РАЗДЕЛ II
Методика исследований
2.1 Частичная управляемость динамических систем
Пусть динамическая система, описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями
,, , , (2.1)
где х - фазовый вектор, u - вектор управления, являющийся ограниченной измеримой функцией времени t. Области D, U предполагаются выпуклыми, содержащими нуль в качестве внутренней точке. Функция f считается достаточное число раз непрерывно - дифференцируемой [23].
Приведем определения и критерии полной и частичной управляемости, сформулированные в монографии В.И. Воротникова [20] в разделе, описывающем методы исследования задач управления по части переменных.
Определение 2.1. [28] Система называется полностью управляемой по всем переменным, если для любых моментов времени t0 и t1 (t1>t0) и любых заданных состояний x0 и x1 существует вектор-функция u(t), переводящая систему из начального состояния в конечное состояние .
Разобьем фазовый вектор на два подвектора
x=(y, z), , , m + p = n.
Определение 2.2. [45] Система (2.1) называется полностью у-управляемой, если для любых моментов времени t0 и t1 (t1>t0) и любых заданных состояний у0 и y1 существует вектор-функция u(t), , переводящая у-переменные системы из начального состояния в конечное . Значения z-переменных могут быть произвольными.
Пусть объект управления (2.1) является линейным и описывается линейной системой с постоянными коэффициентами
, , . (2.2)
Теорема 2.1. [28] Для полной управляемости системы (2.2) по отношению ко всем переменным необходимо и достаточно, чтобы
rank (B, АВ, A2B,.., Аn-1) = n.
Теорема 2.2. Для полной у-управляемости системы (2.2) необходимо и достаточно, чтобы
rank CKn = m,
где С = (Еm,0) - матрица размера mЧn, последние m-n столбцов которой нулевые, Kn = (B, АВ, A2B,.., Аn-1).
Пусть фазовое пространство М = {х} - связное n-мерное многообразие.
Определение 2.3. [3] Точку будем называть достижимой из точки , если существует траектория х(t) системы (2.1) такая, что x(t0)=x0, x(t1)=x1, 0 ? t0 ? t1 < ?.
Определение 2.4. [3] Множество всех точек, достижимых из точки , будем называть положительной орбитой точки х и обозначать . Множество всех точек, из которых достижима точка х, будем называть отрицательной орбитой точки х.
Определение 2.5. [3] Положительной орбитой множества будем называть множество , отрицательной орбитой множества К ? множество .
Определение 2.6. [3] Множество K будем называть ориентированным относительно системы (2.1), если оно обладает одним из следующих свойств: либо .
Сформулируем определение у-управляемости, используя понятие ориентированного множества [75].
Определение 2.7. Система (2.1) управляема по переменной у в области D, если .
Чтобы сформулировать теорему введем множества Dak = {: y = yk}, являющиеся сечениями области D плоскостями у = ук.
Теорема 2.3. [3] Система (2.1) управляема по переменной у в области D тогда и только тогда, когда в области D отсутствуют ориентированные множества N такие, что и для некоторых .
Перейдем к изложению принципа максимума для задачи оптимального управления по части переменных, изложенного в монографии Л. С. Понтрягина и других.[76]
Введем дополнительные переменные и обозначим через функцию.
Пусть М0 И М1 ? гладкие многообразия размерности m
M0 = {: y = y0}, M1 = {: y = y1},
а Т0 и Т1 касательные плоскости многообразий М0 и М1 , проведенные в точках у0 и y1.
Теорема 2.4. [47] Пусть u(t), - допустимое управление, переводящее изображающую точку из некоторого положения в положение , а х(t) - соответствующая траектория, исходящая из точки x(0) = (x1,...,xn). Для того чтобы u(t) и x(t) давали оптимальное решение задачи у-управляемости, необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции , соответствующей функциям u(t) и x(t), что
1°. Для любого момента t, являющегося точкой непрерывности управления u(t), функция переменного достигает в точке u = u (t) максимума .
2°. В конечный момент t1 выполнены соотношения , .
3°. Выполнены условия трансверсальности в обоих концах траектории:
,
.
2.2. Частичная стабилизация нелинейных систем по линейному приближению
Пусть возмущенное движение объекта управления описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений [7, стр. 50-51]
, f(0,0)?0
х*= (yl,...,ym,zl,...,zp)* = (y*,z*)*, u = (u1,..., ur )*, (2.3)
m > 0, p > 0, m + p = n, r?1,
правые части которой определены и непрерывны в области
t ? 0, ||у||?h>0, ||z|| < ?, ||u|| < ?,
, , .
Пусть выбран некоторый класс U = { u(t,x)} управлений u(t,x), непрерывных в области
t ? 0, ||у|| ? h >0, 0 ? ||z|| < ?, (2.4)
таких, что при любом [63]
а) правые части системы (2.3) в области (2.4) непрерывны и удовлетворяют
условиям единственности решения (например, локальному условию Липшица);
б) решения системы (2.3) z-продолжимы, т.е. каждое решение x(t) определено
при всех t > 0, для которых ||у|| ? h.
С практической точки зрения z-продолжимость решений системы (2.3) означает, что z-компонента любого решения х = х(t) этой системы, для которого не может "уходить в бесконечность" за конечное время.
При подстановке в систему (2.3) любого управления ,
u(t,0) ? 0 получаем систему
, Х(t,0) ? 0, (2.5)
для которой сформулируем следующие определения.
Определение 2.8 [55] Невозмущенное движение х = 0 системы (2.5) называется устойчивым по отношению к y1,...,ym (кратко у-устойчивым), если для любых чисел е, t0 ? 0 найдется число д(е,t0) > 0 такое, что из ||х0|| < д для всех решений х = х(t;t0,х0) системы (2.5) следует ||у(t;t0,х0)||<е при всех t ? t0.
Определение 2.9 [55] Невозмущенное движение х = 0 системы (2.5) называется асимптотически устойчивым по отношению к у1,...,уm (кратко асимптотически у-устойчивым), если оно у-устойчиво и, кроме того, д