Ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках

Оглавление
Глава 0. Введение 3
0.1. Обзор литературы.................................... 3
0.2. Актуальность темы исследования...................... 7
0.3. Краткое содержание работы........................... 8
0.4. Основные положения, выносимые на защиту............ 17
0.5. Методы исследования................................ 18
O.G. Апробация работы................................... 19
Глава 1. Полилинейные операторы 20
' 1.1. Пространство регулярных полилинейных операторов . 20
1.2. Ортосимметричность................................. 26
1.3. Однородное функциональное исчисление............... 32
1.4. Степень векторной решетки.......................... 37
1.5. Полилинейные операторы на решетке С (К)............ 42
Глава 2. Представление ортоаддитивных полиномов 48
2.1. Предварительные сведения о полиномах............... 48
2.2. Полиномы в борнологических пространствах .......... 55
2.3. Полиномы в пространстве непрерывных функций ... 61
2.4. Основные теоремы о представлении................... 66
2.5. Полиномы в векторных решетках...................... 72
Глава 3. Приложения 78
3.1. Порядковое исчисление.............................. 78
3.2. Продолжение положительных полиномов................ 86
3.3. Теорема Радона — Никодима для полиномов............ 91
3.4. Полиномы, сохраняющие дизъюнктноеть................ 97
3.5. Интегральное представление полиномов.............. 104
Литература -• 114
2
Глава 0. Введение
0.1. Обзор литературы
Теория векторных решеток и порядково ограниченных линейных операторов имеет более чем восьмидесяти летнюю историю. Эта теория вместе с приложениями к различным разделам математики хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [2, 7, 10, 14. 36, 73, 76, 79, 88, 92, 98].
Изучение полилинейных операторов, определенных на декартовых произведениях векторных решеток, относится к более позднему времени: началом можно считать работу японского математика X. Накано [82] о билинейных операторах, вышедшую в 1953 году. Около двадцати лет билинейные операторы Накано, не вызывали особого интереса, несмотря на то, что через три года появилась работа Г. Биркгофа и Р. Пирса [39], в которой было введено понятие решеточно упорядоченной алгебры, умножение в которой есть положительный билинейный оператор в смысле Накано.
Билинейные операторы Накано в векторных и банаховых решетках были повторно введены и исследованы в работах Р. Кристеску [55], Д. Фремлина [58, 59), Г. Витстока |96, 97], А. Г. Кусраева |12], X. Шефера [90|.
С начала 2000-х годов возрастает интерес к порядковым свойствам билинейных операторов. В этот период появились новые мо-
з
тинации, новые объекты и методы исследования, новые взаимосвязи с другими разделами теории векторных решеток и положительных операторов. Этот всплеск начался с серии работ X. Бу-скеса и А. ван Ройя [48, 51, 49, 52, 50] и продолжается по сей день [15, 16, 18, 19, 42, 43, 46, 71, 83], см. также обзоры [16] и [45].
Полиномы от бесконечного числа переменных или, точнее, полиномы, определенные в бесконечномерных пространствах, исследовались с конца XIX века, см. [57]. Однако, изучение порядковых свойств полиномов в векторных решетках начато сравнительно недавно. В работе А. Дефанта и Н. Кэлтона [56] было показано, что пространство 5-однородных полиномов на бесконечномерном банаховом пространстве с безусловным базисом не имеет безусловного базиса. Позже Б. Греку и Р. Рийан [61] обнаружили, что однородные полиномы, допускающие разложение в безусловно сходящийся ряд мономов, совпадают с регулярными однородными полиномами, т. с. с однородными полиномами, представимыми в виде разности двух положительных однородных полиномов, причем положительность понимается относительно естественной структуры банаховой решетки в области определения. Однородный полином принято называть положительным, если положителен порождающий его симметричный полилинейный оператор. С этого момента проявляется возрастающий интерес к порядковым свойствам полиномов.
Однако, оказалось, что пространство полиномов в банаховом пространстве часто слишком широко, чтобы строить содержательную теорию. Мощным методом исследования полиномов является линеаризация на тензорном произведении, но при этом соответствующее тензорное произведение может оказаться необозримым, см. [57, 87).
4
Естественно поэтому выделять класс полиномов каким-либо свойством. Одним из таких интересных свойств оказалась ортогональная аддитивность, которая позволяет вместо тензорного произведения использовать более простой объект — степень векторной решетки.
Класс ортогонально аддитивных полиномов в банаховой решетке ввел К. Сандаресан в [93]. В этой работе было установлено, что если р > п, то любой га-однородный ортогонально аддитивный полином Р : Lp —> R допускает представление
P(f) = J Г 9 dll (/etf),
где д е Можно записать это представление в виде P(f) =
S(D (/ е If), где S е (LP/nY = L4 и q = р/(р - п). Другой иод-ход к доказательству такого же представления для случая решетки последовательностей lp, 1 ^ р < оо, был предложен в [бб].
Позже аналогичные результаты получили Д. Перез-Гарсиа и И. Виллануева [85], а также Д. Карандо, С. Лассаль и И. Залду-еидо [53], для полиномов, определенных на пространстве непрерывных функций С(К) со значениями в банаховом пространстве. Наконец, И. Беньямиии, С. Лассаль и Дж. Ллавона в [38] установили, что непрерывный ортогонально аддитивный n-однородиый полином, действующий из функциональной банаховой решетки Е в произвольное банахово пространство, представим в виде: P(f) = S(fn) (/ Е Е) с линейным непрерывным оператором S.
Новый подход к проблеме представления ортогонально аддитивных полиномов в произвольных архимедовых векторных решетках был предложен группой испанских математиков А. Иборт. Г1. Лина.-рес и Дж. Г. Ллавоиа в [67]. Однако, основной результат этой работы
5
оказался частным случаем результатов автора [20, 24|.
Далее. М. Тоуми в статье [94], пытаясь найти единообразный подход к изложенным выше результатам, расширил область значений изучаемого полинома до произвольного топологического векторного пространства F. Но при этом он вынужден был ограничиться /^-пространствами Е в качестве области определения. Он также установил представление ортогонально аддитивного ^-однородного непрерывного (Е рассматривается с топологией сходимости с регулятором) полинома Р из Е в F в виде: P(f) = S(fn), где S : П;1(£) —»■ F — линейный непрерывный оператор и Пп(£) = {х\-... • хп: х\,...,яп€ Е} (здесь подразумевается умножение в максимальном расширении Е). Случай произвольной архимедовой векторной решетки Е (например, Е = С([0,1])) этот результат не охватывает. Итак, возникает задача: найти общую форму теоремы о представлении ортогонально аддитивных полиномов.
Систематическое изучение ортогонально аддитивных полиномов из банаховой решетки в банахово пространство с помощью техники тензорных произведений, уделив особое внимание описанию соответствующих пространств линейных операторов, предпринято в работе К. Бу и X. Бускеса (44).
Следует также упомянуть, что к настоящему времени защищены две диссертационные работы по данной проблематике. Первая из них [74] (Дж. Лоан, 2007) посвящена порядковым свойствам полилинейных и полиномиальных операторов, причем центральное место занимают порядковое исчисление и проблема продолжения положительных полиномов с мажорирующей подрешетки (вариант теоремы Канторовича). Вторая диссертация [72] (П. Линарес, 2009) примеча-
с
1
тельнатсм, что в ней автор нашел интересные приложения теоремы о представлении ортогонально аддитивных полиномов. В частности, им найдено новое доказательство спектральной теоремы для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, изучена полилинейная проблема моментов, введен аналог классических ортогональных полиномов относительно ортогонально аддитивного полинома. В то же время, важно было бы провести детальное исследование структуры ортогонально аддитивных полиномов, используя упомянутые результаты о представлении.
0.2. Актуальность темы исследования
Изучение полиномов в бесконечномерных пространствах в значительной мере стимулировано исследованиями в области бесконечномерной голоморфности. В литературе достаточно хорошо представлены алгебраические свойства полиномов, а также взаимосвязи полиномов с геометрическими и линейно-топологическими свойствами банаховых пространств, см. [57). Чем более детально изучены полиномы. тем больше возможностей для продвижения в структурной теории голоморфных функций в бесконечномерных пространствах. С этой точки зрения порядковые свойства полиномов — еще одна методика исследования бесконечномерной голоморфности, см, например, [61] и (54).
В то же время, полиномы в векторных решетках обладают интересными порядковыми свойствами, а классы полиномов в банаховых решетках, определяемые в смешанных терминах нормы и порядка, имеют богатую структуру и заслуживают самостоятельного
7
изучения. Наибольший прогресс достигнут в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов, см [24, 25, 26, 27. 38, 44, 53, 67, 72, 85, 93, 94]. Эти результаты дают новые возможности для получения более детальной информации о строении ортогонально аддитивных полиномов, с одной стороны, и дальнейших приложений з теории банаховых решеток и положительных операторов, — с другой.
0.3. Краткое содержание работы
Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе собран вспомогательный материал: факты, определения, обозначения. Первый параграф содержит простейшие свойства полилинейных операторов, используемые в дальнейшем. Здесь наиболее важный факт гласит, что пространство регулярных полилинейных операторов является К-пространством и совпадает с пространством полилинейных операторов порядково ограниченной вариации, при условии, что пространство образов является есть К-пространством (теорема 1.1.1).
Центральное понятие во втором параграфе — ортосимметричность. Ортосимметричный полилинейный оператор, действующий в векторных решетках, симметричен (теорема 1.2.2; см. [48, следствие 2]). Полилинейный оператор <р : Е8 -> F называют решеточным полиморфизмом, если |^(хь . . . , Х3)\ = ^(1^11> • • • : \хз\) ДЛЯ ВСвХ х8 € Е. Дается описание решеточных полиморфизмов (теорема 1.2.5; ср. [15, теоремы 4.2.4 и 4.2.5)). Отсюда выводится, что решеточный полиморфизм ортосимметричен тогда и только тогда, когда он симметричен (теорема 1.2.6; ср. [70, теорема 1[).
8
Третий параграф посвящен построению однородного функционального исчисления в равномерно полных векторных решетках и в равномерно полных /-алгебрах. Благодаря этому в произвольной равномерно полной векторной решетке Е корректно определяются средние порядка 5 и геометрические средние 0:
В четвертом параграфе вводим понятие степени векторной решетки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.3.1. Пусть 2^5ЄМи£—■ архимедова векторная решетка. Пара {Е30103) называется в-ой степенью Е, если выполнены следующие условия:
(2) ©я : Е х • • • х Е —» Е™ — ортосимметричный решеточный 5-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим 5-морфизмомом степени;
(3) для любой (архимедовой) векторной решетки Е и любого ортосимметричного решеточного 5-морфизма р> : Е х • • • х Е —» F существует единственный решеточный гомоморфизм 5 : Е*° —> F такой, что 5 о ©5 = <р.
Два отображения О)*0,«- : Е -» £50, определяемые формулами
(•)*° : х х30 :=х03”' О* я, ь:х*-> х ©., |ж| 0* • • • О* |я|,
играют исключительно важную роль в дальнейшем. Первое из них — специальный ортогонально аддитивный полином, порождаемый каноническим 5-морфизмом 0з (см. определение 0.3.2).
Основной результат пятого параграфа гласит, что ограниченный ортосимметричный 5-линейный оператор у? из С((}У в банахово
(1) Езе — векторная решетка;
9
пространство X допускает представление в виде <р(х= S(x i • ... • xs) (xi,.. .,ха € C(Q)), где 5 : C(Q) X — линейный ограниченный оператор.
Во второй главе представлена общая теория полиномов в векторных решетках. В первом параграфе приводятся необходимые сведения из алгебраической теории полиномы.
Определение 0.3.2. Пусть X и Y — векторные пространства и s — целое число ^ 1 . Отображение Р : X У называется однородным полиномом степени s (или s- однородным полиномом), если существует s-линейный оператор tp : Xs Y такой, что
Р(х) = <р(х,..., х) (х € X).
Для любого полинома Р : X —>• Y существует и притом единственный симметричный s-линейный оператор (р : Xs —> У, такой что выполняется указанное равенство. Этот оператор называют порождающим для полинома Р и обозначают через Р. Введем основной объект исследования.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 0.3.3. Пусть Е — векторная решетка. Полином Р : Е —> У называется ортогонально аддитивным, если для любых дизъюнктных х,увЕ выполняется Р(х + у) = Р(х) + Р{у).
Во втором параграфе вводятся борпологические пространства и рассматриваются простейшие свойства ограниченных полиномов. Анализ различных результатов о представлении ортогонально аддитивных полиномов показывает, что они существенно зависят от порядковой структуры в области определения, в то время как в области значений существенна лишь борнология, а не порядок или топология. Привлечение борнологических пространств в образах и
ю