Розділ 2. Електронні стани в тунельно-зв'язаних КТ кубічної та
циліндричної форми
2.1. Загальні відомості
Інтерес теоретиків до КТ циліндричної форми зумовлений тим, що в багатьох експериментальних роботах було отримано структури з КТ подібної форми [23-25], зокрема, в структурах InAs/GaAs [23], InGaAs/AlGaAs [24] та Si/Ge [25]. В роботі [26] розглянуто ізольовану КТ даної форми, де розв'язано одно- та двоелектронну задачу, вивчено спін-орбітальну взаємодію. У роботі [52] теоретично досліджено електронні, діркові та екситонні спектри в надгратках з квантових точок циліндричної форми з гранично слабким зв'язком квазічастинок між вертикальними шарами КТ. В експериментальній роботі [20] на основі CuCl в матриці NaCl було отримано КТ прямокутної форми.
2.2. Обґрунтування моделі
В теоретичних роботах КТ моделюються за допомогою потенціальних ям з різними утримуючими потенціалами, але кращу збіжність з експериментальними роботами дає прямокутна потенціальна яма скінченої величини. Розглядаючи тривимірні випадки, слід відмітити, що точно можна розв'язати задачу про знаходження енергетичного спектру частинки в скінченій прямокутній потенціальній ямі сферичної форми. Для циліндричної та кубічної КТ така задача точно не розв'язується, тому використовується наближений метод.
Пропонуємо КТ такої форми моделювати за допомогою такого потенціалу:
а) для кубічної КТ
(2.1)
, ,
б) для циліндричної КТ
(2.2)
,
, - потенціальна енергія частинки відповідно у КТ кубічної і циліндричної форми.
Покажемо можливість такого моделювання. Для цього за допомогою теорії збурення знайдемо енергію частинки в кубічній і циліндричній КТ, для яких незбуреною задачею буде скінчена прямокутна потенціальна яма сферичної форми. Розв'язки задачі про знаходження енергії та хвильової функції частинки в одній скінченій сферичній потенціальній ямі наведено у роботі [77].
Розглянемо випадок КТ кубічної форми. Гамільтоніан частинки в такій КТ вигідно представити у наступному вигляді:
, (2.3)
де - гамільтоніан частинки в одній сферичній скінченій прямокутній потенціальній ямі, - різниця потенціальних енергій частинки відповідно в КТ кубічної і сферичної форми, яка виступає збуренням в даній задачі.
Згідно з теорії збурення енергія частинки з врахуванням першої поправки обчислюється за формулою:
, (2.4)
де ,
та - енергія та хвильова функція частинки в одній сферичній скінченій прямокутній потенціальній ямі.
Аналогічний хід розв'язку для КТ циліндричної форми тільки замість потенціальної енергії частинки беремо .
Конкретні розрахунки проведені для системи , в якій КТ , що моделюється кубічною або циліндричною скінченою КТ, знаходиться в матриці . Щоб похибка, при обчисленні енергії часинки в КТ кубічної і циліндричної форми, була найменшою, потрібно щоб їхній об'єм був такий як у сферичної.
На рис. 2.1. та 2.2. представлено залежність енергії частинки в одній КТ кубічної форми та циліндричної форми від об'єму КТ. Точковою лінією показано енергію частинки в сферичній КТ, суцільною лінією - енергію частинки, що обчислена у випадку потенціалу (2.1. та 2.2.) а штриховою лінією - енергію частинки отриману за допомогою теорії збурення.
Виявилось, що різниця між енергією частинки обчисленої згідно запропонованої моделі і за допомогою теорії збурень складає 3-6 відсотка. Із зростанням об'єму різниця між ними спадає. Так для КТ кубічної форми при об'ємі 35 нм3 вона складає 5,6%, а при 280 нм3 - 5,5%. Для КТ циліндричної форми при 35 нм3 - 4,1%, а при 280 нм3 - 3,6%. З чого випливає, що для КТ циліндричної форми вибрана модель дає кращу збіжність ніж для КТ кубічної форми. Але в обох випадках поправки досить малі, що вказує на можливість використання її в подальших розрахунках.
Рис. 2.1. Енергія частинки в одній КТ циліндричної форми в залежності від об'єму КТ. Точкова лінія: енергія в сферичній КТ; суцільна лінія: енергія частинки обчислена за допомогою пропонованої моделі; штрихова лінія: енергія частинки з врахуванням поправок теорії збурень.
Рис. 2.2. Енергія частинки в одній КТ кубічної форми в залежності від об'єму КТ. Точкова лінія: енергія в сферичній КТ; суцільна лінія: енергія частинки обчислена за допомогою пропонованої моделі; штрихова лінія: енергія частинки зврахування теорії збурень.
Слід відмітити, що існують обмеження за величиною розмірів КТ на використання даної моделі. Її, очевидно, не можна використовувати для КТ кубічної та циліндричної форми тоді, коли їх об'єм менший від об'єму сферичної КТ, в якій уже не існує енергетичних рівнів.
2.3. Електронні стани в тунельно-зв'язаних КТ кубічної форми
2.3.1. Постановка задачі
Розглядається система двох близько розміщених квантових точок у вигляді прямокутних паралелепіпедів, відстань між межами поділу яких рівна d (рис.2.3). Систему координат вибираємо так, щоб її центр був розміщений у вершині однієї з КТ, а вісь OY проходить через ребра однієї та другої КТ. Розміри в напрямку OX i OZ однакові і відповідно дорівнюють а та с, а в напрямку OY в загальному випадку різні - b1 та b2. Задача розв'язується в декартовій системі координат. Гамільтоніан зарядженої квазічастинки (електрона) в наближенні ефективної маси має вигляд:
, (2.5)
де (2.6)
m - ефективна маса електрона для відповідної області.
Для вибраної моделі гетеросистеми хвильову функцію подано у вигляді добутку:
. (2.7)
Рис. 2.3. Модель досліджуваної гетеросистеми.
Тоді