РАЗДЕЛ 2 ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА СЕМЕЙСТВ ПРЯМЫХ
В разделе проводятся исследования поведения прямых под действием преобразований плоскости на предмет выявления различных инвариантов (инвариантных прямых и инвариантных множеств прямых), а также получения аналитических зависимостей между преобразованиями прямых и преобразованиями плоскости, что положено в основу методов одномерной нормализации.
2.1. Индуцированные действия аффинных преобразований плоскости на прямых
Рассмотрим в первую очередь, что происходит с прямыми плоскости и расположенными на них участками изображений под действием преобразований аффинной группы и ее подгрупп.
Пусть g - произвольное преобразование плоскости, M - произвольная точка на плоскости, l ? произвольная прямая. Договоримся при преобразовании g обозначать образы точки M и прямой l через gM и gl. Также в работе образы преобразований будут обозначаться путем добавления метки (?).
Для удобства изложения материала приведем здесь несколько основных свойств аффинного преобразования на плоскости, на которые будем ссылаться в дальнейшем [10, 70, 78]:
1) прямые плоскости аффинным преобразованием переводятся в прямые, причем параллельные прямые переводятся в параллельные, скрещивающиеся в скрещивающиеся;
2) аффинное преобразование плоскости определяется, и притом однозначно, соответствием двух неколлинеарных троек точек;
3) при аффинном преобразовании простое отношение трех точек, принадлежащих одной прямой, не изменяется.
Свойство 1 позволяет сделать вывод о том, что аффинному преобразованию g?G с точки зрения поведения прямых плоскости соответствуют преобразование, переводящее прямую l в прямую l?, обозначим его gl, и преобразование, изменяющее положение точек на прямой, обозначим его g?. Таким образом, группа G и прямая l определяют группу Gl движений прямой l и группу G? преобразований на этой прямой. Заметим, что разным прямым плоскости соответствуют преобразования g??G?, gl?Gl разного вида.
Определение. Под индуцированным действием группы G на прямых плоскости понимаются преобразования gl, g?, которые формируются путем следующего отображения ?(g, l): g?(g?, gl), где g?G, g??G?, gl?Gl [86].
Пусть (x,y) ? двумерные координаты точки М?l. Координаты этой точки можно записать следующим образом: (?,?,?), где ? ? координата на прямой l, начало отсчета координаты ? находится в точке пересечения нормали n, опущенной из начала координат (0,0) на прямую l, ? ? угол между нормалью n и положительной полуосью OX, взятый по часовой стрелке, ? ? длина нормали n (рис.2.1).
а б
Рис.2.1. Параметры индуцированного действия:
а ? исходное изображение, б ? изображение после преобразования g?G.
Таким образом, координаты (?,?,?) отражают положение точки M на прямой l и указывают расположение самой прямой l относительно начала декартовых координат. Тогда координатам в декартовой системе (x?,y?) точки gM?l? отвечают координаты (??,??,??).
Определим вид индуцированного действия на прямых, вызванного преобразованием g?Ga.
Рассмотрим преобразование g?. Свойство 3 говорит о том, что отношение длин частей любого отрезка до аффинного преобразования равно отношению длин этих же его частей после преобразования. Отсюда следует, что если прямую разбить на несколько отрезков, то длины всех этих отрезков в результате аффинного преобразования изменяются пропорционально одному и тому же коэффициенту масштаба. Поскольку аффинное преобразование содержит преобразование смещения, то и преобразование g? на прямой также может содержать смещение. Таким образом, преобразование g?: ???? в общем случае представляет собой двухпараметрическое преобразование следующего вида:
g? : ????+?, (2.1)
где ? ? параметр преобразования масштаба на прямой l;
? ? параметр смещения вдоль прямой l.
Рисунок (2.1) дает представление, что любое изменение положения прямой под действием преобразования g?G заключается в повороте нормали n относительно начала координат и изменения ее длины. Следовательно, преобразование gl: l?l? состоит из двух преобразований:
gl: ?®?+?, ???+?, (2.2)
где ? ? угол поворота нормали n относительно начала координат (0,0);
? ? изменение длины нормали n.
Отображение ?(g, l) можно записать через параметры преобразований как (а11, а12, a13, а21, а22, a23) ® (?, ?, j, ?), где а11, а12, a13, а21, а22, a23 ? параметры преобразования g?G; ?, ?, j, c ? параметры индуцированных преобразований g??G?, gl?Gl. Заметим, что значения параметров ?, ?, j, c зависят от значений а11, а12, a13, а21, а22, a23 и самого уравнения прямой l.
Особый интерес с точки зрения нормализации изображений представляют те прямые l, для которых преобразование gl, вызванное g, является тождественным. Это говорит о том, что прямая l под действием преобразования g остается неподвижной. Далее изучим, для каких групп G существуют прямые с тождественным преобразованием gl.
2.2. Поиск инвариантных прямых относительно подгрупп аффинной группы
Введем следующее определение.
Определение. Прямая l, для которой любая точка M?l после преобразования g переходит в точку gM?l, т.е. gl: ?®?, ???, называется инвариантной прямой первого или второго типа относительно группы G в зависимости от того, верно это для любого преобразования g?G или же для какого-то конкретного g?G.
Например, рассмотрим прямую l: y=0. Покажем, что она инвариантна относительно любого преобразования g?Gd: x?k1x, y?k2y, т.е. является инвариантной прямой первого типа относительно группы Gd. Пусть точка M с координатами (x, 0) принадлежит прямой l. После преобразования g ее новые координаты (k1x, 0) удовлетвор