ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение......................................................3
1. Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов..........3
2. Содержание работы........................................8
Глава 1. Полиномиальные приближения на
дизъюнктных отрезках.................................19
1.1. Построение Рп. Геометрический этап....................20
1.2. Формулировка теоремы и начальные приготовления........21
1.3. Построение приближающего полинома.....................23
1.4. Оценка gn{z)-/(г).....................................31
1.5. Завершающий этап......................................37
Глава 2. Об одном классе функций на
дизъюнктной системе отрезков.........................43
2.1. Формулировка задачи и начальные приготовления.........43
2.2. Построение Рп. Геометрический этап....................45
2.3. Оценка уклонения 49
2.4. Полином Рп и оценка разности / — Рп.................59
Глава 3. Взвешенные полиномиальные приближения
на дизъюнктной системе отрезков......................62
3.1. Формулировка теоремы и начало доказательства..........63
3.2. Окончание доказательства..............................68
Литература...................................................74
Введение.
1. Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов.
Современная теория аппроксимации началась с теоремы П.А.Чебышева о наименьшем уклонении от нуля алгебраического полинома именно на отрезке (1854 год). После основополагающих результатов Джексона и Бернштейна начала века об описании гельдеровских классов 2к -периодических функции скоростью их приближения тригонометрическими полиномами переход к аналогичному описанию классов Гельдера на отрезке алгебраическими полиномами начал совершаться лишь после работы С.М.Никольского [1] 1946 года, в которой рассматривались функции /»удовлетворяющие на отрезке [-1,1] условию Липшица:
— х2\ и которые можно было приблизить алгебраическими полиномами степени не более, чем п с точностью
п
ґ УІІ-Х2 „(ІППЛ
п
V п~ )
. Таким образом, оказалось, что функции,
удовлетворяющие условию непрерывности, не зависящему от точки на [-1,1], могут приближаться алгебраическими полиномами со скоростью, зависящей от точки на отрезке, что принципиально отличает ситуацию от 2п -периодического случая. Гипотеза С.М.Никольского о том, что логарифмический множитель в цитированной оценке есть недостаток метода была подтверждена в
4
1951 году А.Ф.Тиманом [2], который доказал прямое утверждение о приближении функций из классов Гельдера алгебраическими многочленами. Его результат состоит в следующем.
Теорема А [2]: Пусть /(х) имеет на отрезке [-1,1] г непрерывных производных, г = ОД,... и пусть >г((?) - это модуль непрерывности функции / на отрезке [-1,1]. Тогда для п = 1,2,... существуют полиномы Рп, deg Рп <п, такие, что справедливо неравенство
п У п)
\
П
1 \
\х
~2
п
/
,Х Є [-1,1] (1)
Затем А.Ф.Тиман [3] в 1957 году установил, что существование полиномов Рп, С\щРп для которых справедливо неравенство
(1), например, для = 0<а<1, влечет существование у
функции / г непрерывных производных и при этом г-тая
производная удовлетворяет условию Гельдера порядка а. Таким образом, конструктивное описание классов Гельдера на отрезке скоростью их приближения алгебраическими многочленами было получено лишь в 1957 году. Потом последовали работы В.К.Дзядыка, в которых вместо отрезка рассматривались континуумы более общего вида. На таких континуумах удалось описать классы Гельдера функций, аналитических во внутренности соответсвующих континуумов, скоростью их приближения на границе континуума алгебраическими многочленами (как правило, подобно оценке (1) для отрезка, эта скорость зависела от точки границы). Усилия различных математиков были сосредоточены на ослаблении условий, при которых удается добиться желаемого
5
описания. При этом оказалось, что обратные утверждения могут
быть установлены для гораздо более общих типов множеств, чем
прямые. Так прямые утверждения в первых работах В.К.Дзядыка
2
[4], [5] должны были быть континуумами с с - кусочно-гладкими границами. В работе Н.А.Лебедева-Н.А.Широкова [6] 1971 года
граница уже кусочно С0 - гладкая. После чего усилиями
В.И.Белого-В.М.Миклюкова [7], И.А.Шевчука [8], Н.А.Широкова
А
[9], В.К.Дзядыка [10] и, наконец, В.И.Белого [11] в 1977 году, условия на границу были ослаблены до требования только ее квазиконформности. Оказалось, правда, [12], [13], [14], что нарушение условия квазиконформности для континуума уже не позволяет конструктивно описывать гельдеровские классы в ставших уже классическими терминах, использованных в [4]-[11]. Подчеркнем, что все упомянутые работы и много десятков других статей содержали прямые теоремы (или доказательство их отсутствия) только о континуумах, что было связано с существом применяемых методов, но не существом дела, что показывает история усовершенствования обратных теорем. В первых после работы А.Ф.Тимана [3] 1957 года обратных теоремах, в которых фигурировали континуумы, отличные от отрезка, В.К.Дзядык [15]
требовал кусочной С - гладкости границы. Затем Н.А.Лебедев [16],
Н.А.Лебедев и П.М.Тамразов [17] и, наконец П.М.Тамразов [18] довели рассмотрение до регулярного в смысле теории потенциала компакта. Приведем формулировку одной из теорем ГІ.М.Тамразова [17] в случае классов Гельдера.
Теорема В: Пусть К - регулярный компакт на комплексной плоскости ,оо) - функция Грина для области С\К с
6
ПОЛЮСОМ В оо ; для h > О положим
Lh = {zeC\К:g(z,со)= h}.
Пусть функция / аналитична во внутренности компакта К и непрерывна на К и предположим, что для каждого п =1,2,... найдется полином Рп, дй%Рп < п, такой, что
Ч «У
Тогда существует постоянная с1, не зависящая от г]9 12 и с0, такая, ЧТО ДЛЯ 2!, 22 е £ справедливо соотношение
Таким образом, условие связности множества для обратных теорем оказалось несущественным. При этом характеристика
случая континуума совпадает с характеристикой, применявшейся в работах [4]-[11]. Таким образом, вопрос о доказательстве прямых теорем для несвязных множеств возникал вполне естественно.
Первым результатом, в котором фигурировала скорость приближения полиномами на несвязном континууме (двух отрезках, лежащих на вещественной оси) была теорема Н.И.Ахиезера [19], 1928 год, о наименьшем уклонении полинома от функции sign х. Далее последовала работа Уолша [20] 30-х годов, где
устанавливалась возможность экспоненциального быстрого
/ \
\f(z)-Pn{z\ <c0dista z,Lx , zedK,0<a<l (2)
ph(z) — dist(z9Lh), фигурирующая в правой части условия (2), для
- Киев+380960830922