2
Содержание
Введение........................................................... ;.7Г.5
Глава 1. Устойчивость продольного движения многосгустковых пучков
(модель макрочастиц).....................................................12
1.1. Исходные уравнения и предположения................................16
Уравнения движения частиц в переменных действие-фаза.................16
Наведенные в резонаторе поля.........................................18
Многосгустковые пучки................................................21
Встречные пучки......................................................23
1.2. Вывод общей системы уравнений для произвольной системы сгустков.
......................................................................25
1.3. Простейшие случаи.................................................28
Один сгусток.........................................................28
Симметричный пучок...................................................29
1.4. Несимметричные пучки..............................................35
Система линейных уравнений...........................................35
Инкремент колебаний несимметричного пучка в зависимости от широконолосности импеданса резонатора...........................37
1.5. Встречные пучки...................................................43
Матрица системы уравнений............................................43
Устойчивость встречных пучков в зависимости от положения резонатора. ................................................................45
1.6. Взаимодействие со стенками вакуумной камеры.......................49
Инкремент колебаний одиночного сгустка...............................52
Инкременты нормальных мод симметричного пучка........................52
Встречные пучки......................................................54
Дополнительные замечания.............................................56
Глава 2. Модель сплошной среды (продольные колебания)....................57
2.1. Уравнение для одного длинного сгустка, с учетом связи мод.........59
Система интегральных уравнений для связанных мод.....................59
Разложение функции распределения по ортогональным полиномам 61
Система уравнений при малом токе (несвязанные колебания).............64
Связь различных типов мультипольных колебаний........................65
Пороговый ток при взаимодействии односгусткового пучка с резистивной
вакуумной камерой....................................................66
Пороговый ток односгусткового пучка в зависимости от добротности резонатора, модель широкополосного резонатора...................70
2.2. Уравнения для симметричного многосгусткового пучка (с учетом связи
мод)..................................................................72
з
2.3. Система интегральных уравнений для несимметричного многосгусткового пучка..............................................76
Разложение по ортогональным полиномам (многосгустковые пучки ).......78
2.4. Формулировка задачи на собственные значения для коротких сгустков, с учетом затухания Ландау (несвязанные колебания).....................82
Сравнение асимптотик двух методов....................................85
Глава 3. Поперечные колебания (модель макрочастиц).......................90
3.1. Уравнения движения частиц в переменных действие-фаза..............91
3.2. Вертикальные колебания. Модель макрочастиц........................92
3.3. Горизонтальные колебания. Модель макрочастиц......................97
3.4. Простейшие случаи. Одномодовый резонатор.........................100
Один сгусток........................................................101
Симметричный пучок..................................................105
Несимметричный многосгустковый пучок, в зависимости от характера
заполнения множества сепаратрис.....................................109
Встречные пучки..........’.........................................111
3.5. Взаимодействие с импедансом вакуумной камеры со стенками конечной проводимости.......................................................113
Глава 4. Поперечные колебания (модель сплошной среды)...................120
4.1. Вертикальные колебания...........................................120
4.2. Горизонтальные (радиальные) колебания - отличие от вертикальных. 127
4.3. Частные случаи...................................................129
4.4. Дополнительные замечания.........................................135
Глава 5. Примеры практических расчетов..................................136
5.1. Резонатор с подавлением высших мод для накопителя РЕЬ в университете Дюка (США)............................................136
5.2. Расчеты когерентной неустойчивости для СЕБЯ......................140
Заключение.............................................................143
Приложение 1. Суммирование рядов по азимутальным гармоникам для резонансного импеданса..................................................145
Приложение 2. Оценка инкремента несимметричного пучка для широкополосного импеданса...............................................148
Приложение 3. Преобразование к симметричным модам.......................151
Приложение 4. Взаимодействие встречных многосгустковых пучков с ВЧ системой из нескольких резонаторов......................................153
Приложение 5. Отсутствие взаимодействия свстречных пучков друг с другом в продольно-однородной вакуумной камере................................. 157
Приложение 6. Поля, наведенные пучком в продольно-однородной вакуумной камере............................................................... 161
Приложение 7. Преобразование системы интегральных уравнений для многосгусткового пучка (короткие сгустки) к системе линейных уравнений. .......................................................................170
Приложение 8. Вычисление функции \\'(и) для гауссовского продольного и
поперечного распределения плотности частиц (для главы 4)...............174
Приложение 9. Программы MBIM1 и MBIM2 для расчета устойчивости
собственных мод когерентных колебаний многосгустковых пучков...........180
Программа MBIM1......................................................180
Продольные колебания...............................................182
Поперечные колебания...............................................184
Программа MBIM2......................................................185
Литература.............................................................191
Введение
Одной из задач физики ускорителей является повышение интенсивности пучков. Когерентное взаимодействие пучка с импедансом окружающей структуры (со стенками вакуумной камеры, с резонаторами ВЧ системы и т.д.) может ограничивать ток этого пучка. Учет этого взаимодействия позволяет выбирать параметры конструкции элементов ВЧ системы так, чтобы взаимодействие с этими элементами не приводило к неустойчивости когерентных колебаний и к уменьшению тока пучка.
Когерентные колебания частиц пучка происходят под действием электромагнитных полей, наведенных этим же пучком, частицы которого совершают когерентные колебания. При исследовании устойчивости этих колебаний возникает задача одновременного решения уравнений движения частиц в заданных полях и определения полей, наведенных пучком, совершающим когерентные колебания.
В предшествующих работах в основном рассматривались устойчивость одиночных сгустков и симметричных многосгустковых пучков (например, [1], [3], [4]; встречные симметричные пучки рассматривались, например, в [2] - для продольных колебаний и в [32] - для поперечных). Для симметричных пучков моды колебаний известны (нормальные симметричные моды), и для них можно выписать выражения для инкрементов, которые зависят от действительных частей импеданса на боковых частотах к гармоникам частоты обращения.
Однако на практике часто используются несимметричные пучки. Это может быть связано с режимом заполнения накопительного кольца сгустками частиц. Также одной из причин использования несимметричных пучков бывает попытка ослабления неустойчивости.
Для несимметричного пучка, как показано, например, в [5] и в [31], возможна оценка сверху инкрементов колебаний его собственных мод, через
инкременты собственных мод симметричного пучка, до которого может быть “дополнен” данный несимметричный пучок. Ток такого “дополненного” пучка превышает ток первоначального несимметричного пучка, поэтому оценка сверху может сильно превышать (в зависимости от импеданса ВЧ системы и степени нссимметрии пучка) реальные инкременты и тем самым налагать гораздо более сильные ограничения на ток или более высокие требования на систему обратной связи для подавления этих инкрементов. Кроме того, эта оценка не дает ответа на вопрос об эффективности использования несимметричных пучков вместо симметричных в целях ослабления неустойчивости. Отмстим также, что широкополосная (например, резистивная) и узкополосная (резонансная) части импеданса окружающей структуры по-разному реагируют на нссиммстрию пучка (и на наличие встречного пучка), как показано, например, в [6]. Поэтому полезно, кроме верхней оценки, иметь инструмент, позволяющий определять инкременты колебаний любых многосгустковых пучков.
При несимметричном (произвольном) заполнении сепаратрис сгустками моды колебаний заранее не известны. В этом случае следует сформулировать самосогласованную задачу движения частиц пучка под действием нолей, наведенных этим же пучком. Собственные числа этой задачи будут определять инкременты и когерентные сдвиги частоты колебаний.
Ряд авторов обращались к этой проблеме ([46]-[49]). Однако их подход имеет ограничения, которые не позволяют эффективно использовать эти методы на практике. Так, в [46] рассматривается случай, когда пучок возбуждает лишь одну гармонику частоты обращения. В [47] получен критерий устойчивости для пучка с зазором, для случая, когда поле, наведенное каждым сгустком, затухает достаточно быстро и действует лишь на один следом летящий сгусток. В [48] задача устойчивости поперечных колебаний произвольного многосгусткового пучка сформулирована в
7
терминах азимутальных гармоник дипольного момента тока пучка и имеет бесконечную размерность. Конечные же результаты получены только для симметричных пучков. В [49], в терминах \Уаке-потенциала задача устойчивости дипольных продольных и поперечных когерентных колебаний приведена к линейной алгебраической задаче на собственные значения, в предположении равенства всех ненулевых зарядов сгустков пучка и с использованием модели макрочастиц. При этом не рассматриваются затухание Ландау, коротковолновая часть спектра импеданса, а также высшие мультипольные типы продольных колебаний. Также не рассматриваются встречные пучки и пучки с разными зарядами сгустков.
В настоящей работе представлены метод и программа расчета когерентных неустойчивостей многосгустковых пучков при взаимодействии с окружающей структурой. Имеются в виду продольные мультипольные синхротронные колебания и поперечные бетатронные колебания многосгустковых, в том числе встречных пучков (в одном кольце), с любым заполнением кольца сгустками заряженных частиц, симметричным и несимметричным. Рассматривается взаимодействие пучка с резонаторами ВЧ системы (и другими элементами, приводимыми к узкому зазору) и с резистивным импедансом гладкой (продольно-однородной) вакуумной камеры произвольного сечения, с конечной проводимостью стенок.
Проблема устойчивости сводится к задаче на собственные значения для линейной алгебраической системы, причем размерность задачи в приближении коротких сгустков (программа МВ1М1) равна числу сгустков, а в программе МВ1М2, когда о^аничение коротких сгустков снимается, размерность задачи равна произведению числа сгустков на число рассматриваемых одновременно типов мультипольных колебаний и на число членов разложения функции распределения, которое, благодаря выбранному виду разложения, может быть небольшим (порядка нескольких единиц).
В работе используется метод, изложенный в [I] где проблема устойчивости когерентных колебаний рассматривалась для одиночных сгустков и симметричных пучков, в приближении коротких сгустков (по сравнению с минимальной длиной волны спектра ВЧ системы). В настоящей работе этот метод расширен на случай несимметричных пучков, в том числе и на случай встречных пучков, который ранее также рассматривался только для симметричных пучков (см., например, [2], [32]).
Кроме того, при анализе высших типов мультипольных колебаний (внутрисгустковые неустойчивости) использовано разложение функции распределения с помощью ортогональных полиномов, аналогично [13], при этом снимается ограничение на длины волн спектра импеданса окружающей ВЧ структуры (по сравнению с длиной сгустка), а также учитывается связь разных типов мультипольных колебаний.
Целью работы является:
1. Разработка аналитического алгоритма и создание вычислительной программы для расчета устойчивости продольных и поперечных когерентных колебаний многосгустковых пучков с произвольным заполнением сераратрис, в том числе и встречных электрон-позитронных пучков, при взаимодействии с окружающей структурой.
2. Расширение метода на случай длинных сгустков ( по сравнению с минимальной длиной волны спектра импеданса окружающей структуры) и создание модификации программы, реализующей этот метод, позволяющей также учитывать и связь разных типов мультипольных колебаний.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту:
1. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа МВ1М1 для расчета собственных мод когерентных колебаний (поперечных и мультипольных продольных) произвольных многосгустковых пучков, в
том числе и встречных пучков. Рассматривается взаимодействие с резонаторами ВЧ-системы и с резистивным импедансом вакуумной камеры с конечной проводимостью стенок, в приближении коротких сгустков (по сравнению с минимальной длиной волны импеданса окружающей структуры).
2. Разработан аналитический алгоритм и вычислительная программа MBIM2, позволяющая расчитывать устойчивость мультипольных продольных колебаний многосгустковых пучков с произвольным заполнением сепаратрис без 01раничения на длину пучка или ширину спектра. Эта программа позволяет также рассматривать связь различных типов мультипольных колебаний.
3. Для более быстрого и точного вычисления матричных элементов найден способ точного аналитического суммирования рядов по азимутальным гармоникам, с учетом длины сгустка, в том числе для высших типов мультипольных колебаний, для резонансных мод спектра импеданса.
Практическая ценность:
Программа MBIM1 применяется при анализе устойчивости многосгустковых пучков в накопителях заряженных частиц, в том числе при проектировании ВЧ системы ускорителя и системы обратной связи. Подобные расчеты проводились для проектов ВЭПП-5 [34], LHC [20], Nano-hana [36], для проектов модернизации ВЭПП-2 [35] и ВЭПП-4, для нового резонатора с подавлением высших мод DUKE FELL [37].
Программа MBIM2 применяется для сравнения с программой MBIM1 и уточнения результатов расчетов в случае длинных сгустков, а также при анализе связи различных типов мультипольных колебаний.
Созданные программы используются не только в ИЯФ, но и в других научных центрах (CERN [6], CESR [38], [41]).
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и девяти
приложений.
В первой главе рассмотрены продольные мультипольныс колебания многосгустковых пучков при взаимодействии с резонаторами ВЧ системы, в приближении коротких сгустков, с использованием моделей макрочастиц. Сформулирована самосогласованная задача анализа устойчивости продольных когерентных колебаний многосгустковых пучков, в том числе и встречных пучков. В результате получено матричное уравнение, собственные числа которого определяют инкременты и когерентные сдвиги собственных мод колебаний пучка. Элементы матрицы зависят от импеданса резонаторов, токов каждого сгустка и, в случае встречных пучков, от положения резонаторов относительно одного из мест встречи пучков. В этой же главе рассмотрены продольные когерентные колебания пучка при взаимодействии с импедансом резистивной вакуумной камеры, который, в отличие от импеданса резонатора, не может быть приведен к узкому зазору.
Во второй главе продольные мультипольные колебания многосгустковых пучков рассмотрены на модели сплошной среды, принимая во внимание внутрисгустковое движение, а также связь разных типов мультипольных колебаний. При этом снимается ограничение на длины волн спектра импеданса ВЧ системы для данной длины сгустка. Используемое разложений функций распределения но ортогональным полиномам позволяет представить самосогласованную задачу определения собственных мод колебаний в наиболее компактном виде, когда члены разложения высшего порядка быстро убывают, и ряд может быть оборван, ограничившись лишь несколькими слагаемыми. При этом ранг матрицы равен произведению числа сгустков в пучке на число членов разложения функции распределения. Этот же способ позволяет при расчете устойчивости учесть амплитудную зависимость синхротронной частоты, приводящую к ослаблению неустойчивости - затухание Ландау. Другой подход к системе интегральных
уравнений, приведенный в этой главе, в случае коротких сгустков, позволяет учесть затухание Ландау, при этом ранг матрицы равен числу сгустков в пучке.
В третьей главе на модели макрочастиц рассматривается проблема поперечных когерентных колебаний многосгустковых пучков, при взаимодействии с резонаторами ВЧ системы, а также с резистивным импедансом вакуумной камеры.
В четвертой главе устойчивость поперечных колебаний многосгустковых пучков рассматривается на модели сплошной среды, позволяющей принять во внимание связь поперечных колебаний с продольными, а также амплитудную зависимость синхротронной и бетатрон ной частот.
В пятой главе приведены примеры практических расчетов устойчивости с помощью созданных на основе изложенных методов программ.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
В приложения вынесен ряд математических выкладок, необходимых для полноты изложения материала, а также приведена характеристика программ МВ1М1 и МВ1М2.
Работа выполнена в ИЛФ СО РАН в период с 1989 по 2002г.
Глава 1. Устойчивость продольного движения многосгустковых пучков (модель макрочастиц).
В циклических ускорителях для ускорения частиц используются ВЧ поля с частотой кратной частоте обращения. Поле ускоряющей гармоники создает для каждого сгустка пучка потенциальные ямы, в которой заряженные частицы каждого сгустка совершают синхротронные колебания. Эти колебания можно разделить на когерентные и некогерентные.
Одной из причин некогерентного движения являются квантовые флуктуации синхротронного излучения. Они приводят к возникновению определенного разброса по энергиям внутри пучка и определяют форму сгустка в этой потенциальной яме (гауссовское распределение).
Пучок может совершать и когерентные фазовые колебания, когда сгустки или их части колеблются как единое целое с определенным сдвигом фаз. Гармоники тока сгустков, совершающих когерентные фазовые колебания, наводят в окружающей структуре ВЧ поля, которые в свою очередь воздействуют на фазовое движение сгустков пучка. Это взаимодействие, в зависимости от импеданса системы, может приводить к нарастанию или затуханию колебаний частиц, то есть к неустойчивости или устойчивости движения пучка.
Одним из способов исследования устойчивости движения пучка является трэйкинг, при котором сгусток описывается набором большого числа частиц, и моделируется его многократное прохождение по орбите накопителя, с учетом взаимодействия с элементами окружающей структуры (см., например, [3]). Этот метод требует больших вычислительных мощностей, особенно при рассмотрении многосгустковых пучков, больших времен (многократное прохождение орбиты), а также задания разных вариантов начальных условий для максимально полного охвата всех возможных мод
колебаний.
Альтернативный метод - поиск собственных мод колебаний и собственных значений. Известно, что любые колебания можно представить в виде суперпозиции собственных колебаний с соответствующими амплитудами. При этом каждая собственная мода будет колебаться со своей собственной частотой и инкрементом (или декрементом), являющимися мнимой и действительной частями собственного значения этой моды. Очевидно, для устойчивости суммарного движения необходимо и достаточно обеспечить устойчивость всех собственных мод, которая определяется знаками действительных частей их собственных чисел. В отличие от предыдущих работ (например, [1], [2], [3], [4]), где рассматривались только симметричные пучки, данная работа посвящена решению этой задачи для несимметричных многоаустковых пучков, в том числе и встречных, при взаимодействии элементами окружающей структуры, импеданс которых
I
приведен к узкому зазору или однороден по всему периметру ускорителя (как, например, импеданс продольно-однородной вакуумной камеры).
Проблема поиска всех собственных значений рассматривается в данной работе на моделях макрочастиц и сплошной среды.
В первой главе, на модели макрочастиц, будет рассмотрена устойчивость продольного когерентного движения многосгустковых пучков в накопителях заряженных частиц при взаимодействии с резонаторами ВЧ системы, а также с импедансом продольно-однородной вакуумной камеры со стенками конечной проводимости.
В модели макрочастиц каждый сгусток представляется одной макрочастицей (при рассмотрении дипольных колебаний). Продольное распределение плотности в ней соответствует реальному распределению, но внутренние движения исключаются, то есть макрочастица колеблется как единое целое. Таким образом, рассматривается взаимодействие с полями,
длины волн которых много больше длины макрочастицы (то есть сгустка). Предполагается, что распределение частиц (например, гауссовское) определяется только некогерентными явлениями и не меняется, а амплитуды отклонений от равновесного состояния предполагаются малыми.
Каждая собственная мода колебаний имеет свою собственную частоту, декремент (или инкремент) колебаний и комплексные амплитуды колебаний всех сгустков. Для симметричного пучка (когда заряды всех сгустков одинаковы и расстояния между сгустками одинаковы) собственные моды колебаний - это нормальные симметричные моды колебаний, с одинаковыми амплитудами колебаний всех сгустков и одинаковыми сдвигами фаз колебаний между соседними сгустками, кратными угловому расстоянию между ними 2я/Мк (где Nh - число сгустков в пучке). При вычислении собственных частот и декрементов этих мод используются известные из геометрической симметрии задачи соотношения фаз и амплитуд сгустков, что позволяет выписать аналитические выражения для всех собственных чисел.
Для несимметричного пучка (с разными зарядами сгустков и/или разными расстояниями между ними) комплексные амплитуды определяются распределением зарядов по сепаратрисам и импедансом системы. В этом случае распределение амплитуд и фазовых сдвигов вычисляется одновременно с собственными частотами и декрементами при решении задачи на собственные значения.
Отметим, что в случае встречных пучков собственные числа и вектора зависят также от расположения резонаторов по периметру ускорителя.
Вначале, на модели макрочастиц, будет продемонстрирован общий метод формулировки задачи на собственные значения для дипольных продольных колебаний многосгусткового пучка (с произвольными токами сгустков) в виде системы линейных уравнений, собственные числа которой определяют устойчивость колебаний многосгусткового пучка. Этот метод
15
реализован в программе МВІМ1 (см. Приложение 9), вычисляющей собственные моды продольных или поперечных колебаний произвольных многосгустковых пучков, в том числе встречных, при взаимодействии с резонаторами ВЧ системы и резистивной вакуумной камерой, в рамках модели макрочастиц.
Далее, на модели одномодового резонатора, будут рассмотрены характерные частные случаи (односгустковый пучок, симметричный многосгустковый, несимметричный пучок) и их устойчивость в зависимости от добротности резонатора. Далее приведен пример изменения области устойчивости (на плоскости настроек мод резонатора) для встречных пучков, в зависимости от расположения резонаторов по периметру ускорителя.
В конце главы будет приведена попытка оценить, на той же модели макрочастиц, инкремент продольной резистивной неустойчивости - при взаимодействии пучка со стенками вакуумной камеры конечной проводимости. На этом примере будут показаны границы применимости модели макрочастиц.
На модели макрочастиц можно рассмотреть и высшие мультипольные колебания, представив каждый сгусток в виде нескольких макрочастиц (двух для квадрупольных колебаний, трех для секступольных, и т.д.). Но оіраничения данной модели, в которой рассматриваются длины волн много больше длины сгустка, не позволяют учесть ту часть спектра импеданса, которая оказывает наибольшее влияние на высшие мультипольные колебания (то есть с длинами волн сравнимыми или меньшими, чем длина сгустка). Поэтому высшие типы мультипольних колебаний будут рассмотрены во второй главе, на модели сплошной среды.
16
1.1. Исходные уравнения и предположения.
Метод, используемый в этой главе для произвольной системы сгустков, был развит в [1] для односгустковых и симметричных многосгустковых пучков.
Приведем основные предположения, использованные в [1], а также выведенные в [1] уравнения движения частиц пучка во внешних электромагнитных нолях и выражения для полей, наведенных пучком, совершающим когерентные колебания.
Основные предположения при рассмотрении продольных колебаний на модели макрочастиц следующие:
1. линейные синусоидальные колебания в отсутствие возбуждения;
нелинейность учитывается в усредненном виде ([1], часть 1), как
зависимость частоты колебаний от амплитуды;
2. малость возмущений за счет возбуждения (по сравнению с
невозмущенным распределением частиц);
3. взаимодействие с областью спектра ВЧ системы, для которой минимальная длина волны много больше длины пучка;
4. поля, наведенные пучком в электромагнитной системе накопителя,
выражаются через импеданс системы, который считается известным (посчитанным или измеренным) в необходимом диапазоне частот.
Уравнения движения частиц в переменных действие-фаза.
Известно, что частицы пучка в накопителе совершают продольные (синхротроиные) и поперечные (бетатронные) колебания относительно орбиты равновесной частицы. Пусть / - координата вдоль равновесной орбиты, хи у -соответственно вертикальная и горизонтальная (то есть радиальная в плоскости орбиты) координаты; (о0 - частота обращения равновесной частицы;
17
р0 - продольный импульс равновесной частицы.
Отклонения координат и импульса частицы, совершающей продольные и поперечные колебания, относительно координат и импульса равновесной частицы (*,у,г) = (лг,у,I-<о0Ш) и (рх,ру,р.) = (рх,ру,р-р0) при исследовании устойчивости удобно записать в переменных действие-фаза (У.,у/,.), / = *,>*,г. При этом действие и изменение фазы за счет когерентного взаимодействия -медленно меняющиеся величины. В линейном приближении, в случае малых колебаний преобразование продольных переменных имеет вид (см. [1], часть 1):
г = Рг =л/2АУПгУг со%{\рг). (1.1)
Здесь М =т,
1 т‘
--а
у;
- эквивалентная масса продольного движения (для
равновесной частицы), при энергии выше критической (то есть при у] > —)
а
М< о;
тг = Е,/с2 - релятивистская масса равновесной частицы, у, - ее релятивистский фактор,
а = —--П. - коэффициент расширения орбит, П - периметр орбиты,
Ар/р
/?=-- средний радиус равновесной орбиты,
2 я
, п(<р,)
£2, - часгога синхротронных колебании, С1 =—-----------,
* ' 2кЯ IМ I
- соответственно кратность ускоряющего ноля, его напряжение и
синхронная фаза.
В присутствии внешних полей усредненные по времени уравнения продольного движения тестовой частицы пучка под действием наведенных
- Київ+380960830922