ГЛАВА 2
АНАЛИЗ характеристик ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ
ТУРБО-КОДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАВНОМЕРНЫХ ПЕРЕМЕЖИТЕЛЕЙ
2.1. Введение и постановка задачи
Подавляющая часть результатов, подтверждающих эффективность использования
турбо-кодов в системах передачи информации, основана на имитационном
моделировании. Вопросы теоретической оценки потенциальных характеристик
турбо-кодов остаются малоизученными. Это вызвано следующим рядом причин:
Наличие в составе кодера турбо-кода одного или нескольких устройств
перемежения, которые вносят элемент псевдослучайности в процесс формирования
кодовых комбинаций.
Сложность анализа неоптимальной итеративной процедуры декодирования
турбо-кодов. Методы, разработанные для анализа характеристик существующих
блоковых и свёрточных кодов, основаны на декодировании по максимуму
правдоподобия.
Отсутствие методик оценки дистанционных свойств компонентных свёрточных кодов с
блочной структурой кодирования-декодирования.
Основной целью настоящей главы является преодоление данных трудностей и
разработка эффективных методов анализа усреднённых характеристик турбо-кодов.
Для этого в работе автора [56] разработаны методики определения функции
распределения весов усечённых свёрточных кодов с различными способами обнуления
решётчатой диаграммы, а также использовано понятие равномерного (uniform)
перемежителя, введённое С. Бенедетто
(S. Benedetto) и Г. Монторси (G. Montorsi) в [57]. Данные методы позволяют
исследовать влияние длины блока, параметров и способов обнуления компонентных
кодеров на характеристики помехоустойчивости декодирования турбо-кодов.
2.2. Дистанционные характеристики свёрточных кодов
Так как в качестве компонентных в турбо-кодах используются свёрточные коды,
коротко остановимся на некоторых важных параметрах свёрточных кодов. Одним из
них является свободное расстояние кода , определяемое как минимальное
расстояние в выбранной метрике между произвольными парами полубесконечных
кодовых последовательностей, отличающихся хотя бы в одном, первом, символе.
Свободное расстояние используется для сравнения помехоустойчивости систем с
свёрточными кодами с целью предварительного выбора кода. Наиболее цельное
представление о дистанционных свойствах кодовых последовательностей дает
порождающая функция свёрточного кода, введенная в [9, 58]. В общем виде,
порождающая функция свёрточного кода описывает полное множество путей,
начинающихся и заканчивающихся в нулевом состоянии,
. (2.1)
Степень при формальной переменной равна весу Хэмминга данного пути. Степень при
формальной переменной равна весу [1Далее под весом какой-либо
последовательности будем понимать вес Хэмминга] информационной
последовательности, вызвавшей данный путь на решётчатой диаграмме. Степень при
формальной переменной равна длине данного пути, выраженной в количестве шагов
по решётчатой диаграмме. Множитель равен числу путей, начинающихся и
заканчивающихся в нулевом состоянии, с заданными параметрами , и .
Порождающая функция кода позволяет рассчитать верхнюю границу вероятности
ошибочного декодирования бита по критерию максимума правдоподобия. Поскольку
при расчетах характеристик помехоустойчивости одиночного свёрточного кода длина
ошибочного пути не учитывается, то наряду с функцией используется порождающая
функция
, (2.2)
где – число путей с общим весом и информационным весом .
Набор коэффициентов при называется спектром расстояний свёрточного кода.
Важной характеристикой свёрточных кодов является так называемый спектр
информационных весов , где [dfree, Ґ). Он показывает суммарное количество
ошибок на выходе декодера максимального правдоподобия, когда вместо
передаваемого пути выбираются ошибочные пути, отстающие от него на величину .
Вычисление вероятности ошибки производится в предположении, что ошибочные
события происходят редко, что позволяет воспользоваться аддитивной верхней
границей. Верхняя граница вероятности ошибочного декодирования бита в канале с
АБГШ определяется выражением
, (2.3)
где
– дополнение интеграла вероятности до единицы,
– скорость кода,
– энергия информационного символа (бита),
– односторонняя спектральная плотность мощности АБГШ.
Таким образом, задача определения верхней границы вероятности ошибочного
декодирования сводится к вычислению свободного расстояния и спектра
информационных весов кода.
Применительно к свёрточному коду, введем понятие спектра длин путей [56],
которое нам понадобится при анализе помехоустойчивости декодирования
турбо-кодов. Для этого возьмём производную порождающей функции по формальной
переменной и после этого присвоим
. (2.4)
Спектром длин путей будем называть зависимость выражения от веса пути . Нас
будет интересовать представление спектра длин путей в виде
где
. (2.5)
Спектр длин путей показывает суммарную длину всех слившихся путей с общим
весом , выраженную в количестве шагов по диаграмме состояний кода, а суммарную
длину слившихся путей с общим весом и весом информационной последовательности
.
Информация о спектре расстояний и спектре длин путей свёрточного кода,
необходимая в данной работе, определяется на базе метода последовательного
умножения вектора-строки на матрицу смежности весов модифицированного графа
кодера с использованием правил матричного умножения
[59 – 61].
2.3. Оценки характеристик, основанные на усреднении
по ансамблю турбо-кодов
Рассмотрим произвольный блоковый (n, k) код. Важной характеристикой кода
является функция распределения весов (ФРВ) [62]
, (2.6)
где H – формальная переменная, – минимал
- Киев+380960830922