ГЛАВА 2
АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ И РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ АСИММЕТРИЧНЫХ
БИМОРФНЫХ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
На основе требований к измерительным ЭАП, изложенных в главе 1, проанализируем основные электроакустические характеристики плоских асимметричных биморфных пьезокерамических преобразователей. Эти преобразователи являются частным случаем ЭАП, работающих на изгибных колебаниях.
Для оценки метрологических возможностей и эффективного использования асимметричных биморфных преобразователей в измерительных устройствах необходимы исследования форм их колебаний, акустических импедансов, собственых частот и некоторых других вспомогательных электроакустических параметров.
Анализ колебаний биморфного элемента произвольной формы весьма сложен из-за анизотропии его свойств, а также из-за необходимости приведения всех элементов к одной системе координат. Известно большое количество работ, посвященных биморфным преобразователям, состоящим из круглых пьезоэлектрической и металлической пластины [48, 49]. Известны также работы, посвященные таким преобразователям с пластинами прямоугольной формы [29, 30].
В работах [28, 50-53] производится анализ колебаний симметричных биморфных элементов, состоящих из двух противоположно поляризованных пьезопластинок с металлической пластинкой между ними (иле без нее). Работы, посвященные расчету колебаний и электроакустических характеристик асимметричных биморфных преобразователей, до сих пор проводилось не в полном объеме. Поэтому в исследованиях, результаты которых изложены в настоящей главе, основное внимание было уделено созданию общей методики расчета колебаний вышеуказанных преобразователей, при их возбуждении синусоидальным напряжением. В частности найдены выражения для резонансных частот и чувствительности для закрепленного преобразователя.
Основным используемым типом колебаний рассматриваемых пьезопреобразователей являются изгибные колебания по их ширине. При этом по длине элементов распределение амплитуд смещений является постоянным. Такие колебания преобразователей можно рассматривать в двумерной системе координат. При работе преобразователей в газовой среде, акустической нагрузкой со стороны рабочей среды можно пренебречь по сравнению с механическими потерями в держателях, поэтому достаточно рассматривать систему преобразователя и держателей.
Для определения смещений на поверхности преобразователя в синусоидальном режиме работы решены уравнения пьезоэффекта для пластины с поперечным пьезоэффектом совместно с волновым уравнением для изгибных колебаний. Полученные расчетные соотношения позволяют рассчитать величину и характер распределения смещений на поверхности асимметричных биморфных элементов различных конструкций при приложении возбуждающего электрического напряжения или механической силы, а также чувствительность преобразователей.
2.1. Основные уравнения асимметричного биморфного пьезопреобразователя
В асимметричном биморфном преобразователе (рис. 2.1) используются жестко закрепленные пьезокерамическая и пассивная металлическая пластины. Один из электродов пьезокерамической пластины разделен на две равные части. Амплитуды изгибных колебаний по ширине преобразователя располагаются симметрично относительно его центра. Систему координат выбираем таким образом, чтобы плоскость ZOХ являлась нейтральной плоскостью, расстояния между точками которой при малых прогибах биморфного элемента не изменяются (рис.2.2). Плоскость ХОУ проходит по большей стороне преобразователя, при этом начало системы координат совмещается с его краем.
Рис. 2.1. Асимметричный биморфный пьезокерамический преобразователь: 1 - металлическая пластина; 2 - верхний электрод, разделенный на две части; 3 - пьезокерамическая пластина
Основные уравнения пьезоэффекта для пьезопластины с поперечным пьезоэффектом для изотермического и адиабатического случая записываются следующим образом [54]:
, (2.1)
. (2.2)
Рис. 2.2. К расчету колебаний асимметричных биморфных преобразователей:
- длина биморфного элемента преобразователя; h1 - толщина пьезоэлектрической пластины; h2 - толщина упругой пластины; h0 - pacстояние от плоскости соединения пластин до нейтральной плоскости; b - ширина биморфного элемента
Здесь D3 и Е3 - соответственно составляющие векторов электрического смещения и напряженности электрического поля, параллельные оси Z, Т1 и S1 - соответственно упругое напряжение и деформация в направлении оси X, - диэлектрическая проницаемость при постоянном упругом напряжении, d31 - пьезоэлектрический модуль, - механическая податливость при постоянном электрическом поле.
С учетом того, что по толщине пьезопластинки D3 = const, Е3 = const, а S1 при изгибных колебаниях является функцией как координаты x, так и z, после решения системы уравнений (2.1), (2.2) относительно упругих напряжений получается следующее уравнение:
, (2.3)
где е31 = d31/ - действующая пьезоэлектрическая постоянная,
h31 = е31/ - действующая пьезоэлектрическая постоянная деформаций, =(l-) - диэлектрическая проницаемость при постоянной деформации, - коэффициент электромеханической связи пьезопластинки при продольных колебаниях, перпендикулярных вектору электрического поля, =(l-) - механическая податливость при постоянной электрической индукции, (x) - средняя деформация по толщине пластинки.
Деформация S1 (x, z) на высоте z над нейтральной поверхностью Z = 0 определяется известным уравнением
где - величина прогиба преобразователя в направлении z над нейтральной поверхностью при приложении электрического поля Е3. Поэтому
Здесь h1 - толщина пьезопластины, h0 - расстояние от нижней грани пьезопластинки до нейтральной поверхности. После подстановки (x) в уравнение (2.3) получается:
Это выражение уже может быть использовано для определения изгибающих моментов, действующих в аси