Оглавление
Список обозначений 3
Введение 5
1 Основные понятия и используемые результаты 16
§1.1 Некоторые сведения из теории операторов .•........16
§1.2 Полугруппы разностных операторов в спектральном
анализе линейных дифференциальных операторов . . 21
2 Гиперболические группы операторов и уравнение
Ляпунова 26
§2.1 О разрешимости уравнения Ляпунова.................26
§2.2 Теорема М.Г. Крейна для генераторов групп операторов . '.............................................39
§2.3 Теорема М.Г.Крейна для гиперболической группы
Хоулэнда .........................................44
3 Условия существования решений разностных уравнения и их оценок 47
§3.1 Об условиях разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений...........................47
§3.2 Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.........................................54
4 Оценки норм степеней матрицы 63
§4.1 Общие оценки......................................63
§4.2 Оценки'матрицы простой структуры..................69
Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
R - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
Ті - комплексное гильбертово пространство;
ЕпАН - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в К;
X - комплексное банахово пространство;
EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;
G[T) - график оператора Т;
КегТ - ядро оператора Т;
ІтпТ - образ оператора Т;
D = D(T) - область определения оператора Т;
||Т|| - норма оператора Т;
р{Т) - резольвентное множетсво оператора Т;
R(X,T) - резольвента ітератора Т; сг(А) = С \ р(А) - спектр оператора А; г(А) - спектральный радиус оператора А\
3
LP = LP($,H) - гильбертово пространство (классов эквивалентности) измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р функций;
Ср = £P(Z,H)} р 6 [1, оо] - пространство двусторонних последовательностей векторов из Н} суммируемых со степенью р для р Є [1, оо) и ограниченных для р = оо;
U - семейство эволюционных операторов;
Си - оператор вида Си : D(Cu) С7 = /(КД)) -> Т.\
Ац - оператор вида Au = I — Тц{ 1);
Со = Co(Z,X) - банаховое пространство С0 = Cq(Z,X) — {х Є
too : lim ||s(n)|| = 0}; n—»oo
T = {А Є С : |A| = 1} - единичная окружность;
J - одно из множеств: R* или R;
Aj - множество следующего вида Aj = {(і, s) Є I х J : s < t}\
I - тождественный оператор;
Homtyii,%) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на%і со значениями в Н2.
4
Введение
В основе качественной теории дифференциальных уравнений лежат вопросы устойчивости и оценок решений, при этом важную роль играет построение функции Ляпунова для уравнениях = Ах, где Л : О(А) е У. —»• Н - генератор сильно непрерывной полугруппы операторов Т : = [0,оо] —> ЕпЛ.'Н из банаховой алгебры
Еп&Н линейных ограниченных операторов,, действующих в гильбертовом пространстве Н. При этом важную роль играют гиперболические полугруппы операторов для которых выполнено условие
<т(Т(1))р)Т = 0,
где <т(Т(1)) - спектр оператора Т( 1) и Т = {г Е С : |г| = 1} - единичная окружность. Если сг(Т(1)) С {А € С : |А| < 1}, то такая полугруппа будет называться устойчивой.
Красивое истолкование второго метода Ляпунова с использованием нового скалярного произведения в 71 было дано в монографии [27] для случая, когда А Е Епс1Н и ТЩ = ехр(ЬА), £ € Е, - группа операторов. Там же было установлено, что гиперболичность этой группы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора \У Е ЕпсШ такого, что А равномерно IV -дисспативен, т.е. Л*И/Ч-ИМ = 7?«:0, где символ Е <& О
означает равномерную отрицательность оператора Р € ЕпсШ. В этом случае оператор У/ определяет квадратичную функцию Ляпунова Ь : Н —)• К, Ь{и) = (и,и)\у = (\Уи,и) такую, что функция £ Ь(и(£),г/.(£)) монотонно убывает для каждого решения
и: Ш У. дифференциального уравнения х = Ах.
В статье [60] и монографии [61] были сделаны попытки перепости результаты М. Г. Крейна для генераторов инфинитезимальных полугрупп операторов класса Со. Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации результаты М.Г. Крейна распространяются для генераторов сильно непрерывных групп операторов. Приведен пример полугруппы операторов, для которых теорема М.Г. Крейна оказывается неверной.
В последнее время была установлена глубокая связь между теорией линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэфициентами и теорией разностных операторов в пространствах последовательностей векторов. Переход от рассмотрению дифференциального уравнения к разностному позволяет получить эффективные оценки ограниченных решений, которые могут быть использованы в вопросах робастности систем управления, а так же в активно развивающейся в настоящее время теории марковских процессов.
Вопрос оценки ограниченных решений разностных уравнений сводится к оценке норм степеней ограниченного оператора через
- Киев+380960830922