РАЗДЕЛ 2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ 3Х-МЕРНОГО ФЛАТТЕРА ЛОПАТОЧНЫХ АППАРАТОВ ТУРБОМАШИН
При решении аэродинамической задачи обтекания лопаточного венца колеблющихся лопаток потоком газа искомые газодинамические параметры зависят от положения и скорости движения лопаток. С другой стороны, при решении зада-чи вынужденных колебаний перемещение и скорость движения лопатки зависят от аэродинамических нагрузок, действующих на лопатки.
Принципиальным недостатком раздельного решения этих задач является незнание взаимного влияния движения лопаток и аэродинамических нагрузок, т.е. аэродемпфирующих свойств системы " лопаточный венец - поток газа ", которые характеризуются обменом энергией между основным (осредненным) потоком и колеблющимися лопатками. Обмен энергией может проявляться в "подкачке" энергии от потока газа к движущейся лопатке (самовозбуждающиеся колебания или флаттер) или в рассеивании энергии колеблющейся лопатки в потоке газа (аэродемпфирование) и, таким образом, представляет собой важнейшую характе-ристику аэроупругой устойчивости (неустойчивости) рассматриваемой системы.
Корректный учет обмена энергией может быть получен при постановке связанной задачи аэродинамики и упругих колебаний.
В данном разделе разработана математическая модель 3х-мерного флаттера, основанная на решении связанной задачи нестационарной аэродинамики и упругих колебаний путем одновременного интегрирования с использованием маршевой по времени схемы полной системы " аэродинамических " и "упругих" уравнений.
В параграфе 2.1 представлена аэродинамическая модель 3х-мерного нестацио-нарного потока через лопаточный венец колеблющихся лопаток.
В параграфе 2.2 описана динамическая модель колеблющейся лопатки, основанная на модальном подходе, а также приведены постановка и алгоритм численного интегрирования аэроупругой модели.
2.1. Аэродинамическая модель 3х-мерного нестационарного потока
идеального газа через лопаточный венец колеблющихся лопаток
В данном разделе развит численный метод расчета пространственного трансзвукового периодически нестационарного потока идеального газа через изолированный венец колеблющихся лопаток. Метод основан на прямом численном интегрировании полной нелинейной системы нестационарных уравнений газовой динамики (уравнений Эйлера).
Основными особенностями разработанной численной модели являются:
- расчетная область включает все межлопаточные каналы на полной дуге окружности (из-за незнания заранее межлопаточного угла сдвига по фазе колебаний лопаток МЛФУ);
- применение гибридных Н-Н или Н-О разностных сеток;
- применение подвижных сеток, связанных с колеблющимися лопатками, и граничных условий на движущихся "твердых" границах;
- обобщение задачи о распаде разрыва на произвольной движущейся грани для 3-х мерного пространства с использованием итерационной процедуры распада разрыва (в отличие от звукового приближения).
Математическая постановка задачи сформулирована в п. 2.1.1.
В п.2.1.2, следуя идее Годунова в двухмерной постановке [16,17,39], получены пространственные разностные аналоги законов сохранения для произвольного деформируемого конечного объема жидкости.
Алгоритм расчета распада разрыва на движущейся грани подробно описан в п. 2.1.3.
Повышение точности схемы до 2-го порядка по времени и координатам достигается применением принципа минимальной производной при экстраполяции параметров по координатам и времени (п.2.1.4).
Постановка граничных условий подробно обсуждается в п. 2.1.5.
Результаты, изложенные в данном разделе, опубликованы автором совместно с В.И.Гнесиным в работах [10-13, 55-57].
2.1.1. Постановка задачи
Рассматривается пространственный лопаточный венец вибрирующих лопаток, обтекаемый трансзвуковым потоком невязкого и нетеплопроводного газа. Течение в общем случае предполагается непериодическим от лопатки к лопатке, поэтому расчетная область включает все лопатки на полной дуге окружности (рис. 2.1).
Рис. 2.1 Лопаточный венец вибрирующих лопаток
Задача обтекания лопаточного венца формулируется с использованием двух постановок. В первой постановке предполагается, что колебания лопаток являются гармоническими функциями времени с постоянным межлопаточным углом сдвига по фазе колебаний от лопатки к лопатке (кинематические или гармонические колебания).
Для описания движения лопаток могут быть использованы два подхода. При первом подходе (стержневая модель лопатки) все лопатки совершают изгибные и крутильные колебания по заданному закону:
(2.1)
,
где x, y, z - декартова система координат, жестко связанная с j-ой лопаткой (начало координат совпадает с центром изгиба в случае крутильных колебаний); и определяют изгибные колебания; - крутильные колебания; , , - амплитуды колебаний; - частота колебаний; - межлопаточный угол сдвига по фазе колебаний.
При втором подходе (модель оболочки) движение каждой лопатки представляется как линейная комбинация первых форм (мод) собственных колебаний лопатки с модальными коэффициентами, изменяющимися по заданному гармоническому закону:
. (2.2)
Здесь - вектор перемещений, соответствующих -ой собственной форме; - модальный коэффициент, соответствующий - ой форме колебаний для j -ой лопатки; - размерный множитель.
При второй постановке движение лопаток не задается, а определяется из решения динамической задачи в каждый момент времени с использованием мгновенных аэродинамических нагрузок, найденных из решения аэродинамической задачи (подробнее эта постановка изложена в параграфе 2.2).
Трехмерное нестационарное трансзвуковое течение идеального газа описывается полной системой уравнений Эйлера, представленной в форме ин