Линейно-метрические свойства пространств И. И. Привалова голоморфных функций нескольких комплексных переменных

Введение
Цель настоящей работы состоит в исследовании линейно-метрических свойств некоторых (Р)-пространств голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Основное внимание уделено пространствам. введённым в одномерном случае И. И. Приваловым [8, гл. IV §10’ и называемым в дальнейшем пространствами Привалова. В п-мерном комплексном пространстве Сп, п > 1, единичный шар Вп - {г = (яь^з,... ,*„) € С* | \г\2 = (Ы2 + ... + |^|2)1/2 < 1} и единичный поликруг 1/п = {г е Сп | \z\oo = шах |^| < 1} обозначим
единым символом С. Пусть Г обозначает границу Шилова области 6’; то-есть Г есть единичная сфера = ’{г € Сп | \г\2 = 1} в случае С = Вп и есть тор Тп = {г € С1 | \г{\ = ... = |гЛ| = 1} в случае в = £/п, и пусть а обозначает естественную инвариантную вероятностную меру на Г; то-есть а есть нормированная площадь сферы 5П, если <7 = Вп, и декартово произведение нормированных линейных мер Лебега на окружностях \гк\ = 1, к = 1,п, в случае (7 = £/п.
Классом Привалова (д > 1) назовём множество всех голоморфных функций / в области С, удовлетворяющих условию
в котором 1п+ а = шах(1пв,0), если а > 0, и 1п+ 0 = 0. Как и в одномерном случае; (п = 1), устанавливается, что классы (д > 1) содержатся в классе Островского — Неванлинны АТ1, определяемом условием (В. 1) при <1 = 1, и каждый из них, в свою очередь, содержит все классы Харди Нр (р > 0) (см. И. И. Привалов '8] в случае п = 1 и X. О. Ким, Б. Р. Чоэ [15], с учётом утверждения е) на стр. 4, — в общем случае). Более того, (д > 1) содержатся в собственном подклассе класса /V1 — подклассе Смирнова Аг,, состоящем из всех голоморфных в (7 функций /, для которых семейство функций {1п+ |/(г7)|, 7 е Г}0^г<1 имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на множестве Г. Наряду с классами А™ (</ > 1) мы изучаем введённые в статье [27] классы (д > 0), состоящие из всех голоморфных в области (7 функций /, для которых семейство функций
г
{!ч+ |/(п01, т е Г}о«г<:!
(В-2)
2
имеет интегрируемую мажоранту на Г.
Непосредственная проверка показывает, что классы № (<7 > 1) образуют комплексные линейные пространства с операциями поточечного сложения и умножения функций на число. Естественная метрика в классах Л1'9 (д > 1) вводится посредством функции
Ряч(/>9) — I/ — 0|лг*> />0€.Л^, (В.З)
где
|/1лг* = вир
0<г<1
1/е
, /€#«,
и метрика (В.З) не является единственной метрикой, изучаемой в настоящей работе.
В первой главе диссертации исследуются граничные свойства функций классов /V9 (д > 1). Известно (см. [69] и [14]), что для любой функции / из класса .V1 радиальный предел
/*(7) = Нш /(и), 7 € Г, (В.4)
г —> 1 —
существует почти всюду на Г (в частности, этим свойством обладают функции / е /V9 (д > 1)). Основной результат этой главы, помещённый в п. 1 §2, утверждает, что голоморфная в области О1 функция / принадлежит классу Л79 (д > 1) в том и только в том случае, когда выполняется одно из следующих условий:
а) / € Л7, и Ц_|/*| € £(Г, (т), где символом £(Г,<т) обозначено пространство функций, интегрируемых на Г по мере сг;
б) у функции / почти всюду на Г существует /*, определяемая формулой (В.4), для которой 1п^_ |/*| € £(Г, а) и
Ч1/МКIР(*,ОК\Г(ОИО, *€<?,
Г
где Р обозначает ядро Пуассона области 0\
в) V функции ^ почти всюду на Г существует /*, для которой 1и+ 1/*1 € £(Г,а) и
^ г < 1;
3
г) у функции / почти всюду на Г существует /*, для которой Ц.1Л €£(Г>)и
Нт /К1/И)к№) = !1/47)к№0;
г г
д) семейство функций (В.2) имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на Г;
е) / е А/«.
В основе доказательства этого результата лежит применение свойств комплексного интеграла Пуассона, полученных в статье М. Столла [57) в связи с изучением шнорисубгармонических функций.
В §3 первой главы для функций пространств ДГ9 (<? > I) доказан многомерный логарифмический аналог классической теоремы Риссов в следующей форме:
1^_/ 1п<?(1 + - /47)0 - О
г
для любой функции / € (г/ > 1). Из этого результата следует, что для
/ € № (д > 1) функции /г(г) = /(гг), г € (7, сходятся к / в метрике рдг, при г —>1-, так что многочлены от п комплексных переменных плотны в метрическом пространстве (№,р^я) и № — сепарабельно.
Во второй главе диссертации изучаются линейно-топологические свойства метрических пространств Л™ (д > 1). Основным результатом этой главы и одним из основных результатов диссертации служит утверждение, что каждое пространство № (д > 1) образует (Р)-алгебру; то-есть такое (Т7)-пространство, в котором введена алгебраическая операция умножения, превращающая его в алгебру и непрерывная относительно метрики этого пространства. Это утверждение доказано в §2 гл. II. Его доказательство опирается на новые оценки равномерного роста функций классов А™ (д > 1), помещённые в § 1.
В третьем параграфе этой главы полностью описаны ограниченные и вполне ограниченные множества в пространствах Xя (д > 1). А именно, доказано, что множество X С А74 (<? > ]) ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено в метрике р^я и семейство функций {К 1/47)1, 7 € Г'}/€Х имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы на Г. Для вполне ограниченных множеств справедлива такая характеристика: множество X вполне ограничено в пространстве А™ (д > I) тогда и только тогда, когда оно ограничено и семейство функций {/*(7), 7 € Г}/ех относительно компактно в метрике сходимости по
4
мере о на множестве Г. В одномерном случае аналогичная задача рассматривалась для класса Смирнова в статье [65] и для классов Лг<7 (д > 1) в диссертации [40].
Предметом изучения третьей главы диссертации служат линейные инъективные и сюръективные изометрии пространств Лг? (д > 1) в метрике рцч. Основной результат этой главы, и один из основных результатов диссертации, состоит в полном описании инъективных изомстрий пространств № (д > 1) в метрике рнд. Он содержится в §3 и с(х:тоит в следующем.
Отображение I пространства Лг<7 (д > 1) будет его линейной инъективной изометрией тогда и только тогда, когда оно для всех функций f € Nq действует по формуле
(//)(*) = ФШШ), * € О, (В.5)
в которой ф — некоторая внутренняя функция в области С и ф — некоторое внутреннее отображение области С, радиальные граничные значения которого сохраняют мору о на Г (§ 3 п. 1).
Как следствие этого результата, получаем полное описание сюръек-тивных изометрий пространств № {д > 1) в метрике р^я- Оно имеет вид: отображение I является сюръективной линейной изометрией пространства № (д > 1) в метрике рлг* тогда и только тогда, когда оно имеет вид (В.5) для всех / € N4, в котором ф(г) = а £ Т и ф — автоморфизм области С, оставляющий неподвижной точку 0 (§3 п. 2). Отметим, что аналогичные результаты имеют место и для пространства Смирнова N. (см. [60]).
Технические детали доказательства основной теоремы вынесены в §2. Предложенный подход состоит в изучении линейных изометрий пространств классов эквивалентных измеримых функций, определённых на абстрактном измеримом пространстве с конечной неотрицательной мерой и <у-ая степень (д > 0) логарифма модуля которых интегрируема по рассматриваемой мере. Такой подход позволяет свести изучение линейных изометрий пространств № (</ > 1) к известным ранее результатам о линейных изометриях пространств Харди Нр (р ф 2) (см. § 1 п.1).
Последняя четвёртая глава диссертации посвящена линейно-метрическим свойствам классов Мч (д > 0), рассмотренных X. О. Кимом и И. И. Паком в статье [27]. В классах Ыч (д > 0) метрика вводится посредством функции
/*.(/,*) = 1/~ Л*, / € М\ (В.6)
5
где
ад = тт(1.д), д > О,
и
(Кал/)Ь) = зиР 1/(гт)|» 7 € Г.
(В-7)
0^г<1
Опираясь на результаты статьи [15], убеждаемся, что при д > 1 классы N4 и Мч совпадают как множества, а метрики рця и рм<> эквивалентны по Липшицу, так что и Мч имеют одинаковые топологические и липшицевы структуры.
Основной результат этой главы, помещённый в §1, состоит в полном описании линейных сюръективных изометрий пространств Мя для натуральных д тем же методом, что и в гл. III. Они имеют вид
где \а\ = 1 и ф — автоморфизм области С с неподвижной точкой 0. Более того, в доказательстве этого результата более полно проявляются технические возможности предложенного общего метода.
Таким образом, множества сюръективных линейных изометрий пространств 1УЯ и Мч совпадают в случае натуральных д > 1. Однако, как показывается в § ‘2 этой главы, метрические структуры пространств Аг<? и Ма существенно различны для всех </ > 1. Более точно, эти пространства обладают различными множествами линейных инъективных изометрий.
Для инъективных линейных изометрий пространств Мя (д > 0) получены результаты неокончательного характера. В частности, в § 3 доказано, что отображение вида (В.8), где |а| = 1 и ф — внутреннее отображение области О, радиальные граничные значения которого сохраняют меру а на Г, является изометрией пространства Мч тогда и только тогда, когда ф переводит радиусы области О в радиусы. Последнее свойство, вообще говоря, не характерно для изометрий (^-пространств голоморф-ных функций и присуще изометриям пространств Мя (д > 0), поскольку в них метрики (В.6) определяются посредством радиальной максимальной функции (В.7).
(//)(*) = а/Ш), геС, 1ем\
(В.8)
6
Глава I
Пространства И. И. Привалова в шаре и поликруге
В главе определяются и исследуются классы И. И. Привалова № (<? > 1) голоморфных функций в шаре и поликруге из С1. Изучены эквивалентные определения классов № (<? > 1), доказаны аналоги теорем В. И. Смирнова для классов (д > 1), а также логарифмическая версия теоремы Ф. и М. Риссов о сходимости в среднем к радиальным граничным значениям на границе области определения.
1. Определения и обозначения.Пусть V = {г е С | \г\ < 1} обозначает единичный круг комплексной плоскости С с центром в нуле и Т = {г € С | \'б\ = 1} — его границу, единичную окружность. Пусть также ф — неотрицательная неубывающая функция неотрицательного аргумента.
Определение. Голоморфная в круге С/ функция /(г) принадлежит клас-су если ограничено семейство интегралов
здесь ln+ а = max(In а, 0), если а > 0, и 1п+ 0 = 0.
Исторически первыми из классов <p(N) изучались классы Харди Яр (см., например, Ф. Рисс [47]), соответствующие случаю <p(t.) = cpt, t > 0. При р — -Poo под IP понимают класс функций, голоморфных и ограниченных в круге U. Когда ■p(t) = t ^ 0, получаем класс Я1, введённый А. Островским и братьями Р. и Ф. Неванлинна в работах [46] и (44).
§ 1. Предварительные сведения
0 ^ г < 1;
7
Класс N1 принято называть именем Островского — Неванлинны. Полагая <p(t) = tq, t ^ 0, приходим к классам Nq, введённым в случае q > 1 И. И. Приваловым в монографии [8, гл. IV §10). Классы Nq при q > 1 будем называть классами Привалова.
В классе /V1 выделяют важный подкласс N., состоящий из всех голоморфных в круге U функций f(z)} у которых множество функций
If 1ч+ |/(ге*)| -* « С < Л
' 0^г<1
образует семейство, равностепенно абсолютно непрерывное на отрезке [—7г, 7г]. Заслуга введения этого подкласса принадлежит В. И. Смирнову (см. [56]) и jV* принято называть классом Смирнова.
В статье X. О. Кима [28] рассмотрен класс М1, состоящий из всех голоморфных в круге U функций f(z) таких, у которых семейство функций (ln+ |/(ге*0)|, -л ^ 0 ^ тг}0<г<1 имеет интегрируемую мажоранту на отрезке (—7Г, тг]. В терминах радиальной максимальной функции
{Mradf)(ei(>) = sup |/(ге*)|, -7Г < в ^ 7Г, (1.1)
0^г<1
принадлежность голоморфной в единичном круге функции f{z) классу М] эквивалентна свойству интегрируемости по в функции ln+ Mrad.f{eie) на отрезке [ 7г} тг].
Из определений непосредственно следуют включения
Я°° С Яр>0 С N4>\
а также
Л/1 С Я, С Я1,
причём каждое из этих включений строгое (см. [42] и [29]).
2. Угловые граничные значения. Напомним определения радиальных и угловых граничных значений функции f(z)} определённой в круге U. Радиальным граничным значением функции f(z) в граничной точке et$ € Т называется предел
Г И = lim_/(reie), (1.2)
если он существует. Углом Штольца с вершиной в точке е* € Т называется произвольная подобласть единичного круга U, расположенная
8