РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА РЕАЛІЗАЦІЯ МОДЕЛІ ҐРУНТУ
2.1 Розвиток моделей нелінійного деформування ґрунтової основи.
До найбільш розповсюджених критеріїв пластичності для ґрунтового середовища відносяться критерії Кулона-Мора та Мізеса-Шлейхера-Боткіна. Умова переходу в пластичний стан по Кулону-Мору відповідає рівнянню в просторі напружень:
, (2.1)
де та - дотичні і нормальні напруження на площині зсуву Мора. Кут внутрішнього тертя та параметр зчеплення є нормативними константами міцності ґрунту, які знаходяться по даним випробувань у відповідності до стандартної методики.
Згідно теорії Мізеса-Шлейхера-Боткіна умова пластичності формулюється через інваріанти тензора напружень у вигляді:
, (2.2)
де та - відповідно інтенсивність дотичних напружень та гідростатичне напруження:
. (2.3)
Константами міцності матеріалу в цьому випадку є кут внутрішнього тертя та зчеплення на октаедричній площині. Ці величини безпосередньо експериментально не визначаються, а обчислюються через нормативні значення та шляхом прийняття гіпотез відносно того, при яких видах напруженого стану обидва критерії повинні збігатися.
Для з'ясування особливостей розглянутих теорій визначимо зв'язок між параметрами i та і в залежності від напруженого стану в точці середовища, який можна характеризувати в просторі головних напружень за допомогою параметру Лоде-Надаі :
, (2.4)
де - головні напруження.
Згідно [46] це зручно зробити, використовуючи допоміжні параметри , через які умова порушення міцності ґрунту (переходу його в пластичний стан) може бути представлена в головних напруженнях:
. (2.5)
Величини зв'язані співвідношеннями з параметрами i :
(2.6) та параметрами і критерію Мізеса-Шлейхера-Боткіна:
; (2.7)
; .
або
Рис. 2.1 Залежності параметрів міцності ґрунтової основи від напруженого стану (параметру Лоде-Надаі) для різних критеріїв граничного стану: а) Кулона-Мора (=310,с=0.0102), б) Мізеса-Шлейхера-Боткіна (=300,=0.01)
З формул (2.6), (2.7) випливає, що при умові і (критерій Мізеса-Шлейхера-Боткіна) параметри і повинні бути змінними величинами, які залежать від параметру Лоде-Надаі (рис.2.1, а). Тобто визначення кута і зчеплення через нормативні і є неоднозначною операцією, яка потребує додаткових припущень. Аналогічно, якщо за константи матеріалу прийняти і (критерій Кулона-Мора), то необхідно вважати функціями параметру величини і (рис.2.1, б).
В даній роботі співвідношення нелінійного деформування ґрунтової основи і зв'язок між параметрами і та і будуються на основі розвитку модифікованої моделі І.П. Бойко [13].
(2.8)
Модель (2.8) ґрунтується на дилатансійній теорії В.М. Ніколаєвського та узагальненого критерію Мізеса-Шлейхера-Боткіна. В результаті експериментальних досліджень [98], КНУБА запропонував [13] граничне значення тиску приймати рівним = -2МПа. В просторі напружень критерій відповідає комбінації конічної і циліндричної поверхні (рис. 2.2 ).
Параметри вважаються константами і визначаються через нормативні параметри - кут внутрішнього тертя і зчеплення с при умові мінімального відхилення від умови Кулона-Мора з однаковими значеннями середнього напруження. Радіус круга девіаторного перетину конуса Мізеса-Шлейхера-Боткіна приймається рівним середньоарифметичному значенню мінімальній і максимальній відстані від вершин багатокутника девіаторного перерізу піраміди Кулона-Мора до точки перетину із гідростатичною віссю (рис. 2.2):
, (2.9)
В дійсності, як свідчать експериментальні дані багатьох авторів, для реальних ґрунтів параметри міцності і або і не являються константами. З результатів досліджень Бішопа, Грина (1971), Зарецького та інших авторів відомо, що в залежності від напруженого стану (значення параметра Лоде-Надаі) величина коефіцієнта внутрішнього тертя змінюється згідно графіка (рис.2.3). Тобто, значення кута внутрішнього тертя , отриманого при =1 (наприклад, на стабілометрі при роздавлюванні зразка), на 10-15% менше ніж значення кута , визначеного при << 0,5 (наприклад, на зсувному приладі). У відповідності з роботами Зарецького, Ломбардо доцільно застосовувати комбінацію різних критеріїв пластичності [47]. З врахуванням вищевикладеного в даній роботі запропоновано узагальнення критерію пластичності І.П. Бойка шляхом поєднання критеріїв Мізеса-Шлейхера-Боткіна та Кулона-Мора у вигляді співвідношень:
, (2.10)
(2.11)
де , (2.12)
, , (2.13)
нормативні кут внутрішнього тертя і зчеплення (< 0,5),
кут внутрішнього тертя і зчеплення при =1 ,
МПа - границя пластичної стисливості,
, Rt - максимальне головне напруження та границя міцності ґрунту на розтяг.
а б
?? - значення параметра Лоде-Надаі при зміні критеріїв і. Перший вираз в (2.11), де , є змінними величинами - функціями , відповідає критерію Кулона?Мора і в просторі напружень відображається пірамідою Кулона-Мора при нормативних значеннях кута внутрішнього тертя зчеплення. Другий вираз, де є константами, обчисленими через (значеннях кута внутрішнього тертя і зчеплення при = 1), відповідає критерію Мізеса-Шлейхера-Боткіна (в просторі напружень - конусу). Величини не є нормативними і при відсутності можливості визначити їх безпосередньо експериментальними випробуваннями з допомогою стабілометра для слабозв'язаних ґрунтів можна з достатньою точністю прийняти . Третій вираз в (2.11) відповідає циліндру Мізеса і використовується в (2.10) після перевищення границі пластичної стисливості ґрунту. Залежність параметрів граничного стану ґрунту від виду напруженого стану для прийнятого модифікованого критерію показана на (рис 2.4-2.5