РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ
2.1. Чувствительность поперечного кварцевого
пьезопреобразователя давления
В пьезопреобразователях давления широко используют чувствительные элементы, выполненные из кварца или пьезокерамики. Причем это могут быть моноэлементы, биморфные и триморфные пьезоэлементы, различной геометрической формы с разными условиями закрепления их граней [66-71]. Потому понятен интерес исследователей к разработке методик расчета технических характеристик пьезопреобразователей. Отметим, что чаще всего при этом рассчитывают электроакустические характеристики [72-74].
В связи с этим, рассмотрим процесс преобразования физической величины - давления в электрический сигнал в пьезоэлементе.
В простейшем случае преобразователь давления содержит один или два пьезоэлемента, отделенных от контролируемой среды мембраной.
Пусть кварцевый пьезоэлемент выполнен в виде параллелепипеда высотой h, шириной b, толщиной d (рис. 2.1.).
Рис. 2.1. Кварцевый пьезоэлемент, выполненный в виде параллелепипеда
Известно, что при действии механической силы относительно электрической X и нейтральной оси Y кристалла кварца на гранях ABCD и A?B?C?D? появляются заряды. При этом, если сила Fx действует вдоль оси X, возникающий заряд на электродах пьезоэлемента, наложенных на указанные грани, не зависит от размеров пьезоэлемента. В указанном, так называемом, продольном пьезоэффекте, величина заряда определяется зависимостью
Отметим, что кварц, который характеризуется одной осью третьего порядка (ось Z) и тремя осями второго порядка, одну из которых выбирают в качестве оси X, имеет два независимых пьезомодуля - d14 и d11.
Пьезомодуль d14 описывает связь между полем, перпендикулярным оси третьего порядка, но образующим произвольные углы с остальными осями, и деформацией сдвига в плоскости, нормальной к направлению поля. Другой пьезомодуль d11 связывает поле, параллельное оси второго порядка (оси X) с деформацией вдоль этого же направления [75].
Поскольку преобразователь представляет собой пластинку кристалла с нанесенными на гранях обкладками (электродами), то электрическое напряжение U между обкладками будет равно
где , Ф ;
- площадь грани, перпендикулярной оси X ;
d - толщина пластины ;
Сц - суммарная электрическая емкость элементов внешней электрической цепи.
Считая, что в первом приближении Сц ?? С, получим
где - абсолютная диэлектрическая проницаемость (постоянная) материала пластины, Ф/м.
Чувствительность пьезопреобразователя, в котором используется продольный пьезоэффект, определяется соотношением
.
При действии силы Fy вдоль оси Y наблюдается поперечный пьезоэффект и величина электрического заряда на тех же гранях ABCD и A?B?C?D? пластины определяется зависимостью
и чувствительность поперечного кварцевого пьезоэлемента будет равна
Оценим величину сигнала кварцевого пьезопреобразователя давления (0,035?0,01?0,01м) применительно к задаче расходометрии жидких сред.
Пусть величина гидродинамического давления составляет 25 кПа, что соответствует скорости воды v = 5 м/с. Тогда величина силы Fу = 2,5 Н.
Поскольку [76]
d11 = 2,31?10-12 Кл/Н и ?а = 39,9?10-12 Ф/м ,
то .
Если учесть, что емкость проводов Сц ? 20 пФ, то величина сигнала, снимаемого с поперечного кварцевого пьезоэлемента, будет порядка 0,28 В, что вполне достаточно для последующей его обработки.
Чувствительность поперечного кварцевого пьезопреобразователя указанных размеров равна k = 1,65 В/Н.
2.2. Чувствительность стержневого пьезопреобразователя
Теперь перейдем к рассмотрению чувствительности преобразователей, выполненных из пьезокерамических элементов, с учетом контурных условий их закрепления.
Пусть пьезопреобразователь в виде стержня консольно закреплен и на его свободный конец действует сила Fx (рис. 2.2.).Будем считать, что пьезоэлемент поляризован по толщине и электроды нанесены на грани, перпендикулярные действию механических сил.
Тогда радиус кривизны стержня будет равен
, (2.1)
где l - длина стержня, м.
Рис. 2.2. Стержневой пьезопреобразователь
Известно, что поляризация Р пьезостержня в произвольной точке его сечения будет равна [77]:
Величину ? можно определить из соотношений теории упругости и сопротивления материалов [78]:
, (2.2)
где ? - относительное удлинение поверхностного слоя стержня;
d - толщина стержня, м.
Подставляя (2.1) в (2.2) получим, что
и с учетом того, что момент инерции J прямоугольного стержня равен
получим
(2.3)
и
С учетом малой толщины пьезостержня можно записать выражение для величины электрического заряда на его поверхностях в виде
и, напряжение на электродах пьезоэлемента составит величину
и, окончательно, чувствительность пьезокерамического стержневого пьезопреобразователя будет равна
Расчеты показывают, что чувствительность пьезокерамического преобразователя давления (ЦТС-19) одинаковых размеров с кварцевым пьезопреобразователем в 7 раз больше, а если толщина керамического преобразователя уменьшается, то его чувствительность увеличивается в десятки раз. Например, если пьезопреобразователь (0,035?0,01?0,0015м) выполнен из пьезокерамики (ЦТС-19) с пьезомодулем d31 = -2,2?10-10 Кл/Н и ?а = 1,32?10-8 Ф/м, то k = 46,6 В/Н.
Представляет интерес и оценка прочностных свойств пьезопреобразователей давления. Величина механического напряжения без учета явлений пьезоэффекта для консольно закрепленного пьезостержня определяется по формуле (2.3).
Для пьезопреобразователя (ЦТС-19) с размерами 0,055?0,012?0,0,015м перпендикулярно расположенного потоку воды со скоростью v = 5 м/с, величина гидродинамического давления p = 25 кПа, а сил