РОЗДІЛ 2
СИМЕТРІЙНА КЛАСИФІКАЦІЯ ТА ДЕЯКІ ТОЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ
У даному розділі вивчаються симетрійні властивості рівнянь, які узагальнюють важливі з точки зору фізики еволюційні рівняння: Гамільтона-Якобі, конвекції-дифузії, Нав'є-Стокса.
Запропонована система, яка узагальнює класичне рівняння Гамільтона-Якобі системою рівнянь відносно двох функцій u1, u2. При цьому основна мета такого узагальнення полягала в тому, щоб не тільки зберегти симетрійні властивості, якими володіє класичне рівняння Гамільтона-Якобі, а й суттєво їх розширити за рахунок більшої кількості невідомих функцій. В результаті отримано, що реалізація алгебри інваріантності побудованої системи еквівалентна реалізації конформної алгебри АG (1+1, n+1), де роль другого часу та n+1 просторової змінної відіграють функції u1, u2.
Аналогічна задача розв'язана для системи рівнянь Нав'є-Стокса. Запропонований аналог системи рівнянь Нав'є-Стокса для випадку вектора швидкості течії довільної розмірності, інваріантний відносно алгебр Галілея. Симетрія одержаної системи використана для побудови її точних розв'язків у випадку .
Одномірне рівняння конвекції-дифузії узагальнено системою двох рівнянь відносно двох функцій u1, u2 та однієї просторової змінної. Проведена симетрійна класифікація одержаної системи відносно алгебр Галілея AG (1,1), AG1 (1,1), AG2 (1,1), досліджена максимальна симетрія систем, інваріантних відносно AG2 (1,1), та виконана симетрійна редукція однієї з них.
2.1. Система рівнянь Гамільтона-Якобі
У літературі [70] добре вивчені симетрійні властивості рівняння Гамільтона-Якобі
. (2.1)
Як встановлено в [70], максимальною алгеброю інваріантності в класі операторів С.Лі рівняння (2.1) є алгебра з базисними елементами:
, ,
, ,
, (2.2)
.
У формулах (2.1) - (2.2) введені такі позначення:
, , , ,
, .
В роботі [37] показано, що в класі скалярних диференційних рівнянь 1-го порядку рівняння (2.1) є єдиним, інваріантним відносно алгебри (2.2). В роботі [61] встановлено, що алгебра (2.2) локально ізоморфна конформній алгебрі АС (1, n + 1), де роль хn + 1 відіграє функція u. В роботах [90,91] для знаходження розв'язків рівняння Гамільтона-Якобі застосовано метод розділення змінних.
В роботі [57] рівняння (2.1) узагальнено наступною системою рівнянь:
відносно двох невідомих функцій . З результатів [57] випливає таке твердження:
Теорема 2.1. Базисні елементи максимальної по Лі алгебри інваріантності системи рівнянь (2.3) - (2.4) задаються формулами (2.2), в яких та оператором, що залежить від довільної функції:
,
де - довільна гладка функція.
Дослідимо ліївську та умовну симетрію як рівняння (2.4) так і системи рівнянь (2.3) - (2.4).
Мають місце твердження.
Теорема 2.2. Максимальною по Лі алгеброю інваріантності рівняння (2.4) є нескінченновимірна алгебра з інфінітезимальним оператором
(2.5)
де - довільні сталі, - довільні гладкі функції.
Доведення. Інфінітезимальний оператор запишемо у вигляді:
(2.6)
З умови ,
де - продовження оператора (2.6), , , одержимо систему визначальних рівнянь для координат і інфінітезимального оператора Х:
, , , (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
, (2.10)
. (2.11)
Спочатку розв'яжемо рівняння (2.7). Матимемо:
, ,
, . (2.12)
Використаємо диференціальні наслідки рівнянь (2.8) і (2.9) вигляду:
,
(a, b, c - всі різні). (2.13)
З рівностей (2.8), (2.13) випливає, що
. (2.14)
Якщо підставити результат (2.14) в (2.9), то можна одержати:
. (2.15)
Умови сумісності для (2.10) мають вигляд:
. (2.16)
Звідси випливає, що
Так як з (2.15)
, то - сталі. (2.17)
Загальний розв'язок (2.10) запишемо у вигляді:
. (2.18)
Підставимо (2.18) в (2.11) і одержимо:
, .
Остаточно вирази для координат інфінітезимального оператора запишуться так:
,
Теорему доведено.
Теорема 2.3. Система рівнянь (2.3) - (2.4) при додатковій умові
(2.22)
інваріантна відносно алгебри
,
(2.23)
Доведення. Критерій умовної інваріантності системи (2.3) - (2.4) згідно [95] має вигляд:
Розглянемо, наприклад, оператор , де - довільні константи. Якщо знайти друге продовження цього оператора і подіяти ним на кожне з рівнянь (2.3), (2.4), (2.22), то одержимо:
де - ліві частини рівнянь (2.3), (2.4), (2.22) відповідно. Аналогічно встановлюється умовна інваріантність системи (2.4), (2.22) відносно інших операторів алгебри (2.23).
Теорема 2.4. Реалізація алгебри (2.23) еквівалентна реалізації конформної алгебри AC(1+1, n+1).