Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля

Сокращения и обозначения
Сокращения
БПФ - быстрое преобразование Фурье
грал) Фурье представляет собой разложение по представлениям группы сдвигов (7 : х = х + Ь} следовательно, его применение полностью оправдано лишь в случае, когда сама физическая система однородна, т.е. инвариантна относительно сдвигов. Во всех остальных случаях приходится применять различные дополнительные приемы: разложение по малому параметру, методы ренормализационной группы (РГ), вейвлет-разложение.
Одной из целей данной диссертационной работы является унификация многомасштабных методов, применяемых в стохастических задачах и теории поля, на общей основе. Этой основой служит разложение по представлениям аффинной группы
£ : х = ах + 6, ху Ь € Е4, а 6 К+ <Э 50(с/),
где ^-размерность евклидова пространства, известное как непрерывное вейвлет-преобразование, или вейвлет-анализ.
Несмотря на огромное число статей и монографий посвященных применению вейвлет-преобразования к анализу сигналов и экспериментальных данных, численному решению дифференциальных уравнений и численному моделированию случайных процессов, использование вейвлет-преобразования для аналитического описания нелинейных систем и квантовополевых моделей пока не нашло широкого применения. В связи с этим, важное значение приобретает вопрос о связи вейвлет-методов с методами РГ, нашедшими самое широкое практическое применив в квантовополевых и нелинейных задачах, но часто подвергаемых сомнениям, как не имеющих ясной физической основы, а представляющих лишь математический способ устранения расходимостей.
Работа построена по следующему плану. Глава 1 содержит краткий исторический обзор развития многомасштабных методов, связанных с вейвлетами. Здесь описаны основные идеи метода вейвлет-преобразования и физические задачи, в которых эти методы нашли успешное применение. Глава 2 посвящена связи между теорией случайных процессов и квантовой теорией поля. В главе 3 вводится понятие многомасштабного случайного процесса, обобщающее обычное понятие вейвлет-преобразования случайных процессов. Параграф 3.3 этой главы посвящен применению многомасштабных случайных процессов для решения стохастических дифференциальных уравнений ланжевеновского типа, в частности, их применению к задаче о динамике границы раздела фаз во флуктуирующей среде; в параграфе 3.4 многомасштабные методы решения стохастических уравнений применяются к стохастическому уравнению Навье-Стокса. В главе 4, на основе разработанной концепции многомасштабных случайных процессов, вводится многомасштабная процедура стохастического квантования, основанная на
10
вейвлет-преобразовании. Глава 5 посвящена обобщению идей вейвлет-анализа на квантовые иерархические системы. В главе б исследуется возможность построения евклидовой теории поля на аффинной группе, вместо обычно используемой группы трансляций. Показано, что при соответствующей зависимости константы связи от масштаба, являющегося координатой на аффинной группе, расходимости в такой теории не возникают. Глава 7 посвящена связи многомасштабной теории поля и дискретной геометрии, прежде всего р-адической, используемой в космологических моделях. Глава 8 посвящена некоторым приложениям непрерывного вейвлет-преобразования, опубликованным в работах автора, к анализу экспериментальных данных, имеющих тот или иной элемент случайности. В Заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту. В Приложение вынесены некоторые детали вычислений.
11