РОЗДІЛ 2
ЄДИНІСТЬ ЕЛЕМЕНТА НАЙКРАЩОГО
L1-НАБЛИЖЕННЯ ДЛЯ ФУНКЦІЙ ЗІ ЗНАЧЕННЯМИ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ
В [4] Г.Штраус побудував клас тестових функцій, який характеризує скінченномірні підпростори простору неперервних на відрізку дійсних функцій, у яких для будь-якої функції із елемент найкращого наближення в інтегральній метриці тільки один; В.Ф.Бабенко та В.М.Глушко [9] знайшли інший клас, який має таку ж властивість. В [14] і [15] результат Г.Штрауса був поширений на випадок неперервних на компакті із простору і векторнозначних функцій, відповідно. У даному розділі вказані вище результати розповсюджуються на випадок найкращого -наближення неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у строго нормованому банаховому просторі.
2.1. Характеризація підпросторів єдиності елемента найкращого L1-наближення для неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями в строго нормованому банаховому просторі
Нехай Q ? метричний компакт із метрикою ?, ? ? ?-поле борелевських підмножин метричного компакту Q і ? ? невід'ємна, скінченна безатомна міра, додатна на кожній непорожній відкритій підмножині ?-поля ?.
Нехай також X ? банаховий простір із нормою .
Через позначимо простір усіх сильно ?-вимірних функцій із нормою
і через ? простір усіх неперервних на метричному компакті Q функцій із вищезазначеною нормою. Відзначимо, що .
Якщо , простір C1(Q,R) співпадає з простором C1(Q) неперервних на Q дійсних функцій.
Нехай Н ? підмножина простору С1(Q,Х), функція .Величину
(2.1)
будемо називати найкращим -наближенням функції f елементами множини H, а функцію множини H, що реалізує точну нижню межу у правій частині рівності (2.1), ? елементом найкращого -наближення функції f множиною H.
Коли Х=R і , отримуємо звичайне найкраще -наближення функції множиною .
Сукупність елементів найкращого наближення функції f множиною Н у метриці будемо позначати через , а множину нулів функції f на Q ? через . Відстань між точкою та непорожньою множиною визначимо таким чином
. (2.2)
Позначимо через праву та ліву похідну норми у точці f за напрямком g, відповідно, тобто
де , .
Добре відомі (див., напр., [5], с. 2-10) наступні властивості функцій та :
1) , ;
2) , , ;
3) , , де .
У подальшому нам знадобиться наступний критерій елемента найкращого -наближення неперервних на метричному компакті функцій зі значеннями у банаховому просторі.
Теорема 2.1. ([50], теорема 4.1) Нехай H - підпростір простору C1(Q,X). Для того, щоб елемент був елементом найкращого -наближення функції підпростором H необхідно і достатньо, щоб
Наступна теорема поширює теорему 1.1 на випадок функцій неперервних на метричному компакті Q зі значеннями у банаховому просторі Х.
Нехай Х - строго нормований банаховий простір, H ? підпростір простору C1(Q,X). Покладемо
Теорема 2.2. Кожна функція має не більше одного елемента найкращого -наближення у підпросторі H тоді і тільки тоді, коли кожна функція має не більше одного елемента найкращого -наближення у підпросторі H.
Для доведення теореми нам знадобиться
Лема 2.1. Нехай . Нехай також нульовий елемент простору є елементом найкращого -наближення функції h підпростором Н, та ? функція із H така, що для кожної точки . Тоді функція також є елементом найкращого -наближення функції h підпростором Н.
Доведення. Нехай функція , , ? функція із підпростору H така, що для кожної точки .
Ясно, що . Так як , , то .
Використовуючи той факт, що , отримуємо, що
Оскільки, нуль є елементом найкращого -наближення функції h підпростором Н, то за теоремою 2.1
Отже, враховуючи, що , отримуємо, що
Таким чином, функція є елементом найкращого -наближення функції h підпростором Н.
Лема доведена.
Доведення теореми 2.2. Необхідність відразу випливає з того факту, що . Доведемо достатність. Нехай кожна функція має не більше одного елемента найкращого -наближення у підпросторі H, але існує функція така, що відмінні функції р1 і р2 підпростору Н є елементами її найкращого -наближення. Так як множина опукла, то функція також є елементом найкращого -наближення функції f у підпросторі Н. Тоді
і в нерівності трикутника для норм
має місце знак рівності, тобто
. (2.3)
Так як підінтегральні функції невід'ємні і неперервні на метричному компакті Q, а міра ? додатна на кожній непорожній відкритій підмножині ?, ми отримуємо, що
. (2.4)
Дійсно, припускаючи протилежне, що існує така точка , що
через неперервність функцій f, p1, p2 і норми отримуємо, що існує окіл точки такий, що має місце нерівність
що призводить до суперечності з рівністю (2.3).
Оскільки простір X є строго нормованим, то рівність (2.4) можлива тоді і тільки тоді, коли для кожної точки або одна із величин і дорівнює нулю, або , де c(х) ? дійсна додатна функція. Зазначимо, що ,. Покладаючи далі
отримуємо, що для тих , для яких одна із величин і дорівнює нулю,
а для тих , що ,
Отже, існує дійсна функція така, що для
. (2.5)
Введемо функцію
На підставі рівності (2.4) . Тому , більш того, , де , .
Використовуючи той факт, що , , і рівність (2.5), отримуємо, що та
Так як , то за теоремою 2.1
Отже, враховуючи, що , отримуємо,
Таким чином, , і за лемою 2.1 , а оскільки , то це суперечить припущенню про єдиність елемента найкращого -наближення для кожної функції у підпросторі Н.
Теорема доведена.
Наслідок 2.1. Нехай Х - строго нормований банаховий простір, H ? підпростір простору C1(Q,X). Кожна функція буде мати не більше одного елемента найкращого -наближення в підпросторі H тоді і тільки тоді, коли для кожної функції нульовий елемент не буде елементом найкращого -наближення в підпросторі H.
Доведення. Нехай кожна функція має не більше одного елемента найкращого -наближення у підпросторі Н. Припускаючи протилежн