2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ....................................................... 3
Глава I. I Юл юсы строк таблицы Наде и особые точки АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ...................................... 23
§ 1. Формулировка основных результатов ................... 23
§ 2. Доказательство теоремы 1 ............................ 25
§ 3. Доказательство теоремы 2 ............................ 30
Глава II. Равномерная сходимость диагональных ап-
проксимаций Паде для некоторых классов аналитических функций ........................ 45
§ 1. Постановка задачи и формулировка основных результатов ....................................................... 45
§ 2. Основные определения и вспомогательные результаты . 59
§ 3. Краевая задача Римана ............................... 65
§ 4. Построение “явного” решения проблемы обращения Якоби ........................................................ 74
§ 5. Доказательство основных результатов ................. 78
Глава III. Аппроксимации Паде ортогональных разложений ....................................................... 83
§ 1. Основные понятия и результаты ....................... 83
§ 2. Доказательство предложения 3.1....................... 89
§ 3. Доказательство теоремы 6 ............................ 97
§ 4. Доказательство предложения 3.2 ..................... 109
Список литературы............................................. Г25
3
ВВЕДЕНИЕ
1. Задача эффективного аналитического продолжения заданной степенным рядом аналитической функции и локализации ее особенностей непосредственно по коэффициентам этого ряда является классической задачей комплексного анализа. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены ешс в конце XIX века. Наиболее известными из них являются теорема Адамара о нахождении радиусов кругов мероморфности аналитической функции по коэффициентам ее разложения в степенной ряд и теорема Фабри “об отношении”. К этому же кругу вопросов относятся исследования Чебышева, Маркова и Отильтьеса о непрерывных дробях, которые также строятся непосредственно по коэффициентам степенного ряда. Эти и другие задачи аналитического продолжения, как оказалось впоследствии, допускают естественную интерпретацию в терминах конструктивных рациональных приближений степенного ряда - аппроксимаций Пале. В рамках исследования сходимости таких аппроксимаций удалось разработать достаточно общий подход к проблеме эффективного аналитического продолжения функций и получить естественное обобщение некоторых классических задач.
Как известно, аппроксимации Наде - это локально наилучшие рациональные аппроксимации заданного степенного ряда. Они конструируются непосредственно по его коэффициентам и позволяют осуществлять эффективное аналитическое продолжение этого ряда за пределы его круга сходимости, а их полюсы в определенном смысле локализуют особые точки (в том числе, полюсы и их кратности) продолженной функции в соответствующей области сходимости и на ее границе. Последнее свойство аппроксимаций Па-де основано на том, что все их полюсы, “свободны” и определяются только условием максимальности касания заданного степенного ряда. Этим аппроксимации Наде принципиально отличаются от рациональных аппроксимаций с (полностью или частично) фиксированными полюсами, в том числе от полиномиальных приближений, в случае которых все полюсы фиксированы в одной, бесконечно удаленной, точке.
Именно указанное выше свойство аппроксимаций Пале - эффективно решать задачу аналитического продолжения степенного ряда - и лежит в основе их многочисленных успешных применений в анализе и при исследовании прикладных задач. В настоящее время метод аппроксимации Паде являются одним из наиболее перспективных (нелинейных) методов суммирования степенного ряда и локализации его особых точек. В том числе и по этой причине, теория аппроксимаций Наде превратилась во вполне самостоятельный раздел теории приближений, а сами эти аппроксимации нашли разнообразные применения как непосредственно в теории рациональных приближений, так и в теории чисел, теории иесамосопряженных операторов, исследовании
4
дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра в теории возмущений (см. [I]— [12], а также монографию [13], где имеются дальнейшие ссылки).
Лля заданного степенного ряда
и произвольной пары неотрицательных целых чисел п, т аппроксимацией Паде [n/m]f типа (га,т) ряда / называется (единственная) рациональная функция, доставляющая максимально возможный порядок касания к этому ряду в начале координат в классе функций £&п,тп = {г € С(-г): г = (ûq + a\z + • • • + anzn)/(bo + b\z + • • • + 6m2m)}. Соответствующая таблица {[п/77г]/}^т=_0 называется таблицей Паде ряда /, последовательности вида {[n/m]/}, п = 0,1,2,..., где m - фиксированно, называются строчными последовательностями (или “строками” ) в таблице Паде, а последовательность {[n/n]/}, п = 0,1,2,..., - диагональной (или “главнойдиагональю”).
Вопрос о мероморфном восстановлении функции / по степенному ряду (*) в ее так называемом максимальном круге т-мероморфности Drn(f) (где / мероморфна и имеет ^ га полюсов) при условии, что / имеет в Dm( f) в точности m полюсов (полюсы функций считаются с учетом их кратностей), решается классической теоремой Монтессу де Волора [14].
Теорема Монтессу де Волора. Пусть функция } имеет ровно т полюсов в круге Drn(f) : |,г| < R. Тогда:
1°. При для всех достаточно больших п аппроксимации Паде [n/m]/ ряда / имеют равно т конечных полюсов, которые при п —> оо стремятся к полюсам функции { в Dm(f), причем, каждый полюс / “притягивает” столько полюсов [n/m]/ какова его кратность.
2°. Последовательность [n/m]/, п = 0,1,2,..., сходится к функции f равномерно внутри (т.е. на компактных подмножествах) области D'rn, которая получается ив Dm удалением полюсов функции f.
При этом в условиях теоремы скорость сходимости последовательности [n/rri\f к функции / характеризуется неравенством:
При доказательстве своего результата Монтессу де Во лор в существенной степени опирался на полученные ранее Адамаром [15] непосредственно в терминах коэффициентов ряда (*) формулы для радиусов Я = Ят (/) кругов От(ф). Точнее, пусть
оо
(*)
fc=0
(полаг аем Ск = 0 при к < 0).
5
ТЕОРЕМА А ЛАМ АР А. Для произвольного т € N
Дт = где £/ = Пт |Я„,/|1/п
tm.fl п->оо'
(^0 — 1; если £\, . . . Дт ф 0, 4п + 1 — О, ГПО Ят = оо).
Из теоремы Монтессу ле Болора уже легко следует, что конечные полюсы рациональных функций [п/т]/ стремятся к полюсам / со скоростью геометрической прогрессии.
На самом деле эго свойство полюсов функций [п/т]/ является характеристическим. Это вытекает непосредственно из полного описания т-меро-морфного продолжения степенного ряда / с ПОМОШЬЮ 771-й строки таблицы Паде при произвольном тбМ, полученного А.А.Гончаром [16].
В терминах, связашплх с асимптотическим поведением конечных полюсов 771-й строки таблицы Паде в [16] получены формулы для радиуса т-го круга мероморфности и дивизора полюсов продолжешюй функции / внутри этого круга, а также доказана общая теорема о сходимости га-’й строки таблицы Паде по (логарифмической) емкости внутри От(/) (результат Монтессу вытекает из нее как частный случай).
Естественным образом возникает следующий более общий вопрос: какие выводы можно сделать о функции / в целом, если известно, что конечные полюсы 777-й строки таблицы Паде стремятся к некоторым точкам в комплексной плоскости без какого-либо предположения о скорости этой сходимости. Рассмотрим первую строку, т.е. случай т = 1. Если сп • сп_|-1 ф 0, то единственный конечный полюс рациональной функции
[п/1] / вычисляется по формуле = сп/сп+1. Таким образом, соотношение С„ —> а. 6 С* = С \ {()} эквивалентно тому, что сп/сп+\ —> а при п —¥ оо, и мы оказываемся в условиях классической теоремы Фабри “об отношении” [17] (см. также монографию [18]).
Теорема Фабри. Если для коэффициентов степенного ряда (*) имеет место соотношение
у. С-п
1пп --------= а ,
П-* оо сп+1
то г = а - особая точка суммы этого ряда на границе его круга сходимости \г\ < #о, До = И-
Тем самым, для 777 = 1 теорема Фабри фактически устанавливает связь между асимптотическим поведением конечного полюса первой строки таблицы Паде и особыми точками функции / на границе круга голоморфности £>о(/). Исследование аналогичной проблемы для произвольного т € N является одной из основных целей диссертации.
6
Из сказанного выше вытекает, что строчные последовательности аппроксимаций Паде приспособлены прежде всего для описания мероморфпых продолжений ряда (*) в соответствующие круги. Присутствие на границе круга сходимости этого ряда какой-либо особенности иного характера, например, точки ветвления, приводит к тому, что любая строчная последовательность оказывается не эффективной при решении задачи аналитического продолжения.
Иначе обстоит дело с диагональными последовательнос тями аппроксимаций Наде. Одним из первых результатов общего характера о сходимости таких рациональных аппроксимаций аналитических функций является классическая теорема Маркова [19], полученная им в терминах чебышевских непрерывных дробей для функций вида
т ■■= (**)
Js z-С,
где д - положительная борелсвская мера с носителем 5 = <ё К.
Теорема Маркова. Для функции д вида (**) с носителем 5^ <ё М, состоящим из бесконечного множества точек, диагональные аппроксимации Паде [п/п]д, построенные по коэффициентам разложения д в ряд Лорана в точке г — оо, сходятся к д равномерно внутри области С\[а,6], где [а, Ь] - м.ип\шалъный отрезок вещественной оси, содержащий 5М.
Тем самым, любая марковская функция (т.е. вида (**) с 5^ <§ К) может быть восстановлена вне выпуклой оболочки = [а, Ь] носителя меры по коэффициентам своего лорановского разложения в точке г = оо (моментам меры д).
'Гот факт, что в теореме Маркова речь илет о равномерной сходимости главной диагонали Паде не в С \ - области голоморфности функции д, а
лишь вне выпуклой оболочки 5^ носителя меры, связан с существом дела: в наиболее типичной ситуации множество предельных точек полюсов рациональных функций [п/п]- совпадает с В общем же случае, когда носитель
меры д в (**) не лежит на прямой, предельные точки полюсов диагональных аппроксимаций Наде могут составлять аналитические дуги в области И = С \ и даже быть всюду плотными в С. Более точно, по некоторым подпоследовательностям полюсы аппроксимаций Паде могут сходиться к любой наперед заданной точке аналитической дуги или, соответствешю, к произвольной точке С. В такой ситуации принципиальным становится вопрос о том, может ли какой-либо полюс аппроксимаций Паде иметь предел (а не только предельную точку) но всей последовательности п € 1^, отличный от полюса функции /. Этот вопрос непосредственно связан с задачей о восстановлении диагональю Паде дивизора полюсов мероморфной в С \ Зц
7
функции вила
/ = р + г, (***)
где г € С(г) - рациональная функция, голоморфная на [а, 6] (/ - ‘ рациональное возмущение” марковской функции //). Конструкция аппроксимаций Наде существенно нелинейна, поэтому исследование сходимости таких аппроксимаций для функций вида (***) - сложная задача. Положительное решение задачи о восстановления дивизора вытекает непосредственно из существования подпоследовательности главной диагонали, равномерно сходящейся в сферической метрике (расстояние в которой измеряется длиной меньшей дуги между соответствующими точками на сфере Римана) внутри С \ к ме-роморфной функции /. Исследование этой проблемы для класса функций вида (***) является одной из главных целей диссертации.
В последнее время [13] в связи с некоторыми задачами математической физики естественным образом возник интерес к изучению аппроксимаций Наде общих ортогональных разложений, прежде всего - разложений по полиномам Лежандра и Чебышева, приводящим к представлению “заданной” функции в виде ряда Фурье по ортогональным многочленам. При этом, так же, как и в классическом случае, особый интерес представляет вычисление значений функции вне пределов “канонической” области сходимости ортогонального разложения, а коэффициенты разложения определяются по таким рекуррентным формулам, что с ростом номера коэффициента резко возрастает объем вычислений, а следовательно, и “стоимость” численног о нахождения коэффициентов. Метод аппроксимаций Пале ортогональных разложений является хорошо проявившим себя (нелинейным) методом обработки найденных коэффициентов Фурье и эффективного аналитического продолжения соответствующего ряда за пределы его канонической области сходимости. Изучение вопросов сходимости таких рациональных аппроксимаций составляет содержание последней, третьей, части диссертации.
Наконец, прежде, чем переходить к изложению основных результатов диссертации упомянем о работах Н.У. Аракеляна и его учеников [63]—[66], в которых получили дальнейшее развитие другие классические результаты теории аналитического продолжения (см. прежде всего монографию [18]), относящиеся к задаче локализации особых точек степенного ряда (*) на границе круга сходимости, а также находящихся в вершинах главной звезды Миттаг-Леффлера, в том числе, и за пределами этого круга. Кроме того, в [63]-[66] исследуется и задача эффективного аналитического продолжения степенного ряда за границу его круга сходимости, точнее - задача продолжения в главную звезду Миттаг-Леффлера и в произвольную спиральную звезду. В качестве способа продолжения предлагается линейный метод суммирования с помощью некоторой бесконечной матрицы, элементы которой зависят от параметра. Частными случаями такого способа являются классические методы суммирования Миттаг-Леффлера и Линделёфа.
8
2. Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе изучается связь между асимптотическим поведением полюсов m-й строки таблицы Паде и особыми точками заданной степенным рядом функции как внутри, так и на границе m-го круга мероморфности. Главным результатом этой главы является обобщение классической теоремы Фабри “об отношении” на случай произвольной строки таблицы Паде степенного ряда. В основе доказательстве обобщенного варианта теоремы Фабри лежит модификация метода Эгмона - одного из классических методов, основанного на связи между опорной функцией и индикатором для, соответственно, нижней и верхней функций, ассоциированных по Борелю. Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [67]-[68].
Пусть
оо
/=£<=*** (0.1) к= О
- произвольный степенной ряд, До = До(/) > 6 - радиус его сходимости. Для любых неотрицательных целых чисел п, 771 существует пара полиномов р, q € C[z] таких, что deg р ^ n, deg q ^ т, q ^ 0 и выполняется следующее соотношение:
((lf-p)(z) = 0(zn+Tn+1), 0. (0.2)
Полиномы р, g, удовлетворяющие системе (0.2), определяются, вообще говоря, не единственным образом, однако их отношение p/q задает единственную рациональную функцию - аппроксимацию Паде [n/m]/ типа (и, га) ряда (0.1), дос тавляющую максимально возможный порядок касания к этому
ряду в классе &п,т = {г € C(z) : г = (ао + a\z + h anzn)/(bo + b\z +
• • • + bmzm)} в начале координат.
Зафиксируем произвольное натуральное число т и рассмотрим m-ю строку таблицы Паде ряда (0.1): [n/m]ftn = 0,1,... .
Пусть &n — {Сп,ъ - - • 7 0 < тп ^ т, - множество конечных по-
люсов рациональной функции [n/m]f. Введем следующие характеристики асимптотического поведения последовательности множеств £Pnin = 0,1,..., в окрестности произвольной точки a G С* = С\ {0}: р(а) - число точек множества S?n, стремящихся к точке а со скоростью геометрической прогрессии при п -> оо; & = {а € С* : /л(а) ^ 1};
тп
Л (а) = lim ТТ
гг->оо 1А J = l
где ]•;■]- расстояние между точками в сферической метрике.
Очевидно, /и(а) ^ 1 •<=> А(а) < 1.
Через Dm = Drnif) : 1^1 < Rrn обозначим максимальный открытый круг с центром в точке 2 = 0, в который функция / продолжается как мероморф-ная функция, имеющая ^ т полюсов (Äm = Äm(/) ~ радиус га-мероморф-ности функции /).
9
А.Л.Гончар [16] в терминах характеристик /г и А полностью описал га-ме-роморфное продолжение ряда (0.1).
Теорема Гончара. Пусть / - ряд (0.1), т е N и а ^ 0 - фиксированная точка комплексной плоскости. Следующие утверждения эквивалентны:
1°. ПТП > М и / имеет полюс в точке а;
2°. Д(а) < 1 (или, что то же самое, //(а) ^ 1).
При этом (если выполнено какое-либо из условий 1° и 2°) кратность полюса / в точке а равна р(а) и справедлива формула
р = -М.
^ А (а)'
Тем самым, если с£т = {(«1,1/1),..., (а5,1/5)} - дивизор полюсов функ-иии / в круге Ош (а-} - полюсы / в Пт, ^ ^ 1 - кратность полюса в точке а3;
\дт\ = ы\ Н- Ь 1/5 ^ т - число полюсов / в £>т), то из теоремы Гончара
вытекает формула для вычисления дивизора полюсов функции / в круге От при любом т е М; дивизор = {(о,/з(а)):а €! &}. Утверждение классической теоремы Монтессу по существу состоит в том, что эта формула для вычисления дивизора функции / справедлива при условии, что \дт \ = т.
Естественным образом возникает следующий вопрос: какие выводы можно сделать О функции / В целом, если известно, ЧТО конечные ПОЛЮСЫ 77Т-Й строки таблицы Пале стремятся к некоторым точкам в комплексной плоскости без какого-либо предположения о скорости этой сходимости.
Основными результатами первой главы диссертации являются следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Пусть (а, &п) 0 при п —> оо для некоторой точки
а / 0 плоскости С. Тогда 11ш ^ |а|. Если при этом |а| < Пт, то а -полюс функции {.
ТЕОРЕМА 2. Пусть для всех достаточно больших п рациональные функции [п/т]/ имеют ровно ГП конечных полюсов £Лд, £Л|2, •• • 5 Сп,т, причем
Сп.*-><Ь-е С*, П -> оо, у = 1,2,...,т,
где
0 < la.il ^ < |а,1-1| < К*| = • • • = |ат| = Н.
Тогда:
1°. 1(/) = ••• = Дт_1(/) = Я и все точки а^-1 и только
они - полюсы функции / в круге \г\ < И.
10
2°. Все точки а^,...,ат - особые точки функции / на границе круга
Теорема 2 обобщает теорему Фабри “об отношении” на случай т-й строки таблицы Паде.
Некоторые другие вопросы сходимости строк таблицы Паде степенного ряда изучены автором в совместных работах [75]-[76].
3. Во второй главе диссертации решается задача о восстановлении главной диагональю Паде дивизора полюсов находящейся в “общем положении” произвольной функции из класса Наттолла, в частности, доказывается один из вариантов гипотезы Бейкера-Гамелля-Уиллса о существовании равномерно сходящейся в сферической метрике подпоследовательности диаюналь-ных аппроксимаций Паде. Анализ равномерной сходимости главной диагонали Пале в диссертации опирается на хорошо известный факт, что для функций класса Наттолла знаменатели этих аппроксимаций суть полиномы, неэрмитово ортогональные относительного комплексного веса на специальных аналитических дугах, обладающих определенным свойством “симметрии”. Сильная асимптотика таких ортогональных полиномов описывается в диссертации в терминах решештй определенной краевой задачи Римана на соответствующей гинерэллиптической римановой поверхности. В свою очередь, анализ существования и нахождение “явного” вида решения такой задачи дается в работе в терминах обладающего специальными свойствами решения проблемы Якоби обращения абелевых интегралов. Основные результаты второй главы опубликованы в работах автора [69]-[70].
- функция, голоморфная в бесконечно удалешюй точке 2 = оо. Если все ган-келевы определители, составленные из коэффициентов {с/-}, отличны от нуля, то / можно сопоставить чебышевскую непрерывную дробь
подходящие дроби Рп/Яп которой обладают следующим замечательным свойством:
и < я.
Пусть
оо
(0.3)
г — а\ —
г — а2 — .
2п —1
тем самым
- Киев+380960830922