Некоторые одношаговые методы локализующего интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений

Диссертация Вблдекив
Введение
В последнее время все шире используется в практических
вычислениях подход, получивший название "интервальная математика**
или "интервальный анализ". Как известно, при проведении расчетов
на ЭВМ недостаточно получить конкретны© числа-результаты, но также
необходимо найти их точность, то есть определить, насколько
полученные числа близки к точному результату. При традиционном
подходе к вычислениям оценку точности получить достаточно сложно,
а большей частью невозможно. Кроме того, традиционные способы
оценки точности не универсальны, то есть для каждого метода,
например вычисления какой-либо функции или численного
интегрирования, требуется свой МЭТОД оценки точности.
*
Интервальная математика дает^универсальный способ оценки погрешности вычислений непосредственно в ходе расчетов за счет увеличения времени вычислений и занимаемой памяти. Кроме того, интервальная математика дает возможность работы с данными, заданными с некоторой погрешностью, такими, как результаты измерений.
Как научное направление интервальные вычисления сложились в 1960-е годы. Первой монографией по интервальному анализу была вышедшая в 1966 году книга Р.Е.Мура CR.Е.МоогеЭ под названием "Интервальный анализ" С "Interval Analysis"!). Однако и до него в данном направлении велись работы» например польским математиком М. Вармусом CM. WarmusD в первой половине 1950-х годов. Еще раньше, в 1927 году, принципы интервальных вычислений были изложены в работе Брадиса» хотя и под другим названием - "Метод границ".
- 1 -
AUC<_wp!in0444*t B6*0wHU*
Существенно большая по сравнению с обычным расчетом сложность интервального расчета и недоступность ЭВМ помешали развитию этих работ и применению интервальных вычислений на практике в те времена. Сам термин "интервальный" был предложен Сунагой [34].
В настоящее время интервальный анализ достаточно интенсивно развивается. Выпущены [6*7,8,93 и продолжают издаваться книги как по фундаментальным вопросам интервального анализа, так и по его применению для решения конкретных задач. Выпускается специальный журнал, посвященный интервальным вычислениям — "Reliable Computing" С"Надежные вычисления"}.
Суть интервальной математики состоит в том, что вместо конкретных вещественных чисел С которые вообще могут быть непредставимы с помощью машинных чисел, как например число тт или число е} операции проводятся над заключающими их интервалами С отрезками}, определенными двумя машинными числами, являющимися ЬерхнеО. и нижнео. арахицсипи.. Далее, каждой функции ГСх}, отображающей множество вещественных чисел R в себя, сопоставляется ее интервальное расширение FCX} - отображение множества интервалов в себя. Если из X£Y следует FCX}^FCY}, то такое отображение F называется уионотонньип по Ьнлюиеншо СМПВ}. Понятие монотонности по включению является одним из базовых в интервальной математике.
Существует несколько вариантов определения интервального расширения. Первый вариант был предложен Муром в 1966г. [53. В нем
от FCX} требуется выполнение двух условий:
fCX} 5 FCX}, где fCX} = < fCx} : х е X > Cl}
С это условие называется оснобньип бклхуч.ен.ие/п') и
-г -
Диссертация вЬадемио
ГСх) = FCx) = FC Сх,хЗ Э. С2Э
Второе определение дано Шокиным в [63, в нем требуется выполнение только условия С1Э. В третьем варианте определения [73 требуется выполнение только условия C2D, из которого, если отображение F МОНОТОННО по ВКЛЮМеНИЮ, следует выполнение условия С1D.
Условие С 2D не всегда может быть выполнено при практических расчетах, так как не все действительные значения f могут быть точно представлены машинными числами. Поэтому определение Мура, вообще говоря, не может быть использовано при реализации интервальных вычислений на ЭВМ.
Третий вариант определения неприменим к немонотонным по включению интервальным процессам. Поэтому далее, как и в [1,2,3,43 используется второй вариант определения интервального расширения, то есть для FCXD имеется единственное условие C1D. При этом выполнены две следующие теоремы [33.
Теорема 1. Если F^ - интервальные расширения функций fk» то их композиция будет интервальным расширением аналогичной композиции функций f
Теорема 2. Если отображения Ffc монотонны по включению, то их композиция будет также монотонна по включению.
Мин илюльн ъиъ ЬегцестЬеннъип расширением непрерывной функции f называется отображение FCXD множества интервалов в себя:
FCX) = [ inf fCxD, sup fCxD 3. x<sX xeX
Рассмотрим некоторую функцию f: R-»R. Рассмотрим множество
интервалов М, границами которых являются машинные числа.
- 3 -
Диссертация Введение
Отображение F этого множества в себя, для которого выполнено условие
fCX) 2 FCX}» где fCXD = < fCx> : х € X >, называется машинным интербальным расширенном функции f.
Шириной, интервала называется величина wCCx, хЗ ) = |х - х|. Пусть S - множество машинных чисел определенного формата. Направленным окруалением бберх вещественного числа х называется операция
TCxD = min у .
yeS, у>х
Направленным окруалением бниэ вещественного числа х называется операция
4»СхЭ = шах у .
yeS, у<х
Отображение F множества М в себя
FCX3 = С 4.С inf fCX!> Э, ТС sup fCx) Э 3 xeX xeX
называется минимальным машинным интербальным расширением. Здесь под минимальностью имеется в виду то, что из всех машинных интервальных расширений функции f данное интервальное расширение
дает отрезки наименьшей возможной ширины. К сожалению, получение
именно минимальных машинных расширений затруднено для ряда функций таких, как многие элементарные функции.
Аналогично вышеизложенному вводится понятие интервального расширения функции нескольких переменных, и, в частности, интервального расширения арифметических операций. Для
арифметических операций возможно нахождение минимального машинного интервального расширения.
_ 4 -
Диссертация Обедение
Как известно, при традиционных расчетах одним из критериев качества является точность полученного результата. При интервальных расчетах результирующие интервалы всегда гарантированно содержат точный результат, а аналогичным критерием качества является узость результирующего интервала. Часто говорят также о точности интервального расчета в том смысле, что более узкий интервал, заключающий результат, более точен. Достижение возможно более узких результирующих интервалов - одна из важных проблем интервального анализа.
Однако, практическая реализация описанной выше основной идеи интервального анализа сталкивается с большими трудностями. Например, оказывается, что алгоритм Гаусса может стать неприменимым к системе линейных уравнений с интервальными коэффициентами из-за возникающих делений на интервалы, содержащие нуль. В других случаях, как например при попытке интервалиэации итерационного метода Ньютона для решения нелинейных уравнений простой заменой неинтервальных операций интервальными, происходит неограниченное увеличение ширины локализующего интервала для корня. Также в некоторых случаях возможно получение интервалов, хотя и содержащих истинное значение результата, но столь широких, что зто делает их практически бесполезными. Таким образом, весьма актуальна задача задача интервалиэации традиционных методов вычислений, то есть задача получения интервальных вычислительных методов на базе традиционных.
Основная задача, которой посвящена данная работа, это задача численного интервального Слокализующего} интегрирования
- 5 -
Диссертация Пбодокие
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассматриваются неявные итерационные одношаговые методы, использующие значения производных от решения в силу дифференциального уравнения. Подобный способ численного интегрирования С в неинтервальном видеЗ имеется в работах Милна [10] и Хемминга [123:
у' = fCx.y}
h г ^ и2 г
У , = у + - [ у' + у' 1 + — -ум * уп + ---У(5>с$:>.
nfi п 2 ^ пч-1 n J 12 I n+1 n J 720 Способ получения методов численного интегрирования ОДУ* использующий квадратурные формулы вычисления интегралов, описан в книге Милна С103, также в неинтервальном виде. Как известно, методы нахождения решений ОДУ путем применения квадратурных формул к равносильному интегральному уравнению, были предложены Адамсом. Поэтому данную работу можно рассматривать как интервализацию одного из неявных одношаговых методов Адамса.
Как уже упоминалось выше, интервализация классических методов вычислений представляет собой самостоятельную достаточно сложную задачу. В рассматриваемой области имеется работа Меньшикова Г. Г. [43, в которой на основе квадратурной формулы трапеций получен неявный метод интервального численного интегрирования ОДУ первого порядка, имеющий четвертый порядок точности и использующий кроме значения функции значение третьей производной от решения в силу ОДУ у* = fCx.y):
h h9
С1 - \ + -с FCW + FC>wYL> 5 - - wav-
- 6 -
Диссертация ВЬлдоии®
где Хк=^хк > хк+1] * ук “ локализатор решения ОДУ при х = х^, ДУ^ -
локалиэатор решения ОДУ на отрезке Х^» Г - интервальное расширение
функции ГСх»уЭ» Ф - интервальное расширение третьей производной
э
от решения ОДУ в силу уравнения.
В данной работе для решения поставленной задачи использованы квадратурные формулы, использующие значения производной на одном или обоих концах отрезка интегрирования. Задача получения квадратурных формул, имеющих наименьшую ширину локализатора остатка, и составляет вторую, вспомогательную, часть данной работы. Такие квадратуры получены в данной работе Сем. главу 1Э и использованы для получения неявных одношаговых методов локализующего интегрирования ОДУ. Также получено выражение ядра Пеано для квадратурных формул, использующих в квадратурной сумме значения производных.
Способ оценки ширины локализатора решения ОДУ при использовании неявного метода был получен в работе С23 для метода на основе квадратурной формулы трапеций. В данной работе он применен для методов, использующих в квадратурной сумме значения производных. Следует также отметить, что квадратурные формулы, использующие значения производных, используются и в классической вычислительной математике. Их обзор и анализ приведен, например, в книге [113.
Хотя основная часть работы посвящена рассмотрению одномерных ОДУ вида у'=ГСх,у), также рассмотрено обобщение полученных методов для систем уравнений размерностью 2 и более, а также приведен пример интегрирования системы размерности 2.
- 7 -
Диссертация Га аба 4
Главд 1 Некоторые квадратурные формулы. ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ §1.1. Введение
В этой главе мы рассмотрим задачу численного интервального
интегрирования. Полученный результат будет использован в
последующих главах, хотя он имеет и самостоятельное значение.
Пусть заданы промежуток Т=Са;ЬЗ и функция зГСхЭ, интегрируемая
Ъ
на Т. Требуется найти значение определенного интеграла ^ ГСхЭ с1х.
а
Поскольку точное значение интеграла, как правило, найти не
удается, то при интервальном численном интегрировании вычисляется
некоторый интервал I , заключающий в себе точное значение
Ь
интеграла, то есть I э | ГСх) с!х.
а
Существуют разные подходы к интервальному численному интегрированию. Один из них - метод примитивного интервального интегрирования С1 3. При интегрировании по этому методу отрезок интегрирования Т разбивается на N отрезков равной ширины Ь: Сх.х], Сх.х], ... , Сх ,х 1, х=а, х =Ь. Ясно, что Ь=СЬ-а)/Ы
0 4 4 2 N-4 N О N
и х. =а+Ь•1. Тогда можно найти заключающий интервал I в виде:
N
I = Ь V РС[х. ,х. П,
1 = 1
где РСХ) - интервальное расширение функции :ГСхЭ. Этот метод позволяет достаточно просто найти заключающий отрезок для значения
- 8 -
Диссертация ГлсАа 1
интеграла, но ширина полученного отрезка зависит от Ь линейно, и,
таким образом, данный локализатор I получается слишком грубым, то
есть имеющим чрезмерно завышенную ширину. Поэтому данный метод
применяется в основном для оценочных расчетов.
Другой подход ближе к классической вычислительной математике
и использует квадратурные суммы для нахождения заключающего
отрезка для значения интеграла. Как известно из классической
вычислительной математики,
Ь
^ ГСхЭ ах = осо + КСО,
а
п
где ОСО= ” квадратурная сумма, БСГ} - ее остаток.
I =1
Постоянные с^ называются коэффициентами квадратуры, а х^ - узлами
квадратуры. Для некоторых классов функций, например полиномов
степени не выше некоторой, остаток может быть равен О. Тогда
говорят, что квадратура точна для этих классов функций.
Выражение для остатка квадратуры КСГЭ содержит некоторый
неопределенный параметр, о котором известно лишь, в каких пределах
он может находиться. Например, остаток широко известной
1
5 (IV)
квадратурной формулы Симпсона С парабол} равен 15 = - — Ь Г
90
где £ е Са,Ь]. В данном случае зтот параметр -
Из-за наличия такого неизвестного параметра выражение для остатка квадратуры в классической вычислительной математике не используется при практических расчетах, а служит лишь для оценок и сравнения точности различных квадратурных формул. Следует заметить, однако, что выражение для остатка квадратурной формулы
- 9 -
Диссертация ГлаЬа 1
может быть использовано для получения слагаемых-поправок к квадратурной сумме и повышения тем самым порядка точности формулы. Этот подход описан в книге C2S3. В качестве примера можно привести квадратурную формулу Грегори С273, которая представляет собой формулу трапеций с поправочными слагаемыми:
Г уСх) dx = h • Г ff /2 + Г + ... + f + f /2І + - CAf -Af ) -
j j LI ° 1 n_i n J p ° n_1
]•
119 3
CA2f +A2f ) + - CA3f +A3f } - - CA4f +A*f ) +
24 ° n'2 720 ° n"3 160 °
где Ь = СЬ-аЭ/п, Г, = Г Са+к • Ю, АГ, = Г, -Г, Др = Др V - Др V.
к к к+± к к к+1 к
Если эта формула доведена до разностей порядка 2т» то она является точной для многочленов ГСх) степени не выше 2т+1.
Однако добавление поправочных слагаемых лишь увеличивает порядок точности метода, а конкретное значение погрешности все равно остается величиной* зависящей от некоторого неизвестного параметра. Поэтому при традиционном численном интегрировании в качестве приближенного значения интеграла берется только квадратурная сумма:
Ь п
J ГСхЭ dx ^с^Сх^>. а 1=1
Интервальный же подход требует, чтобы полученный отрезок гарантированно содержал точное значение интеграла, а для этого вычисления только квадратурной суммы С пусть даже и в интервальной манере!) недостаточно, и требуется определить также и остаток. Точное значение остатка, как правило, найти не удается, поэтому находят локализатор остатка - отрезок СБЗ такой, что С1£ЗэК. При
- 10 -
Диссертация ГлаЬа. 1
этом возможен следующий подход. Если Р=РС£!), £еСа,ЬЗ, то найдя интервальное расширение СРС^ЭЗ и подставив в него в качестве параметра £ отрезок Са,Ь], мы получим искомый локализатор остатка к вадрат уры С К 3 .
Также, говоря о квадратурных формулах, следует заметить, что они могут использовать не только значения самой функции Г в узловых точках, но и значения ее производной С производных!). При этом предполагается, что функция Г достаточное число раз дифференцируема. Квадратурная сумма приобретает вид:
п т
°СГ:> = 2 2 с.ГСх.Э, Г<°> = Г.
1=1 з=о
Формулам такого типа и будет уделено внимание в этой главе.
§1.2. Задача нахождения остатка квадратуры
Вначале, для упрощения дальнейших рассуждений, перейдем к стандартному отрезку интегрирования С-1;13, сделав замену переменной:
Ь-а Ь+а
х = t + , ЪеС -1,13.
2 2
Тогда
Ъ ,1
Ь-а
/ ГСхЭ сЗх = -- ^ сИ
а ^ -1
(Ь-а Ь+а -
і + -------- 1.
2 2
Рассмотрим квадратуру ОС^рЭ. Пусть она точна для полиномов степени не выше р-1. Тогда для классов подынтегральных функций с кусочно-непрерывной на С -1; 1 3 производной £><Р>СЪЭ
- 11 -
Дассортаиия Глаба 1
справедливо выражение для остатка этой квадратуры £23:
і
I* С*>Э =[ К. СЮрр>СЮ еіі,
Р -1 р
где К СЮ “ кусочно-непрерывная функция, составленная из отрезков Р
полиномов степени не выше р. Эта функция К СЮ в С2 3
р
названа яфро/н Пеамо остатка квадратуры. В данной работе мы будем использовать для нее то же название.В С23 доказана теорема об интервализованном остатке:
и 1<рр>СТ.П £ крСі;> сіі ]»
' Ті Р где [^><Р>СТ1)3 - интервальное расширение производной ^><Р'СЮ, Т. -
интервалы постоянства знака ядра Пеано К СЮ на С-1;13, так что
р
ЦТ. = [-1,13, Т р[Г,=0 при к^. Отсюда искомый локализатор остатка
і 3 3 квадратуры ОС^О равен
[й С*>)3 = У Ь,- [*><Р>СТ.>3 р £ з 3
где Ь.= Г К СЮ с!Ъ. Видно, что это выражение содержит коэффициенты ,1 Р
Т.
Ь., не зависящие от интегрируемой функции *>СЮ, так как К СЮ от 3 Р
нее не зависит. Эти коэффициенты могут быть найдены один раз и использоваться в дальнейшем для интервального численного интегрирования произвольных функций.
В данной работе мы будем рассматривать квадратурные суммы, использукадие значения самой подынтегральной функции на концах отрезка интегрирования и ее первой производной на одном или обоих концах того же отрезка, то есть квадратуры вида
- 12 -
Диссортаиия Глаба 1
С2Ср1 = а рС-15 + а <рС15 + а *>' С-15 + а. <р* С15.
О 12 Э
Получим выражение для ядра Пеано для этой квадратуры. Используем для этого метод, аналогичный используемому в С23, но с учетом использования в квадратурной сумме значений производной *>'С15 и рв С-1 5.
Пусть квадратура точна для полиномов степени не выше р-1.
і
Остаток квадратуры равен 1? С*>5 = Г *>СО сії - ОС $>5.
р 0
- і
Разложим #>СО в ряд Тейлора с начальной точкой 1= -1 и остатком в
интегральной форме:
рСО = Р СО + гСО.
р-1
где Р СО - полином степени не выше р-1, гСО - остаток ряда
р-1
Тейлора в интегральной форме:
1 1
г СО = --------- Г С1-Ор~%э<Р><^5с1$.
Ср-15!_і
і і
Тогда Р С?>5 = Г Р С15 сії + Г г СО сії - ОСР 5 - ОСг5.
р Л р-1 ■Л р-1
-1 -1
Так как квадратура точна для полиномов степени не выше р-1, то
і і
Г Р СО сії = ОСР 5 и К! С £>5 = Г г СО сії - 0Сг5.
р-1 р-1 р •*
-1 -1
В дальнейших рассуждениях нам понадобится функция Хевисайда г)Сх5:
Г) Сх5 =
и дельта-функция Дирака 6Сх5:
1 при х>0 О при х<0
+со
6Сх5=0 при хї*0, J 6Сх5дСх5сіх = дС05
-оо
- 13 -
Диссертация ГлаЬа 1
с177Сх5
где дСх5 - некоторая функция. Заметим, что = <5Сх5.
dx
Перейдем в выражении для г СО к постоянным пределам интегрирования при помощи функции Хевисайда:
1 1
г СО = Г С1-^:>р_47>С1-0*><р>С$:>с1£.
Ср-15!
- 1
Проинтегрируем:
1 1 1 1
Г г СОсИ = Г ---- Г С1-Юр 4Т)С1-е5*><р>СЮс1$ <11 =
Ср-15!
-1 -1 -1
1 1 4
^ *><р>СОс1# ^ С1-д5р-1г?С1-^5 с11.
Ср-15! г - * -1
f С1-д5р“%С1-05 с31 = С1-^5Р'4 с!1 =
£
1 4 С1-Ор
С1-Ор 1=1 С1 -Ор
1=£
отсюда Г гСОсИ = --------------- Г ------- р<р>С&) <10.
С р-1 5 ! р
-1 -1
1
Множитель — не вынесен за знак интеграла для удобства дальнейших
вык ладок.
ОС г 5 = а гС-15 + а г С1 5 + а г' С-1) + а г' С1).
0 4 2 Э
1
г' СО =
Ср-15!
С р-1 5 J С1-Юр"27)С1-Ю*><р>СОс1£ - 4
+ ^ С1-Юр 46С1-Ю*><р>СОс^
- 1
- 14 -
Аиссортаиия ГлаЬа 1
1
Видно» что ^ С1.-0)р 46СЪ—ОЭ*><р>СОЭсЮ = О» поэтому
Р"1
-1
1
г'СО = ---------- Г СЪ-0!>р~2у)СЪ-0:>*>(р>С0:>а0.
Ср-1Э!
-1
Окончательно,
1
ЬЛ
ОС г 5 = -------------- а С -1 -О) ЛГ) С-1-0) + а С1-0)к лг) С1-0) +
Ср- 1 ° 1
-1
+ а
2
*Ср-1)С-1-е)р"2>>С-1'е> + аэ-Ср-15С1-е)р'2г?С1-^) j *>(р>С0) с50. 1
Е? С*>) = Г гСО сП, - ОСгО =
р •>
-1
1 1 Р С1-0)Р
1^Л
Ср-1)! »- р
- аоС-1-^>р *Г)С-1-Ю - а С1~ОЭр %С1-0) -
-1
<Р>,
- а2-Ср-15С-1-^5р 2»С-1-0:> - аз-Ср-15С1-^>р 2т)С1-0:> J *>'*"СОЭ аО.
Отсюда выделяется ядро Пеано К СО):
Р
К СО) = Р
1 г С1-0)р
- а С-1 -0)р \с-1 -О) - а С1-0)р_1т)С1 ~0) -
-оД р
- а^ Ср-1 )С-1-0)р"2т)С-1-0) - а^ Ср-1)С1-0)р“2т)С1-0)
Таким образом, остаток квадратуры равен
1
й с*>) = Г к со*><р>со аъ. р -1 р
- 15 -
Диссортаиия
Гааба 1
§1.3. Оценка ширины остатка
Запишем выражение для локализатора остатка квадратуры С23:
Р^С£>) е Е( с*><р>ст.)з J крсо аъ ^
где Т. - отрезки постоянства знака ядра Пеано К СО, ЦТ. = С-1,13,
3 о
Т Г|Т =0 при
К J
Отсюда следует выражение для ширины у/^ локализатора остатка
квадратуры:
«о = «([КрС^]] = «[сР<р,СГЭ]]-
J к со аъ
Получим оценку ширины остатка для двух классов подынтегральных функций.
1.3.1. Класс функций с ограниченной производной.
Рассмотрим класс \?рС/л ) функций £>СО, имеющих кусочно -
Р
непрерывную на С-1,13 производную ^о(р>СО, удовлетворяющую неравенству:
*><р>СО
<Р>,
Из этого неравенства следует 1<р СТ.) 3 £ С-р , ц 3 и
J Р Р
V/1С <р<р> С Т
(о‘р,СТ.>з) < 2^.
Подставив это в выражение для ширины локализатора остатка, получим:
1
^ аъ
“о 5 2^р £
/ к со аъ
= гц -Г \к со
О О
Обозначим J К^СО | аъ = Н^-рЦ^* Тогда в классе функций \УрС/ц^)
-1
- 16 -
Диссертация
Га аба 1
выполнено неравенство для ширины локализатора квадратуры:
1.3.2. Класс функций, интервальные расширения которых
удовлетворяют интервальному условию Липшица.
Рассмотрим класс У7РНСХ ) функций , таких, что
Р
интервальные расширения С*>(р>СО] их производных р-го порядка удовлетворяют интервальному условию Липшица с константой Х^:
V/ £[£><Р>СТ) 3^ < X у/СТ)
при Т £ С-1,13.
Подставив это в выражение для ширины локализатора остатка,
получим:
"о - I
X у/СТ.) р )
/ К СЪ) сИ
В книге С23 вводится функционал, названный псебдонорлюО. Пеано:
рэпСК )
у/СТ.).
J
С использованием этого функционала выражение для ширины
локализатора остатка квадратуры для подынтегральных функций из
класса WPHCX ) примет простой вид:
Р
у/ < 2Х рэпСК ). о р р
Видно, что если К С1) - знакопостоянная функция, то имеется только
Р
один интервал постоянства знака Т = С -1,13 и рэпСК ) = IIК II .
1 р 11 р11 ь
В общем случае верно неравенство [2 3: рэпСК ) < ||К II .
р " р 11 ь
Докажем теперь лемму, которая свяжет значения X и ц
р Р**
Лемма. Пусть функция у/СО имеет кусочно-непрерывную производную
- 17 -
Диссертация РлаЬа 1
уг'СО, ограниченную на С-1,13: < р при 1 е С-1,13.
Тогда выполнено неравенство < /_**/СТ) при Т £ С—1,1].
Доказательство.
Из условия следует, что |у/' СЪ)|<^ при ЪеТ, если Т £ С-1,13.
Пусть Т = СЪ^,Ъ^З. По теореме Лагранжа существует О е СЪ^,^], такое, что = у/' • Отсюда следует, что
| у/СЪ^ Э-у/СЪ^) { < А^р|^0-^1|- Переходя к интервальным расширениям и оценивая ширину, получим ч-/£[у/СТЭЗ^ < цчСТЭ при Т £ С-1,13» что и трабовалось доказать.
Из этой леммы следует, что если функция ^pCt^ из класса У/РНСХ 5
Р
имеет к ус очно-непрерывную производную р+1-го порядка *><р+ СО такую, что |у>(р+1>СО | < Т° В качестве значения Х^ можно
взять ^р+1- Этот результат будет использован в дальнейшем.
§1.4. Квадратура с коэффициентами, зависящими от параметра.
Ее ядро Пеано.
В предыдущих параграфах были рассмотрены выражения для локализатора остатка квадратуры и получена оценка ширины этого локализатора для двух классов подынтегральных функций.
Представляет интерес задача нахождения квадратуры, локализатор остатка которой имел бы минимальную ширину для некоторых классов подынтегральных функций. Для этого нужно вначале получить квадратуру, коэффициенты и/или узлы которой зависели бы от одного или нескольких произвольных параметров, затем получить оценку ширины локализатора этой квадратуры как функцию тех же параметров, после чего подбором параметров добиться минимальной ширины
- 18 -