Оглавление
Введение 5
1 Основные понятия и используемые результаты 18 §1.1 Основные функциональные пространства. Некоторые
сведения из теории операторов...................... 18
§1.2 Сильно непрерывные полугруппы операторов и эво-
люционнные семейства............................... 26
2 Исследование корректности и обратимости дифференциального оператора первого и второго порядков 35
§2.1 Корректность дифференциального оператора первого
порядка............................................ 35
§2.2 Оценки ограниченных решений дифференциальных
уравнений второго порядка.......................... 45
3 Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов и оценки решений 59
§3.1 Оценки обратных операторов........................ 59
§3.2 Оценки для операторов с постоянными
коэффициентами..................................... 66
§3.3 Исследование слабо нелинейных дифференциальных
уравнений в гильбертовом пространстве.............. 79
2
Список обозначений
Z - множество целых чисел;
R - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
= [Oj °°)>
J - один из промежутков [a,b], R, (—оо,а), [6, оо);
X, У - комплексные банаховы пространства;
EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х\
Сь = С7б(ЛГ, X) - банахово пространство непрерывных и ограниченных на промежутке .U € {[а, 6], (—оо, а), (6, оо)} функций со значениями в банаховом пространстве X;
Sp = SP(R,X), р е [1,оо) - пространство Степанова локально суммируемых на R функций со значениями в банаховом пространстве
1
X и нормой ||t||s^ = sup(f ||æ(s + £)||pds)1//p;
te R 0
Lp = LP(J!,X)} p 6 jl,oc) - банахово пространство суммируемых со степенью р € [1,оо) на промежутке JT классов функций со значениями в банаховом пространстве X и нормой ||х||р = (/ ||д;(г)||р£Й)|/р;
J
Ь0о = Z/ооЦ, X) - банахово пространство существенно ограниченных
на промежутке J классов функций со значениями в банаховом
пространство X и нормой ЦхЦоо = vrai sup ||z(£)||;
tej
Cl(J) = Cl(I, X) - линейное пространство l раз непрерывно дифференцируемых функций на Л со значениями в банаховом пространстве
х и нормой \\x\\Ci = Е 1Ик;
\к\<1
Wp($) = Wp($,X) - пространство Соболева И^(Л) = {гг £
3
С1 А(І) : х1 1— абсолютно непрерывна, х1 Є ЬР(Л)}. Норма функции / Є определяется при помощи равенства |]/||идо =
Е]к|<і Н/*11ад;
1 - тождественный оператор в любом из банаховых пространств; о(Л) - резольвентное множество оператора А : О(А) С X —► X; 1тА - образ линейного оператора Л;
КегА - ядро линейного оператора Л;
7{А) = ' ИНФИМУМ модуля оператора Л;
о {А) - спектр оператора Л;
/?(•, Л) : д(А) —> ЕпсІХ, Х(А, А) = (XI — Л)“1, Л € о(А) - резольвента линейного оператора А : О (А) С X —> X;
Т = ^(М, Л') - одно из пространств ЬР(Ш, X), Ь0О(1^іХ)і Сь(1&,Х), С0(К,Х),5Р(К,Х);
/р = /р(^, X), р Є [1,оо) - банахово пространство двусторонних последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и нормой \\х\\р = (£ Цх(п)ЦР)1^;
7іЄ2
/со = /ос(^Х) - банахово пространство двусторонних последовательностей с элементами в банаховом пространстве X и нормой
ІІ^ІІоо = вир ||х(п)||; пеХ
Т — Р(Ъ,Х) - одно из пространств 1Р(Ъ,Х)} 1оо(Х, X); и : Л —► ЕпсІХ, где Л = {(М) Є К х К! : < > й} - семейство эволюционных оиератороз, т.е. выполнено 1) ІА(і,Ь) = /, і Є К;
2) £/(£,т) = £/(£, т), г < в < з,£,т 6 Е; 3) отображение
(£, 6’) ь-» £/(£, 5)2;: Д —> X непрерывно для любого а; Є X; 4) конечна величина X = вир ||^(£,$)||;
0<*-5<1
4
Введение
При исследовании качественных свойств решений дифференциальных уравнений и при исследовании устойчивости решений важную роль играют оценки ограниченных решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений. Проблема получения таких оценок имеет давнюю историю, и соответствующие результаты изложены в ряде известных монографий. В последнее время особое значение приобретают исследования по получению оценок для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами, что особенно важно в связи с приложениями к уравнениям в частных производных. Таким образом, тематика получения оценок ограниченных решений является вполне актуальной.
В диссертации получен ряд новых результатов по оценкам ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, причем часть из них относится к уравнениям с неограниченными операторными коэффициентами, а часть - к нелинейным уравнениям.
При получении оценок решений используется операторный подход, при котором рассматриваемое дифференциальное уравнение
5
записывается в операторном виде с (неограниченным) обратимым дифференциальным оператором, и рассматриваемая проблема сводится к оценке нормы обратного оператора в соответствующем функциональном пространстве.
При исследовании рассматриваемой проблемы важную роль играют методы теории линейных замкнутых операторов, действующих в банаховых пространствах и их спектральная теория.
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории операторов, теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Во второй главе диссертации исследуются свойства корректности и обратимости дифференциальных операторов первого и второго порядка, получены оценки нормы обратных операторов.
Во третьей главе рассматриваются дифференциальные операторы первого порядка с неограниченными операторными коэффициентами и изучаются вопросы их обратимости, а также оценки ограниченных решений.
Далее при формулировке результатов используется приведенный список обозначений.
Рассматривается сильно непрерывное семейство эволюционных операторов Ы : Л = {(£,$) € К х Ж : /, > 5} —» Епс1Х, где X -банахово пространство, обладающее свойствами:
1) Ы{Ь, I) = /, Ь € К; 2)£/(£, $)£/(5, т) = Ь((Ь, т), т < 5 < £; 5, £, г Е Е;
б
3) отображение (t,s) U(t,s)x : Л —> X непрерывно для любого х Є Х\ 4) конечна величина К = sup ||£/(£, s)||.
0<<—s<l
Будем говорить, что семейство эволюционных операторов {U(t, s),s < і) из алгебры EndX допускает экспоненциальную дихотомию на R с показателем ft > 0 и коэффициентом М > 1, если существует ограниченная сильно непрерывная проекторозначная функция Р : К. —» EndX, такая что: 1) U(tys)P(s) = P(t)U(tys) при t > s из R; 2) ||7/(£, s)P(s)|| < при t > s из R; 3) при
t > s сужение U(t, s)|/m(<2(s)) оператора £/(£, .s) на образ 7m(Q(s)) проектора Q(s) = I — P(s) является изоморфизмом подпространств Im(Q(s)) и Im(Q(t)) (определим оператор U(s,t) как обратное отображение из Im(Q(t)) в Irn(Q(s)))\ 4) (t, s)Q(s)|| <
при s > t (нормы берутся в EndX и оператор U(t,s)Q(s) рассматривается как элемент пространства EndX).
По этому семейству строится линейный оператор Сц : D(Cu) С
Г(ШУХ) - Я*,*), где Л®»*) Є {!>(*, *),Р Є [1,оо];Сь(1Д);
5P(IR, Х),р Є [1, оо); Co(R, X)}. Его построение осуществляется следующим образом: функция х Є Е относится к области определения D(Cu) оператора Сцу если существует функция / Є Т такая, что для почти всех s < і из R верны равенства
t
x(t) =U(t,s)x(s) — JU(t)r)f(T)dr, s < £, s,£G R.
з
Эти равенства следует понимать на представителях класса. Функция х почти всюду совпадает с непрерывной функцией и функция / единственна. Далее полагается Сих = /.
7
- Киев+380960830922