О сходимости и суммируемости тригонометрических и общих ортогональных рядов Фурье

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.............................................................2
Глава 1. ОДНОМЕРНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
§1. Расходимость сильных Ф-средних рядов Фурье......................22
§2. Стремление к бесконечности рядов Фурье по плотным подпоследовательностям номеров .......................................................29
§3. Оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьсса случайных мер.......39
§4. Экспоненциальные оценки оператора Кальдерона-Зигмунда и смежные вопросы рядов Фурье......................................................64
§5. Экспоненциальные оценки частичных сумм рядов Фурье по системе Уолша и
по переставленной системе Хаара.....................................80
Глава 2. КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
§1. Двойное преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки
прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье....................92
§2. О точной оценке роста прямоугольных интегральных средних функции из
класса Ь1(Яп)......................................................116
§3. Необхадимое и достаточное условие дифференцируемости интегралов случайных мер по прямоугольникам.........................................130
Глава 3. ОБЩИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§1. Об эквивалентных ортонормированных системах....................139
§2. О подсистемах сходимости с логарифмической плотностью номеров..148
§3. Оценки частичных сумм общих ортогональных рядов из Ь2..........166
ЛИТЕРАТУРА.........................................................174
1
ВВЕДЕНИЕ
В теории ортогональных и тригонометрических рядов важное место занимают вопросы сходимости и суммируемости. Еще в первой половине 20-ого века фундаментальные результаты в этом направлении были получены Д.Е.Меньшовым, А.Н.Колмогоровым, А.Зигмундом, И.Марцинкевиче.м, С.Банахом, В.Орличем и другими. В дальнейшем теория ортогональных и тригонометрических рядов продолжала бурно развиваться как в СССР так и во многих других странах (Польша, Венгрия, США и др.). Были получены важные теоремы П.Л.Ульяновым, А.М.Олевским, Е.М.Никишиным, С.В.Бочкаревым, Б.И.Голубовым, К.И.Осколковым, В.С.Кашиным, С.В.Кон-ягиным, К.Тандори и другими. В 1966г. Л.Карлесоном была подтверждена гипотеза ILH.Лузина о сходимости почти всюду рядов Фурье из L1. Ранее, еще 1923г., А.Н.Колмогоровым был построен пример, расходящегося почти всюду ряда Фурье.
Остаются открытыми многие вопросы о природе поведения частичных сумм рядов Фурье из Ь\
В настоящее время бурно развивается также теория кратных рядов Фурье. Отметим, что многие свойства одномерных рядов Фурье не верны для кратных рядов. Одним из примеров этого факта являются теорема Ч.Феффермана [78], утвеждающая существование непрерывной на квадрате функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду по прямоугольникам, а также результаты С.В.Конягина [32] и Р.Д.Гецадзе [31], о существовании кратного ряда Фурье, расходящегося по мере по прямоугольникам.
В главах 1 и 2 диссертации получены новые оценки о поведении частичных сумм одномерных и кратных рядов Фурье. Некоторые из этих оценок получены как следствие, доказанных в диссертации более общих результатов о дифференцировании кратных интегралов и о свойствах преобразования Гильберта. Получены также оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьсса случайных мер.
В главе 3 диссертации мы рассматриваем общие ортогональные ряды. Изучаются вопросы сходимости почти всюду а также сходимости в Ьр на множествах большой меры ортогональных рядов из класса L2.
В первых двух параграфах главы I мы рассматриваем расходящиеся почти всюду (и.в.) ряды Фурье. Отметим, что история расходящихся тригонометрических рядов Фурье начинается с примера A.II.Колмогорова. Результаты и задачи этой тематики детально обсуждаются в обзорной статье П.Л.Ульянова [72].
В параграфе 1.1 строится ряд Фурье, сильные свехэкспоненциальные средние которого расходятся п.в.. Этот результат обобщает теорему А.Н.Колмогорова и в то же время является решением одной задачи В.Тотика.
Классическая теорема Марпинкевича-Зигмунда (см. 19^,[20, а также [2] стр. 275) утверждает, что ряды Фурье сильно р-суммирусмы п.в.. Точнее, имеет место
Теорема А. Если / £ Ег(Т) и р > 0, то имеем
lim - y](|5ib(i,/) - /(x)P’ + \Sk(x,f) - f(x)\r) = 0 n.c. .
u-t x n л—'
Jfc=l
2
В связи с этим В.Тотиком 1983 г. была поставлена задача: для каких непрерыных возрастающих Ф(£) : [0,-f оо) -» [0,оо), Ф(0) = 0, ряды Фурье сильно Ф-суммируемы п.в., т.е.
Hm - Ф(|Sk(xJ) - /(æ)|) = 0 п.в. (0.1)
П —> ос 77. •
к=1
при любой / 6 ir1 (Т) (см. К.И.Осколков (21])?
Тотик высказал гипотезу, что необходимым и достаточным условием для выполнения (0.1) п.в. является
log Ф(*) = 0(0 (*-> + оо). (0.2)
Отметим, что аналогичная задача, о равноменой сходимости средних (0.1) в случае, когда /(&•) непрерывна, расматривалась Тотиком ранее в работах [34] и (35]. Он установил, что условие (0.2) необходимо и достатачно для того, чтобы (0.1) выполнялось равномерно при / 6 С(Т).
Первый результат в связи с поставленной задачей был получен К. И. Осколковым [21]. Он доказал, что (0.1) имеет место при log Ф(^) = 0(t/log log 6). В.А.Родин [18
и Л.Д.Гоголадзе [17] установили, что условие (0.2) достаточно для сходимости п.в.
средних (0.1) для рядов Фурье и для сопряженных рядов Фурье.
В параграфе 1.1 доказывается, что выполнение условия (0.2) также необходимо для сильной Ф-суммируемости п.в. рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье.
Теорема 1.1.1 ([91]). Пусть для непрерывной возрастающей функции Ф(0 : 0, +оо) -> [0,-Н»),Ф(0) = 0, имеем
у ЬёФ(*)
lim sup — = оо.
t—>4.00 t
Тогда существует / € Z^1 (Т) такая, что
lim sup i V Ф(|5*(ж,/)|) = оо,
1 А
lim sup - y^(|5*(æ,/)|) = ос
почти всюду на Т.
Перейдя к следующему параграфу, отметим, что согласно примеру Колмогорова неограниченно расходящегося п.в. ряда Фурье существует функция / € Z1 (Т) такая, что для почти всех х € Т можно найти возрастающую последовательность натуральных чисел {njfc(*)}£Lj для которой
lim [5пь(*)(я,/)1 = +00- (0-3)
к—* оо
Возникает вопрос: насколько плотной может быть последовательность {«*(«)} в (0.3)? В параграфе 1.2 строится пример функции, у которой расходимость п.п. проявляется по экстремально плотным номерам частичных сумм.
3
Точнее доказывается следующая
Торема 1.2.1( 93]). Пусть последовательность натуральных чисел,
для которой
lim -р- — оо. (0-4)
к->оо к
Тогда существует функция / £ ^(Т) такая, что для п.в. х £ Т можно найти возрастающую последовательность натуральных чисел со следующими
свойствами:
nfe(x) < ЯЬ к = 1,2,..., lim S1l2k{x)(xJ) = +оо,
К г ОО
lim S1V2k_Ar){xJ) = -оо.
fc-»0С
Из теоремы 1.2.1 вытекает
Следствие 1.2.2. Для любой последовательности £п \ 0 существует функция f £ Т1(Т) такая, что для почти всех х £ T u для любого Л > 0 неравенство
\{k £ п : \ < k < n, |5fc(a;,/) - f{x)\ > А}| > епп (0.5)
выполняется при п > п(х. А).
Отметим, что из теоремы Марцинкевича-Зигмунда о сильной р-суммируемости п.в. следует, что величина в левой части (0.5) имеет оценку сверху о(п) п.в.. Следствие 1.2.2 показывает, что это наилучшая опенка в классе рядов Фурье функций из
LK
В параграфе 1.3 устанавливается точная оценка роста частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса.
Введем некоторые обозначения. Пусть (Т.т)-вероятностное пространство на окружности, с нормированной мерой Лебега. Обозначим через (Д,т) бесконечное произведение вероятностных пространств (Т, т)(определение произведения вероятностных пространств см. [6; стр. 13). Элементом этого пространства 9 £ А будет последовательность в = {0n}5JLlT где вп £ Т. Рассмотрим меру
оо
dpo = mjSfi., (0.6)
i=i
на окружности Т, где S$i - единичная мера в точке #4, а {т*}— последовательность чисел с условием
оо
О < т = ^ |т;| < ос. (0.7)
i=l
Через Sn(t;dfi$) обозначим частичные суммы ряда Фурье-Стилтьеса меры dpe-
Отметим, что такие меры в неявном виде использовал A.II.Колмогоров при построении своего знаменитого примера расходящегося п.в. ряда Фурье. В общем виде
4
они рассматривались Каханом в 47) (см. также [6 стр. 164), где приведено новое доказательство теоремы Колмогорова с некоторыми обобщениями. Легко заметить, что обыкновенные ряды Фурье и ряды Фурье-Стилтьеса ведут себя одинаково в многих вопросах сходимости. В частности можно установить, что если для некоторой последовательности и>п /* +оо оценка
■$п(*,/) = о(и>п) почти всюду
имеет место для любой функции / Є Ll (Т), то для произвольной меры df.io вида (0.6) будем иметь
Sn(xtdfi$) = o(üJn) почти всюду ,
и наоборот, из второго утверждения следует первое. При этом, рассмотрение случайных рядов Фурье-Стилтьеса имеет свою специфику, так как то или иное свойство проверяется не для всех, а для почти всех рядов.
В [47: Каханом установлена следующая
Теорема В. Пусть Zfc /* -foo-последовательность натуральных чисел, а шп /* -1-00 удовлетворяет условию = o(loglogn). Тогда существует последовательность тj \ 0 с условием (0.7) такая, что при п.в. В € А
limsup — оо п.в. на Т. (0-8)
Jb-ЮО Шк
Следующий результат, доказанный в параграфе 1.3 устанавливает точную оценку сверху рядов Фурье-Стилтьеса случайных мер вида (0.6).
Теорема 1.3.2([94]). При условии (0.7) для любой последовательности натуральных чисел {lk}kLi при п.в. $ Є А имеем
Sik(x-,dfJe) = ofloglogк) п.в. на Т. (0.9)
В связи с (0.9) отметим, что для произвольного ряда Фурье наилучшей известной
оценкой сверху является классическая оценка Харди [88)
5п(г;/) = o(logn) п.в. , (0.10)
и Зигмундом была поставлена задача о точности логарифма в (0.10) (см. [1), с. 484).
Недавно С.В.Конягин [40] сделал существенное продвижение в этом направлении. Им установлена
Теорема С. Если
то существует функция f € Z^fT), для которой
і- Sk(x;f)
hmsup----------= оо п.в. х Є ( —7г;7г).
*->сс Vk
5
Отмстим, что до результата Конягина наилучшей известной оценкой снизу была оценка loglogn (Чен [81]), которая следует также из теоремы 13. и аналогичный результат для системы Уолша с vn = o(y/logn) получен С.В.Бочкаревым в [74].
Отметим также, что 11.Ю.Антонов [87], развивая знаменитый метод Л.Карлесона, доказал, что ряды Фурье функций из класса L log L log log log L сходятся почти всюду. Этот результат является усилением ранее известных теорем Р.Ханта [15] и П.Шелина
Из теоремы С следует, что оценка (0.9), которая имеет место для п.в. в не может выполнятся для всех в. А из теоремы В (см. (0.8)) следует, что в (0.9) оценка о(1о$1с^п) является точной в смысле п.в. 0.
Отметим, что теорема 1.3.2 получается как следствие более общих оценок, которые доказываются в параграфе 1.3.
В параграфе 1.4 устанавливаются некоторые оценки оператора Кальдерона-Зигмунда и преобразования Гильберта, которые являются обобщениями ранее известных результатов. Из этих оценок получены новые свойства рядов Фурье.
Если / € Б (К4), то обозначим
где В п-мерный шар. Здесь (0.12) есть максимальная функция Харди-Литтлвуда, а функция (0.13) введена Фефферманом и Стейном 25]. С ее помощью можно определить класс В МО, как пространство функций /, с условием /# € Ь°°. Отметим, что при / € /!>1 (Т) каждая из этих функций почти всюду конечна. Это следует из оценок слабого типа для (0.11) и (0.12) ([79],[80 ) и неравенства /#(я) < 2М{(х).
Задача оценки /(х) с помощью максимального оператора (0.12) является одной из важных задач в теории сингулярных интегралов и рассматривалась многими авторами (Буркхольдер, Койфман, Ганди, Ч.Феффсрман, Стейн, Хант и др.). Эти вопросы подробно рассмотрены в монографии Стейна [41] и обзорной статье Дынькина [7].
Классическая теорема Зигмунда [22] утверждает, что для любой функции / € б°°(Т) имеет место неравенство
(0.11)
(0.12)
(0.13)
о
|{ж : \f(x)\ > Л,М/(х) < з}\ < ci exp f-сг-^ , Л > 0, 5 > 0. (0.15)
•S
Нами получено следующее усиление этого неравенства: Следствие 1.4.4([99 ). Если / 6 ЦТ), то
L
схр [С1шщ]dx кС2' (0л6)
где С\ и со-абсолютные постояные.
Отмстим, что неравенство (0.15), а следовательно и (0.14), вытекают из следствия 1.4.4. Причем, даже для случая / € L°°(T), неравенство (0.16) сильнее (0.14), так как отношение Mf(x)/\\f |ос может быть близко к нулю на множестве большой меры. 'Гак будет если supp/ имеет малую меру. Заметим, что в этих неравенствах экспоненциальную функцию нельзя заменить на функцию, растущую быстрее чем exp ct, даже если / € Из неравенства (0.16) следуют также теорема А.Н.Колмогорова([79]), о том, что f{x) p (0 < р < 1) суммируема для любой / 6 L1 и неравенство Рисса([28])
||/Иг> < <ф||/||р, 1 < V < оо.
Отметим, также, что для доказательства (0.16) применяется новый подход, который существенно отличается от доказательства неравенства Ханта (0.15).
Оценка (0.16) получается как следствие из следующего более общего неравенства для максимального оператора Кальдерона-Зигмунда Т,/(ж)(см. определение из параграфа 1.4), которое доказывается в том же параграфе.
Теорема 1.4.1([99]). Существуют положительные постоянные с, Ь и d, зависящие от п и Т, такие, что для любой функции f € L1 [Rn)
при А > b и $ > 0.
Из неравенства (0.16) можно получить ряд следствий для рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье.
Зигмунд [22] установил, что если / £ £°°(Т), то
/т"р(',!Tsr)d*s‘” /1“Р(»ТIr)450' 10171
при некоторых абсолютных ПОСТОЯННЫХ Cl и С2-
Найдено обобщение утверждений (0.17) и (0.18) для функций из L1(T).
7
Теорема 1.4.7([99]). Для любой функции / £ £(Т) имеем
Х"р (с‘Чти1') * •= /г“р (" %7™)А <ч' ‘-2
где с*1 и С2-абсолютные постояные.
Из этой теоремы очевидно следуют оценки (0.17) и (0.18) , и более того, даже если / € Ь°° в них сделается уточнение, а именно везде /Ц«*, можно заменить на М/(х). Известно, что существует функция / € ЬХ(Т), для которой
(см. (1] стр. 294 ). Тем не менее, оказывается, что ряд Фурье любой функции / 6 7>](Т) сходится в некотором пространстве Т^(Т), с весом и)(х) > 0, х £ Т, причем ги зависит от функции /. Это получается как следствие из теоремы 1.4.7.
Введем определение множителя сходимости в Ьр для произвольного функционального ряда. Пусть
ОС
я€(а,6) (0.19)
есть некоторый функциональный ряд определенный на интервале (а, 6) Неотрицательная функция 1у(г) > 0 назовем множителем сходимости в Ьр(р > 0) для ряда (0.19), если этот ряд сходится в пространстве с весом 7,Р(а,6), т.е. для его частичных сумм 5'„(а:) имеем
ь
[ |5п(ж) - /(х)\рш(х)дх -> 0
а
для некоторой функции / 6 Ьр0(а,Ь).
Из теоремы 1.4.7 очевидно вытекает
Следствие 1.4.8( 99 ). Если /(х) £ ^(Т), то для любого р > 0 функция ы{х) = (м/( с] )Р является множителем сходимости в Ьр для ряда Фурье и сопряженного ряда Фурье функции /.
Следствие 1.4.9. Пусть 6 > 0-некоторое число. Для любой функции / Е Ь1(Т)(/ ф 0), существует множество С Т такое, что
\Е5;\ > 2тг - 6,
[ ( х^п(хД)\\. ^ [ ( л\§Л(х,ф)\\
1 ехрН17й1г)Л<<!*‘ ] )*<«».» = м.-.
в*,1
8
lim f (ехр(с|5ге(ж,/)—/(ж)|)-1)с& = 0, lim f(txp(c\Sn(xyf)-f(x)\)-l)dx-Oy
«.—►оо J п—>оо J
Etj Es.f
(0.20)
где С\ и С-2~абсолютные постоянные, а равенства (0.20) выполняется для любого с > 0.
Отметим, что из (0.20) следует сходимость Sn(x,f) и Sn(x,f) в Lp(Esj) (р > 1) и это дает количественное уточнение того факта, что ряд Фурье сходится по мере.
В параграфе 1.4 установлено также следующее обобщение теоремы Джона- Ни-ренберга [24] об экспоненциальной оценке распределении для функции из класса В МО.
Теорема 1.4.2([99]). Если / € L(R“) и В С Rtl есть некоторый шар, то для любого Л > 1
{я € Я : > ^|| ^ ехр(—с„А).
В параграфе 1.5 устанавливаются аналогичные теоремы 1.4.7, 1.4.8 и 1.4.9 результаты для системы Уолша и для переставленной системы Хаара (.98]).
В главе 2 рассматриваются кратные ряды Фурье и смежние задачи теории дифференцирования интегралов в Rn.
В параграфе 2.1 изучается двумерный аналог некоторых задач, рассмотренных в параграфе 1.4. В частности, устанавливается аналог следствия 1.4.8 для двойных рядов Фурье. Причем методы, использованные здесь, существенно отличаются от методов, которыми мы пользуемся в параграфе 1.4.
Для функции / G .//I(Tm) обозначим
/(ж)=Ш Jт
*—1
= J«T_«(i) / я«)П^(нр)Л-
\4~xi\>St ,-1
Функция f(x) называется сопряженной функцией к /. А.Зигмунд в [38] установил, что если / € LlogLm~l(Tm), то f(x) существует п.п.. Л.В.Жижиашвили в работах [62] и [63] доказал, что Llog Z,m-1(T'n) является точным классом Орлича, для функций которого существуют п.в. сопряженные.
Следующей теореме рассматривается двумерный случай оператора / —> / определенный в (0.21). Применив ее, мы устанавливаем затем ряд новых результатов для двойных рядов Фурье.
Теорема 2.1.1([96]). Для любой функции F £ L log ЦТ2), с F(xty) > 0, и любого 6 > 0, существует множество Es.f € Т2,! Es.f !> (2т)2 —6, такое, что для любой измеримой функции f(x,у), удовлетворяющей условию
I Дя>3/) |< F(x,y)
9
имеем
[ ехр(г + Шу-02' *0'22^
./ V 1 + ||*Шо«£(Та) /
Еб.г
Теперь сформулируем следствия, которые получены из теоремы 2.1.1.
Теорема 2.1.2([90]). Для любой / 6 Ыо%ЦТ2) и любого 6 > 0, существует множество Еб./ € Т2, с \ Е&,/ |> (2т)2 — 6, такое, что
dxdy < С2, Аг, М = 1,2,...
f (I у, I) \ \1/2
J eXPV l + 11/IUiog^) )
&*,/
лг У,т f (ехр(I - Л*,?/) |)1/2 - i )<&<&/ - о (0-23)
iV,M—>ос /
В|./
Отмстим, что равенство (0.23) обеспечивает сходимость по мере рядов Фурье функций из LlogL(TJ) по прямоугольникам. Если бы (0.23) имело место для функций из некоторого другого класса ф(Ь), то для функций этого класса мы также имели бы сходимость рядов Фурье по мере. С другой стороны из работ С.В.Конягина [32] и Р.Д.Гецадзе [31], 83] следует, что LlogjL(T2) является точным классом функций, прямоугольные частные суммы рядов Фурье которых сходятся по мере. Эти факты обосновывают рассмотрение именно класса LlogL в теореме 2.1.2.
Следствие 2.1.3([9б]). Для любых f € LlogL(T2) и S > 0 существует множество Esj € Т2, | Eaj |> (2тг)2 - 6, такое, что
lim ||S/v.Af(s,y,/) - f(x,y)\\L?(Est) = 0 при любом р> 1.
Лг,М-Юо
Следствие 2.1.4([90]). Пусть JV*,Mfc —> оо, к = 1,2,..., произвольные последовательности натуральных чисел. Тогда для любой функции f £ ZlogL(T2)
SwkfMk(x,y, f) = o(log2A’) n.G. при k oo. (0.24)
Следствие 2.1.5. Пусть для последовательности {<*>;, j > 0}
ос
^ ехр(- dy/uTj) < ос (0.25)
i,j= 1
для некоторого d > 0. Тогда для любой последовательности ЛД оо, АГд. € N, к = 1,2,..., и для каждой / £ Z/logL(T2)
$Ni.N, (ж, У> f) =°(u?».j) п-в- пРи min(bi) 00 ■ (0.26)
10
Пусть a>ij = log г log j. Легко проверить, что для некоторого d > О выполняется (0.25). Поэтому из (0.26) получаем
Следствие 2.1.6. Для любой последовательности Nk —> оо> Nk Є N. к = 1,2,..., и для каждой / Є Llog/v(T3)
SNi,Nj(xiVif) = «(bgtlogj)) п.в. при min(t,i) ->• oo. (0.27)
В связи с оценкой (0.27) отметим, что Шелин в 33] доказал, что
&vtAf(z,y,/) = o(log(niin(Ar,M))) п.в.
для любой функции / € £Р(Т2), р > 1.
Отметим также, что К.И.Осколков в работе '16' в одномерном случае доказал оценки аналогичные (0.24) и (0.22).
В параграфе 2.2 найдена точная оценка ростов прямоугольных интегральных средних интегрируемых на RM функций, из которой получены новые оценки для частичных сумм кратных рядов Фурье.
Напомним следующее максимальное неравенство Йессена-Марцинкевича-Зигмунда (см. :82] или [5] стр. 50): Для любой функции / Ç L( 1 -f logZf)n_1(R71)
\{х 6 R" : Mf(x) > A}| <C- I |/|(X + log4 I/I)-1, A > О
л J R"
где
Mf(x) = Slip тут f l/l,
ГЭХ \I\ Ji
есть максимальная функция по п-мерным интервалам I.
Из этого неравенства следует, что базис интервалов в Rn дифференцирует интегралы f / почти всюду на R/l для любой функции / € Llnn_1 ЦП п) (п > 2), т.е.
l‘m ттт I f(t)dt = fix) почти всюду на Rw.
|/| J
I
С другой стороны, Сакс построил пример функции / € Ll(Rn), интеграл которой не дифференцируется по прямоугольникам всюду на R7* (см. [36] или 51 стр. 92), и более того
lim sup I f(t)dt = +оо для любого х € Rn. d(I)-¥0,ISx\*\J
Причем, доказательство Сакса позволяет выбрать функцию / из класса <p(L), если ф(1) растет медленнее чем £log't_11. Это означает, что Llogu_1 L есть точный класс
11
Орлича, интегралы функций которого дифференцируются по прямоугольникам почти всюду. Возникает естественный вопрос об оценке роста интегральных средних
../Эг
I
для любой функции / € Ь: (П.'') при (1(1) —> 0. Нами получена точная оценка роста этих величин п.в..
Пусть функция
Ф(«1 *»-0 : (О,*)”-1 -> |0; +оо) (0.28)
убывает по каждой переменной = 1 - 1 (0 < 8 < оо) и
(111 ...(Иц—х
] ^1 — 1 Ф(^1 5 •••> ІЦ — 1 )
(0,71я-1
< +оо (0.29)
для некоторого 7 < 8. Для данного п-мерного интервала / через (/)*,(/)2,..., обозначим стороны этого интервала. Будем рассматривать максимальную функцию
М*Пх] = 1Л*(КП* I, К/)-11)/ тт’
где I-интервал в И.'1.
Теорема 2.2.1([971). Если функция (0.28) удовлетворяет условию (0.29), то максимальная функция М.\/(х) имеет слабый тип (1.1), т.е. для любой функции } Є Iі(К") имеем
К* є а" : М#/(«) > Д}| < уІІЛЬмк"). (0.30)
при А > 0.
Теорема 2.2.2([97]). Если не выполняется (0.29), то существует функция / € Ь1(Лп)./ > 0, такая, что
ос
любого х £ IIгг.
Отметим, что частичное обобщение теоремы 2.2.1 недавно получено Г.Лепсвери-дзе в (42] и [43]. В частности, в двумерном случае установлено неравенство типа (0.30) для класса Орлича <£(Т)(112), который находится между Ыо^Ь(Л2) и Ь(Л2). Установлены также аналогичные оценки для максимальной функции по двоичным интервалам. А в п-мерном случае рассмотрены максимальные функции типа (0.30), где Ф зависит не от длин сторон интервала /, а от отношений длин сторон.
Пусть (/)!,...,(/)? стороны интервала I С Кп в порядке возрастания длин, т.е.
кли >... > код.
12
Следствие 2.2.3([97]). Пусть для Ф выполняется (0.29). Тогда для любой
почти всюду на КЛ.
Предположим ф(г) : (а,+оо) [0,4 ос) есть возрастающая функция с условием
Пусть тп = (тьгд2,• • • >т„) € Ъп, 5т(я,/)-прямоугольна.я частичная сумма ряда Фурье функции / € ^(Т*1), а ат(х,1) и /(г,х), где г = (гь...,ги), 0 < г,- < 1, соответственно, средние Фейера и Пуассона. Для любого к = (&1,...,&и) 6 Ъ\ пусть есть перестановка чисел к\у...^кп в возрастающем порядке (А;,* < ... < /г*), и ггг(Аг) = ттк,<н&г* Справедливы следующие оценки.
Следствие 2.2.4([97]). Для любых / € /^(Т") и ф с условием (0.31) имеем
Из следующего утверждения вытекает, что оценки (0.32) и (0.33) неулучшаемы. Следствие 2.2.5([97]). Если интеграл в (0.31) неограничен, то существует / € 1/1(Тт‘) такая, что
Как уже отмечалось, из теорем Йессена-Марцинкевича-Зигмунда и Сакса следует, что Ь1о£71 1 Ь является точным классом Орлича, интегралы функций которого дифференцируются по прямоугольникам почти всюду в Нп.
функции / € Ь](Кп) имеем
^ |/ = о(Ф(|(/)Ц |7)Г‘|). при 4(1) ^0, I Эх,
I
\{ч
(0.31)
о
(0.32)
п.в. при т(к) —> +оо.
П.б. при ГШП {г;} —> 1.
1<»<п
(0.33)
= +ос всюду па. Тп,
13
В параграфе 2.3 мы рассматриваем аналогичную задачу для случайных мер на единичном п-мерном кубе. Отметим, что такие меры в одномерном случае нами были рассмотрены в параграфе 1.3 в задачах оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса.
Введем некоторые обозначения. Пусть (Пп,а;п), (гг > 1) бесконечное произведение вероятностных пространств, каждое из которых-единичный куб 1“ € Ип(1 = (0,1)) с мерой Лебега. Для каждой точки в = (0:,в2,...) € Пп, где 0* € /п, определяем меру на I":
оо
Лце = Е с^9' •
1=1
Здесь до,-единичная мера, сосредоточенная в точке <Е Г!\ а последовательность с = {с;}^! удовлетворяет условию
Ew<~- (°-34)
i=i
Для каждой точки х = (a?i ,т2,... ,*п) € 1п рассматриваются средние
J Эх,
где J С Iй есть л-мерный интервал.
Устанавливается необходимое и достаточное условие на последовательность {с,}?^ для того, чтобы при почти всех 9 £ П" имело место соотношение
lim — I <if-iy = 0 для п.в. х € 1п-
d(J)->0,J$x 1.7 J j
Обозначим Дп = Пп х Iй. Точкой в Ап будет пара (0,я), где в € О'4 и .т € /н. Определим максимальную функцию меры dpo
M(dn,hx) = sup I \dfiel J5x W JJ
где ./-п-мерный интервал, а Яро\ — £ ■
Имеет место следующая
Теорема 2.3.1. Пусть п > 2 и последовательность {с»}|^1 удовлетворяет условию
2_^\сцю?п 1 i=i
Тогда
Viel log™-1 т-тсоо. (0.35)
i=i |Ci|
ОС I I
\ci\