4. Модель “песочной кучи” для описания аномально быстрого
переноса тепла после включения ЭЦР нагрева в токамаке Т-10......217
Выводы..........................................................231
ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ВНУТРЕННЕГО ТРАНСПОРНОГО БАРЬЕРА В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА
§1. Улучшение удержания в центре плазмы после отключения
нецентрального ЭЦР нафсва на токамаках Т-10 и ТЕХТСЖ........234
§2. Оптимизация условий формирования электронного внутреннего
транспортного барьера на токамаке Т-10......................246
§3. Вычисление коэффициента теплопроводности в зоне ВТБ после
включения дополнительного Э1 [Р нагрева на Т-10.............254
§4. Связь между электронным ВТБ и самосогласованным профилем
давления плазмы в токамаке..................................260
Выводы......................................................272
ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................273
ЛИТЕРАТУРА......................................................276
4
ВВЕДЕНИЕ
Изучение переноса тепла и частиц является важной задачей физики плазмы токамака особенно для будущих термоядерных реакторов. Исторически изучать транспорт начинали с вычисления таких глобальных величин, как время удержания энергии тЕ и время удержания частиц ту», которые могли быть измерены экспериментально. Это привело к созданию скейлингов для г/.- в терминах инженерных параметров (полный ток в плазме, тороидальное магнитное поле, большой и малый радиус плазмы, коэффициент запаса устойчивости на границе и т.д.).
С развитием диагностик стали изучать локальные характеристики переноса тепла и частиц. Транспортные модели баланса энергии и частиц в установках токамак впервые были предложены Ю.Н. Днестровским, Д.П. Костомаровым и группой французских физиков: Люком, Мерсье,
Субрамайером в 1969 г. При своей относительной простоте они оказались чрезвычайно гибкими и удобными для изучения медленных, эволюционных процессов в тороидальной плазме. В настоящее время транспортные коды имеются во всех лабораториях, связанных с работами на установках токамак. Эти коды используются для анализа экспериментальных данных, планирования новых экспериментов, проектирования установок следующего поколения вплоть до термоядерных реакторов [1-3].
Основы классической теории переноса в аксиально-симметричных тороидальных системах были разработаны A.A. Галеевым и Р.З. Сагдеевым в 1967 г. [4]. Исторически эта теория получила название “неоклассической”. Приставка “нео” появилась потому, что ее результаты существенно отличались от классической теории переноса в магнитном поле с прямыми силовыми линиями. Было показано, что усложнение конфигурации поля, и связанное с этим усложнение траекторий частиц, приводят к существенному
увеличению коэффициентов переноса хТ° и ХТ° • Изменяется также
характер их зависимости от частоты столкновений [5].
5
Однако расчеты энергобаланса на основе неоклассической модели коэффициентов переноса хТ° и хТ° и анализ экспериментальных данных, проведенные в 70-х годах показали, что результаты расчетов завышают электронную температуру и энергетическое время жизни плазмы в целом. Это указывает на существование потерь по электронному и ионному каналу, которые моделью не учитываются. В дальнейшем эти дополнительные потери были названы “аномальными”.
Для согласования транспортной модели с экспериментом в нее
включают аномальную теплопроводность электронов хТ и ионов хТ* т-е* формулы для потоков тепла электронов и ионов принимают следующий вид:
?,=Ч*Г+2Г)Иг^ Яс = АхГ + хГ)п^- (В.1)
др др
При этом величины аномальных коэффициентов хТ и хТ в различных режимах могут отличаться в несколько раз.
Физические причины аномального переноса связаны с турбулентностью плазмы. В ряде работ для объяснения этого явления привлекаются модели, основанные на различных неустойчивостях плазмы. В других работах используется более простой эмпирический подход. Поэтому задача нахождения коэффициентов переноса в плазме токамака до сих пор остается актуальной.
При разработке моделей коэффициентов переноса важную информацию дает анализ экспериментальных данных. Однако при обработке экспериментов возникают большие трудности. Например, анализ стационарных состояний позволяет получать достаточно надежную информацию об общем балансе тепла. Ясли тепловой поток содержит диффузионную и конвективную части, то восстановить каждую часть теплового потока на стационаре невозможно.
6
Можно анализировать распространение различного рода возмущений в плазме (пилообразные колебания, модуляция газонапуска, инжекция пеллеты, лазерная абляция примесей, модуляция нагрева и т.д.). Однако сами возмущения могут изменять коэффициенты переноса и, в результате находится реакция коэффициентов переноса на данное возмущение. К тому же при анализе возмущенных экспериментальных данных, как правило, используются различного рода упрощающие предположения, как о самих коэффициентах переноса, так и, например, линеаризация уравнения для описания эволюции возмущения. Такие упрощающие предположения могут также привести к неправильной трактовке экспериментальных данных.
Дополнительной сложностью при вычислении коэффициентов переноса из экспериментальных данных является то, что в плазме токамака существуют внутренние транспортные барьеры — узкие зоны, в которых коэффициенты переноса в несколько раз меньше коэффициентов переноса в других областях плазменного шнура. Такая радиальная зависимость коэффициентов переноса существенно усложняет использование стандартных методик анализа эксперимента.
Все эти трудности подчеркивают необходимость разработки новых математических моделей и методов анализа экспериментальных данных, которые позволили бы восстановить детальную радиальную и временную эволюцию коэффициентов переноса. При этом желательно использовать самые общие предположения, как о самих коэффициента переноса, так и об уравнениях, с помощью которых описывается распространение возмущения в плазме токамака.
Отметим, что в этом направлении очень перспективным подходом является решение обратных задач, которые позволяют восстановить коэффициентов переноса и источники нагрева на основе анализа различных переходных процессов. Именно развитию и применению этого подхода для восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака уделяется основное внимание в диссертации.
7
Диссертация посвящена изучению переноса тепла и частиц в плазме токамака в переходных процессах при ЭЦР нагреве на основе решения обратных задач.
Целями диссертации являются:
- постановка обратных задач и разработка численных алгоритмов восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака для уравнений транспортной модели;
- решение обратных задач для широкого класса задач восстановления распределенных параметров плазмы в токамаке;
- разработка математической модели для описания переходного процесса после включения и отключения электонно-циклотронного резонансного нагрева, которая включает нелинеаризованное уравнение теплопроводности, локальную и нелокальную модель коэффициентов переноса;
- экспериментальное исследование аномально быстрого изменения переноса в переходных процессах после включения и отключения электронно-циклотронного резонансного нагрева;
- экспериментальное исследование условий формирования электронного внутреннего транспортного барьера в плазме токамака;
Эффективный коэффициент теплопроводности можно вычислить по балансу тепла. В этом направлении были много сделано для анализа квазистационарных или стационарных транспортных уравнений, в которых связь между потоками и градиентами локальных величин задана через транспортные коэффициенты.
Отметим, что существуют экспериментальные факты, которые подтверждают, что представление, в котором связь между потоками и градиентами локальных величин линейна, является достаточно упрощенной картиной. Во-первых, даже в неоклассической теории потоки и градиенты связаны между собой через матрицу транспортных коэффициентов с недиагональными членами, влиянием которыми не всегда можно пренебречь. Во-вторых, не очевидно, что соотношение между потоками и градиентами
8
*
должно быть линейным. В-третьих, может существовать нелокальный вклад в транспорт тепла и частиц.
В качестве другого подхода для вычисления коэффициентов переноса были предложены эксперименты по возмущению различных параметров плазмы [6]. Транспортный анализ эволюции плазменных параметров в переходных процессах, в котором изучается отклик плазмы на внешнее возмущение - экспериментально гораздо более трудоемкий, чем вычисления по балансу тепла, однако этот подход менее подвержен двусмысленным результатам. Применение небольших возмущений к плазме, находящейся на стационаре, позволяет, в принципе, достичь следующих результатов: 1) разделить отклик переноса тепла и частиц на изменение различных градиентов (температуры и плотности); 2) определить вклад недиагональных членов в матрицу транспортных коэффициентов; 3) вычислить раздельно диффузионный и конвективный вклад в общий транспорт тепла.
Коэффициенты переноса, найденные в результате анализа эволюции возмущения плазменных параметров, отличаются от коэффициентов переноса, вычисленных по балансу тепла - показано на рис.В. 1.
п7Т
Рис.В. 1. Различие между коэффициентом теплопроводности. определяемым из анализа по балансу тепла и коэффициентом У”с, определяемым из анализа эволюции возмущения плазменных параметров [6].
9
Отметим, что различие между коэффициентом определяемым из анализа по балансу тепла, и коэффициентом х‘г'\ определяемым из анализа эволюции возмущения плазменных параметров, будет именно в том случае, когда коэффициент теплопроводности х зависит от локальных параметров плазмы. Это означает, что связь между потоком тепла и градиентами локальных величин является нелинейной или, когда влияние недиагональных элементов в матрице транспортных коэффициентов является существенным.
Более важное отличие между анализом возмущения плазменных параметров и анализом по балансу тепла состоит в следующем: 1) можно воспроизвести эксперименты, в которых различные параметры плазмы и их градиенты, например, плотности и температуры, могут варьироваться независимо, в то время как при анализе по балансу тепла они имеют тенденцию быть связанными; 2) влияние различных членов в транспортных уравнениях может быть выделено за счет выбора временных констант возмущений относительно существенных транспортных процессов.
Перечислим наиболее распространенные экспериментальные техники для возмущения плазменных параметров.
1) Анализ распространения импульса тепла после срыва пилообразных колебаний температуры. В этом процессе начальное возмущение температуры имеет дипольный характер: отрицательное внутри радиуса переворота фазы rinv пилообразных колебаний температуры и положительное снаружи радиуса rmv. Анализ распространения максимума импульса тепла позволяет вычислить коэффициент /НРР (Heat Pulse Propagation).
2) Модуляция газонапуска. Контролируемые возмущения плотности плазмы можно получить с помощью периодического напуска газа на границе. Этот метод позволяет определить инкрементальные коэффициенты диффузии й‘пс=дГ/дVп и конвекции Уис-дГ/дп. Впервые эти эксперименты проводились на установках Т-10 [7], TEXT [8], ASDEX [9], PLT [10], JET [11], Tore Supra [12] и JT-60U [13].
3) Инжекция пеллеты. При инжекции пеллеты источник частиц можно локализовать на периферии плазмы, что часто используется при изучении
10
транспорта частиц. Данная методика позволяет одновременно анализировать эволюцию, как плотности, так и электронной температуры, что может дать интересную информацию о роли конвекции в уравнении теплопроводности. Впервые изучение транспорта при инжскции пеллеты проводилась на установках Alcator-C [14], JET [15], Tore Supra [16], Т-10 [17].
4) Лазерная абляция примесей. Осуществляется инжекция небольшого количества примесей на границу плазмы за счет лазерной абляции, что приводит к увеличению радиационных потерь, охлаждению периферии плазмы и, соответственно, падению температуры плазмы на границе. Отметим, что при этом изменяется электронная температура на границе плазмы, а плотность и другие параметры, практически, не возмущаются. Распространение холодного фронта от границы к центру плазмы дает информацию об электронном переносе в токамаке. Впервые была предложена на TEXT [18] и TFTR [19].
5) Модуляция источника нагрева. Экспериментально возможны несколько различных вариантов модуляции источника нагрева. Это модуляция ионно-циклотронного резонансного нагрева (ICRF), которая была использована на JET [20]. Также применяется модуляция источника нейтральной инжекции (NB) [21]. Однако наиболее распространенной является модуляция электронно-циклотронного резонансного нагрева (ЭЦРН). Модуляция ЭЦРН является, практически, идеальным инструментом для изучения электронного переноса: а) ЭЦРН вкладывает мощность только в электронную температуру, положение источника нагрева хорошо локализовано и может легко изменяться; б) оба направления: от источника нагрева к оси плазмы и периферии плазмы могут быть использованы при транспортном анализе, так как импульс тепла распространяется в обе стороны; в) имеется большая свобода в выборе параметров модуляции: частоты модуляции, глубины модуляции и рабочего цикла. Эксперименты с модуляцией ЭЦРН для изучения электронного переноса впервые были выполнены на установках DIII [22], TFR [23], W7 [24], DITE [25] и RTP [26].
11
В настоящее время модуляция ЭЦР нагрева является одной из основных экспериментальных техник по возмущению электронной температуры и изучению электронного переноса в плазме токамака. Кратко можно сослаться на эксперименты, проведенные на установках Tore Supra [27], FTU [28], TJ-II [29], ASDEX Upgrade [30-32], DIII-D [33].
Отметим, что транспортный анализ данных, полученных с помощью экспериментов по возмущению параметров плазмы, привел к разработке соответствующего математического аппарата. Рассмотрим основные из них.
1) “Time-to-peakV анализ. Для изучения распространения импульса тепла при пилообразных колебаниях была разработана специальная техника - “time-to-peak” анализ. При этом момент времени tP, когда приращение температуры Те достигает своего максимума, строится как функция малого радиуса. Используя аналитическую модель, в [34, 35] получена следующая формула для коэффициента теплопроводности х‘рр:
1 г2-г2
х"р=-/—гг- (в-2)
8 tP{r)
Модель предполагает цилиндрическую геометрию, постоянные х и плотность п и дипольное возмущение температуры Те.
Существуют несколько модификаций формулы (В.2), например, метод “time-to-peak”, основанный на численном моделировании. Это позволило найти приближенную формулу для коэффициента теплопроводности [36]:
х"Р = Up ■ Л, Up ={ptp{r)/8rY, Л = д\пт/дг. (В.З)
Отметим, что метод остается прежним - аналитическое решение уравнения теплопроводности для приращения электронной температуры Те.
2) Фурье преобразование (Fast Fourier transform method) - наиболее универсальный метод, используемый для анализа периодического возмущения. Применяется, практически, для всех экспериментов, в которых
12
происходит периодическая модуляция источника нагрева или частиц [20, 24, 37, 38].
Например, в случае модуляции ЭЦР нагрева измеряется электронная температура для нескольких точек по радиусу. В этом случае, можно применить Фурье преобразование для каждого канала измерения температуры и, соответственно, вычислить амплитуду и фазу возмущения температуры для нескольких гармоник. По найденным фазам и амплитудам возмущения температуры можно судить о скорости распространения тепловой волны и, соответственно, о коэффициентах переноса.
Отметим, что использование Фурье анализа и, полученных аналитических выражений для коэффициентов переноса в цилиндрической геометрии [20, 24, 37, 38], ограничено. Реальная геометрия может быть более сложной, например, плазма имеет вытянутое поперечное сечение. Решение также может зависеть от положения источника модуляции в области, где анализируется распространение импульса тепла. Поэтому, в этих случаях используются методы прямого численного моделирования.
3) Численное моделирование. Прямой метод анализа эксперимента -приближение экспериментальных данных на основе некоторой заданной модели транспорта. В этом подходе необходимо иметь численный код, который моделирует эксперименты с возмущением плазменных параметров. Информация, используемая в этих кодах типична: а) стационарные профили;
б) равновесие плазмы; в) пространственная и временная зависимость источников на!рева и стоков; г) экспериментальная эволюция температуры и плотности, которую необходимо приблизить в расчетах.
Альтернативно используется подход, в котором измеряемая температура Т на двух радиусах г\ и г2 используется, как зависящие от времени граничные условия, в то время как уравнение теплопроводности решается внутри области г\<г<г2 [39, 40]. Преимущество этого подхода состоит в том, что область плазмы, которая не представляет интереса для изучения, исключается из рассмотрения и анализа.
13
4) Вычисление коэффициентов переноса из анализа переходного процесса. В последнее время широкое распространение получило исследование транспорта на временах гораздо меньших времени удержания энергии. В этом случае индуцируется переходный процесс одним из вышеперечисленных способов: включение и отключение ЭЦРН, однократная инжекция пеллеты, примесей и т.д. [41-43]. Далее анализируется релаксация плазменных параметров от одного стационарного состояния к другому, и вычисляются коэффициенты переноса (transient transport coefficients).
Таким образом, развито много методов анализа возмущенных величин и вычисления коэффициентов переноса. Однако проблема состоит в том, что в них используются разные предположения, как о виде потоков тепла и частиц, так и упрощающие предположения, например, линеаризация уравнения для температуры или плотности. Это может оказаться решающим фактором при обработке конкретного эксперимента. Поэтому разработка новых методов анализа для эволюции возмущенных величин и вычисления коэффициентов переноса при минимальном количестве дополнительных упрощающих предположений, является актуальной задачей.
В диссертации разработан новый подход анализа экспериментальных данных - восстановление коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака на основе решения обратных задач для системы транспортных уравнений. В этом подходе переходный процесс описывается транспортными уравнениями с неизвестными коэффициентами переноса и источниками, для вычисления которых формулируется обратная задача. При постановке обратной задачи используются самые общие предположения о коэффициентах переноса и правых частях, что позволяет обойтись минимумом упрощающих предположений. Из решения обратной задачи восстанавливается эволюция коэффициентов переноса и источники нагрева.
Отметим, что решение обратных задач при анализе экспериментов представляет значительные трудности. Обратная задача является некорректной, поэтому погрешность экспериментальных данных, которая
14
всегда присутствует, играет большую роль. Решение таких некорректных задач требует разработки специальных методов и численных алгоритмов.
Основы теории некорректных задач - теории регуляризации - были заложены в 50-х - 60-х годах прошлого века в трудах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова и М.М. Лаврентьева. Ее бурное развитие, в особенности после выхода работы А.Н. Тихонова [44], обусловлено, во-первых, постоянным расширением области практических приложений этой теории, во-вторых, резким увеличением возможностей вычислительной техники.
Разработка эффективных методов решения обратных задач позволила упростить экспериментальные исследования, повысить достоверность и точность получаемых результатов за счет усложнения алгоритмов обработки экспериментальных данных. Из методов решения некорректных обратных задач выделяется направление, называемое “итерационная регуляризация”. В этом методе строятся регуляризирующие алгоритмы на основе различных итерационных методов минимизации функционала невязки, причем параметром регуляризации является номер итерации. Многие итерационные методы, в том числе градиентного типа, обладают определенной устойчивостью к погрешностям в исходных данных, но ошибки постепенно нарастают с ростом числа итераций. Поэтому получить устойчивые приближения можно, лишь прерывая итерационный процесс на некотором номере итерации, согласованном с погрешностями в исходных данных. Впервые эта идея была использована М.М. Лаврентьевым в [45].
Известно, что при решении некорректных задач более эффективными, по сравнению с методом простой итерации, являются 1радиентные методы минимизации функционала невязки, типа скорейшего спуска и сопряженных градиентов. Но исследование этих методов, применительно к некорректным постановкам, затрудняется их нелинейностью даже в случае линейных задач. Поэтому результаты по построению и обоснованию регуляризирующих итерационных алгоритмов на основе градиентных методов для уравнений с линейным оператором получены сравнительно недавно.
15
Сходимость градиентных методов при точных исходных данных рассмотрена в работах [46-49]. Построение регуляризирующих алгоритмов на их основе при наличии погрешностей в операторе и правой части, в том числе обоснование критериев невязки и обобщенной невязки дано в [50-52]. Вопросы учета априорной информации о решении в регуляризирующих градиентных алгоритмах рассмотрены в [53, 54].
Если итерационная регуляризация линейных некорректных задач изучена уже достаточно полно, то работ, в которых исследуются нелинейные задачи очень мало (отдельные результаты имеются в [55, 56]). В то же время, как показали вычислительные эксперименты, итерационные алгоритмы решения нелинейных некорректных задач, построенные формально по той же схеме, что и для линейных задач, оказываются вполне работоспособными.
Большой вклад в разработку итерационных алгоритмов решения нелинейных некорректных задач теплообмена внесли О.М. Алифанов,. Е.А. Артюхов и С.В. Румянцев [57]. В работе рассматриваются различные вычислительные аспекты применения метода итерационной регуляризации, связанные с определением градиента функционала невязки, построением модифицированных градиентных алгоритмов для решения многопараметрических задач, в том числе учитывающих качественную и количественную априорную информацию об искомых величинах.
Для выбора параметра регуляризации (номера итерации) используют критерий невязки или обобщенной невязки, соответствующие теоремы доказаны в [50-52, 57]. При этом необходимо знать вектор cr={3y h}, где 3 -пофешность экспериментальных измерений, a h определяется пофешностыо аппроксимации. Для вычисления 3 необходима статистическая обработка экспериментальных данных. Часто имеющиеся экспериментальные данные не позволяют определить 3 с требуемой точностью. Поэтому на практике используются эвристические методы выбора параметра регуляризации, которые хорошо зарекомендовали себя при решении обратных задач теплопроводности (некоторые из них обсуждаются в [57]).
16
При решении некорректных задач качество получаемых приближений существенно зависит от того, насколько полно удалось учесть всю имеющуюся априорную информацию об искомом решении. Некоторые особенности учета априорной информации при решении коэффициентных обратных задач теплопроводности рассмотрены в [53, 54, 57].
Отметим, что при решении обратных задач теплопроводности, важную роль играет вопрос единственности решения: теоремы единственности гарантируют детерминированность решения и информативность эксперимента. Кроме того, в силу теоремы А.Н. Тихонова [58], теоремы единственности гарантируют устойчивость вычислительного процесса в случае, если решение обратной задачи теплопроводности ищется на некотором конечном классе функций. В работе [59] были рассмотрены теоремы единственности решения обратных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянными коэффициентами. Единственность решения обратных задач для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа изучалась также в [59-62].
В первой главе диссертации задача восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака формулируется, как обратная задача для системы транспортных уравнений. Применительно к задачам физики плазмы численно реализован градиентный алгоритм решения обратных задач на основе метода итерационной регуляризации.
В §1 обсуждаются общие вопросы применения метода итерационной регуляризации для решения некорректных обратных задач теплообмена: а) построение градиента функционала невязки; б) условия регуляризуемости итерационных методов; в) выбор параметра регуляризации; г) учет априорной информации о решении; д) модификация градиентных методов для решения многопараметрических задач.
Во втором параграфе формулируется обратная задача для восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в плазме токамака по экспериментальным измерениям плотности, электронной и ионной температур. Эволюция плазменных параметров описывается
транспортной моделью, которая включает в себя уравнения в частных производных для электронной температуры, ионной температуры, электронной плотности и полоидального магнитного поля с неизвестными коэффициентами переноса и источниками тепла и частиц.
В §3 главы I описывается фадиентный метод минимизации функционала невязки для восстановления коэффициента теплопроводности, скорости конвекции и источника нагрева в уравнении для электронной температуры. При этом используется параметризация неизвестных величин. Для построения фадиента функционала невязки, формулируется задача для приращения температуры и сопряженная краевая задача для сопряженной переменной. Осуществляется модификация градиентного метода наискорейшего спуска для решения многопараметрической задачи.
Четвертый парафаф посвящен численной реализации фадиентного метода минимизации функционала невязки в конечномерном просфанстве, которое порождается разностной аппроксимацией исходного уравнения теплопроводности. Для этого в разностном виде формулируется задача для приращения температуры, сопряженная краевая задача для сопряженной переменной и выводится формула для фадиента функционала невязки.
В §5 предлагается метод, позволяющий учесть эволюцию равновесия плазмы с некруглым поперечным сечением при решении обратной задачи для системы уравнений фанспортной модели. Метод основан на приближении электродинамическими моментами эволюции двумерного равновесия плазмы.
На основе разработанных методов и численных алгоритмов, изложенных в §1-§5 главы I, был создан численный код СОВЯА - решение обратных задач для восстановления распределенных парамефов плазмы в токамаке, учитывающий эволюцию равновесия плазмы, в том числе с некруглым поперечным сечением [63].
Во второй главе диссертации на нескольких модельных задачах изучается возможность восстановления коэффициентов переноса и правых частей при различных предположениях о функциональном виде неизвестных
величин. Исследуется единственность восстановления коэффициентов переноса и источников нагрева в зависимости от погрешности в экспериментальных данных. Формулируется и решается несколько типов обратных задач актуальных в физике плазмы токамака.
Согласно имеющимся представлениям плазма в установках токамак представляет собой многофазную среду, определяемую топологией магнитного поля и степенью разрушенности магнитных поверхностей [64]. Можно выделить три-четыре зоны в плазме с сильно различающимися коэффициентами поперечной электронной теплопроводности. Положение границ раздела между зонами определяется самосогласованными процессами МГД-неустойчивости и переноса в плазме.
Обратные задачи по определению разрывных коэффициентов для уравнения теплопроводности на отрезке в декартовых координатах рассматривались в [59]. Показано, что для смешанной краевой задачи задание дополнительного теплового потока на левом конце, как непрерывной функции времени обеспечивает единственность восстановления коэффициентов. Доводы и численное исследование, проведённое в наших работах [65-67], показывают, что если имеются только измерения температуры в нескольких внутренних точках интервала в дискретные моменты времени, то разрывные коэффициенты определяются не единственным образом. Причиной единственности, полученной в [59] является именно переопределённость в граничных условиях, чего трудно достигнуть для задач физики плазмы.
В §1 рассматривается задача нахождения коэффициентов теплопроводности и конвективного переноса частиц в классе кусочнопостоянных функций, имеющей границу разрыва, которая также подлежит определению. Из эксперимента считается известной температура в ряде внутренних точек в некоторые моменты времени. Изучается одномерная задача для уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах [65-67]. Так как экспериментальная информация задана с ошибкой, то одним из важных вопросов при решении обратных коэффициентных задач является
19
исследование единственности решения. Этот вопрос подробно исследуется в данном параграфе.
Анализ экспериментов на установках токамак указывает на аномальную природу коэффициентов переноса. Однако, до сих пор структура теплового потока до конца не известна. Соотношение коэффициентов теплопроводности и конвекции обсуждалось [68], но пока неясно, насколько важную роль играет поток частиц в общей структуре теплового потока. Многие авторы пытаются решить эту проблему, анализируя распространения импульса тепла при малом возмущении плазменных параметров и используя линеаризованное уравнение теплопроводности [6, 69-71 ]
Во втором параграфе рассматривается новый метод восстановления структуры теплового потока, который основан на анализе переходных процессов с достаточно большой амплитудой возмущения плазменных параметров [72]. В этом случае используются нелинеаризованные транспортные уравнения. Коэффициенты переноса и источники нагрева восстанавливаются из решения обратной задачи для переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке Т-10.
Исследование обратной задачи восстановления коэффициентов переноса в плазме токамака в рамках только уравнения для электронной температуры проведено в наших работах [66, 67, 72]. В [72] указано на проблему одновременного восстановления источника омического нагрева и дополнительного ЭЦР нагрева плазмы. В работе вид источника омического нагрева задавался, как функция радиальной координаты и времени, а его амплитуда разыскивалась путем решения обратной задачи.
В §3 главы II рассматривается обратная задача восстановления коэффициентов теплопроводности, конвективного переноса и электропроводности в плазме токамака по экспериментальным измерениям температуры. Обратная задача формулируется для системы двух одномерных нелинейных параболических уравнений - электронной температуры и магнитного поля [73]. Источник омического нагрева находится из решения нелинейного уравнения диффузии магнитного поля, связанного с уравнением
для температуры через зависимость коэффициента электропроводности от температуры. В результате проведенных исследований выяснено, в каких режимах удержания и нагрева плазмы важен учет уравнения для диффузии магнитного поля при восстановлении коэффициентов переноса.
Измерения потоков газа на границе и профилей плотности электронов на установках токамак показали, что диффузия частиц в плазме, так же как и теплопроводность, является аномальной. Однако детальный анализ баланса частиц в экспериментах оказывается гораздо сложнее баланса энергии.
Плотность электронов п(г,0 в обычных экспериментах имеет монотонный профиль с максимумом в центре плазменного шнура. В то же время источник частиц 8(г,0 является сильно скинированной функцией на границе. Эти факты можно согласовать следующим образом. В плазме токамака, наряду с диффузионным потоком частиц Го=-Оп31/д\ направленным наружу, должен существовать дрейфовый поток Гу=пьр, направленный внутрь плазменного шнура (“пинч частиц”). Полный поток частиц Г„ равен их сумме. На стационарной стадии разряда потоки Го и Гу компенсируют друг друга в большей части сечения плазмы. Поэтому для их определения необходимо изучать нестационарные процессы. Наиболее распространенными нестационарными процессами, используемыми для нахождения потоков Го и Гу, являются переходные процессы, которые возникают при импульсном напуске газа [7-13, 74, 75] или инжекции водородных пеллет в плазму [14-17, 76].
В четвертом параграфе рассматриваются два алгоритма вычисления коэффициента диффузии и скорости линчевания частиц в плазме токамака при импульсном напуске газа [77]. Первый алгоритм учитывает знание стационарных распределений плотности до начала газонапуска и после окончания газонапуска, что дает возможность определения величины газонапуска. Для переходного процесса решается серия прямых задач и в результате определяются параметры, остававшиеся неизвестными.
Второй алгоритм определения коэффициента диффузии и скорости пинчевания частиц основан на решении обратной задачи, который работает
при самых общих предположениях. Для описания переходного процесса после импульсного газонапуска записывается уравнение для эволюции электронной плотности, в котором неизвестными считаются коэффициент диффузии Д„ скорость линчевания частиц о,„ а также величина источника частиц S. Для восстановления неизвестных величин формулируется и решается обратная задача.
Одним из основных инструментов исследования электронного переноса в плазме токамака является анализ распространения импульса тепла, который инициируется при модуляции источника нагрева. В этих экспериментах, как правило, используется ЭЦР нафев [30-31, 78, 79]. Отметим, что анализ экспериментов с ЭЦР нагрев имеет свои специфические трудности, так как требует точного определения профиля мощности и места его вклада. Поэтому требуется разработка специальных моделей для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева, а также моделей коэффициентов переноса для переходного процесса.
Для предварительных оценок места вклада и профиля ЭЦР мощности часто используют вычисления с помощью метода лучевых траекторий, например, по коду TORAY [80]. Однако такой подход требует точного знания геометрии ввода инжектируемой ЭЦР мощности, а также распределения профиля температуры и плотности, что не всегда возможно в экспериментальных условиях.
Профиль ЭЦР мощности может быть найден, например, по скачку производной электронной температуры после включения/отключения нагрева. Однако шумы плазмы и регистрирующей аппаратуры не позволяют вычислить изменение производной электронной температуры на малом отрезке времени с достаточной точностью. В результате, вычисленный профиль ЭЦРН оказывается шире реального, что объясняется расплыванием профиля электронной температуры за счет эффекта теплопроводности [81].
Анализ экспериментов с модуляцией ЭЦР нагрева считается наиболее предпочтительным методом вычисления профиля ЭЦРН [81, 82]. Высокая частота модуляции и использование Фурье метода позволяет улучшить
22
соотношение сигнал-шум в отклике электронной температуры на анализируемом отрезке времени. В другом методе используется специальный базис, что позволяет восстановить ЭЦР профиль с достаточно высокой точностью (БУБ-процедура) [83]. Однако для вычисления профиля ЭЦР мощности необходимы эксперименты с высокой частотой модуляции ЭЦР нагрева /т>\/(2тгт) [81]. При этом также предполагается, что включение и отключение ЭЦРН не изменяет коэффициенты переноса.
Отметим, что очень перспективным подходом для нахождения профиля ЭЦРН является использование обратных задач, которые позволяют восстановить не только коэффициенты переноса, но и профиль ЭЦР нагрева.
В третьей главе диссертации разрабатывается математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева, и анализируются две модели коэффициентов переноса - локальная и нелокальная. Исследуется точность восстановления коэффициентов переноса и профиля ЭЦР мощности в зависимости от погрешности в измерениях электронной температуры. Находится профиль ЭЦР нагрева, когда в качестве экспериментальной информации используются данные мягкого рентгеновского излучения.
В §1 формулируется математическая модель для описания переходного процесса после включения/отключения ЭЦР нагрева в токамаке [84, 85]. Модель включает нелинеаризованное уравнение теплопроводности для электронной температуры и две модели коэффициентов переноса. Локальная модель - когда коэффициенты переноса зависят только от локальных параметров плазмы. Нелокальная модель - когда коэффициенты переноса могут изменяться в любом месте плазменного шнура, даже если локальные параметры плазмы в данном месте остаются неизменными.
Как уже отмечалось выше, обратные задачи являются некорректными, поэтому их использование при обработке экспериментов требует исследования единственности и точности восстанавливаемых величин в зависимости от погрешности экспериментапьных данных.
23
Во втором параг рафе анализируется точность восстановления профиля вложенной ЭЦР мощности, коэффициентов теплопроводности и скорости конвективного переноса в зависимости от погрешности в измерениях электронной температуры. Численные исследования позволили дать оценку точности восстановления искомых величин и сформулировать необходимые требования к измерениям электронной температуры. Найдены коэффициент теплопроводности, скорость конвективного переноса тепла и профиль ЭЦР нагрева, а также получены оценки точности их восстановления для серии экспериментов с нецентральным ЭЦР нагревом на токамаке Т-10 [86].
В §3 третьей главы рассматривается новый метод вычисления профиля вложенной ЭЦР мощности из экспериментальных данных на основе решения обратной задачи для уравнения теплопроводности [87-89]. Анализируется переходный процесс после отключения ЭЦР нагрева. Данный процесс рассматривается на конечном, но достаточно малом интервале времени. Небольшой отрезок позволяет пренебречь изменением интегральных параметров плазмы и записать нелинеаризованное уравнение теплопроводности в приращениях от стационарного состояния. В связи с тем, что измерения электронной температуры по 2-ой гармонике ЭЦИ не всегда имеют необходимое пространственное разрешение, для восстановления профиля ЭЦРН, то использовались данные рентгеновской диагностики, которые имели существенно лучшее пространственное разрешение [90, 91].
В четвертом параграфе анализируется переходный процесс после отключения нецентрального ЭЦР нагрева в установке Т-10 на основе двух моделей коэффициентов переноса — локальной и нелокальной. Показано, что локальная модель коэффициентов переноса не позволяет согласованно описать эволюцию электронной температуры в центре плазменного шнура и в области вложения ЭЦР мощности. В то время как нелокальная модель описывает переходный процесс с хорошей точностью. Показано, что в переходном процессе скачком изменяются коэффициенты переноса по всему сечению плазмы [84-85].
В четвертой главе диссертации изучается аномально быстрое изменение переноса тепла в переходных процессах после включения и отключения ЭЦР нагрева. Показано, что изменение коэффициентов переноса Происходит за Время Tjump существенно меньше энергетического времени Г£. (быстрее времени удержания энергии, вычисленного по балансу тепла Tjump<<:^E)- Поэтому при изучении переноса тепла на диффузионных временах вводится термин - скачок коэффициентов переноса. В результате анализа экспериментальных данных обнаружена связь аномально быстрого переноса тепла и самоорганизации профиля давления в плазме токамака.
Имеются многочисленные эксперименты, подтверждающие быстрый (быстрее диффузионного времени, вычисленного по балансу энергии) отклик электронного транспорта на различные возмущения: 1) распространение пилообразных колебаний [92]; 2) импульсный центральный ЭЦРН на стеллараторе W7-AS [93]; 3) L-H и H-L переход на токамаке JET [94]; 4) инжекция примеси, охлаждающей периферию плазмы на TFTR [19, 95]; 5) периферийная инжекция пеллеты на RTP [41] и на Tore Supra [96]; лазерная абляция примеси и периферийная инжекция пеллеты на JET [42, 97].
Впервые этот эффект наблюдался при лазерной абляции примеси с охлаждением периферии плазмы на токамаке TEXT [98]. В этих экспериментах происходил рост центральной температуры, как отклик на охлаждение периферии плазмы. Эти эксперименты замечательны тем, что в них присутствует инверсия электронной температуры (температура на периферии падает, а в центре растет). Симметричный эффект наблюдался при нагреве периферии плазмы на TEXT [99] и импульсном ЭЦР нагреве на RTP [100].
В экспериментах с включением центрального ЭЦР нагрева на токамаке Т-10 был обнаружен аномально быстрый вынос тепла из зоны нагрева на периферию (“Ballistic effect”) [101-105]. А в экспериментах с отключением нецентрального ЭЦР нагрева наблюдался обратный эффект - аномально быстрое уменьшение коэффициентов переноса но всему сечению плазмы (улучшение удержания энергии) [84, 85, 105].
25
В экспериментах [18, 98] два факта являются парадоксальными: 1) быстрое изменение локальных параметров плазмы на большом расстоянии от места возмущения, так называемый нелокальный отклик плазмы на внешнее воздействие; 2) нагрев плазмы в центре, как ответ на охлаждение периферии плазмы. При этом время задержки отклика на воздействие мс, что на
порядок меньше, чем энергетическое время Г£- и на два порядка меньше, чем скиновое время перераспределения плотности тока т$. Поэтому нагрев в центре плазменного шнура нельзя объяснить эффектом пикирования плотности тока или изменением профиля примесей Дальнейшие
исследования показали, что рост температуры в центре плазмы в этих экспериментах объясняется появлением внутреннего транспортного барьера.
Нелокальный отклик плазмы на внешнее воздействие можно объяснить, например, изменением электронной теплопроводности Хе сразу по всему сечению плазмы за время задержки В этом случае, для описания экспериментов [18, 98], необходимо чтобы Хе падало на 25-50% в центральной области плазмы и увеличивалось на границе. Эксперименты по нагреву периферии плазмы [99, 100], в которых наблюдается падение температуры в центре плазмы, можно объяснить быстрым изменением Хе> но в обратную сторону. Детальный анализ Ь-Н и Н-Ь переходов в [106] показал, что скачком должна изменяться не только величина но и величина Хі• В этом случае одного порядка и в случае охлаждения и в случае нагрева периферии плазмы.
Следует отметить, что физическая природа такого быстрого изменения коэффициентов переноса до сих пор не выяснена. Поэтому предлагаются различные модели коэффициентов переноса, позволяющие описать быстрые переходные процессы. В [107] охлаждение периферии плазмы и нагрев центра в экспериментах [18, 98] описывался на основе модели канонических профилей. Подробный обзор моделей, используемых для объяснения нелокального отклика плазмы на внешнее воздействие, можно найти в [108].
В [93, 109] показано, что результаты моделирования электронного транспорта, использующие локальную зависимость коэффициента
26
теплопроводности от таких плазменных параметров, как электронная температура Тс и градиент температуры УГС, плохо согласуется с экспериментальными данными. Только моделирование переходного процесса с коэффициентом теплопроводности, зависящим от введенной мощности нагрева (глобального параметра) позволяет описать эксперимент с хорошей точностью. В наших работах [84, 85, 105] показано, что сразу после включения или отключения ЭЦР нагрева происходит скачок коэффициентов переноса за время тртр меньше 1 мс и- далее происходит их медленная релаксация.
В первом и втором параграфе четвертой главы анализируются результаты двух серий экспериментов по исследованию аномально быстрого изменения переноса тепла в переходных процессах после включения и отключения ЭЦР наїрева на токамаке Т-10. На установке Т-10 имеется двухчастотная система гиротронов (130 ГГц и 140 ГГц), которая позволяет проводить различные эксперименты по изучению электронного транспорта в плазме токамака. Отметим, что характерное время выхода ЭЦР мощности на максимальное значение после включения гиротрона составляет ~ 150-200 мке, а время вывода ЭЦР мощности после отключения гиротрона ~50 мке (питание от батарей системы “БЕТОН”). Поэтому в экспериментах удается сформировать крутой фронт роста электронной температуры, что позволяет исключить влияние изменения мощности источника нагрева при анализе быстрых переходных процессов.
В первой серии экспериментов одна группа гиротронов (140 ГГц) подавляла пилообразные колебания за счет нецентрального ЭЦР нагрева. После подавления пилообразных колебаний включался еще один гиротрон (130 ГГц) от БЕТОНа, который вкладывал мощность в центр плазмы.
В этих экспериментах было обнаружено, что за время т^,тр, много меньшее времени удержания энергии те, возникает аномальный поток тепла, за счет которого значительная часть ЭЦР мощности выносится из зоны центрального ЭЦР нагрева на периферию. Эксперименты показали, что
27