Задачи определения упругопластического состояния сложных и упрочняющихся сред

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................5
Глава I. Постановка задачи. Метод возмущений. Аналитичность
решения плоской упругопластической задачи.....................22
§ 1. Определяющие соотношения, граничные условия, условия
сопряжения теории EVP тела....................................22
§ 2. Линеаризация соотношений теории течения, граничных условий и
условий сопряжения............................................27
§ 3. Плоское деформированное состояние. Линеаризированные
соотношения...................................................31
§ 4. Напряженно-деформированное состояние кольцевой пластины,
нагруженной в своей плоскости.................................37
§ 5.Упругопластичсское состояние толстой плиты с круговым отверстием, заполненным с натягом круглым включением -
цилиндром.....................................................40
§ 6. Существование, единственность и сходимость решения
упругопластической задачи.....................................46
§ 7. Обсуждение результатов.......................................53
Глава И. Метод возмущений в классе задач Галина-Ивлева
для EVP сред..................................................56
§ 1. Двухосное растяжение толстой пластины, ослабленной круговым
отверстием....................................................57
§ 2. Двухосное растяжение толстой пластины с эллиптическим
отверстием....................................................67
§ 3. Двухосное растяжение толстой пластины с отверстием
близким по форме к правильному многоугольнику.................78
§ 4. Эксцентрическая труба под действием внутреннего давления .... 93 § 5. Обсуждение результатов...................................99
Глава III. Метод возмущений в двумерных упругопластических
задачах с включениями........................................102
§ 1. Двухосное растяжение толстой плиты, ослабленной отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным с натягом упругим включением - цилиндром,
по форме соответствующим отверстию в плите...................103
§ 2. Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненному
стержнем - включением........................................118
§ 3. Двухосное растяжение толстой плиты с эллиптическим отверстием, заполненным с натягом эллиптическим
цилиндром - включением.......................................122
§ 4. Двухосное растяжение толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругопластическим включением в виде цилиндра, внутренний и внешний контуры которого близки
по форме к правильному многоугольнику........................137
§ 5. Обсуждение результатов......................................165
Глава IV. Метод возмущений в задачах устойчивости
упругопластических тел.....................................168
§ 1. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом
поведении материалов.........................................169
§ 2. Исследование устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при
упругопластическом поведении материалов......................178
§ 3. Исследование устойчивости состояния равновесия многослойной крепи вертикальной горной выработки
при упругопластическом поведении материалов..................186
§ 4. Обсуждение результатов......................................195
4
Глава V. Применение решения задачи типа Ламе к упругопластическим задачам статики и динамики сплошной среды......................................................196
§ 1. Приближенное решение задачи Галина-Ивлева для
упрочняющейся упруговязкопластической среды.................196
§ 2. Обобщение решения Галина для упрочняющейся
упруговязкопластической среды...............................200
§ 3. Критическое состояние трубопровода при гидроударе..........203
§ 4. Обсуждение результатов.....................................209
Заключение......................................................210
Литература .....................................................214
5
ВВЕДЕНИЕ
Неодномерная упругопластическая задача является одной из наиболее сложных в математической теории пластичности. Сложность задачи состоит в том, что граница между областью, перешедшей в пластическое состояние, и областью, деформирующейся упруго, заранее неизвестна и ее нужно определить в процессе решения задачи.
Основные методы решения упругопластических задач условно можно разделить на аналитические и вариационно-разностные.
Аналитические методы решения упругопластических задач связаны с применением методов теории комплексного переменного и асимптотических методов, включающих методы разложения по большим или малым значениям некоторого параметра. Из вариационно-разностных методов наибольшее применение к решению упругопластических задач в последнее время находит метод конечных элементов.
Многие задачи, с которыми сегодня сталкиваются математики, физики, инженеры не поддаются точному решению. Среди причин, затрудняющих поиск точного решения, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на известной или неизвестной границах сложной формы. В этой ситуации исследователь вынужден пользоваться различного рода приближениями и здесь наиболее целесообразно пользоваться приближенными аналитическими подходами. Одним из таких подходов является метод малого параметра или метод возмущений, позволяющий находить решение близкое к уже известному точному. При этом возмущению можно подвергать как форму тела, так и граничные условия.
В современной инженерии нередко используются предварительно -напряженные технологии, в частности, постановка крепежных деталей с натягом в корпуса летательных аппаратов, холодная обработка пластинчатых конструкций, предварительный натяг в резервуарах высокого давления и
6
многие другие. В связи с этим большое значение представляет расчет напряженного и деформированного состояний в пластинах с запрессованными элементами различной конфигурации. Этот вопрос в научном плане также тесно связан с наиболее сложным и недостаточно изученным разделом математической теории пластичности - неодномерной упругопластической задачей.
Новые результаты, позволяющие расширить представление о характере поведения упругопластических тел, относятся к числу важных и актуальных в теории и практике технологических задач механики. Подтверждением этого может служить большое число научных работ отечественных и зарубежных авторов. Среди них можно выделить работы М.Т. Алимжанова [1], Б.Д. Аннина [9], Г.И. Быковцева [22, 64], Л.А. Галина [31], А.Н. Гузя [39,40], JI.B. Ершова [49, 65], В.Г. Зубчанинова [53 - 56], Д.Д. Ивлева [22, 61 - 65, 73], A.A. Ильюшина [69, 71], А.Ю. Ишлинского [72, 73], A.A. Маркина [114, 115], А.Ф. Ревуженко [140 - 142], В. Прагера [138], А.Н. Спорыхина [155, 166], Г.П. Черепанова [9, 182], А.И. Шашкина [166], Е.И. Шемякина [140 -142,178, 179,185 - 192], С.А. Христиановича [178,179].
Метод возмущений, являющийся методом приближенного решения, впервые был использован при решении практических задач механики в работах Пуанкаре [139], Ван-Дейка [24] и Найфе [128, 129]. Метод основан на введении величии малых по сравнению с некоторыми данными, так или иначе “возмущающих” те или иные исходные решения. В связи с тем, что в качестве “возмущающих” используются малые величины, то во многих работах метод возмущений называют методом малого параметра. Это, как представляется, сужает более широкие возможности метода возмущений, что следует из работ, обзор которых дан ниже. Тем не менее, при изложении состояния вопроса будем придерживаться той терминологии, которая была принята в указанных работах.
За сравнительно короткий период рассматриваемый метод нашел широкое применение в исследовательской и инженерной практике самых различных областей науки и техники.
Существенное влияние на развитие и использование метода возмущений оказал неизбежно сопутствующий научно-техническому прогрессу процесс создания и применения новых материалов, особенно проявляющих сложные реологические свойства, поскольку последний сопровождается решением неоднородных задач механики деформируемого твердого тела.
Метод возмущений нашел также широкое применение и в теории упругопластического тела, что отражено в монографии Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [65].
В обзорных статьях и монографиях М.Т. Алимжанова [1, 2], А.Н. Гузя [39, 40], А.Н. Спорыхина [151-154], [155], Шашкина А.И. [166] изложено состояние и дальнейшее развитие метода возмущений в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел.
Применение метода возмущений для решения задач гидродинамики отражено в работе Ван-Дейка [24].
К числу первых работ, связанных с использованием метода малого параметра при решении упругопластической задачи, можно отнести работу
А.П. Соколова [148], который в первом приближении получил решение задачи о двуосном растяжении тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска-Ссн-Венана.
В связи с тем, что в теории пластичности большая часть уравнений является нелинейной, то с помощью метода малого параметра проводится линеаризация этих уравнений, и возникает возможность получения решения, удовлетворяющего практику. При этом можно учитывать влияние неидеаль-ности свойств материала, усложнения геометрии области течения и другие факторы.
Малый параметр, характеризующий геометрию тела, был использован при образовании шейки в образцах [67, 131, 146], правке листов [41], круче-
8
нии конических валов и валов с некруговым сечением [109,132], при определении распределения напряжений и деформаций в пластинах с некруговым отверстием [75,104,108,116,117,172,203].
Примеры решения задач пластически неоднородных анизотропных тел содержатся в работах [3,18,42-45, 66, 118, 174-176,197, 198-201].
Линеаризация уравнений жесткопластического тела проведена Д.Д. Ивлевым [61], а связь - линеаризированные уравнения с характеристическими направлениями - дана Дж. М. Спенсером [202-204].
Для метода малого параметра встает вопрос о сходимости приближений. До сих пор этот вопрос остается в основном нерешенным. При применении метода малого параметра ко многим задачам математики, механики, физики А. Найфе [128] отмстил, что: «Можно вычислить только несколько членов возмущенного разложения, обычно не больше, чем два или три, и почти никогда не больше, чем семь. Получающиеся ряды часто медленно сходятся или даже расходятся. Тем не менее, эти несколько членов содержат значительную информацию, из которой исследователь должен извлечь все, что возможно».
Л.А. Галин [31] для случая плоской деформации в 1946 году, а Г.П. Черепанов [182] для случая плоского напряжения в 1963 году дали точное решение задачи о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием. Взяв в качестве малого параметра полуразность растягивающих напряжений, отнесенных к пределу пластичности, Д. Д. Ивлев [65] показал, что найденные им четыре приближения методом малого параметра для задач Л.А. Галина и Г.П. Черепанова в точности совпадают с соответствующими разложениями точных решений по тому же малому параметру. Схема Д.Д. Ивлева позволяет определить и последующие приближения.
Однако оказалось, что для описания точного решения Л.А. Галина достаточно двух, а для описания решения Г.П. Черепанова четырех приближений [65]. H.H. Остросаблин [133] получил точное решение для перемещений в задаче Л.А.Галина.
9
Используются различные схемы решения упругопластических задач методом малого параметра.
Д.Д. Ивлев и JI.B. Ершов [65] рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком охватывает ее. В рамках такого подхода было получено решение ряда двухмерных и трехмерных задач [3,4, 7,28,29,30,108,116,117,147,177].
Б.Д. Аннин и Г.П. Черепанов [9] дали решение задачи о всестороннем сжатии плоскости с отверстием. При этом, в отличие от схемы Ивлева-Ершова, решение в упругой области определялось методами функции комплексного переменного. Было показано, что для пластины с эллиптическим отверстием предложенная ими схема и схема Ивлева-Ершова приводит к одному и тому же результату.
М.А. Артемов получил [10-15], основываясь на схеме Ивлева-Ершова, ряд приближенных решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым отверстием, а так же об эксцентричной трубе, подверженной действию внутреннего давления.
Решение задачи о трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферическим отверстием, в первом приближении дано Т.Д. Семыкиной [147]. Изложение некоторых решений упругопластических задач можно найти в монографии Г.И. Савина [144] и В.М. Мирсалимо-ва [121].
Малый параметр в теории пластичности вводился различным образом. В частности, A.A. Ильюшин [70] использовал в качестве малого параметра величину обратную модулю объемного сжатия и исследовал нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределом упругости. В работе Д.Д. Ивлева и JI.B. Ершова [49] малый параметр характеризует различие между плоским и осесимметричным состоянием.
В.Д. Клюшников в работе [79] предложил метод решения упругопластических задач, основанный на разложении по малому параметру нагруже-
10
ния. Метод разложения по малому параметру нагружения рассматривался также в работах [57-60].
Применение метода малого параметра в теории малых упругопластических деформаций изложено в монографии Д.Д. Ивлева и JI.B. Ершова [65].
Метод возмущений эффективно использован учениками Д.Д. Ивлева при решении большого числа упругопластических (при условии полной пластичности, условии Мизеса), вязкопластических, жесткопластических задач [26, 50, 52, 67,68, 112,120, 122, 123 - 125,134, 137,143, 145, 180], в том числе в постановке Ишлинского. В работах [25, 51, 110, 111] определено предельное состояние сыпучей среды ослабленной цилиндрической, эллипсоидальной, сферической плоскостями.
С использованием схемы Ивлева-Ершова в работах А.Н. Спорыхина и его учеников [16, 17, 81-93, 163, 156, 98-102] получен ряд приближённых решений для задач о растяжении плоскости из упрочняющегося упругопластического материала с круговым, эллиптическим и близким к правильному многоугольнику отверстием, подверженных действию внутреннего давления.
Ю.М. Марушкей использовала метод возмущений в задаче о двухосном растяжении упругопластического пространства с эллиптическим включением [117] и при рассмотрении упругопластического состояния среды с включением в виде эллиптического цилиндра [116].
Метод возмущений был применен Л.М. Качановым для решения задачи пластического кручения круглых стержней переменного диаметра [77].
В работе [23] Г.И. Быковцсв и Ю.Д. Цветков методом малого параметра решили задачу упругопластического кручения эллиптического стержня при неполном охвате пластической областью контура поперечного сечения. Ю.Д. Цветков рассмотрел общий подход к решению задачи кручения упругопластического стержня с околокруговым поперечным сечением в случае локального и полного охвата пластической областью контура поперечного сечения стержня [181]. A.A. Алимжанов и Н.С. Мукашсв применили метод малого параметра к решению задачи упругопластического кручения стержня
11
с гипоциклоидным и овальным поперечным сечением [6] и к решению задачи упругопластического кручения стержня переменного диаметра [5]. В работе [6] было показано, что для стержня овального поперечного сечения три приближения, полученные методом малого параметра, в точности совпадают с тремя членами разложения точного решения, полученного В.В. Соколовским [149].
Пластическому кручению анизотропных стержней посвящена работа Г.И. Быковцсва [21]. В.В. Дудукаленко и Д.Д. Ивлев рассмотрели кручение анизотропно упрочняющихся жесткопластических призматических стержней. В работе [46] решение проведено при линеаризированном условии пластичности и законе пластического течения, а в работе [47] - в предположении, что линеаризированными являются лишь соотношения ассоциированного закона пластического течения, условие пластичности принималось нелинейным.
Широкое применение метод возмущений нашел в задачах устойчивости деформируемых упругопластических тел, в том числе, в задачах горной механики. Выполненные исследования в этом направлении достаточно полно освещены в монографиях [1,39,40, 80,155,166 и др.].
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке метода приближенного решения упрочняющихся упруговязкопластических (EVP) задач теории течения, исследованию упругого и пластического состояний в пластинах, содержащих включение различных очертаний, исследованию явления локальной неустойчивости в одном классе задач о горных массивах, обладающих упругопластическими свойствами, применению решения задачи Ламе для сложной (EVP) и упругопластической (ЕР) сред.
Помимо отмеченных выше, автор в ходе написания диссертации обращался к работам различных авторов, в том числе и названных выше [8, 48, 74,76,106,113,119,135, 136,137,157,158,161, 164-167, 168- 171,184,193, 195,196].
12
Актуальность темы. Необходимость предсказания поведения различных конструкций из металлов, грунтов и т.п. требует разработки более сложных математических моделей, описывающих с достаточной степенью точности процессы и явления. Естественно, возникает необходимость разработки методов, позволяющих производить расчеты по моделям. Так, например, ряд материалов в процессе упругопластического деформирования проявляет упрочнение и вязкость, с учетом которых, существенно усложняются расчеты.
В настоящее время нет универсальных методов решения задач упрочняющегося упруговязкопластического тела. Если в теории идеальной пластичности разработан ряд эффективных методов решения задач, то в теории упрочняющегося упруговязкопластического тела эти методы развиты в значительно меньшей мере. Несмотря на то, что разработан ряд численных методов, для решения неодномерных задач теории течения важное значение имеет разработка методов, дающих приближенное решение в виде сравнительно простых аналитических выражений.
Использование запрессовки в конструкциях и технических сооружениях позволяет существенно упростить процесс производства, снизить экономические затраты и, в конечном итоге, получить более надежный узел детали, поэтому в современном производстве и инженерии этот вид сборки получил широкое распространение. Необходимость предсказания поведения таких конструкций, а также конструкций, содержащих различные выемки, выточки, подкрепления, требует разработки сложных математических моделей, позволяющих с высокой точностью оценить такие явления и процессы. В этой связи использование решения, полученного хотя и приближенно, но аналитическим методом, более выгодно, чем решение, полученное исключительно численно.
На средних и больших глубинах горные породы приобретают явно выраженные неупругие свойства, поэтому необходимость предсказания отказов разных конструкций из бетона, металла, разрушения горных выработок и целиков требует разработки и применения более сложных математических мо-
13
делей сред, оценивающих с большей степенью точности процессы деформирования. С этой точки зрения использование моделей сложных сред, в которых учитываются такие свойства, как пластичность, вязкость, упрочнение, обнаруживаемые у реальных физических тел, не могут не представлять существенный научный и практический интерес.
Однако использование уточненных постановок задач и усложненных моделей сред влечет за собой значительные математические трудности, а это приводит к необходимости разработки эффективных методов решения, что и определило актуальность темы исследования.
В связи с этим целями настоящей работы являются:
Разработка приближенного аналитического метода решения плоских упруговязкопластических и упругопластических задач, представляющего решение в виде аналитических выражений.
Определение в рамках модели Ивлева-Спорыхина (EVP) поля напряжений и перемещений в задачах Галина-Ивлева.
Определение в рамках модели упругопластического тела распределение поля напряжений и перемещений в задачах о двухосном растяжении пластин, ослабленных отверстиями различных типовых форм (в том числе эллиптическим и близким по форме к правильному многоугольнику), содержащих включение соответствующих очертаний.
Исследование аналитичности полученных решений.
Развитие метода возмущений в одном классе задач горной механики.
Применение решения задачи типа Ламе (EVP среда) для определения комплексных потенциалов в задаче Л.А. Галина.
Исследование состояния трубопровода при гидроударе.
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что для анизотропного упрочняющегося упруговязкопластического тела в рамках модели Ивлева-Спорыхина с произвольным коэффициентом упрочнения:
- разработан метод решения плоских задач;
- получены линеаризованные уравнения;
14
- выработан подход, сводящий решение сложных задач теории течения к решению менее сложных задач этой теории;
- построен алгоритм решения этих задач;
- решены задачи Галина-Ивлева о двухосном растяжении пластин, ослабленных круговым, эллиптическим или близким к правильному многоугольнику отверстием, а так же задача об эксцентричной трубе под действием внутреннего давления.
Для упругопластического тела на основе линеаризованных уравнений:
- сформулирована и доказана теорема о существовании, единственности и разложимости в сходящийся ряд решения плоской упругопластической задачи;
- дано обобщение схемы Ивлева-Ершова на решение некоторых плоских упругопластических задач с включениями;
- решена в первом приближении задача о двухосном растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику, заполненным упругим включением в виде цилиндра или стержня соответствующей формы;
- решены в первом приближении задачи о двухосном растяжении толстой плиты, ослабленной эллиптическим или близким по форме к правильному многоугольнику отверстием, содержащим упругопластическое включение в виде цилиндра соответствующей формы;
- в^ рамках метода возмущений разработан метод решения и решен класс задач устойчивости при неоднородных докритических состояниях в том числе: о локальной неустойчивости пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов; об устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов; об устойчивости состояния равновесия многослойной крепи вертикальной горной выработки при упругопластическом поведении материалов;
15
- предложен способ использования решения А.Н. Спорыхина задачи Ламе для определения комплексных потенциалов и упругопластической границы в задаче Л.А. Галина;
- решение упругопластической задачи Ламе применено для исследования критического состояния трубопровода при гидроударе.
Практическое значение. Развитый алгоритм решения позволяет определять поле напряжений и перемещений в упругой и пластической зонах, положение упругопластической границы при решении задачи теории течения в рамках модели Ивлева-Спорыхина с произвольным коэффициентом упрочнения и вязкости; оценить различие в решениях задач в рамках теории течения и деформационной теории.
Полученные результаты позволяют определять поле напряжений и перемещений, а также вид и положение границ упругой и пластических зон в задачах о пластинах, содержащих включения различных форм, и могут быть использованы при выборе расчетных схем необходимых в задачах, решаемых при строительстве выработок, при выборе толщины крепей на основе данных о физико-механических свойствах массива, для исследования напряженно-деформированного состояния горного массива около выработок.
Достоверность. Проведенные в данной диссертационной работе исследования базируются на методе возмущений, использовании которого в решении многих задач механики сплошных сред, включая задачи теории пластичности, показало его высокую эффективность.
Достоверность сделанных в работе выводов обеспечивается корректной постановкой задачи и дальнейшими строгими выкладками, апробированно-стью используемых моделей механики сплошных сред, согласованием полученных результатов исследования с физическими представлениями и сопоставлением полученных результатов с уже известными.
Апробация. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 1992 -
16
2005 гг.; на научных сессиях Воронежского государственного университета 1993 - 2005 гг.; на школах, проводимых Воронежским государственным университетом совместно с Московским государственным университетом, Саратовским государственным техническим университетом, математическим институтом им. В.А. Стсклова 1992 - 1995 гг., посвященных современным проблемам механики и математической физики; на Белорусском учредительном конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика-95» 1995 г.; на I международной конференции «Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеза» Солигорск, Беларусь, 1996; на 2 Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика 99», Минск, 1999; на 5 международной конференции «Нелинейные колебания механических систем», Нижний Новгород, 1999; на 3 Международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии», Воронеж, 2002; на школах-семинарах, посвященных 70- и 75-летию профессора Д.Д. Ивлева «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 2000-2005 гг.); на «Понтрягинских чтениях X», проводимых ВГУ в 1999 г.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в монографии [156] и следующих печатных работах [16,17,32-38, 81-102,163,183].
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 204 наименования. Работа содержит 234 страницы печатного текста, включая 43 рисунка и 1 таблицу.
Кратко остановимся на структуре диссертации.
Глава первая. В этой главе разработаны методы решения задач для анизотропного упрочняющегося упруговязкопластического тела в рамках модели Ивлева-Спорыхина с произвольным упрочнением и вязкостью.
В первом параграфе этой главы приводятся уравнения теории течения упруговязкопластического материала с анизотропным упрочнением.
Во втором параграфе проводится разложение по малому параметру уравнения, определяющего поверхность нагружения, и соотношений ассо-
17
циированного закона пластического течения. Дан анализ полученных уравнений для величин любого порядка с учетом возможности интегрирования соотношений ассоциированного закона пластического течения; выполнено разложение по малому параметру граничных условий и соотношений на упругопластической границе.
В третьем параграфе получены линеаризованные уравнения для случая, когда упругопластическое поведение материала описывается моделью Ивле-ва-Спорыхина с произвольным коэффициентом упрочнения; выводятся уравнения, необходимые для решения задач, рассматриваехмых во второй и третьей главе. Исследуется случай плоского деформированного состояния. Определяется тип уравнений для напряжений и перехмещений в пластической зоне; излагаются алгоритмы решения задач теории течения упрочняющегося упруговязкопластического тела и упругопластического тела с включениями.
В четвертом параграфе приведено решение задачи о нагружении круговой цилиндрической трубы и бесконечной пластины из упрочняющегося упруговязкопластического материала внутренним и внешним давлением.
В пятом параграфе второй главы рассмотрено решение задачи об осесимметричном состоянии плиты с круговым отверстием, содержащим круговое цилиндрическое включение. Включение предполагалось двух вариантов: а) упругое, б) упругопластическое.
В шестом параграфе рассмотрен вопрос о существовании единственности и сходимости решения упругопластической задачи.
В седьмом параграфе обсуждаются результаты, полученные в предыдущих параграфах.
Глава вторая. В этой главе приведено решение ряда задач теории течения упрочняющегося упруговязкопластического тела модели Ивлева-Спорыхина с произвольным упрочнением.
В первом параграфе решена задача о двухосном растяжении плоскости с круговым отверстием (случай плоской деформации). Найдены две итерации в первом приближении.
18
Во втором параграфе решена задача о двухосном растяжении плоскости с эллиптическим отверстием (случай плоской деформации). Найдены две итерации в первом приближении.
В третьем параграфе решена задача о двухосном растяжении плоскости, ослабленной отверстием близким по форме к правильному многоугольнику (случай плоской деформации).
В четвертом параграфе решена задача об эксцентрической трубе подверженной действию внутреннего давления.
В пятом параграфе проводится обсуждение результатов, полученных во второй главе, и дан их анализ.
Глава третья. В данной главе получено решение задач о растяжении толстой плиты с отверстиями различных типовых форм (эллиптической и близкой к многоугольной) с запрессованными в них цилиндрическими включениями соответствующих очертаний.
В первом параграфе решена задача о растяжении толстой плиты с упругим цилиндрическим включением, внутренний и внешний контура которого близки по форме у правильному многоугольнику. Исследовался случай плоской деформации. Найдено первое приближение.
Во втором параграфе решена задача о двухосном растяжении толстой плиты с отверстием близким по форме к правильному многоугольнику заполненному стержнем - включением. Исследовался случай плоской деформации. Найдено I приближение.
В третьем параграфе решена задача о двухосном растяжении толстой плиты с упругопластическим цилиндром - включением с эллиптическими внутренним и внешним контурами. Исследовался случай плоской деформации. Найдено первое приближение.
В четвертом параграфе получено решение задачи о двухосном растяжении толстой плиты с упругопластическими включениями, контуры которых близки по форме к правильным многоугольникам. Исследовался случай плоской деформации. Найдено первое приближение.
19
Пятый параграф посвящен анализу и обсуждению полученных в третьей главе результатов.
Глава четвертая. В данной главе в рамках трехмерных линеаризованных уравнений теории устойчивости деформируемых систем получены решение задач о локальной неустойчивости пластин с запрессованными кольцевыми включениями, а также задач об устойчивости состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи, и об устойчивости многослойной крепи возле вертикальной горной выработки.
В первом параграфе решена задача о локальной неустойчивости пластин с запрессованными кольцевыми включениями при упругопластическом поведении материалов.
Во втором параграфе исследована устойчивость состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов.
В третьем параграфе проведено исследование устойчивости состояния равновесия многослойной крепи вертикальной горной выработки при упругопластическом поведении материалов.
В четвертом параграфе обсуждаются результаты, полученные в четвертой главе.
Глава пятая. В данной главе получено решение ряда задач механики сплошных сред с помощью решения задачи Ламе о цилиндрической трубе, подверженной действию внутреннего и внешнего давлений.
В первом и втором параграфе дано обобщение решения Л.А. Галина на случай EVP среды и определены комплексные потенциалы в плоской упругопластической при различных граничных условиях.
В третьем параграфе рассмотрено критическое состояние трубопровода при гидроударе.
В четвертом параграфе обсуждаются результаты пятой главы.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе и которые выносятся автором на защиту.
20
Основные результаты работы, которые выносятся автором на защиту:
1. В рамках метода малого параметра развит подход к решению плоских задач для анизотропно-упрочняющегося упруговязкопластического тела модели Ивлева-Спорыхина с произвольным упрочнением.
2. Решены задачи Галина-Ивлева о растяжении пластин с отверстиями различных очертаний.
3. Выявлено влияние механических параметров, внешних нагрузок, геометрии контура отверстия на распространение пластической зоны.
4. Разработан новый алгоритм решения задач типа Галина-Ивлева, который может служить, с одной стороны, апробацией метода, а с другой -ориентиром для сравнения различных теорий.
5. Сформулирована и доказана теорема о существовании, единственности и разложимости в сходящийся ряд решения плоской упругопластической задачи.
6. В рамках метода малого параметра развит подход к решению плоских упругопластических задач с включениями.
7. Дан алгоритм решения этих задач.
8. Решены задачи о растяжении плиты с цилиндрическими включениями с контурами эллиптической и близкой по форме к правильному многоугольнику конфигурациями.
9. Исследовано влияние возмущения контуров включения и отверстия в плите, распределения внешних нагрузок и механических параметров на форму упругопластической границы как в плите, так и во включении.
10.Дан анализ поведения упругопластической границы как в случае упругого, так и упругопластического включений.
И.В рамках метода возмущений с помощью трехмерных линеаризованных уравнений решены задачи о локальной неустойчивости платины с запрессованными кольцевыми включениями.
21
12.Исследована устойчивость состояния равновесия горного массива возле многослойной сферической крепи при упругопластическом поведении материалов.
13.Получена область критических значений параметров контактных давлений в задаче об устойчивости состояния равновесия многослойной крепи вертикальной горной выработки при упругопластическом поведении материалов.
14.С помощью решения А.Н. Спорыхина задачи Ламе (ЕУР-модель) дано обобщение решения Галина в задаче Галина-Ивлева для сложной модели среды.
15.Исследовано критическое состояние трубопровода при гидроударе.
Автор с чувством особой признательности выражает благодарность своему научному консультанту Заслуженному деятелю науки РФ доктору физико-математических наук, профессору А.Н. Спорыхину за оказанную помощь и внимание.