Оглавление
Список обозначений............................................. 3
Введение...................................................... 6
1 Банаховы Ь\(К)-модули и неравенства Бора-Фавара для
операторов 19
§1.1 Банаховы £/1(К)-модули................................... 19
§1.2 Спектр Берлинга.......................................... 22
§1.3 Неравенства Бора-Фавара для операторов................... 32
§1.4 Некоторые приложения..................................... 40
§1.5 Приложения к теории возмущений линейных операторов . 42
2 Спектральный анализ почти периодических векторов 50
§2.1 Почти периодические векторы и их ряды Фурье............. 50
§2.2 Спектр Бора ........................................... 64
§2.3 Сходимость рядов Фурье почти периодических векторов с
разреженнным спектром.................................... 65
Литература.................................................... 80
2
Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
К - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
Т = {г Є С : \г\ = 1} - единичная окружность;
К+ = [0, оо];
Л - один из промежутков [а, 6], ІК, (—оо,а], [&, оо);
X, У - комплексные банаховы пространства;
X х У - декартово произведение двух банаховых пространств с нормой
Сі = Сі(Л, X) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на промежутке і Є {[а, 6], (—оо, а]. [6. оо)};
£>р = 5Р(К3Х), р € [1,оо) - пространство Степанова локально суммируемых на К функций со значениями в X с нормой ||х||5р = і
•зир(Л|т(.9 + £)||р(к)г/р; Ьр = ЬР($,Х), р 6 [1,оо] - банахово про-о
странство суммируемых на 1 со степенью р Є [1, оо) и со значениями в X функций;
іоо — Ьоо($,Х), - банахово пространство существенно ограниченных функций с нормой Иоо = игсивир||ж(£)||;
I - тождественный оператор в любом из рассматриваемых банаховых пространств;
д(А) - резольвентное множество оператора А; сг(А) - спектр оператора А\
Я(-, А) : д{А) —> ЕгмІХ, Я(А, А) = (А/ — А)~1, А Є д(А), - резольвента
3
линейного оператора А : D(A) С X —у Х\
5 = $(ЖУХ) - одно из пространств LP(R. X), Loo(M,X), Сб(К,Х), C0(W,X),SP(R,X);
Li(IR) - банахова алгебра всех суммируемых на К комплексных функций со свёрткой (/ * g)(t) = J f(t — s)g(s)ds,t € R,/,p € Li(R) функций в
к
качестве умножения и с нормой ||/||i = f | f(t)\dt.f 6 £i(R);
p.
S(£),£ € IR - изометрическая группа операторов сдвигов функций S : Ж EndCb вида (S(t)x)(s) = a;(s + £), 5, £ G R, х € С7&;
/- преобразование Фурье функции / € 1ц (R);
Л (а;) - спектр Всрлинга вектора х €. X;
supp х = {t € R : x(t) ф- 0} - носитель функции х : R —» С;
Х(а) = {х € X : А(х) С а} - спектральный подмодуль, где о - замкнутое подмножество из R;
5(R) - однородное пространство измеримых на R локально суммируемых комплексных функций;
Hom(Xi,X2) - банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на Х\ и со значениями в Х2;
Хс = {х € X : функция t »-> T{t)x : IR —> X - непрерывна };
АРХ - подмодуль почти периодических векторов но Бохнеру из Li(R)-модуля Хс\
АР$(Ж) - подпространство почти периодических функций из 5(R) (иочти-периодических по определению 2.5, гдеТ = S);
АРСъ = i4P(R) - подпространство непрерывных почти периодических функций Бора;
APJs(Ht) — APSp(R) - пространство Степанова почти периодических функций;
сг(х) — <т(х, Т) = {А Є Е : х(Х) ф 0} - спектр Бора вектора х.
о
Введение
Основой многих направлений исследований в современнном анализе служат спектральные теории, связанные с тем или иным понятием спектра, а также функциональным исчислением для линейных замкнутых операторов. Подчеркнем особо важную роль, которую играет понятие спектра в проблеме гармонического анализа векторов из банахова пространства, в котором действует некоторая группа операторов. В случае, если в банаховом пространстве действует однопараметрическая группа операторов, то ее генератор (инфинитезимальный оператор) допускает обширное функциональное исчисление. Соответствующий класс функций совпадает с классом функций на К, который состоит из преобразований функций из групповой алгебры Ь\(К). Таким образом, при исследовании векторов из банахова пространства возникает возможность широкого использования методов гармонического анализа. К наиболее важным примерам относятся банаховы пространства СДМ) непрерывных и ограниченных на К комплексных функций и пространства Степанова 5Р(М), р € [1, оо) (во введении используется список введенных обозначений). Еще одним важным примером может служить банахово пространство линейных ограниченных операторов.
Таким образом, глубоко развитые методы гармонического анализа могут быть использованы в спектральном анализе некоторых классов линейных операторов.
Диссертация посвящена этому направлению исследований в спектральной теории несамосопряженных операторов. Такие исследования проводились в работах Н. Данфорда [17, 18, 19| (спектральные опера-
6
- Киев+380960830922