ГЛАВА 2
МЕТОД И АЛГОРИТЫ РАЗМЫТОГО ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ С НЕПОЛНЫМ ШАГОМ
Дальнейшим развитием алгоритмов эллипсоидального оценивания явилась идея
использования нечетких эллипсоидальных множеств для реализации того же принципа
отсечения множеств, заведомо не содержащих оцениваемую величину, однако при
более слабых априорных предположениях [3, 9-13, 15, 16]. По существу в таких
алгоритмах единственная эллипсоидальная оценка заменяется семейством
эллипсоидов (размытым эллипсоидальным множеством), имеющих общий центр
симметрии и покрывающих все пространство параметров. Это позволяет достаточно
просто преодолевать случаи несовместности условий, составляющих задачу
оценивания. В этом смысле алгоритмы оценивания, использующие размытые
эллипсоиды, обладают свойством робастности. Последнее очень важно в тех
довольно часто встречающихся на практике случаях, когда неточна априорная
информация о параметрах и самой модели оцениваемой системы.
В этой главе предлагается метод решения задачи размытого (робастного)
оценивания с варьируемым шаговым параметром и исследуются алгоритмы, полученные
на его основе. Введение в алгоритмы размытого эллипсоидального оценивания
шагового параметра позволяет усилить их робастные свойства за счет возможности
регулировать степень доверия к поступающей (накапливаемой) измерительной
информации, аналогично тому, как это делалось в обычном (неразмытом) случае.
Кроме того, выбирая величину шага, можно оптимизировать процесс оценивания не
на отдельно взятом шаге, а на всем интервале наблюдения.
2.1. Математические модели размытых эллипсоидальных множеств в задачах
оценивания
Методы теории нечетких или размытых множеств, начиная с основополагающей работы
Заде [110], получили широкое распространение при решении многих задач анализа
сложных систем и принятия решений в условиях неопределенности. Являясь по сути
продолжением теории формальных множеств, теория нечетких множеств позволяет
наилучшим образом структурировать информацию, характеризующуюся высоким уровнем
неопределенности.
К настоящему моменту времени опубликовано значительное число работ, посвященных
многообразным аспектам теории нечетких множеств и ее применениям к проблемам
оптимизации и принятия решений [83, 85], что нашло свое отражение в известной
библиографии [95], в книгах [90, 107].
Конструктивные алгоритмы нечеткого оценивания, основанные на
теоретико-множественной трактовке неопределенностей и использующие в качестве
множественной оценки неизвестного вектора размытые эллипсоиды, получены в [3,
11, 13, 3, 9-12, 15, 16, 50] .
Фундаментальным понятием теории нечетких множеств является понятие функции
принадлежности. Функция представляет собой отображение , характеризующее
степень принадлежности точки размытому множеству .
С помощью функции принадлежности можно выделить множество точек, уровень или
степень принадлежности которых размытому множеству превосходит заданную
величину . Это множество имеет вид
(2.1)
Варьируя величину получаем параметрическое семейство обычных неразмытых
множеств. Семейство можно рассматривать как один из способов задания размытого
множества [55].
Особая роль в семействе принадлежит множеству уровня . Оно обычно
рассматривается как детерминированный эквивалент нечеткого множества [11].
Определение. Эллипсоидальным нечетким множеством будем называть размытое
множество , все множества уровня которого имеют вид невырожденных мерных
эллипсоидов с общим центром симметрии.
В качестве примера множеств этого класса рассмотрим множества, определяемые
функцией принадлежности вида
, (2.2)
где - фиксированный параметр, - квадратичная форма:
Здесь - положительно-определенная симметрическая матрица, - заданный вектор
(центр симметрии). Семейство , определяемое функцией (2.2) состоит из
многомерных эллипсоидов с общим центром и одной и той же матрицей . Поскольку ,
то эллипсоиды невырождены.
Функция нормирована в том смысле, что ее максимальное значение точно равно
единице. Оно достигается в точке .
В дальнейшем удобно рассматривать ненормированные функции. В частности, будем
всюду далее использовать функцию
(2.3)
С ее помощью можно задавать это же самое семейство . Действительно, умножая
неравенство в (2.1) слева и справа на , получим
Введем новую переменную
(2.4)
Тогда множество можно переписать в виде
(2.5)
Семейство по существу совпадает с исходным. Отличие состоит лишь в том, что как
видно из (2.4), степень принадлежности для случая множества с ненормированной
функцией (2.3) будет определяться величиной .
Подставляя (2.3) в (2.5) для множества можно получить более естественное
представление
(2.6)
где, как и ранее .
Таким образом размытое эллипсоидальное множество , задаваемое функцией
принадлежности (2.3), будем ассоциировать с параметрическим семейством
вложенных друг в друга эллипсоидов (2.6). Для множества уровня введем
специальное обозначение . Впервые использовать идею размытых множеств в задачах
оценивания было предложено в работе [11].
2.2.Постановка задачи наблюдения
Рассмотрим задачу наблюдения состояний линейной статической системы вида
(2.7)
(2.8)
где - состояние системы в момент , - дискретное время, - начальное состояние, -
выходная переменная системы, - вектор, который может рассматриваться с одной
стороны как вектор параметров измерительн