Оглавление
1 Введение 4
1.1 Теория гравитационных волн............................................. 6
1.1.1 Некоторые сведения из общей теории относительности.............. б
1.1.2 Волновое уравнение и его решение в линеаризованной общей теории относительности ................................................... 10
1.1.3 Глобально вакуумное пространство-врем я. Поперечно-бесследовая
калибровка...................................................... 12
1.1.4 Взаимодействие гравитационных волн с пробными телами........... 13
1.1.5 Излучение гравитационных волн ................................. 16
1.1.6 Источники гравитационных волн. Гравитационно-волновая астрономия ................................................................. 18
1.2 Детекторы гравитационных воли......................................... 25
1.2.1 Резонансные твердотельные детекторы............................ 25
1.2.2 Лазерные интерферомегрические детекторы........................ 26
2 Оптические измерители координат как простейшие гравитационно-волновые детекторы 43
2.1 Анализ оптических координатных измерителей в неинерциальных системах отсчета................................................................ 46
2.1.1 Пространство-время в окрестности ускоренного наблюдателя ... 46
2.1.2 Уравнение движения пробных масс................................ 47
2.1.3 Волновое уравнение электромагнитного поля и его решение . ... 49
2.1.4 Координатный измеритель на круговом пробеге световой волны . 52
2.1.5 Координатный измеритель на прямом пробеге световой волны . . 56
2.1.6 Различия между системами отсчета............................... 58
2.1.7 Влияние лазерного шума......................................... 59
2.2 Взаимодействие оптических координатных измерителей с гравитационными волнами в локально-лоренцевых системах отсчета........................ 61
2.2.1 Пространство-время гравитационной волны в локшп.но-
лоренцевой калибровке........................................... 61
2.2.2 Уравнение движения пробных масс................................ 62
2.2.3 Волновое уравнение электромагнитного поля и его решение .... 63
2.2.4 Пример: монохроматическая гравитационная волна................. 66
2.2.5 Координатный измеритель на круговом пробеге световой волны . 67
2.2.6 Координатный измеритель на прямом пробеге световой волны . . 69
2.3 Оптические координатные измерители как детекторы гравитационных
волн на свободных неинерциальных пробных массах....................... 71
Г
3 Взаимодействие гравитационных волн с резонатором Фабри-Перо в локально-лоренцсвой системе отсчета 73
3.1 Пондеромоторные эффекты светового давления в резонаторе....... 74
3.2 Отклик резонатора на гравитационную волну............... 76
3.2.1 Оптические поля в резонаторе................................ 76
3.2.2 Закон движения зеркала резонатора........................... 79
3.2.3 Отклик резонатора........................................... 82
3.3 Частные случаи.......................................... 82
3.3.1 Оптический резонанс......................................... 83
3.3.2 Отстройка от оптического резонанса.......................... 84
3.3.3 Отклик расстроенного резонатора вблизи частоты межмодового
интервала................................................... 84
4 Резонатор Фабри-Перо с двойной накачкой как гравитационноволновой детектор, свободный от шумов смещений зеркал 89
4.1 Гравитационно-волновые детекторы, свободные от шумов смещений пробных масс 90
4.1.1 Механизм вычитания шумов смещений........................... 90
4.1.2 Влияние лазерного шума и балансные схемы бесшумных
гравитационно-волновых антенн............................... 94
4.2 Исключение шумов смещений зеркал резонатора Фабри-Перо с двойной
накачкой. Простейшая модель............................. 96
4.3 Строгая постановка задачи............................... 98
4.3.1 Отклики резонатора с одиночной накачкой ....................... 99
4.3.2 Отклики резонатора с двойной накачкой......................... 104
4.3.3 Устранение шумов смещений зеркал ............................. 106
5 Двойной интерферометр Майкельсона/Фабри-Перо как гравитационноволновой детектор, свободный от шумов лазера и шумов смещений пробных масс 111
5.1 Отклики резонатора Фабри-Перо...................................... 112
5.1.1 Отраженная волна.............................................. 113
5.1.2 Прошедшая волна............................................... 115
5.2 Отклики интерферометра Майкельсона/Фабри-Перо.......................116
5.2.1 Отраженная и прошедшие волны............................... 117
5.2.2 Устранение шумов смещений оконечных зеркал интерферометра . 121
5.3 Вычитание шумов смещений всех пробных масс в двойном интерферометре Майкельсона/Фабри-Перо 122
6 .Выводы 125
Благодарности 126
А Решения волновых уравнений для бегущих электромагнитных волн 127
А.1 Решение в пространстве-времен и ускоренного наблюдателя.............127
А.2 Решение в пространстве-времени гравитационной волны.................129
2
В Граничное условие на подвижном зеркале 132
В.1 Обоснование граничного условия ..................................... 132
B.2 Набег фазы при отражении от зеркала................................. 133
С Решения систем уравнений граничных условий 135
C.1 Граничные условия для резонатора Фабри-Псро с абсолютно отражающим подвижным зеркалом.................................................. 135
С.2 Граничные условия для резонатора Фабри-Перо с двумя частично пропускающими подвижными зеркалами......................................... 136
Э Квантованная электромагнитная волна 138
Г).1 Эквивалентность форм записи классической и квантовой электромагни тных волн................................................................ 138
0.2 Балансное гомодинное детсктщюванис.................................. 140
Е Сила светового давления на абсолютно отражающее подвижное зеркало резонатора 143
Е.1 Общерелятивистские поправки к методу вычисления силы светового давления .................................................................. 143
Е.2 Вычисление силы светового давления...................................145
Литература.............................................................. 148
3
Глава 1
Введение
В преддверии 100-летия общей теории относительности (ОТО) мы споим на пороге новой эпохи в познании Вселенной: перед нами открывается чрезвычайно интригующая возможность исследования её глубин, ранее недоступных для наблюдения, с помощью уникального инструмента — одного из наиболее удивительных предсказаний ОТО — гравитационных волн (ГВ). Являясь по сути волнами кривизны пространства-времени, распространяющихся со скоростью света, гравитационные волны несут информацию о многих объектах и явлениях в современной и ранней Вселенной, в том числе о таких экзотических как черные дыры и даже о самом Большом Взрыве. Можно говорить о том, что гравитационно-волновая астрономия откроет нам новое «окно» во Вселенную, позволяя «услышать звуки», издаваемые её, «обитателями».
За прошедшие полтора десятилетия во всем мире в строй были введены несколько гравитационно-волновых антенн с целью поиска и детектирования гравитационных сигналов от астрофизических источников. Наиболее чувствительными из них являются лазерные интерферометрические гравитационно-волновые обсерватории, которые в дальнейшем мы будем называть детекторами (антеннами, обсерваториями) первого поколения. Среди них LIGO (Laser Interfcrometric Gravitational-wave Observatory) в США, GEO-GOO » Германии, VIRGO в Италии, ТАМА-300 в Японии. Продолжается строительство австралийской обсерватории ACIGA (Australian Consortium for Interferometric Gravitational Astronomy), и планируется к запуску космическая лазерная гравитационно-волновая антенна USA (Laser Interferometer Space Antenna) — совместный проект европейского (ESA) и американского (NASA) космических агенств. К настоящему моменту в программе LIGO закончен первый этап (Initial LIGO) и производится обработка данных, полученных за несколько лет работы трёх ГВ детекторов.
Чувствительность наземных антенн первого поколения ограничена огромным количеством шумов всевозможной природы. Так, например, в области низких частот (/ < 50 Гц) барьером чувствительности являются сейсмический и гравитационно-градиентный шумы; в области средних частот (/ ~ 50 -г 500 Гц) наибольшее влияние оказывают термодинамические шумы в зеркалах, их подвесах и покрытиях; наконец, на высоких частотах (/ > 500 Гц) доминирует фотонный дробовой шум.
В следующем десятилетии после масштабной модернизации существующих установок планируется ввести в строй второе поколение детекторов: Advanced LIGO, Advanced VIRGO, GEO-HF. Кроме того, планируется начало строительства японского подземного криогенного интерферометра LCGT. Ожидается, что уровень шумов классической природы будет уменьшен настолько, что чувствительность детекторов второго поколения будет ограничена уровнем стандартного квантового предела (СКП), возникающего
4
благодаря квантовым флуктуациям светового давления на зеркала интерферометра, ограничивающих точность координатных измерений.
Несмотря на то, что проекты ГВ антенн второго поколения в настоящее время присутствуют лишь «на бумаге», в литературе уже достаточно долгое время обсуждаются концептуальные идеи детекторов третьего поколения, первым из которых должен стать европейский Einstein Telescope. Предполагается, что их чувствительность будет хотя бы на порядок выше уровни СКП, поэтому на первый план выходит проблема его преодоления. Кроме тот, ставится задача расширения частотного диапазона наземных ГВ детекторов, прежде всего в низкочастотную область, где ограничивающими факторами являются сейсмический и гравитационно-градиентный шумы. Для достижения н преодоления уровня СКП также необходимо уменьшать уровень шумов на средних частотах, где доминируют термодинамические шумы, связанные с зеркалами интерферометра и системой их подвесов.
Целями настоящей диссертационной работы являются: разработка метода анализа простейших оптических координатных измерителей в собственных системах отсчета измерительных приборов во всем частотном диапазоне; анализ влияния эффекта оптической жесткости в резонаторе Фабри-Псро на предельную чувствительность резонатора к высокочастотным гравитационным волнам; анализ различных схем ГВ детекторов на основе резонаторов Фабрн-Перо, частично или полностью свободных от шумов смещений! пробных масс.
Диссертация состоит из введения, четырех частей и выводов.
Во введении рассмотрены общие вопросы, связанные с основными положениями ОТО, теории излучения, распространения и детектирования гравитационных волн. Представлены краткие сведения об основных известных источниках ГВ излучения. Кратко описаны существующие и планируемые ГВ обсерватории, перечислены основные факторы, ограничивающие их чувствительность.
В первой части развивается метод анализа простейших оптических координатных измерителей как гравитационно-волновых детекторов на свободных неинерциальиых пробных массах в собственных системах отсчета измерительных приборов (фотодетекторов). Анализируются достоинства и недостатки расчетов в таких системах отсчета но сравнению с расчетами в лабораторной системе отсчета (поперечно-бесследовой калибровке).
Во второй части анализируется динамика оптического резонатора Фабри-Псро в ноле слабой плоской гравитационной волны произвольной частоты в собственной системе отсчета (локально-лоренцевой калибровке) одного из его зеркал. Рассматриваются эффекты оптической жесткости и радиационного трения, обобщенные на произвольные частоты. Анализируется возможность резонансного детектирования высокочастотных гравитационных волн за счет эффектов оптической жесткости и параметрического возбуждения дополнительных мод резонатора.
В третьей части анализируется схема оптического ГВ детектора на основе резонатора Фабри-Псро с накачкой сквозь оба зеркала, свободного от шумов смешений зеркал резонатора и обладающего сильным откликом на низкочастотные гравитационные волны. Анализируются фундаментальные ограничения чувствительности предложенной схемы.
В четвертой части анализируется схема ГВ детектора на основе двойного интерферометра Майкельсона с резонаторами Фабри-Перо в плечах, свободного как от шумов смещений всех пробных масс, так и от фазового шума лазера. Анализируются фундаментальные ограничения чувствительности предложенной схемы.
5
1.1 Теория гравитационных волн
В настоящем разделе мы рассмотрим «опросы, связанные с основными положениями общей теории относительности, получим линеаризованное волновое уравнения Эйнштейна и его решение в виде слабых плоских гравитационных волн, выведем знаменитую квадрупольную формулу Эйнштейна, описывающую их излучение и коротко рассмотрим основные типы астрофизических и космологических источников гравитационного излучения.
1.1.1 Некоторые сведения из общей теории относительности
После создания специальной теории относительности (СТО) в 1905 г. стало ясно, что ньютоновский закон всемирного тяготения не является релятивистски инвариантным, а. следовательно, неприменим к телам, движущимся со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Ключевым понятием в СТО является интервал единого 4-мерного пространства-времени — точечного многообразия М4>3, наделенного метрикой [1, 2, 3, 4|
ds2 = ijfWdx,tdx1' = —c2dt2 -f dx2 -I- dy2 + dz2,
где с = 3 x 10s м/с — скорость света в вакууме. Пространство-врем я с такой метрикой называется пространством Минковского, а метрический тензор rjllV = diag(-l, 3,1,1) тензором Минковского. Здесь и далее греческие индексы пробегают значения {0, 1, 2, 3}, а латинские — {1, 2, 3}. Принцип относительности, согласно которому все физические процессы должны протекать одинаково во всех ннерциальных системах отсчета, можно сформулировать как принцип инвариантности теории (основных уравнений и величины интервала) относительно преобразований из 10-параметрической группы Лоренца-Пуанкаре |4|:
х" = + а»,
Общая теория относительности (1, 2, 3], разработанная А. Эйнштейном к 1916 г., по сути является релятивистски инвариантной теорией гравитационного поля. В основании ОТО лежит принцип эквивалентности, согласно которому инертная масса тела равна его гравитационной массе1. Иначе говоря, в достаточно малой области пространства (где гравитационное ноле можно считать однородным) неинерциальнаи система отсчета эквивалентна гравитационному полю. Метрика пространства-времени в неинерциаль-ной системе отсчета уже не является метрикой Минковского, а является более сложной квадратичной формой
ds2 = yfll/(x)dxfldx,\ (let< 0,
где коэффициенты g„v(x) являются, в общем случае, нетривиальными функциями всех координат. Гениальная догадка Эйнштейна состояла в отождествлении гравитационного поля с соответствующей метрикой заданной на точечном псевдоримановом многообразии V4 [4]. Таким образом, в ОТО гравитационное поле есть искривление пространства-времени (см. пример па рис. 1.1). На смену спецрелятивистскому принципу относительности в ОТО приходит принцип общей ковариантности, согласно которому уравнения физики должны иметь одинаковый вид во всех системах отсчета, что
1Это так называемая слабейшая (формулировка принципа эквивалентности. В современной общей теории относительности различают и более сильные его формулировки (5|.
6
Рис. 1.1. Характер искажения пространственной координатной сетки вблизи массивного сферически симметричного тяготеющего тела.
математически формулируется как ковариантность теории относительно преобразований из группы диффеоморфизмов.
Если метрика пространства-времен и задана, то можно предсказать закон движения материи в данном гравитационном поле. Так, например, массивные частицы движутся по геодезическим, задаваемым уравнениями:
//2*^ ёх1' ёх^
г + г'-те-* <1Л>
где коэффициенты
г/* _ 1 (дд<*и дда \ 001,А \ / ,
1 ^~29 + Т*)' 1 ’
называются символами Кристоффеля2. Видно, что если символы Кристоффеля тождественно равны нулю во всем пространстве-времени (что эквивалентно отсутствию гравитационного поля в глобальном смысле), то массивная частица движется по геодезическим плоского пространства-времени Минковского, т.с. но прямым:
5-0. (1.3)
что является математическим выражением известного факта: в отсутствие внешних
сил движение точечной частицы по инерции происходит вдоль прямой с постоянной скоростью (4-ускорение ё2хц/ёя2 равно нулю). Поэтому 4-вектор — тГ^А^^- в уравнении (1.1) можно качественно интерпретировать как некоторую «гравитационную силу», действующую на частицу с массой ш и сообщающую ей 4-ускорение сРх/ёв2. Однако, движение частицы в гравитационном поле согласно уравнениям геодезических обычно интерпретируют по аналогии с уравнениями (1.3), т.е. как движение по инерции, но в искривленном пространстве-времен и. Роль прямых плоского многообразия играют геодезические искривленного многообразия. Следует отметить, что масса частицы не входит в уравнения (1.1), что является следствием принципа эквивалентности. Физически же он выражается в том, что с помощью некоторого координатного преобразования
2В дифференциальной геометрии они также носят название об1»екта аффинной связности многообразия и. вообще говоря, могут быть заданы независимо от метрического тензора [6). Задавая связность в качестве одного из фундаментальных об ъектов теории, можно построить эквивалентные ОТО теории гравитации, например, теорию телепараллельной гравитации (7, 8], или некоторые важные обобщения ОТО, например, теорию гравитации с кручением [9, 10, 11).
7
ха —» £л(х) метрику II окрестности выбранной точки х% (или вдоль заданной кривой) можно привести к виду
9,^) = ^ +О У Хо>
П2 > С1'4)
то есть с точностью до членов второго порядка малости, которые соответствуют кривизне радиуса 71, метрика станет плоской. Система отсчета, соответствующая координатам ха, называется локально-лорснцсвой системой отсчета в данной точке (или вдоль
заданной кривой) и совпадает с системой отсчета точечного тела, свободно падающего в данном гравитационном поло. Принцип эквивалентности тогда означает, что подходящим выбором системы отсчета, а именно локально-лоренцевон системы отсчета, можно локально «уничтожить» гравитационное поле.
Характеристики материи, создающей гравитационное поле, связаны с характеристиками пространства-времени через уравнения Эйнштейна 3:
—. 1 « 8тгб ,
Ящ, — — Яд^и = ^ Гци> (!•**)
которые обычно читают справа налево: тяготеющая материя с тензором энергии импульса Tfn/ искривляет пространство-время таким образом, что его искривленность характеризуется тензором Эйнштейна G,lt, — И,ш - \Ядци- Здесь Rllu — тензор Риччи Rjw = R?nav> конструируемый из тензора кривизны
= ~âzür - -idr + r“.rv - гаЛ, (1.6)
ДГ у ДГ",
Дд" дхц ‘()хи "г 1 тд1 х ч»1 №
Я = Я^ — скалярная кривизна, О = 6.07 х 10-11 м3/(кгхс2) — универсальная гравитационная постоянная. Компоненты тензора кривизны являются истинными (измеримыми) характеристиками гравитационною поля. Тензор энергии импульса для системы частиц, составляющих некоторое макроскопическое тело, имеет вид:
Тцц — (р Ч" — РОци,
где р — давление, є — плотность энергии, и* = (Ь:*/сів — 4-вектор скорости. Для электромагнитного поля:
т*, = У (ад» - JwV).
где Ящ, — тензор напряженностей электромагнитного поля.
Б ОТО уравнения движения материи, создающей грави тационное поле, содержатся в полевых уравнениях самого этого ноля (1.5) через ковариантный закон сохранения энергии-импульса материи (1|. Например, материальные частицы в создаваемом ими поле движутся согласно уравнениям геодезических (1.1), а электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени:
7=^(^) = °. (1.7)
3Уравнения Эйнштейна выводятся из иростейшего действия Гильберт-Эйнштейна 5 =
иГжё; /лежащего п основании ОТО. Включая в это действие различные свертки и/или степени тензора кривизны, можно получить некоторые обобщения ОТО, например, /(Я)-тоорни гравитации [12, 13], призванные объяснить происхождение темной материи и темной энергии (Л-члена) в современной космологии. Различные модификации действия Гильберта-Эйнштейна так или иначе появляются в низкоэнергетическом приближении различных квантовых теорий гравитации.
8
где д = с1е1(<7Р„) — детерминант метрической матрицы. Таким образом, распределение и движение материи, создающей гравитационное поле, не могут быть заданы произвольно: они должны быть определены одновременно с самим создаваемым полем посредством решения уравнений Эйнштейна с соответствующими начальными условиями. Для полного задания системы уравнений в ОТО к уравнениям поля необходимо ещё добавить уравнения состояния материи. Отметим, что это обстоятельство коренным образом отличает теорию гравитационного поля от электродинамики, в которой распределение и движение зарядов может быть задано независимо от создаваемого ими электромагнитного поля, подчиняющегося уравнениям Максвелла. Последние требуют лишь сохранения полного электрического заряда системы.
За прошедшее столетие различные предсказания ОТО и принципы, лежащие в её основании, были экспериментально проверены с большой точностью в различных масштабах длин, скоростей и энергий. Были подтверждены такие эффекты как прецессия перигелиев планет (см. рис. 1.2) Солнечной системы, прежде всего Меркурия, отклонение Солнцем световых лучей от далеких звезд, задержка радиосигналов, проходящих вблизи Солнца, общерелятивистское замедление времени, эффект увлечения системы отсчета (эффект Ленса-Тиринга), явление гравитационного линзирования, множество раз был проверен принцип эквивалентности и закон обратных квадратов со всё более возрастающей точностью и т.д. В то же время такие экспериментальные факты как, на-
Рис. 1.2. Иллюстрация векового смещения перигелия орбиты планеты, обращающейся вокруг Солнца.
пример, аномальные скорости вращения галактик и ускоренное расширение Вселенной, приведшие к появлению понятий «темная материя» и «темная энергия» соответственно, требуют модификации или обобщения эйнштейновской ОТО. Наконец, непрекра-щающиеся попытки построения квантовой теории гравитации однозначно свидетельствуют о неизбежных отклонениях от предсказаний ОТО при экстремальных условиях (иланковские масштабы длин, времен и энергий) [14]. Ознакомиться с многочисленными гравитационными экспериментами и проверками ОТО, как уже завершенными, так и планируемыми, можно по замечательным обзорам (15, 16).
Одним из предсказаний ОТО является «упругий» характер пространства-времени, в котором могут распространяться волны как в обычной упругой среде — гравитаци-
9
оиныс волны. Поскольку, как будет показано далее, гравитационные волны в основном порождаются далекими астрофизическими источниками и в силу огромной величины «упругости» пространства ~ c4/G, ГВ излучение для наблюдателей на Земле выглядит как чрезвычайно слабая «рябь» на фоне плоского пространства-времени. 13 силу этого поля гравитационных волн в задачах их детектирования можно рассматривать в рамках линеаризованной теории, к которой мы и переходим.
1.1.2 Волновое уравнение и его решение в линеаризованной общей теории относительности
В изложении настоящего и двух следующих разделов мы будем следовать обзорам |17, 18] и лекциям [19].
Теория слабых гравитационных воли является частным случаем так называемой линеаризованной общей теории относительности. Последняя предполагает', что существует такая система отсчета, в которой в достаточно большой пространственно-временной области метрика д^{х) лишь слабо возмущена относительно метрики Минковского
9ци (^) = v т /іріДх), IIVII ^ і (1*®)
где ||/?Л — характерные значения отличных от нуля компонент тензора hfll/. Условие малости этих компонент предполагает слабость гравитационного поля, а также примерное совпадение системы координат с декартовой. В линеаризованной теории мы будем иметь дело лишь с первым порядком по поэтому индексы опускаются и под-
нимаются с помощью плоской метрики 77м„. Выбрав систему отсчета, где справедливо разбиение (1.8). мы тем самым нарушили свойство общей ковариантности теории. Можно показать [18], что набор величин hfll/ преобразуется как тензор лишь относительно глобальных преобразований из группы Пуанкаре и малых калибровочных преобразований (см. далее), но не относительно общих координатных преобразований. Имея это в виду, будем далее называть совокупность величин hvl/ тензором возмущений.
Вычислим необходимые нам в дальнейшем величины в линеаризованной теории. Символы Кристоффеля (1.2):
= \ T)n>(dyhsp + dffhsy - dsh0y) = \{dyhaß + d0hny - &*hßy).
Здесь символ da обозначает частную производную d/dxa. Тензор Римана (1.6) имеет вид:
Я“/М = - d‘l'aßy = \{dydghas + d6d»hßy - dyd°kßs - d6dßhay). (1.9)
Отсюда получаем тензор Риччи:
ILß = = \{d^dßh\ + dydnhßy - □ haß ~ dadßh),
где □ = = V2 — jsßp — волновой оператор д’Аламбера, a h = knQ — след тензора
возмущений. Свертывая тензор Риччи, получаем скалярную кривизну:
R = = (dydah\ - D/i).
Наконец, находим тензор Эйнштейна:
Gaß = Rap - | VcrflK = j(äydßh\ + fPdahßj - □hnß - daüßh - T]ctßd1d6litb -f rloßDh).
10
Полученное выражение можно упростить, введя новые обозначения. Вместо тензора возмущений hltl/ удобнее работать с тензором возмущений с противоположным следом: h,lu ~ hfll/ — ^V/u>h. Заметим, что її = —h, откуда и происходит название. Подставляя кщ, — h,lt/ 4- \vnvh в тензор Эйнштейна, получаем выражение, не содержащее следа h:
Gaß = ^dydßh\ + d'<ö„hßy - nllaß - Vaß^dThW (1.10)
Данное выражение может быть упрощено подходящим выбором калибровки, то есть системы координат, так как в ОТО калибровочными преобразованиями являются kooj>-дииатные преобразования'1. Общее инфпиитезималыюе координатное преобразование можно записать в виде х'а = Xа 4- £Q, где £“ = £а(я) — произвольное инфинитези-мальнос векторное поле. При таком координатном преобразовании тензор возмущений преобразуется как
h'ctß = haß da^iß &ß £си так что тензор с противоположным следом становится
Kß ~ hQß — — TJaßh ~ haß ~ 4* fJaß^^T
Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что линеаризованный тензор Ри-маиа (1.9) инвариантен относительно таких калибровочных преобразований.
На практике в задачах о гравитационных волнах широко используются такие калибровки, которые удовлетворяют калибровочному условию Лоренца:
tTKß = 0. (1.11)
Напомним, что в электродинамике существует аналогичная калибровка: дпЛа = 0, где Ла — 4-иотснциал электромагнитного поля.
Предположим, что исходный тензор возмущений hQß не удовлетворяет этому условию. Зададимся вопросом о том, какими свойствами должно обладать поло для тот, чтобы определять калибровку Лоренца. Наша цель заключается в 'том, чтобы найти такую новую метрику h'Qp, чтобы dah'aß = 0:
0%, = d*hQß - dadßta - □& + = &*h*ß - □&.
Таким образом, любой тензор возмущений haß может быть приведен к калибровке Лоренца с помощью инфинитезимального координатного преобразования, удовлетворяю-щего условию
□& = РКр-
Это означает, что, также как и в электродинамике, калибровка Лоренца не является полной (т.е. не исключает все нефизические степени свободы), а определена лишь с точностью до вектора £°, удовлетворяющего условию = 0.
Применяя условие калибровки Лоренца к тензору Эйнштейна (1.10), получаем, что последний с точностью до —1/2 сводится к волновому оператору, действующему на тензор возмущений с противоположным следом:
О aß — —- Ohaß-
•‘Заметим, что в ОТО, вообще говори, понятие системы отсчета не совпадает с понятием системы координат. Однако, до тех нор, пока используются только голономные (интегрируемые) координаты и их преобразования, система координат является также и системой отсчета [5].
11
Таким образом, уравнения Эйнштейна (1.5) в теории гравитационных волн сводятся к волновому уравнению:
= (1.12)
которое в вакууме сводится к однородному:
Oha(3 = 0. (1.13)
Последнее, как известно, допускает класс однородных решений, являющихся суперпозицией плоских волн:
/+00 tfiv.fl.,
„ (1.14)
Здесь волновой 4-всктор к>1 = (и/с,к) подчиняется дисперсионному соотношению со/с = |к|. Вследствие условия калибровки Лоренца (1.11) коэффициенты разложения Аар подчиняются условию поперечности: каАа$ = 0. Решение (1.14) называется слабой плоской гравитационной волной в плоском пространстве-времени. Очевидно, что скорость распространения такой волны равна скорости света в вакууме с.
1.1.3 Глобально вакуумное пространство-время. Понерсчно-
бесследоиая калибровка
Рассмотрим глобапьно вакуумное пространство-время, то есть такое, что тензор энергии-импульса Тар = 0 во всем пространстве-времени, и асимптотически ha@ —* 0 при 7' —* оо. В таком пространстве-времени, выбрав подходящим образом компоненты и £*, калибровку Лоренца можно смести к полной, приведя тензор возмущений к чисто пространственному:
Лео — Ло i = 0, i — 1,2,3,
и бесследовому ВИДу:
h = h\ = 0.
Тогда условие калибровки Лоренца (1.11) означает, что тензор возмущений имеет чисто npocrpaiютвенно-по!юречиую структуру:
dihij = 0.
Такая калибровка называется поперечно-бесследовой (transverse-traceless, ТТ). Заметим, что она вполне аналогична калибровке Кулона в электродинамике: Л° = 0, diA{ = 0. Будем обозначать тензор возмущений в ТТ-калибровке ftj1. 13 силу того, что след тензора равен нулю, Щ1' = hjjr. В ТТ-калиб1Х)вке связь между метрическим тензором и тензором кривизны (1.9) имеет наиболее простой вид:
Ъо>о = -±КГ- (1-15)
Остальные компоненты тензора кривизны могут быть выведены из /?^0j0 с помощью его симметрииных свойств и 'юждсств Бьяпки |1, 2, 3, 4].
Поперечно-бесследовая калибровка, также как и электродинамическая калибровка Кулона, является полной, т.с. фиксирует вес нефизические и безызлучательные степени
12
- Київ+380960830922