Экспериментальная реализация, реконструкция и исследование моделей нелинейной динамики : системы с дискретным временем и задержкой

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................8
Глава 1. Радиофизические автоколебательные системы со сложной динамикой.............................................................31
1.1. Введение.......................................................31
1.2. Системы с задержкой............................................36
1.2.1. Моделирование системы с задержкой..........................37
1.2.2. Использование цифро-аналоговой системы для моделирования и исследования систем с задержкой..............................-45
1.2.3. Сложная динамика іенератора с цифровой линией задержки.....45
1.3. Моделирование генератора с ЯС-фильтром.........................52
1.4. Моделирование генератора на вакуумном микротриоле..............57
1.5. Гиперболический хаос в генераторе с задержкой..................63
1.5.1.1Іроблема гиперболичности...................................63
1.5.2. Схема генератора гиперболического хаоса на базе осциллятора Ваи-дер-11оля с дополнительной запаздывающей обратной связью......64
1.6. Выводы.........................................................74
Глава 2. Исследование дискретных отображений в физическом эксперименте ......................................................................76
2.1. Введение.......................................................76
2.2. Моделирование дискретных систем................................78
2.3. 1 Іостроение экспериментальной модели квадратичного отображения 82
2.4. Комплексное одномерное отображение как два связанных отображения в реальной системе................................................86
2.4.1. Реализация комплексного аналитического отображения в физическом эксперименте.......................................90
2.4.2. Результаты исследования экспериментальной модели комплексного квадратичного отображения.....................................93
2.5. Отображения с пороговой связью.................................95
2
2.6. Результаты численного и экспериментального исследования отображений с пороговой связью....................................100
2.7. Двухуровневое управление хаосом в одномерном отображении и в нелинейном колебательном контуре под внешним воздействием 108
2.7.1. Реализация процедуры двухуровневого управления на одномерном отображении...................................................111
2.7.2. Экспериментальная реализация схемы двухуровневого управления ..............................................................113
2.8. Выводы.........................................................117
Глава 3. Специализированные методики реконструкции модельных уравнений по временным рядах» (системы с запаздыванием, одномерные отображения)..........................................................119
3.1. Введение.......................................................119
3.2. Методика восстановления уравнений с запаздывающим аргументом 122
3.2.1. V'равнения с запаздывающим аргументом и подходы к их реконструкции.................................................122
3.2.2. Новый подход к реконструкции на примере уравнения 1 порядка ..............................................................123
3.3. Примеры восстановления систем первого порядка по временному ряду и специфические особенности процедуры.............................131
3.3.1. Восстановление системы Маккея-Гласса.......................131
3.3.2. Оценка длины ряда, необходимой для построения статистики.... 135
3.3.3. Восстановление параметров уравнения Иксды по временному ряду ..............................................................136
3.3.4. Оценка параметров радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью.................................139
3.4. Реконструкция кольцевых систем с запаздыванием по различным динамическим переменным...........................................143
3.5. Восстановление систем с запаздыванием более высокою порядка.... 147
3
3.6. Восстановление систем с запаздыванием с двумя временами задержки ..................................................................151
3.7. Оценка параметров системы Ланга-Кобаяши........................157
3.8. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам...................................................165
3.8.1. Оценка параметров «в прямом времени».......................166
3.8.2. Оценка параметров «в обратном времени».....................167
3.8.3. Сравнение работы методов оценки в прямом и обратном времени для одного параметра..........................................170
3.8.4. Оценивание нескольких параметров...........................176
3.9. Выводы.........................................................179
Глава 4. Моделирование но временным рядам в приложении к задачам оценки взаимодействия.................................................181
4.1. Введение.......................................................181
4.2. Определение коэффициентов связи двух генераторов при априорном знании структуры уравнений систем.................................187
4.2.1. Описание методики реконструкции............................187
4.2.2. Реконструкция уравнения связанных систем..................188
4.2.3. Экспериментальная система (объект моделирования)..........189
4.2.4. Моделирование отдельного генератора........................193
4.2.7. Моделирование системы из двух генераторов..................194
4.3. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам...................................199
4.4. Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам...................................................206
4.4.1. Метод реконструкции связанных систем с запаздыванием 209
4.4.2. Восстановление связанных идентичных систем Маккея-Гласса.. 211
4.4.3. Восстановление связанных неидентичных систем Маккея-Гласса в присутствии шума..............................................215
4
4.4.4. Восстановление молельных уравнений связанных генераторов с запаздывающей обратной связью по экспериментальным данным 217
4.5. Выделение сигнала, подмешанного к хаотической несущей системы с запаздыванием....................................................222
4.5.1. Схемы связи с нелинейным подмешиванием информационного сигнала в систему с запаздыванием............................222
4.5.2. Восстановление параметров передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала.....................228
4.5.3. Выделение информационного сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса.....................230
4.5.4. Пример выделения сигнала в физическом эксперименте........235
4.6. Выводы........................................................239
Глава 5. Оценка параметров систем с задержкой в периодическом режиме 241
5.1. Введение......................................................241
5.2. Методы реконструкции систем с задержкой в периодическом режиме .................................................................242
5.2.1. Реконструкция уравнений первого порядка методом подбора параметров...................................................243
5.2.2. Оценка характеристик автоколебательных систем с запаздыванием по отклику на слабое периодическое воздействие...............246
5.2.3. Определение по переходным процессам параметров систем с запаздыванием................................................253
5.3. Реконструкция уравнения системы медленной регуляции кровяного давления.........................................................258
5.3.1. Модельные представления о системе регуляции кровяною давления.....................................................262
5.3.2. Реконструкция модели системы барорефлекторной рег уляции кровяного давления по экспериментальным данным...............266
5.4. Выводы........................................................269
5
Глава 6. Изменение частоты внешнего сигнала как способ диагностики синхронизации.........................................................271
6.1. Введение.......................................................271
6.2. Исследуемая модель.............................................274
6.3. Вейвлет-преобразование и выделение фазы........................277
6.4. Результаты исследования асимметричного генератора Ван-дер-Поля под внешним воздействием..........................................282
6.4.1. Амплитудная динамика вейвлетных спектров неавтономного генератора и суммарного сигнала...............................282
6.4.2. Фазовая динамика сигнала неавтономного генератора и суммарного сигнала.......................................................286
6.4.3. Динамика неавтономной системы при одновременном наличии просачивания и синхронизации..................................293
6.5. Диагностика синхронизации по униварнантным данным..............295
6.5.1. Описание метода............................................295
6.5.2. Анализ синхронизации в асимметричном генераторе Ван-дер-Поля под внешним воздействием с изменяющейся частотой..............300
6.5.3. Влияние шумов и неточности определения базового временного масштаба......................................................305
6.5.4. Экспериментальное исследование синхронизации в іенераторе с запаздыванием.................................................311
6.6. Выводы.........................................................316
Глава 7. Применение новых методов к исследованию синхронизации в сердечно-сосудистой системе...........................................317
7.1. Введение.......................................................317
7.2. Постановка задачи и описание исследуемой системы...............319
7.3. Получение данных и методы их обработки.........................320
7.4. Результаты исследования синхронизации классическим способом при различных режимах дыхания.........................................328
7.4.1. Случай произвольного дыхания...............................328
6
7.4.2. Случай дыхания с постоянной частотой.......................335
7.4.3. Случай дыхания с линейно изменяющейся частотой.............336
7.5. Исследование синхронизации ритмов сердечно-сосудистой системы методом анализа вейвлет-спектров...................................341
7.6. Исследование синхронизации ритмов сердечно-сосудистой системы по у инвариантным данным..............................................345
7.7. Количественная оценка степени синхронизации между сигналами с помощью суммарного процента фазовой синхронизации..................350
7.8. Синхронизация ритмов сердечно-сосудистой системы как диагностический признак............................................357
7.8.1. Методика исследований......................................357
7.8.2. Результаты исследований....................................359
7.8.3. Обсуждение.................................................362
7.9. Выводы.........................................................364
Заключение............................................................366
Список литерату ры....................................................369
Благодарности.........................................................400
7
Введение
Становление современной нелинейной динамики было связано как с формированием базовых теоретических концепций и разработкой эталонных математических моделей, так и с большим объемом экспериментальных исследований. Гак, результаты анализа математических моделей (систем дифференциальных уравнений Лоренца, Ресслера, а также дискретных отображений) легли в основу теории динамического хаоса и определили направление экспериментальных исследований нелинейных и хаотических феноменов в реальных ситуациях, применительно к объектам различной природы. В свою очередь, наблюдение сложных электрических колебаний, механических движений тел, колебательных химических реакций, гидродинамических течений, эволюционных тенденций в ансамблях живых организмов и других природных явлений, а также процессов в искусственных объектах, стимулировали последовательное развитие нелинейной теории. Среди систем, созданных человеком, основным полигоном для изучения феноменов нелинейной динамики стали радиофизические и электронные системы. Это произошло благодаря разнообразию их конструкции и наблюдаемых явлений, свойств и возможностей управления ими. Важным достоинством является также развитая измерительная база. Изучение сложных автоколебаний генераторов Кияшко-Пнковского-Рабиновича |1], Ли и щенко-Л стахова [2], Чуа [3], мношконтурных систем (4] не только обеспечило развитие фундаментальных представлений о поведении конечномерных нелинейных систем, но и продсмоистрнроваю их прикладные возможности. Электронные СВЧ генераторы на основе лампы с бегущей волной [5] и лампа с обратной волной [6] наряду с гидродинамическими системами сыграли важную роль при изучении нелинейных эффектов и хаоса в распределенных системах.
Материальной основой для данной диссертации стал комплекс лабораторных макетов радиофизических колебательных систем различной степени сложности, сконструированных автором. В ней представлены
8
результаты экспериментального построения и исследования оригинальных физических моделей со свойствами, акцентированными на проявление ряда нелинейных феноменов с целью демонстрации их существования и специфики проявления в реальном мире. Необходимость проведения такой работы диктуется не только целями поиска, но и определяется тем, что аналитически или численно исследуются системы, функционирующие по законам логики, а наблюдение предсказанных эффектов в эксперименте, даже специально поставленном, придает найденному статус «реально существующего». Это в первую очередь касается динамических систем с дискретным временем, широко используемых при исследовании нелинейных явлений. Эксперимент не только позволяет придать результатам компьютерных исследований физическое толкование, но и расширяет имеющиеся представления за счет дополнительных данных и специфических деталей. С другой стороны, если изучение объекта аналитическими или численными методами затруднено, как, например, для рассматриваемых в работе бесконечномерных систем с запаздыванием, физический эксперимент представляет собой наиболее подходящий, а зачастую и единственно возможный, инструмент изучения.
Сказанное обосновывает актуальность тематики диссертационной работы. в которой методами радиофизики рассматриваются фундаментальные проблемы нелинейной динамики (такие как хаос, хаотическая синхронизация, реконструкция нелинейных моделей), а о практической значимости говорит выбор объектов (в частности, системы с запаздыванием) и их приложение как к решению востребованных задач радиофизики, так и смежных областей знаний.
Классы задач, решаемых в диссертации, фактически перечислены в ее названии. Первым (и основным) направлением работы является реализация на радиотехнической базе максимально простых физических моделей, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики и изучение особенностей их проявления в конкретных ситуациях. Это необходимо для
9
создания опорных представлений, позволяющих разобраться в сложнейшей картине хитросплетений нелинейных колебательных режимов объектов различной природы. Примером служат «карты режимов», помогающие ориентироваться в «море» возможных реальных ситуаций. Такие карты необходимы даже в сравнительно простых случаях: например, уже одиночный нелинейный колебательный конту р под внешним гармоническим воздействием - наиболее доступный и популярный колебательный радиотехнический объект - демонстрирует столь сложную зависимость движений от нескольких управляющих параметров, что бет опорных карт целенаправленный выбор колебательного режима становится проблемой.
Другое направление работы - эмпирическое моделирование в нелинейной динамике отражено в названии диссертации словом «реконструкция». Речь идет о построении математических моделей по временным рядам экспериментально наблюдаемых величин. Реконструкция в целом - важная междисциплинарная проблема, которая составляет «сердцевину» теории обработки сигналов и имеет большое значение для физики, биологии, геофизики, медицины, техники. Ранее она развивалась в основном в рамках математической статистики [98] н была известна под названием «идентификация систем». На современном этапе подходы к ее решению развиваются в рамках нелинейной динамики [7-10, 100-104, 115-121, 164, 165]. Значимость исследований в этом направлении определяется тем, что создание моделей многих практически важных систем, особенно живых, на основе первых принципов затруднительно или пока вообще невозможно. Единственным путем математическою описания способа функционирования объекта является конструирование модельной системы у равнений по данным экспериментального наблюдения реконструкция по временным рядам или другим множествам данных. Повсеместное использование в измерительных приборах аналого-цифровых преобразователей и распространение высокопроизводительной вычислительной техники существенно расширило базу и увеличило
10
возможности такого моделирования. Если раньше речь шла об аппроксимации экспериментальных точек простыми функциями, то теперь о реконструкции систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений.
Однако, как показывает опыт 90-х годов, и, в частности, неудачные попытки использования стандартных подходов, достижение успеха моделирования по временным рядам становится более реальным лишь при отказе от претензий на разработку единого для всех объектов универсального алгоритма. Необходимо создание набора специальных технологий реконструкции выделенных достаточно узких классов объектов. Такой подход подразумевает использование априорной информации о структу ре и свойствах системы (или хотя бы предположение о том, к какому классу относится исследуемая система) и как следствие, создание таких технологий реконструкции, которые позволят использовать в работе не интуитивные догадки, а определенный алгоритм. Эта идеология всесторонне анализируется, а ее плодотворность демонстрируется в диссертации применительно к системам с задержкой, которые широко представлены в природе и технике, а их математические модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии и химии. Уравнения Маккея-Гласса [11], Икеды [12] и генератора с запаздывающей обратной связью [13] стали эталонами систем с запаздыванием.
Кроме задач создания различных моделей и их исследования, перечисленных в названии работы, большое внимание уделяется обсуждению возможных приложений разработанных методик. Выбор для этого областей радиофизики и физиологии обоснован тем, что:
- современная радиофизика вес больше обращается к использованию сложных сигналов (шумоподобных, с широким спектром частот, с изменяющимися параметрами). С практической точки зрения важными являются проблемы построения сверхширокополосных систем связи с хаотической несущей и алгоритмы извлечения замаскированной информации
11
(14). Сложное и даже хаотическое поведение типично и для нелинейных колебательных систем различной природы. В этих условиях получили расширение и новое толкование некоторые базовые понятия радиофизики. Так, понятие фазы, очевидное для гармонических сигналов (аргумент гармонической функции), получило расширенное толкование и несколько способов определения (преобразование Гильберта, вейвлет-преобразование, и др.). Весьма востребованы результаты рассмотрения закономерностей изменения фазы сигналов - исследование фазовой динамики, например для диагностики связей колебательных систем по записям их хаотических (или •зашумленных периодических) временных реализаций. Так как фаза колебаний наиболее чувствительна к воздействию на автоколебательную систему, эти методы обладают большой чувствительностью (способны на «иреддиагностику»). Расширенное толкование получили представления о синхронизации автоколебательных систем - затягивание частоты, выравнивание частот двух генераторов гармонических сигналов, служившее символом синхронизации ранее, теперь является лишь частным случаем синхронизации. I? связи с переносом понятия синхронизации на системы со сложным поведением появились необходимость описывать новые виды синхронизации |23, 24, 34, 175, 233-238) - фазовую, обобщенную, полную. Необходимы также количественные меры таких типов поведения. Эти обстоятельства требуют проведения работы по иллюстрации возможностей новых мер при анализе реальных систем, их адаптации к специфике практически важных объектов, внедрению в практику. Синхронизация является важнейшим фундаментальным явлением, и ее изучение дает дополнительную информацию о структуре исследуемой системы и ее месте среди других взаимодействующих систем;
- способность к синхронизации внешним сигналом говорит о том, что мы имеем дело с автоколебательной системой и в соответствии с этим можем выбирать вид реконструируемой модели. Пели обнаруживается синхронизация между различными подсистемами, то можно предполагать
12
наличие связи между ними, что также дает дополнительную информацию о структуре системы. Еще одна возможность получить дополнительную информацию о той или иной стороне исследуемой системы - поставить специальный эксперимент. В диссертационной работе предложена методика воздействия на систему различными тестовыми сигналами и анализа отклика на них. Развивается методика определения синхронизации между реальными системами при помощи управления частотой одной из систем. Такая методика позволяет определить наличие связи между отдельными подсистемами (или элементами полной системы) и, следовательно, определить глобальную структуру всей системы в целом;
- в последние годы развиваемые в работе методы становятся все более востребованными в медицине и физиологии для решения задач диагностики состояния функциональных систем организма. При пом востребованность представленных в диссертации подходов определяется двумя моментами. Во-первых, рассматриваемые модели отражают механизмы функционирования живых систем, например, наличие запаздывающих связей между элементами типично для организмов, а разработанные методики реконструкции уравнений с запаздывающим аргументом расширяют арсенал средств исследователя-физнолога. Во-вторых, радиофизические макеты систем со сложной динамикой позволяют реализовывать эталонные ситуации с контролируемыми параметрами, физический смысл которых понятен. Так, например, различные способы связи автогенераторов могут бьпь реализованы через элементы с заданными свойствами, подключаемые в различные точки схемы. Это направление актуально в настоящее время, когда активно внедряются новые меры оценки характера взаимодействия (связанности) элементов организма по записям снимаемых с них сигналов, характера и степени синхронизованностн движений в его функциональных системах. Трудности решения этих задач определяется сложностью, часто хаотичностью, обрабатываемых сигналов, их нестационарное тью и зашумленностью.
13
Таким образом, тематика диссертационном работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов нелинейной физики, а также прикладных вопросов радиофизики и других наук, в частности, климатологии, биологии, физиологии, медицины. Целесообразность такого выбора места работы определяется тем, что для перехода от фундаментальных представлений в область приложений необходим этап физического и численного эксперимента на моделях и макетах, отражающих специфику процессом в реальных объектах. Дальнейшее исследование возможностей рассматриваемых подходов в приложении к реальным системам позволит, кроме непосредственного позитивного выхода, наметить пути совершенствования моделей, методики и технологий работы со сложными сигналами и нелинейными системами.
Цель работ ы состоит:
• в экспериментальной реализации и исследовании сложной динамики систем с запаздывающей обратной связью и систем с дискретным временем;
• в разработке технологии оценки параметров и реконструкции модельных уравнений с запаздыванием по экспериментальным временным рядам, развитии практики реконструкции уравнений систем с задержкой;
• в разработке новых методов диагностики синхронизации и количественной меры уровня синхронизации в автоколебательных системах.
Научная новизна:
• впервые проведены экспериментальные исследования генератора с запаздывающей обратной связью в широком диапазоне соотношений времени задержки ко времени инерции фильтра и покачан универсальный характер изменения значений параметра неравновесности, при которых происходят последовательные удвоения периода и переход к хаосу;
14
• впервые реализованы и исследованы радиотехнические схемы, моделирующие поведение комплексного аналитическою отображения и связанных отображений с пороговой связью;
• впервые реализован и исследован генератор Ван-дер-Поля с модуляцией параметров и запаздывающей обратной связью, в котором реализуется странный атграктор, обладающий свойствами гиперболического;
• впервые предложена методика обработки временного ряда, основанная на подсчете статистики экстремумов и позволяющая определить время задержки системы, описываемой уравнением с издержкой первого порядка;
• разработан комплекс методик для оценки но временному ряду параметров системы с задержкой;
• разработана методика определения параметров связи по временному ряду взаимодействующих систем с задержкой;
• поставлен эксперимент, демонстрирующий синхронизацию основных ритмов сердечно-сосудистой системы с дыханием при изменении частоты дыхания.
Теоретическая и практическая значимость работ
Комплекс проведенных экспериментальных исследований радиофизических моделей устанавливает реальное существование ряда нелинейных явлений, обнаруженных на абстрактных моделях. Экспериментальное исследование двух связанных отображений, эквивалентных комплексному квадратичному отображению, демонстрирует наличие феноменов комплексной аналитической динамики в физической реальности. Разработанная неавтономная система с задержкой, обладающая странным аттрактором с гиперболическими свойствами, дает возможность исследовать гиперболические аттракторы в радиофизическом эксперименте. С практической точки зрения, отсутствие в гиперболическом аттракторе устойчивых орбит высоких периодов позволяет считать их перспективными
15
для создания генераторов хаоса. Методы реконструкции и оценки параметров систем с запаздыванием, разрабатываемые в диссертационной работе, применимы во многих областях науки - радиофизике, оптике, физиологии, биофизике и др. В практическом плане идеи реконструкции систем с задержкой демонстрируют недостаточную скрытность систем передачи информации, основанных на синхронном хаотическом отклике. Методы диагностики синхронизации, предложенные в работе, применимы к системам самой различной природы, что обеспечивает их широкую применимость на практике. Результаты исследований использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета. Совместно с НИИ кардиологии получены свидетельства об официальной регистрации программ, предназначенных для исследования синхронияованностн ритмов сердечно-сосудистой системы.
Достоверность научных результатов основана на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, на соответствии с результатами, которые в некоторых случаях могут быть получены и другими методами, на сравнении результагов анализа временных рядов и систем, генерирующих временные ряды, а также на воспроизводимости экспериментов.
Результаты и положения, выносимые на защиту
1. Разработан и экспериментально исследован комплекс радиотехнических моделей с запаздыванием и дискретным временем, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики.
2. Нелинейная система, содержащая генератор Ван-дер-Поля. управляющий параметр которого подвергается медленному изменению е периодом и петлю нелинейной запаздывающей связи, сигнал в которой модулируется с частотой, близкой к частоте автоколебаний генератора Ван-дер-Поля, при значениях времени задержки порядка
16
3/4Т, может генерировать хаотические колебания, аттрактор которых но структуре близок к гиперболическому.
3. Экспериментальная модель дискретной системы в виде двух связанных особым образом логистических отображений демонстрирует конфигурацию бассейнов притяжения в виде множества Мандельброта, характерного для комплексною квадратичного отображения.
4. В хаотическом временном ряде систем с запаздыванием первого порядка и систем более высокого порядка при малых по сравнению со временем задержки временах инерционности отсутствуют экстремумы, расстояние между которыми равно времени задержки.
5. Итерирование одномерного отображения в обратном времени для
оценки параметров методом наименьших квадратов при умеренных уровнях добавленного шума повышает точность определения
управляющих параметров но сравнению с итерированием в прямом времени.
6. Разработана методика опенки связи, основанная на реконструкции
уравнений связанных систем, преимуществом которой является
возможность оценки связи при наличии синхронизации.
7. Разработан комплекс методик, позволяющих оценить время задержки, время инерционности и порядок фильтра в цепи обратной связи генераторов с запаздыванием, демонстрирующих периодическое поведение.
8. Методика, основанная на изменении частоты внешнего воздействия на
автоколебательную систему и анализе разности фаз колебаний
воздействия и системы позволяет различить ситуации наличия фазовой синхронизации и аддитивного сложения колебаний воздействия и системы.
Работа выполнялась в рамках НИР, проводимых по планам ИРЭ РАН,
Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации
Российской Академии Наук, при поддержке Российского фонда
17
фундаментальных исследований (гранты 96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 02-02-17578, 03-02-17593, 05-02-16305, 06-02-16619, 07-02-00747), программы РАН «Фундаментальные науки - медицине», а также Американского фонда гражданских исследований и разработок (CRDF, грант REC-006). Результаты работы использовались при чтении курсов и проведении практических занятии со студентами специализации «Теория колебаний и волн» на кафедре электроники, колебании и волн и на базовой кафедре динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета.
Лпробаиия работы и публикации.
Основные материалы работы представлялись на зимних школах-семинарах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993, 1996), на конференциях «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 1993, 1996, 1999, 2002. 2005), Международной конференции по нелинейной динамике и хаосу (Саратов, 1996), научной международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (Москва, 1996), 5th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic System (NDES'97, Moskow, 1997), международной школе «Хаотические автоколебания и образование структу р» (ХАОС, Саратов, 1998. 2001, 2004, 2007), International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98, Crans-Montana, Switzerland, 1998), 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98, Budapest, Hungary, 1998), European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis EUROA ITRACTOR’2000, Warsaw, 2000), 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-2001 Delft. The Netherlands, 2001), международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов. 2001), 265 WE-Heraeus-Seminar «Synchronization in Physics and Neurosciences», 2001, Bad I lonnef, Germany, International conference «Synchronization of chaotic and stochastic oscillations» (Saratov, 2002), «Topical Problems of Nonlinear Wave
18
Physics» (Nizhny Novgorod, Russia, 2003, 2005), International Conference «European Dynamics Days», (Palma de Mallorca, Spain, 2003, 2004), X Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (Звенигород, 2005), конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Казань. 2005), конференции «Наноэлектроника, нанофотоника, нелинейная физика» (Саратов. 2006, 2007), научной школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2006, 2008), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн, базовой кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии СГУ, лаборатории динамического моделирования и диагностики СФ ИРЭ РАН.
Основное содержание работы изложено в 140 публикациях (46 статей в журналах, 94 тезисов докладов и статей в сборниках).
Личный вклад соискатели.
В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений. Соискатель разработал и изготовил экспериментальные радиофизические устройства, использованные в экспериментальных исследованиях, непосредственно участвовал в проведении физиологических экспериментов, составлении программ численной обработки сигналов, осуществлял научное руководство исследованиями. Результаты по исследованию генераторов с запаздыванием получены в соавторстве с Кузнецовым С.П.; результаты по реконструкции систем с задержкой - в соавторстве с Безручко Б.П.. Прохоровым М.Д., Караваевым A.C.; результаты по разработке методики исследования синхронизации -совместно с Прохоровым М.Д., Короиовским A.A., Храмовым А.Е.
Структура и объем работы.
Работа состоит из введения, семи глав, списка литературы И заключения. Общий объем составляет 400 стр., в том числе 84 стр. рисунков. Список литературы содержит 323 наименования.
19
Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, описана ее новизна и практическая значимость, сформулирована цель исследования. Приведены основные положения и результаты, выносимые на защиту, а также сведения о публикациях и апробации работы.
В первой главе описаны такие базовые модели нелинейной динамики, системы со сложным поведением, как генератор с К С-фильтром и генератор с задержкой в цепи обратной связи, а также оригинальные модели, построенные автором - модель генератора на вакуумном микротриоде и генератор гиперболического хаоса с линией задержки.
Исследован неавтономный автогенератор с КС-филыром. построено разбиение плоскости параметров «амплитуда - частота внешнего воздействия» на характерные режимы. Определены принципы моделирования автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью, предложена схема и построен автогенератор с цифровой линией задержки. Проведено экспериментальное исследован не автогенератора с задержкой в зависимости от управляющих параметров - времени задержки и параметров фильтра.
Предложена схема автогенератора на вакуумном мнкротриодс. Проведено численное моделирование уравнения автогенератора и экспериментальное исследование модели на операционных усилителях. Показано, что неавтономная модель автогенератора на вакуумном микротрноде может демонстрировать не только периодическое, но и хаотическое поведение. Приведены результаты экспериментального исследования плоскости параметров «амплитуда-частота внешнего воздействия».
Разработана принципиальная схема и проведены исследования неавтономной нелинейной системы с запаздыванием, которая является примером бесконечномерной системы, с гиперболическим странным аттрактором. Система построена на базе осциллятора Ван-дер-1 Іоля с дополнительной
20
запаздывающей обратной связью.
Продемонстрировано присутствие хаоса и то обстоятельство, что отображение для фазы сигнала принадлежит к тому же топологическому классу, что и отображение Бернулли.
Во пторон главе разработан принцип построения экспериментальных схем, математическими моделями которых являются дискретные отображения с хаотическим поведением. Предложены и реализованы радиотехнические схемы, отражающие поведение лошсгичсского отображения, комплексного аналитического отображения, а также системы отображений с пороговой связью. Приведены также результаты их экспериментальных исследований.
Исследование дискретных отображений проводится методами численного моделирования и экспериментального исследования радиотехнических моделей, динамика которых описывается теми же дискретными отображениями. Экспериментальный способ изучения дискретных систем имеет ряд преимуществ. Именно при проведении натурною эксперимента появляется возможность исследования систем в реальном времени, что иногда позволяет существенно сократить трудоемкость проводимых исследований. Так, натурный эксперимент оказывает неоценимую услугу' при исследовании систем с большим числом мультнетабильных состояний. Кроме того, в экспериментальной системе существенными являются внутренние и внешние шумы и нендснтичность отдельных подсистем, что приводит к «отсеиванию» режимов, неустойчивых но отношению к подобным возмущениям. Более того, совпадение результатов натурного и численного экспериментов позволяют с большей степенью доверия относиться к полученным результатам.
Радиотехническая схема, математической моделью которой является логистическое отображение, демонстрирует в эксперименте наличие последовательности бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу, а также наличие окон периодичности в закрнтической области.
21
Для комплексного квадратичного отображения, являющегося обобщением на комплексный случай обычного квадратичного отображения, показано, что при помощи замены переменных его можно свести к двум квадратичным отображениям, связанным специфическим образом. Разработана радиотехническая схема, математической моделью которой является комплексное квадратичное отображение. В зависимости от величины параметра связи разбиение плоскости управляющих параметров на области характерных режимов (карта режимов) может принимать вид топологически различающихся структур.
Показано, что экспериментально полученные карты динамических режимов на плоскости параметров качественно совпадает с видом карт динамических режимов, полученных в численном эксперименте.
Исследованы два связанных логистических отображения с новым типом связи - пороговой связью.
Показано, что поведение новой системы существенным образом отличается от поведения логистических отображений с традиционными типами связей. Построены карты режимов и приведены фазовые портреты, полученные в численном и физическом эксперименте.
Экспериментально реализована схема двухуровневого управления хаосом в колебательном контуре с полупроводниковым диодом. В »том случае управляющий параметр может принимать только два возможных значения в отличие от традиционного способа управления хаосом в схеме, предложенной Оттом, Грсбоджи и Йорком [15]. Показана принципиальная возможность стабилизации периодической орбиты периода 2. Дискретная схема управления хорошо работает для экспериментальных систем. Ее преимуществами по отношению к методам с непрерывным изменением управляющего параметра является предельная простота сравнения опорного и реального сигналов и простота конструкции усилителя возбуждения
В третьей главе разрабатываются методики реконструкции и оценки параметров модельных уравнений по экспериментальным временным рядам.
22
История вопроса [7] говорит о том, использование при реконструкции молельных уравнений по временным рядам универсальных методик, не учитывающих особенностей объекта, как правило, не приводит к успеху. На хороший результат обычно можно рассчитывать лишь при использовании специальных технологий реконструкции для достаточно узких классов объектов и конкретных ситуаций. Целесообразный объем затрат на разработку таких технологий определяется фундаментальной и практической значимостью моделируемых объектов и ситуаций. Это оправдано тем, что системы с задержкой представлены очень широко как в живой, так и в неживой природе. Несколько технических приложений разработанного подхода представлены и в згой главе, и в главах 5,6 диссертации. В качестве еще одного примера плодотворности специального подхода в данной главе представлен оригинальный метод оценки параметров одномерных отображений.
Возможности метода реконструкции систем с задержкой продемонстрированы на примерах систем Икеды, Маккея-Гласса, в радиотехническом эксперименте на примере генератора с запаздывающей обратной связью.
Описание возможностей предложенной методики реконструкции систем с запаздыванием завершается примером оценки параметров для более сложной системы двух уравнений, описывающих динамику одномодового полупроводникового лазера (уравнение Ланга-Кобаяши) [ 16].
Разработан новый метод оценки параметров одномерного отображения, основан на использовании обратных итераций модельного отображения при оценке целевой функции. Единственная ляпуновская экспонента одномерного отображения в этом случае становится отрицательной и таким образом, чувствительность орбит отображения в обратном времени к начальным условиям исчезает, и можно ожидать меньшего числа локальных минимумов целевой функции, что облетает оценку параметра. Показано, что оценка параметров одномерного отображения в обрат ном времени во многих
23
случаях является более точной и быстрой, чем разновидности оценки параметра в прямом времени.
В четвертой главе предложены методы определения коэффициентов связи двух генераторов при априорном знании структуры уравнений систем, а также способ восстановления уравнений систем с задержкой под внешним воздействием и связанных систем с задержкой. Проведено глобальное моделирование связанных систем как при наличии подробной информации о механизме функционирования каждой из них, так и при наличии лишь информации о том, что система может быть описана уравнением с задержкой. Такой подход не претендует на выявление очень слабой связи (в отличие от анализа динамики фаз), но позволяет определить не только направление, но и характер связи, причем он работоспособен и мри анализе режима синхронизации.
Разработана экспериментальная установка для исследования системы двух автогенераторов с хаотическим поведением, связанных двунаправленной, однонаправленной и нулевой связью.
В численном и физическом эксперименте исследованы системы с задержкой под внешним воздействием.
Пре,чложен метод, позволяющий по временным реализациям колебаний в системах X и У восстановить систему с запаздыванием X, определить точку подключения и величину связи. Показано, что для оценки по наблюдаемой реализации времени задержки можно воспользоваться методом, предложенным в главе 3. Этот метод определения времени задержки применим в том случае, если на систему X действует система У. при условии, что внешнее воздействие не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы X
Работоспособность метода продемонстрирована для случаев, когда система с запаздыванием X описывается уравнением Маккея-Гласса, а внешнее воздейст вие системы У является гармоническим или хаотическим.
24
По сравнению с другими методами определения связи между системами по временным рядам [17, 18], предложенная процедура имеет ряд преимуществ. В отличие от индексов направленности, она применима к синхронизованным системам и позволяет определять величину связи, а не только ее направление, даже в случае связи принципиально различных систем. Для оценки устойчивости работы метода по отношению к возмущениям, он был применен к зашумленным данным. Метод оказывается болсс критичным к шуму в системе с запаздыванием. Он еще остается работоспособным при уровнях шума в системе X порядка 10%. Уровень шума в системе У, может быть при этом в несколько раз выше.
Проведены подробные исследования систем с запаздыванием, связанных различными способами. Показано, что и в этом случае при оценке времени задержки методика, описанная для одиночной системы с задержкой, может быть успешно применена. Условие применимости состоит в том, что воздействие со стороны второй системы нс приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы. Такой метод определения времени -запаздывания также обладает высоким быстродействием, поскольку использует только операции сравнения и сложения, не требуя вычисления каких-либо мер сложности движения 119] или ошибки аппроксимации данных |20,211.
Генераторы с запаздыванием хорошо подходят для построения схем связи с нелинейным подмешиванием сипзала. В передатчике, представляющем собой генератор с запаздывающей обратной связью, добавляется информационный сигнал. В приемнике, представляющем собой копию передатчика, информационный сигнал выделяется из общего сигнала несущей [22]. Показано, что, несмотря на возможную высоку ю размерность аттрактора несущей, выделение информационного сигнала сторонним наблюдателем возможно в случае, если известно, что передатчик описывается уравнением с запаздыванием 1-го порядка.
25
Основная идея состоит в том. что по временному ряду .можно оценить параметры передатчика и построить приемную схему (или соответствующий алгоритм обработки), с помощью которой можно выделить информационный сигнал. Выделение информационного сигнала проводилось в численном эксперименте на примере синусоидального и частотно модулированного сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса.
Проведен физический эксперимент, в котором в качестве передатчика использована кольцевая система с задержкой, описываемая уравнением 1-го порядка. Представлены результаты выделения гармоническою информационного сигнала из сигнала хаотической несущей в случае, когда параметры передатчика неизвестны.
В пятой главе разрабатываются методы оценки параметров систем с задержкой по периодическому временному ряду. Дело в том, что в хаотическом режиме движение более разнообразно и в типичном случае охватывает более широкую область фазового пространства, чем в периодическом режиме. В определенном смысле это дает возможность более точно проанализировать систему и адекватно ее реконструировать. Движение на периодическом аттракторе более однообразно, и не позволяет проследить поведение системы в различных ситуациях.
В данной главе предлагается ряд методов определения параметров систем с запаздыванием, совершающих периодические колебания:
- метод подбора параметров;
- метод анализа отклика на слабое воздействие;
- метод определения параметров систем с запаздыванием по переходным процессам.
Методы были апробированы в численном эксперименте на уравнении
генератора с запаздывающей обратной связью с различными видами
нелинейности. Показано, что эти методы хорошо работают, даже при
наличии шума.
*
26
Описанная методика была апробирована на исследовании системы медленной регуляции кровяного давления, которая демонстрирует колебания, близкие к периодическим.
В шестой главе проводится анализ синхронизации систем по временным рядам. Разработан анализ синхронизации системы внешним воздействием с изменяющейся частотой. Такое исследование является частным случаем общей постановки задачи об исследовании синхронизации между системами но временным рядам. Его можно провести далеко не всег да, но в случае, когда это удается, результаты могут дать более точное представление о системе, в отличие от традиционного способа изучения синхронизации. В частности, в некоторых случаях такой эксперимент даст возможность при наблюдении сложного сигнала от двух систем отличить случай активного взаимодействия систем от случая просачивания сигнала одной системы в другую.
Обработка данных производится методами вейвлет-анализа. Преимущество такой обработки в том, что комплексное вейвлет-прсобразование дает информацию о частотном составе колебаний и о фазе для выбранного частотного диапазона. Вейвлет-преобразование применяется в качестве инструмента исследования синхронизации двух сигналов, один из которых изменяет частоту' по линейному закону в зависимости от времени. Использован новый подход к анализу синхронизации колебаний 123. 24], называемый синхронизацией временных масштабов и основанный на введении непрерывного множества фаз, которое определяется с помощью непрерывного вейвлетного преобразования [25] временного ряда
Исследована модель асимметричного генератора Ван-дер-Поля под внешним периодическим воздействием с изменяющейся частотой. Анализировались временные ряды самого генератора и внешнего воздействия. Показано, что отличие между случаем синхронизации сигнала генератора, богатым гармониками основной частоты, внешним сигналом, и случаем простого просачивания сигнала можно отслеживать по вейвлетмому
27
спектру мощности, сравнивая динамику масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам. В случае эффекта «просачивания» какие-либо изменения динамики масштаба, частота которого близка к частоте внешнего сигнала, не приводят к изменению динамики других характерных масштабов. В случае синхронизации характерный излом в вейвлетном спектре наблюдается на всех характерных масштабах.
Кроме того, в данной главе предложен метод, основанный на непрерывном вейвлетном преобразовании, который позволяет диагностировать наличие синхронизации колебаний генератора внешним воздействием с изменяющейся частотой по унивариантным данным (скалярным временным рядам). Показано, что внутри областей синхронизации при линейном изменении частоты воздействия разность фаз, вычисленных в моменты времени, разделенные временем г, изменяется но закону, близкому к линейному в зависимости от і и г.
Эффективность методов демонстрируется на примере асимметричного генератора Ван-дср-Поля в численном эксперименте, и для генератора с запаздыванием в радиотехническом эксперименте.
В седьмой главе проведены исследования синхронизации между тремя различными ритмами сердечно-сосудистой системы. К этим ритмам относятся: основной сердечный ритм, ритм дыхания и ритм медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Проводился анализ экспериментальных временных рядов электрокардиограмм, пульсограмм и записей дыхания. Исследована синхронизация трех ритмов при различных режимах дыхания: произвольном, с постоянной частотой и с переменной частотой для различных групп испытуемых. Продемонстрировано наличие у здоровых людей областей синхронизации между основным сердечным ритмом и дыханием, а также между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Между этими тремя ритмами наблюдается фазовая синхронизация с различными соотношениями п:т при различных режимах дыхания. В экспериментах с фиксированной
28
частотой дыхания длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиениями и между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц в среднем была больше, чем в экспериментах с произвольным дыханием. Отмечено также, что в ходе одного эксперимента могут наблюдаться различные порядки синхронизации. В эксперименте с изменяющейся частотой дыхания убедительно продемонстрировано наличие синхронизации между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц.
Эволюция фазы во времени определяется различными способами (преобразование Гильберта с последующей фильтрацией, эмпирическая декомпозиция мод. вейвлетное преобразование). Продемонстрирована возможность выделения фаз трех основных ритмов сердечно-сосудистой системы по многоканальным временным рядам (электрокардиограмма и дыхание), а также но одноканальным временным рядам (один канал электрокардиограммы). Показано, что результаты исследования синхронизации между тремя основными ритмами сердечно-сосудистой системы, полученные в случаях многоканальных и одноканальных данных, качественно совпадают.
Проведено выделение ритма с частотой 0.1 Гц из различных временных рядов - К-К интервалов и ряда кровяного давления (пульсограммы). Показано, что для здоровых людей синхронизация между этими ритмами высокая, в то время как для больных ишемической болезнью сердца уровень синхронизации между этими ритмами значительно ниже. Для количественной оценки уровня синхронизации введена новая мера, названная суммарным процентом синхронизации. Расчеты суммарного процента синхронизации для этих больных в первые 3-5 дней с момента наступления инфаркта миокарда и на третьей неделе лечения показал, что суммарный процент синхронизации, рассчитанный на третьей неделе, увеличивается по сравнению с первой неделей заболевания в среднем примерно в 1.5 раза. Показано, что суммарный процент синхронизации
29
между ритмами с частотой 0.1 Гц, выделенными из /?-/? интервалов и ряда пульсограммы, может быть использован в качестве диагностического признака для контроля эффективности лечения.
Для оценки суммарною процента фазовой синхронизации созданы и зарегистрированы два программных продукта, которые используются в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии для диагностики состояния больных, перенесших инфаркт миокарда, а также для разработки новых методов медицинской диагностики. Каждая глава диссертации завершается выводами. В конце приведено краткое заключение.
30
Глава 1. Радиофизические автоколебательные системы со сложной динамикой
1.1. Введение
К шестидесятым годам прошлого века радиофизика располагала большим числом систем, шумовые колебания которых использовались для генерации случайных сигналов. Первичные источники таких сигналов создавались с помощью вакуумных и полупроводниковых диодов и триодов, газоразрядных источников, фотоэлементов, фотоумножителей, и др. [26-28|. Для получения требуемой мощности и спектрального состава в схему юнератора шума вводились дополнительные усилители и преобразователи. Развитие и исследование данных радиофизических устройств велись с целью создания систем радиопротиводействия, шумовой локации, калибровки измерительных приемников в основном методами физического эксперимента.
Ситуация н корне изменилась, когда в 1963 году метеоролог Э. Лоренц [29] обнаружил, что система грех дифференциальных уравнений может демонстрировать неупорядоченное поведение. С этой работы началось становление концепции динамическою хаоса, а умами экспериментагоров овладела идея генерации сложных колебаний с использованием динамических систем. Осознание возможности сложного и хаотического поведения нелинейных систем уже с полутора степенями свободы привело к всплеску теоретических, численных и экспериментальных исследований, направленных на изучение закономерностей фундаментального явления динамической хаотнзации. Хаос стал обнаруживаться даже в тех устройствах и системах, которые были хорошо изучены и имели большое практическое значение при использовании в регулярных колебательных режимах. Так, в колебательном контуре с варакторным диодом (ЯЛ-диод цепь), который является основой параметрических усилителей п генераторов [30], было хорошо известен эффект последовательного усложнения колебаний с
31
рождением новых субгармоник [31]. В дальнейшем, при исследованиях, направленных на получение хаоса, в нем был обнаружен переход к хаотическим колебаниям. Отмеченная последовательность субгармоник стала пониматься как результат каскада бифуркаций удвоения периода, присущего любому одномерному квадратичному отображению. Закономерности становления динамического хаоса стали обнаруживаться и в большинстве перечисленных известных в «дохаотический» период источников сложных сигналов, в том числе и наиболее заслуженном из них -кольцевом генераторе с ЛБВ, названном «шумотроном» [5]. Но более типичной для нового периода радиофизического экспериментирования стало создание лабораторных макетов наиболее простых систем, демонстрирующих определенные феномены хаотической динамики и их тщательное изучение. Гак, генератор Кияшко-Пнковского-Рабиновича |1] кроме того, что продемонстрировал реальность динамического хаоса, стал классическим примером перехода к хаосу через перемежаемость. На генераторе Астахова-Анищенко [35-37] были изучены закономерности перехода к хаосу через разрушение к вази периодических движений. Семейство генераторов Чуа стало полигоном для демонстрации огромного числа нелинейных динамических явлений, присущих низкоразмерному хаосу [38]. Одновременно с фундаментальными исследованиями, этот исторический период характеризуется интенсивным развитием различных устройств, генерирующих хаотические сигналы.
Представляемая диссертационная работа зародилась именно в этот период и начиналась с создания генераторов шума на элементах логических микросхем, с использованием линии задержки на поверхностных акустических волнах, на базе нелинейною колебательного контура с полупроводниковым диодом, и т.д.. Несмотря на то, что актуальность анализа фундаментальных закономерностей перехода к хаосу и демонстрации их представленности в реальных условиях в значительной мере спат, вопросы экспериментальною исследования новых феноменов и
32
построения реальных устройств со специальными типами поведения представляются очень важными.
Основное содержание первой главы составляет описание конструктивных особенностей, особенностей физического моделирования и результатов исследования систем, интерес к которым велик в настоящее время и которые использованы как базовые при исследованиях, описанных в следующих главах. К ним относятся:
- системы с задержкой как пример бесконечномерной системы, в которой проявляется феномен временного запаздывания реакции системы на управляющий сигнал, столь широко представленное в природе;
- кольцевая система с ЯС-фильтром, считающаяся перспективной для создания радиотехнических генераторов со сложным спектром [4];
- модель генератора вакуумном микротриоде перспективной системы микроэлектроники,
- физическая модель хаотической системы с гиперболическим странным аттрактором1, существование которого в реальности до сих пор вызывает споры теоретиков.
">ти модели создавались специально, с учетом потребностей реализации той или иной особенности, обеспечивающей нужные свойства. При необходимости, кроме аналоговых элементов, в них использовались цифровые элементы. Поэтому следует остановиться на вопросе о стату се таких радиофизических конструкций. Зачем нужно реальное техническое устройство после того, как математическая модель построена? Какие черты математической конструкции отображает реальный объект?
1 Дело н том, чго реальные физические системы - колебательный контур с диодом, хаотические автогенераторы, система Ресслера не относятся к классу систем с гиперболическими аттракторами, для них было введено понятие квазнаттрактора, который устроен значительно более сложно, чем гиперболический: при фиксированных значениях параметров в ограниченном объеме фазового пространства одновременно сосуществует счетное множество хаотических и регулярных притягивающих подмножеств. Поэтому понятен интерес к системам, которые могут демонстрировать гиперболический хаос.
33
[і обоснование целесообразности построения радиофизических моделей можно привести несколько доводов. Во-первых, реальное устройство функционирует по законам природы при наличии присущих природе возмущений и шумов, демонстрируя поведение, предсказанное моделью, и этим доказывает грубость ситуации и возможность ее практической реализации. Во-вторых, теоретические и численные исследования нелинейных систем весьма громоздки и требуют больших временных затрат даже при использовании современной вычислительной техники2. В-третьих, исследование именно радиотехнических моделей обладает неоспоримым преимуществом по сравнению с другими (механическими, биологическими и т.п.), поскольку при исследовании электрических цепей в руках экспериментатора находится весь спектр радиотехнического оборудования, позволяющий анализировать сложные режимы и управлять ходом эксперимента. Еще одним достоинством радиотехнического моделирования является возможность выбора частотного диапазона, удобного для анализа. В дальнейшем в качестве объектов экспериментального исследования будут использованы радиотехнические модели.
Радиотехнические модели можно разделить на два больших класса аналоговые и аналого-цифровые модели. В свою очередь, аналоговые модели можно разделить на системы с непрерывным временем (в которых наблюдается непрерывный электрический процесс) и с дискретным временем (имеется внешний временной масштаб, а значения электрических показателей важны в дискретные моменты времени). Обычно системы с непрерывным временем используют для создания моделей, описываемых дифференциальными уравнениями, а системы с дискретным временем - для моделирования дискретных отображений.
? Справедливости ради следует сказать, что зачастую программирование занимает меньше времени, чем построение радиотехнической модели. Кроме того, программирование имеет безусловно и другие преимущества. В частности, если в ііроірамме реализована одна
34
Чисто цифровые модели представляю! собой процедуру расчета и могут быть реализованы на компьютере без участия реальных радиотехнических схем. Аналого-цифровые модели содержат и аналоговые, и цифровые узлы и являются переходным звеном, связывающим чисто аналоговые и чисто цифровые модели. В некоторых случаях использование цифровых узлов в аналоговых моделях позволяет добиться более адекватных результатов, чем использование чисто аналоговой или чисто цифровой модели.
В данной главе будут предложены различные радиотехнические аналоговые и аналого-цифровые модели систем с непрерывным временем и проведены исследования их динамики в зависимости от управляющих параметров.
система, то вторую к ней добавить значительно проще, в то время как в эксперименте необходимо сделать такую же, затратив при этом практически такое же количество труда.
35
1.2. Системы с задержкой
Системы с задержкой широко распространены в природе и обществе. Уравнения с запаздыванием представляют особый интерес как для математиков [39.401. так и для специалистов самых разнообразных специальностей. В частности, динамика изменения состава крови 111). электрические сигналы мозга (42). колебания в радиофизических |4. 13. 47] и оптических (45) системах и другие явления могут быть описаны с использованием уравнений с задержкой. Это во многом объясняет высокую популярность уравнений с задержкой у исследователей, занимающихся проблемами нелинейной динамики. Значительная часть их относится к автоколебательным системам (генераторы с запаздывающей обратной связью). Такие генераторы исследуются уже давно, и первые работы по исследованию генераторов с запаздыванием появились еще в 30-е годы XX века [45], а в 50-е годы эти схемы исследовались с учетом дисперсионных свойств системы запаздывания [46]. В классических учебниках отмечается, что генератор с запаздывающей обратной связью обладает высокой стабильностью, что делает сю привлекательным при изготовлении высокостабильных таймеров [471. В последнее время интерес к генераторам с запаздыванием еще более усилился, в первую очередь потому, что при соответствующем выборе параметров схемы и вида нелинейной функции в генераторе с запаздывающей обратной связью можно наблюдать переход к хаосу и эволюцию различных хаотических режимов, а также мультистабильность и другие эффекты, к которым проявляет интерес нелинейная динамика.
Обобщенная схема генератора с запаздывающей обратной связью может быть представлена в виде линии задержки, усилителя и инерционного элемента, замкнутых в кольцо, причем в реальной системе все три элемента схемы могут быть выполнены при помощи одного устройства. К таким устройствам можно отнести усилители с обратной связью, обладающие одновременно запаздывающими, инерционными и усилительными
36
свойствами. Обычно система может быть названа генератором с запаздывающей обратной связью в случае, если время задержки намного превышает время инерционности в системе. В достаточно общем случае системы с запаздывающей обратной связью могут содержать не одну, а несколько задержек, нелинейных элементов, фильтров и описываются уравнением следующего вида
Vм(О + + — ■+ *|*(0 = - г,)..х(1 - г*)), (1.1)
где х({)— состояние системы в момент времени /, л|п'(/) — производная но времени порядка п, г,,...,гд — времена запаздывания е„...,ея — параметры, характеризующие инерционные свойства системы.
В простейшем случае инерционный элемент описывается уравнением первого порядка, время задержки только одно, и уравнение системы имеет вид:
£0х(О = -х(0 + /(*(/ - Г,,)) . ( 1.2)
Тем не менее, даже такие простые системы интересны для изучения и могут служить адекватными моделями для различных реальных систем.
1.2.1. Моделирование системы с задержкой
11ри исследовании реальной системы важно кроме исследования самой системы построить модель (математическую или физическую), на которой можно подробно изучить пути перехода к хаосу, поведение системы в закритичсской области, влияние управляющих параметров на динамику системы, и т.д. Зачастую на модели это можно сделать проще, поскольку во-первых, в реальных системах существуют принципиально неустранимые влияния помех различной природы. К ним относятся шумы в системах, отражения, и другие помехи, влияющие на чистоту проведения эксперимента. В модельных системах стараются максимально избавиться от помех такого рода. Во-вторых, в реальных системах обычно не работает приближение идеальной системы с задержкой (это может быть связано с наличием инерционных и нелинейных свойств самой линии задержки, когда
37
вместо обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо применять уравнения в частных производных). Такие отличия от идеализированной системы приводят к значительному усложнению поведения и не позволяют выделить основные черты динамики реальной системы.
Таким образом, цель моделирования систем с задержкой можно определить как выявление ключевых особенностей поведения, присущих именно этому классу систем.
В общем случае сначала необходимо построить математическую модель системы. В наших исследованиях мы в качестве математической модели используем уравнение (1.1). Для исследования математической модели в численном эксперименте необходимо построить специальную численную схему, позволяющую осуществлять интегрирование уравнения. Для исследования в физическом эксперименте необходимо создание специальной физической модели, в которой учтены только те характеристики системы, которые входят в уравнение. Для физических моделей зачастую это удается с уходом в область низких частот. Па низких частотах становится возможным использовать при исследованиях полный спектр прецизионной низкочастотной аппаратуры, оцифровывать сигнал с высокой точностью и обрабатывать его на компьютере.
Кроме того, в физическом эксперименте мы можем искусственно ввести дискретное время в системе (1.1), подобно тому, как это делается в численной модели при выборе шага интегрирования. Дело в том, что с математической точки зрения модель, описываемая уравнением (1.1), является бесконечномерной, поскольку требует задания начальных условий на непрерывном интервале времени задержки. С физической же точки зрения количество степеней свободы ограничено н составляет Л'-Л/г, где /\/ полоса пропускания фильтра [47]. В связи с этим можно рассматривать состояния системы не на непрерывном интервале, а в дискретные моменты времени. Количество степеней свободы дискретной модели равно количеству дискретных интервалов времени, на которые разбивается время задержки.
38