Метод дискретных ординат и линейно-алгебраическая модель переноса излучения

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ....................................................... 6
Список обозначений ............................................. 19
Глава I. Основные уравнения переноса излучения................. 20
§1. Интегро-дифференциальное и интегральное уравнения переноса............................................. 20
§2. Связь между решением интегро-дифференциального
и интегрального уравнений ........................... 22
§3. Интегральное уравнение переноса как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных
функций ........................................... 23
§4. Единственность, положительность и непрерывная
зависимость решения от начальных данных..............25
§5. Некоторые свойства решения интегро-дифференциального уравнения переноса................................. 26
Глава П. Дискретизация уравнения переноса...................... 28
§1. Линейно-алгебраическая модель переноса излучения 28 §2. Примеры линейно-алгебраической модели переноса
излучения .......................................... 30
§3. Векторно-матричная запись системы (І.І) ........... 34
§4. Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения .................................. 35
§5. Интегральная форма линейно-алгебраической модели переноса излучения как операторное уравнение
П рода в пространстве непрерывных функций 36
§6. Некоторые свойства решения линейно-алгебраической модели переноса излучения ......................... 38
3
п
Глава Ш. Итерационный метод Зейделя ...........................39
§1. Построение итерационного процесса.Теорема о
сходимости итерационного процесса ............... 39
§2. Доказательство теоремы.............................41
§3. Исследование оценки скорости сходимости итерационного процесса ...................................... 50
§4. Обсуждение итерационного процесса ............... 56
Глава 1У. Исследование линейно-алгебраической модели переноса излучения в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту..........................60
§1. Структура линейно-алгебраической модели в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту............................................60
§2. Преобразование линейно-алгебраической модели
переноса излучения................................. 66
§3. Связь линейно-алгебраической модели переноса с "классическим" вариантом метода дискретных ординат и 1^- приближением................................. 71
§4* Линейно-алгебраическая модель переноса излучения как система дифференциальных уравнений с коэффициентами из множества Ссъ С^)........................... 77
Глава У. Структура решения интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения ....................... 79
§1. Система интегральных уравнений .....................80
§2. Некоторые определения, обозначения и леммы ........ 80
§3. Существование решения уравнения С 1.1) и его
структура...........................................84
4
§4. Доказательство теоремы I ............................ 88
§5. Получение некоторых тождеств .........................89
§6. Исследование тождеств v5.4-5.5) ..................... 89
§7. Исследование тождеств (5.6-5.7) 91
§8. Некоторые свойства функции J4 (і).....................93
§9. Завершение доказательства теоремы I ............. 96
§10. Векторно-матричная запись интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения .....................................................99
§11.Существование и единственность решения интегральной формы линейно-алгебраической модели
переноса излучения ................................100
§12. Структура решения интегральной формы линейно-ал
гебраической модели переноса излучения.............101
§13. Структура решения интегральной формы линейно -алгебраической модели в случае равномерной дискретизации уравнения переноса по азимуту ...107 §14. Решение интегральной формы линейно-алгебраической модели переноса излучения в случае *
изотропного рассеяния .............................110
§15. Структура решения линейно-алгебраической модели переноса излучения.................................112
§16. Некоторые обсуждения ...............................115
Глава УІ. Численные результаты.................................118
§1. Схема расчетов ......................................118
§2. Исходные данные уравнения и метода решения 120
§3. Численное решение уравнений .........................121
5
§4. Численное исследование скорости сходимости
итерационного процесса .............................. 121
Заключение ..................................................... 124
Дополнение ..................................................... 125
Литература ..................................................... 130
Приложение. Таблицы, рисунки .................................. 138
б
ВВЕДЕНИЕ
Уравнение переноса является одним из важнейших уранений математической физики. Оно описывает самые разнообразные физические процессы в астрофизике, физике атмосферы, атмосферной оптике, ядерных реакторах, светотехнике и т.д. Большое разнообразие применения уравнения переноса для описания различных явлений окружающего нас мира позволяет выделить изучение уравнения переноса в самостоятельную дисциплину - теорию переноса.
В связи с тем, что уравнение перенса в общем случае интег-ро-дифференциальное имеет довольно сложную структуру, важную роль приобретают различные приближенные методы его решения. Вопросам численного решения уравнения переноса посвящена обширная литература (см. например, недавнюю монографию[Зб]и обзор[7б]}.
В настоящей работе изучается метод дискретных ординат применительно к решению уравнения переноса, описывающего излучение в плоско-параллельной анизотропно рассеивающей среде:
А 27
Рассмотрен следующий вариант этого метода: выбирается конкретный набор направлений и, тем или иным способом, интегральный член заменяется конечномерным аналогом. Благодаря этому, уравнение переноса приближенно заменяется системой дифференциальных уравнении с количеством неизвестных функций, равным числу выбранных направлений. Эту систему мы будем называть системой ме-
7
тода дискретных ординат ( СВДО). -п
Прототипами метода дискретных ординат являются методы Шустера [78], Шварцшильда[Т9] и сддингтона[б5] , разработанные для решения уравнения переноса излучения в изотропно рассеивающих (т. е.
) =1) атмосферах звезд и основанные на усреднении интенсивности излучения по углам. Естественным обобщением этих методов является метод Вика[82] - Чандрасекара[5б] . Идея стого метода заключается в следующем: интегральный член в уравнении переноса заменяется квадратурной формулой. Полученная на основе зтого сис тема дифференциальных уравнений допускает аналитическое решение.
В настоящее время метод Вика-Чандрасекара является наиболее хорошо изученным численным методом простейшего уравнения переноса. Так, например, в[5,68,70]он обобщается на случай конечной оптической толщины, а в работах [38,39] - на случай неоднородной среды и сферической геометрии. В[6,7,37,48,57,59,60,77,81] изучены вопросы сходимости и скорости сходимости метода к точному решению.
Дальнейшее обобщение метода дискретных ординат применительно
к решению уравнения переноса излучения в плоско-параллельной
анизотропно рассеивающей атмосфере было сделано в монографии
[5б]. Оно основано на предположении о разложении индикатрисы
рассеяния 9(1Г) в РЗД по полиномам Лежандра
со
$<п ' Г рс Р1 (ш/-) , <0.11
где^ -заданные коэффициенты, а Р& ($- полиномы Лежандра. Благодаря Этому, решение уравнения Iпереноса представляется в виде ряда Фурье
со
21 са-50() ом . (0.2)
и
г £
В котором коэффициенты I (1,1и} определяются из уравнений £ 4
^ + А I <!*(/*,(0.3)
СО
где ^ ^(Лу^') = у% РсМ^С/*'') ’ а/^присоединенные поли-
номы Лежандра. Далее интеграл в уравнении (0.3] заменяется на
основе некоторой квадратурной формулы
*
J д<у ^г>, I«> а л Со.4;
■М /С/-У
вследствии чего уравнение (0.3] заменяется системой уравнений сС1с(?) т* А V С
А '57 Д А ^д>-
На практике ограничиваются конечным числом /. членов в разложении (0.1),обеспечивающим нужную точность задания индикатрисы рассеяния. При небольших /. описанный метод является весьма эффективным, т.к. система (0.5]может бить решена аналитически.
Однако, при увеличении к эффективность этого метода резко ухудшается, сто связано, во-первых, с тем, что число ^ узлов квадратурной формулы (0.4) должно быть сравнимо с к , ибо в • противном случае нарушается условие баланса частиц
4 Л'
| |$'(/*,/)<*/* '*1 д’с/**,/*;)^, №«-, % (0.6)
— *1
7 С
из-за чего решение _/ , £ =1,2,...,/ может потерять
физический смысл. Число /V возможно уменьшить путем введения "нормировочных" коэффициентов Ду 9 1^1 уJ =1,2,..., например, методом ренормализации [69] таких, что
Д • <’ 12......^
9
‘однако это не снимает второй проблемы: нахождение решения
А/ / /7
I 1 (Г,/*') СО* , а суммирование ряда Фурье
является некорректно поставленной задачей.
Эти свойства делают метод дискретных ординат в его оригинальной форме в задачах с сильно анизотропной индикатрисой рассеяния практически нереализуемым.
Отказ от разложения индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра впервые, по-видимому, сделан Секера[80]. Он применил идею метода Чандрасекара для изучения поляризованного солнечного излучения: Двойной интеграл в интегро-дифференциальном уравнении переноса заменяется с помощью квадратурной формулы. Полученная таким образом система дифференциальных уравнений решалась итерационным методом Зейделя. Такой алгоритм в настоящее время довольно популярен среди специалистов по атмосферной оптике и используется для решения различных задач атмосферной физики |58, 61,63,64,66,71-73]. Однако этот метод имеет существенный недостаток: в СЦЦО нарушено условие баллансности частиц. В результате этого решение уравнения может стать отрицательным или даже вообще комплексным[20] . Кстати, с такой ситуацией при исследовании переноса излучения в "мутной” ({иг&иЖ) атмосфере столкнулся Зиельбам/бб]. Он предложил модификацию метода Секера, которая заключалась в том, что в СВДО выполнялось условие баллансности
Условие балланса частиц является важным требованием для метода дискретных ординат. К такому выводу, например, пришли Карлсон , и Латроп [201 . В этой работе для подтверждения указан-
частиц
IV
дискретный аналог символа
10
'ного факта они получают СВДО не. путем применения каких-либо разностных методов к аналитической форме уравнения переноса, а на основе вывода уравнения переноса в терминах дискретных переменных: уравнение переноса выводится для конечной ячейки в фазовом пространстве способом, аналогичным тому, который используется для вывода аналитического уравнения переноса. Полученное таким образом разностное уравнение оказалось устойчивым по отношению к численному счету.
Систему метода дискретных ординат, в которой выполняется уело вие баланса, мы, следуя терминологии [43] , будем называть линейно-алгебраической (ЛАМ) переноса излучения.
Настоящая работа посвящена изучению линейно-алгебраической модели переноса излучения в плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое конечной оптической толщины.
Остановимся теперь на содержании работы.
Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь приводится вид интегро-дифференциального уравнения переноса излучения в плоско-параллельном однородном анизотропно рассеивающем слое и его интегральный аналог. Затем описывается связь между стими уравнениями, которая формулируется!в виде теоремы эквивалентности. Далее интегральная форма уравнения переноса рассматривается как операторное уравнение II рода в пространстве непрерывных функций. Доказывается полная непрерывность, положительность оператора этого уравнения, а также существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных. Последний параграф этой главы посвящен перенесению основных свойств решения интегрального уравнения на решение интегро-дифференциального уравнения (существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных) .
II
Теоремы существования, единственности, непрерывной зависимости решения от исходных данных в соответствующих пространствах даны во многих работах[I,8,17,18,21,55] и для более общего случая, В этой главе воспроизводится ход этих доказательств для конкретного уравнения переноса. № старались оформить теоремы в таком виде, чтобы иметь возможность опустить доказательства аналогичных теорем для ЛАМ, рассматриваемых в последующих главах.
При изложении этого параграфа т в основном придерживались монографий [8,45,46,56] .
Вторая глава посвящена определению ЛАМ рассматриваемой задачи и исследованию свойств единственности, положительности и непрерывной зависимости от начальных данных. В первом параграфе этой главы мы определяем ЛАМ как краевую задачу для системы диф ференциальных уравнений, коэффициенты которой удовлетворяют условиям "симметричности", "положительности" и "балансности".Затем, во втором параграфе приводятся две конкретные ЛАМ. Первая из них получена путем замены интегрального члена в уравнении переноса на основе какой-либо квадратурной формулы. При этом, чтобы не нарушилось балансное™, вводятся нормировочные коэффициенты.
Вторая ЛАМ получена следующим образом. Разбиваем отрезки [0,1] и [0,2л] точками 0=у^* £^ 4} 0^ 27Г
соответственно. Далее интегро-дифференциальное уравнение переноса осредняется ПО угловым переменным и уЬС ( здесъу
- полярное расстояние в сферической системе координат,) на тожествах
= {(/*•?) I/*•<-< -/* > ¥>*-< - ¥-
Ь-ст * (I ~А 6■
12
Представляя интеграл столкновений в виде суммы интегралов, где интегрирование происходит на множестве и считая реше-
получим второй вариант ЛАМ* Отметим, что для этой ЛАМ условие балансности оказывается выполненым автоматически.
В следующем, третьем параграфе, для более компактной записи ЛАМ вводится векторно-матричная символика. Все вводимые здесь обозначения сохранены на протяжении всей работы.
В четвертом параграфе выводится интегральная форма ЛАМ.
Последние два параграфа этой главы посвящены установлению свойств единственности, положительности и непрерывной зависимости решения от начальных данных как ЛАМ, так и его интегральной формы. Теоремы, формулирующие эти свойства, практически дословно повторяют рассуждения соответствующих теорем предыдущей главы. Поэтому здесь они приводятся без доказательства.
При изложении этой главы мы придерживались в основном работы [24] , а также; ^20,43] .
В третьей главе изучается итерационный метод Зейделя применительно к пешению ЛАМ. В первом параграфе этой главы формулируется итерационный процесс и приводится теорема о сходимости и скорости сходимости этого процесса, доказательству которой посвящен следующий параграф. Показано, что метод Зейделя сходится к точному решению ЛАМ как геометрическая прогрессия со знаменателем, который можно оценить
В третьем параграфе изучается асимптотическое поведение ве-
дискретных направлений ЛАМ достаточно велико. В этом случае величина д , входящая в определение , есть
уравнения переноса постоянным по ^ и ^ на-$^,
личины О , т.е. ее поведение в предположении, что количество