ГЛАВА 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА
ТЕПЛОНОСИТЕЛЯ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
2.1. Модель двухфазной жидкости
2.1.1. Основные положения
Традиционно к проблеме двухфазного течения в пористой среде подходили с
позиций так называемой модели независимого движения фаз, которая основана на
единообразной постановке. В этой модели газовая и жидкостная фазы
рассматриваются как отдельные жидкости с индивидуальными термодинамическими и
транспортными свойствами и различными скоростями течения. Это явление
математически описывается с помощью законов сохранения для каждой фазы отдельно
и соответствующих условий взаимодействия между фазами. Однако форма этой модели
часто оказывается неудобной для непосредственного использования для численного
решения из-за того, что должно решаться большое число дифференциальных
уравнений (почти в два раза больше, чем в однофазном случае).
Поэтому для описания процессов в резервуаре использована модель двухфазной
среды, сформулированная Вонгом и Беккерманом [27, 28], которая позволяет
уменьшить число разрешающих уравнения сохранения и энергии. Основополагающей
идеей модели является представление о существовании области в пористом теле,
занятом как паром, так и жидкостью. Это положение подтверждается экспериментами
и объясняется очевидным фактом наличия размытой двухфазной зоны при вытеснении
смачивающей поверхность пор жидкостью несмачивающую. Если первоначально в
пористом теле присутствовал только пар, то при контакте поверхности пористого
тела со смачивающей жидкой фазой происходит постепенное вытеснение пара. В
случае переохлажденной жидкости происходит конденсация пара и жидкость
продвигается в глубь пористого тела. Если выход пара ограничен непроницаемой
твердой стенкой с противоположной стороны по отношению к входному сечению и к
этой поверхности приложен тепловой поток, то происходит вскипание жидкости,
достигшей стенки. Таким образом, устанавливается равенство массовых скоростей
жидкой и паровой фаз.
Описанный механизм нашел экспериментальное подтверждение в работе Юделла [31],
в которой описана передача теплоты за счет миграции пара и воды в обогреваемом
сверху цилиндре с мокрым песком. Таким образом, если теплота передается таким
способом, то в пористом теле образуются каналы для прохода пара в одном
направлении и жидкости в другом.
Механизм вытеснения газа из пористого тела жидкостью представляет собой
актуальную задачу теории тепловых труб, фильтрации, осушении и обводнении
грунтов и т.д. Точное решение этой проблемы, по всей видимости, невозможно в
связи с разнообразием форм пористых материалов и свойств сред. Однако известны
успешные попытки моделирования двухфазного течения в упрощенной пористой
системе с помощью сетевого метода. Другим подходом является моделирование
двухфазной среды в целом. При этом взаимное перемещение пара и жидкости
определяется капиллярным давлением величина которого связывается посредством
функции Лаверетта J(s) с насыщенностью пористого материала жидкостью s.
, (2.1)
где e - объемная пористость,
s - поверхностное натяжение,
К – проницаемость.
Модель двухфазного переноса в капиллярно-пористой среде, представленной Ч.
Вонгом и К. Бекерманном была адаптирована к условиям работы лопаток ГТУ и
численно решена методом конечных элементов.
Двухфазная смешанная модель включает в себя уравнения сохранения массы,
импульса и энергии, а также граничные и начальные условия. Все физические
свойства многофазной смеси являются следствием свойств ее составляющих, поэтому
для построения уравнений сохранения определены несколько усредненных свойств
смеси.
2.1.2. Осредненные параметры двухфазной среды
Плотность смеси и скорость смеси определяются соответственно как:
, (2.2)
, (2.3)
где s - влагосодержание, показывающая какая часть объема пустот занята
жидкостью;
u - вектор поверхностной (или Дарсиановской) скорости, относящийся ко всей
области поперечного сечения как жидкой, так и пористой среды;
индексы l и v указывают на жидкую или паровую (или какую-нибудь газовую)
фазы, соответственно.
Поскольку поверхностная скорость фазы связана с истинной скоростью через
объемное содержание фазы, уравнение (2.3) означает, что скорость смеси является
средневзвешенной по массе величиной от истинных скоростей фаз, умноженных на
плотность.
В модели используется понятие относительной энтальпии смеси, связанной с
истинными энтальпиями пара и жидкости соотношениями (2.4).
(2.4)
Движение двухфазной жидкости в пористом резервуаре описывается законом Дарси
(2.6), который получен из уравнений Дарси для каждой из фаз (2.5) с учетом
выражения для скорости смеси (2.3).
, (2.5)
, (2.6)
где К - абсолютная проницаемость смеси;
- кинематическая вязкость;
kr - относительная проницаемостью фазы.
Здесь постулируется, что градиенты давления двухфазной среды связаны с
изменением давления каждой из фаз соотношением (2.7).
. (2.7)
Из приведенных выше соотношений следуют выражения для коэффициентов,
характеризующих подвижности сред (2.8).
(2.8)
Постулируется, что этими коэффициентами характеризуется вклад каждой из фаз в
изменение давление смеси. Принимая, что сумма этих коэффициентов равна 1,
получено выражение для кинематической вязкости смеси (2.9).
(2.9)
Вводится понятие давления смеси (2.10):
. (2.10)
Очевидно, что, когда капиллярные силы пренебрежимо малы, p = pl + pv. Более
того, когда влагосодержание s достигает единицы (чистая жидкость) или нуля
(чистый пар), давление смеси, определенное в (2.10), превращается в давление
соответс