О коэффициентах Фурье-Хаара

Оглавление
0. Введение 3
1. Оценки коэффициентов Фурье-Хаара для функций одной переменной с ограниченной вариацией на отрезке [0,1] 20
§1.1. Основные определения ............................. 20
§1.2. Свойства многочленов Хаара и их коэффициентов
Фурье-Хаара......................................... 23
§1.3. Точные опенки коэффициентов Фурье-Хаара и сумм, составленных из них, для функций с ограниченной вариацией ................................................. 34
2. Точные константы в оценках рядов, составленных из степеней модулей коэффициентов Фурье-Хаара для функций одной переменной с ограниченной вариацией 39
§2.1. Формулы для вычисления константы су при 7 > 1 ... 39
§2.2. Точное значение с7 при 7 > 2 ..................... 47
§2.3. Нахождение точного значения су при 1 < 7 < 1,5 . . 50
§2.4. Оценки для константы ст при |<7<1и1,5<7<2 . 89
3. О коэффициентах Фурье-Хаара функций нескольких переменных с ограниченной вариацией Витали 94
§3.1. Основные определения и вспомогательные утверждения 94
§3.2. Точные константы в оценках сумм модулей коэффициентов Фурье-Хаара для функций с ограниченной вариацией Витали.......................................... 102
§3.3. Другой способ получения точных констант в оценках для коэффициентов Фурье-Хаара функций двух переменных с ограниченной вариацией Витали............... 107
Литература 125
2
0. Введение
В последнее время интерес к системе Хаара значительно возрос. Она находит применение в различных разделах математики и ее приложениях (вычислительная математика, теория кодирования, теория вероятностей, цифровая обработка сигналов, распознавание образов и другие).
Впервые ортонормированная на отрезке [0,1] система функций {Хг,(*)К£=1 была построена Хааром в его диссертации [1] в 1909 году (см. также [2] — [4]). Хаар установил, что для любой непрерывной функции ряд Фурье по этой системе к ней сходится равномерно. Он также показал, что ряд Фурье по системе {Хп(0}яы от любой интегрируемой функции сходится к ней почти всюду. Это была первая известная система, обладающая такими свойствами.
Позднее в 1928 году Шаудер в [5] доказал, что система Хаара является базисом в пространстве 17(0,1) при всех р > 1, а Марцинкевич в 1937 году (см. [17]) установил, что она будет безусловным базисом в пространстве //'(0,1) при р > 1. Другое, более краткое, доказательство теоремы Марцинкевича дал В. Ф. Гапошкин в 1974 году в работе [18].
Систематическое изучение системы Хаара в СССР было начато П. Л. Ульяновым. Приведем некоторые доказанные им теоремы.
В 1961 году получен первый результат о безусловной сходимости почти всюду рядов Фурье: в работе [8] II. Л. Ульянов доказал, что система Хаара не является системой безусловной сходимости. В работах [9] и [10] (1961 г. и 1963 г. соответственно) установлено, что для того, чтобы возрастающая последовательность и(п) являлась множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по системе Хаара, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
эо
^ ТнЬг < 00• ^ [19] также получены необходимые и достаточные
71=]
условия безусловной сходимости почти всюду для рядов Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами.
оо
В работе [13] (1964 г.) доказано, что ряд йтХт{Ь) с монотонны-
771=1
ми коэффициентами сходится почти всюду на множестве положительной меры тогда и только тогда, когда {ат} С Ь, и при этом он будет рядом Фурье некоторой функции / € 17(0,1), 1 < р < оо. Теоремы единственности для рядов с монотонными коэффициентами установлены в [14] (1983 г.). Результаты о коэффициентах Фурье-Хаара от
3
суперпозиции функций, принципиально отличные от результатов для тригонометрической системы, содержатся в работах [15], [16] (1983 г. и 1985 г. соответственно).
Эти исследования П. Л. Ульянова, были продолжены многими отечественными и зарубежными математиками, в числе которых
A. М. Олевский, А. А. Тал&пян, Б. И. Голубов, С. В. Бочкарев,
B. А. Скворцов, Ф. Г. Арутюнян, Г. Алексин, К. Тандори, Ф. Мориц, Л. Лейндлер, А. Гарсиа, Р. Ганди, Е. М. Никишин, В. Ф. Гапошкин, Б. С. Кашин, В. М. Бугадзе, В. Г. Кротов, В. И. Прохоренко, Н. П. Хо-ропжо и другие.
Настоящая работа посвящена оценкам коэффициентов Фурье-Хаара. от функций с ограниченной вариацией и сумм, составленных из этих коэффициентов. Поведение рядов Фурье-Хаара и коэффициентов Фурье-Хаара от функций с ограниченной вариацией подробно исследовано в работе [12] П. Л. Ульянова (1963 г.).
Известно (см. монографию [6], стр. 132, 121), что тригонометрический ряд Фурье непрерывной 27г-периодической функции может оказаться расходящимся в некоторых точках, но для 27г-периодической функции, имеющей ограниченную вариацию на отрезке [0,2тг], ее тригонометрический ряд Фурье сходится всюду. Для рядов Фурье по системе Хаара в этих случаях картина прямо противоположна. Ряды Фурье по системе Хаара от непрерывных функций всюду сходятся, тогда как от функций с ограниченной вариацией они могут оказаться расходящимися. П. Л. Ульянов показал ([12], теорема 2, стр. 368), что существует такая функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке [0,1], что ее ряд Фурье-Хаара расходится на всюду плотном на [0,1] множестве.
Кроме того, в работе [12] (теорема 1, пункт 5)) установлены оценки для коэффициентов Фурье-Хаара {агп(/)}^>=1 от функций / с ограниченной вариацией на отрезке [0,1] через полную вариацию функции:
•>*+1
(1)
т=2к + \
И
(2)
4
где
1
<*«(/) = J /ЮХп.(0Л-
О
Причем, доказано (следствия 3 и 4 из теоремы 1), что эти оценки в смысле порядка не улучшаемы.
В работе Чисельского и Муселака [19] (1959 г.) установлены результаты. относящиеся к абсолютной сходимости рядов Фурье по системе Хаара. Эти результаты, как отмечают авторы, аналогичны теоремам Бернштейна и Зигмунда для тригонометрических рядов (см. монографию [7], стр. 138). Например, в работе [19] установлено, что если / Е У[0,1] и / € 1лр а с некоторым а > 0, то
со
у] млі < оо.
т=1
На самом же деле нет никакой необходимости требовать, чтобы / Е Lip а при некотором а > 0. П. J1. Ульянов в [12] (теорема 4, стр. 372) установил, что
3
(3)
для любой функции / Є 17[0,1].
В первой главе настоящей диссертационной работы найдены точные константы в оценках (1), (2), (3) и предъявлены функции, на которых в этих неравенствах достигаются равенства.
В работе [12] (теорема 4’, стр. 373) доказано, что для всякой
оо
/ є ^[0,1] выполняется неравенство 1ат(/)|Т < ОО для любого
т=1
7 > |. Если же 7 = то найдется /0 Е ^[0,1], такая, что ряд
оо
Ц 1°т(/о) И расходится.
т=1
Во второй главе диссертации рассматривается следующая задача. При каждом 7 > | найти точную константу су в неравенстве
оо , ,
1/у
(X Ы/)Г) < • v0lf,
in-2
где / произвольная функция, имеющая ограниченную вариацию на отрезке [0,1]. Поставленная задача решена при 7 > 2 и 1 < 7 < 1,5. При остальных 7 > § для константы с7 найдены оценки сверху и снизу.
Третья глава диссертации является обобщением результатов первой главы на случай функций нескольких переменных.
Теперь подробнее изложим содержание диссертации. Диссертация состоит из трех глав.
В первой главе диссертации исследуется поведение коэффициентов Фурье-Хаара от функций одной переменной с ограниченной вариацией на отрезке [0,1].
В параграфе 1.1 приведены основные определения.
Определение 1.1 ([20], стр. 381). Разбиением отрезка [а,6] называется конечный набор точек Т = {£t}JL0, таких что а = to < t\ < ... < tn = b. Обозначим через т([а./>]) семейство всех разбиений отрезка [а. Ь].
Функция /, определенная на отрезке [а, Ь] и 'принимающая действительные значения, называется функцией с ограниченной вариацией на отрезке [а, Ь], если найдется такое число К, что для всякого разбиения Т € г([а, Ь\ ) выполняется неравенство
п
п/,т] = D^) - ж-->) \<к.
i=1
Величина Уа6/ = sup V[f>T] называется полной вариацией
Тет([а,Ь})
функции / на отрезке [а, 6].
Класс всех функций, имеющих ограниченную вариацию на отрезке, [а.Ь], обозначается через V[a,b\.
Определение 1.2 ([21], стр. 77). Система Хаара — это ор-
тонор мир о ванная система функций \ = {Xn(0}^Li> t 6 [0,1], в которой xi(*) = 1, а при п: = 2* H- i, i = 1,... ,2*, k = 0.1,..., функция
6
Xn(t) = Xk(t) определяется следующим образом:
Xn{t) =
о
2*/г
_2*/2
ДтХп(5)
при t £ [^г, А]; при t Є (^r, fftf); лр« І Є (|йг, £■);
npu1 = 0; при t = 1;
і™ (x„(f + <5) + Xn(* - <5)) /2 при остальных t Є [0,1].
Для каждого фиксированного к = 0,1,... множество функций
{Хп(0)п=2*+1 называют, к-ой пачкой.
Определение 1.3. Пусть функция / € Ь1 [0,1]. Тогда ее коэффициенты Фурье-Хаара задаются формулой
Определение 1.4. Многочленом Хаара порядка М, где М Є
м
N, будем называть функцию Р вида P{t) = anxn(t)> г^6 ап Є ^
П—1
гг = 1,..., М.
Если ап = a„(J), п = 1,..., М, то Р будем называть многочленом Хаара функции /.
Множество всех многочленов Хаара порядка 2Л, отличных от постоянной, обозначим 'Р,у. Через V*N обозначим множество всех неубывающих многочленов Хаара порядка 2Л, отличных от постоянной. Так-
оо
же положим V* = U V*N.
N=1
Определение 1.5. Обозначим через h(t), к = 0,1,..., ломаную, заданную на отрезке [0,1] формулами:
hit) =
0 при t = £■; р = 0,...,2*;
2~k/2~i при t _ £ + _i_. р _ Q 2fc - 1;
линейна на каждом отрезке [:£т, jtTr]; s = 1.
.,2*+1.
(4)
I
Определение 1.6. Для всякого N € N определим на отрезке [0,1] функцию
N-1
мо = $>(*) •
Др=0
Определение 1.7. Для каждого N Є N определим константу сдг формулой
оо
т—2
CN = »Up -------1—----- .
PnCV^ ^0 nv
Определение 1.8. Определим константу с формулой
Е ЫР)|
>
га=2 / г \
с = SUP 77ГБ • (5)
В параграфе 1.2 установлены свойства многочленов Хаара и их коэффициентов Фурье-Хаара. Некоторые из них используются не только в первой главе, но и в других двух главах.
В частности, получены следующие результаты. Выведена формула для вычисления значений многочлена Хаара функции / через значения самой функции /. Показано, что для неубывающей функции ее многочлен Хаара тоже не убывает. Доказано, что полная вариация многочлена Хаара функции / не превосходит полной вариации самой функции. Установлено, что значения функции /*(/) вычисляются как интеграл от суммы функций Хаара в к-ой пачке.
Данеє, в леммах 1.7-1.9 выведены формулы для коэффициентов и сумм, составленных из модулей коэффициентов многочлена Хаара, через функции ІДі) и Lpr(t). Затем, используя эти формулы, в лемме 1.10 доказано, что значение константы с2\ равно максимуму функ-ции LN(j/2N),j = 1,, 2^ — 1, и в лемме 1.11 найден этот максимум. В лемме 1.12, с помощью предельного перехода, получено значение константы с.
В параграфе 1.3 доказаны две теоремы. В теореме 1.1 доказано неравенство
оо
Хы/)|<с-п7,
т—2
8
где / — произвольная функция с ограниченной вариацией, а константа с определена в (5). Оценка установлена сначала для неубывающих функций, затем результат распространен на общий случай.
Теорема 1.1. а) Пусть функция / принадлежит классу V[0,1] и {ат(/)}^=1 — коэффициенты Фурье функции / по системе Хаара. Тогда
Е м/)1 < ^ ■
т=2
б) Для функции
/ 1 при 0 < < < 1/3;
при 1/3 < е < 1,
принадлежащей классу 1Л[0,1], выполняется равенство
Е 1«-(/о)| = ■ п1/».
т=2
В теореме 1.2 получены оценки для модуля одного коэффициента Фурье-Хаара и для суммы коэффициентов в пачке от функции с ограниченной вариацией.
Теорема 1.2. Пусть / £ ^[0,1], {«ш(/)}т=1 — коэффициенты Фурье-Хаара функции /. Тогда при каждом фиксированном
к = 0,1,... выполняется следующее: а) верны оценки
о
2*+1
Е 1..Ш1 < ^ уц,
т=2*-И
2)
|«т(/)| < т = 2*+ц г = 1,... ,2*;
6) при фиксированном г £ {1,... ,2 } для функции
выполняются равенства
2**1 -
т=2*4-1
и
МЛ)! = • К1/’, где т = 2к+ г.
Во второй главе диссертации для функций одной переменной с ограниченной вариацией на отрезке [0,1] найдены точные константы в оценках
00 I /
(£М/)Г) 7<с^'о/ (6)
71=2
при каждом 7 из промежутков I < 7 < 1.5 и 7 > 2 для функций, имеющих конечную и отличную от нуля полную вариацию.
В параграфе 2.1 сначала приведены необходимые определения.
Определение 2.1. Для всякого 7 > 0 зададим на отрезке [0,1] функцию
оо
<ь=о
Из определения (4) видно, что данный функциональный ряд составлен из непрерывных функций и при 7 > 0 мажорируется сходящим-
оо
ся числовым рядом 21 2* Поэтому по признаку Всйерштрасса
*=0
оо
ряд 2^ сходится равномерно, а его сумма ЬДЬ) есть непрерывная
к=о
* и 2 у/%
функция, ограниченная величиной Г|~-
Определение 2.2. При каждом 7 > 2/3 определена величина.
оо
(Е МЯГ)1/Т
V = вир{ "=2 /ет1]Л7^о}.
(7)
10