Глава 2
Динамика гетерофазной системы при мартенситном превращении
2.1. Неравновесная термодинамика системы когерентных фаз
Мартенситное превращение (МП) представляет собой структурный фазовый переход
первого рода, заключающийся в бездиффузионной кооперативной перестройке
кристаллической решетки, при которой относительные смещения атомов не превышают
межатомных расстояний. Соответствующее макроскопическое изменение формы
некоторого объема вещества, претерпевающего МП при движении плоской когерентной
границы раздела между находящимися в равновесии бесконечно протяженными фазами,
характеризуется собственной структурной (спонтанной) дисторсией превращения
[37, 91, 92, 98, 99, 100, 101].
Рис. 2.1. Параметры контактирующих фаз и межфазной границы при мартенситных
превращениях.
Введем неподвижную лагранжеву систему координат, связанную с кристаллом в
исходном состоянии (до превращения). Каждая материальная точка будет
однозначным образом представлена своими координатами xi (вектором x), не
изменяющимися во времени t [106, 107, 108, 109]. Эволюцию фазовой структуры в
континуальном приближении можно описать тензорным полем спонтанной дисторсии
eij(x,t), которая постоянна в пределах каждой фазы и испытывает скачок [eij],
равный относительной собственной дисторсии соответствующего варианта МП, на
поверхности раздела фаз G. Для характеристики разрывов произвольной функции
f(x,t) на МФГ будем использовать следующие специальные обозначения:
, (2.72)
. (2.73)
Квадратные скобки обозначают скачок заключенной в них величины при переходе
через поверхность G в направлении единичной нормали к ней n, фигурные скобки
указывают на полусумму значений функции по разные стороны МФГ
. (2.74)
Скорость движения межфазной границы (МФГ) V определим как скорость перемещения
поверхности G вдоль нормали n (рис 2.1).
Условие сохранения сплошности среды в процессе МП выражается соотношениями
[100, 101]
, (2.75)
(2.76)
внутри фаз и
, (2.77)
(2.78)
на МФГ. Здесь eijk – символ Леви-Чивиты (единичный антисимметричный тензор),
wij(x,t) – тензор упругой дисторсии, vi(x,t) – скорость элементов среды; как
обычно, подразумевается суммирование по дважды повторяющимся тензорным
индексам. Уравнения (2.6), (2.7) представляют собой условия когерентного
сопряжения контактирующих фаз.
Рис. 2.2. Схема вывода системы уравнений эволюции гетерофазной структуры.
Как известно, неравновесная термодинамическая система описывается
соотношениями баланса импульса, энергии и энтропии [106, 107, 108, 109, 110],
которые в лагранжевой системе координат имеют вид соответственно
, (2.79)
, (2.80)
(2.81)
внутри фаз и
, (2.82)
, (2.83)
(2.84)
на МФГ (рис. 2.2). Здесь r – плотность вещества в исходном состоянии, sij(x,t)
– тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, T(x,t) – температура, qi(x,t) – тепловой
поток, U(x,t) и S(x,t) – плотности внутренней энергии и энтропии, g – удвоенная
средняя локальная кривизна МФГ, UG и SG – плотности поверхностных энергии и
энтропии МФГ. Все физические поля (в том числе и температура) могут на МФГ
испытывать разрыв. Кинематические уравнения когерентного МП (2.5), (2.7)
позволяют исключить поле скоростей и записать соотношения термодинамического
баланса (2.8) – (2.13) следующим образом:
, (2.85)
, (2.86)
, (2.87)
, (2.88)
, (2.89)
. (2.90)
Здесь FG = UG - {T}SG есть поверхностная плотность свободной энергии МФГ.
В классической термодинамике естественными переменными плотности свободной
энергии F(x,t) = U(x,t) - T(x,t)S(x,t) являются упругая дисторсия wij(x,t) и
температура T(x,t). Согласно более общей локально-неравновесной теории,
производная такого термодинамического потенциала по времени
(2.91)
содержит в качестве дополнительного члена диссипативную функцию R(x,t),
описывающую необратимые процессы в системе. С учетом (2.20) соотношения (2.15),
(2.16) приобретают простую форму
, (2.92)
. (2.93)
Аналогичным образом, определяя движущую силу МП как
, (2.94)
можно представить соотношения (2.18), (2.19) в виде
, (2.95)
. (2.96)
Формулы (2.21), (2.24) являются уравнениями теплового баланса, а неравенства
(2.22), (2.25) выражают условие неотрицательности производства энтропии внутри
фаз и на МФГ соответственно.
2.2. Определяющие уравнения и необратимые процессы: модель затухающей памяти
Наиболее общий метод описания релаксационных явлений предлагает
феноменологическая теория сплошных сред с затухающей памятью, оперирующая
функционалами истории параметров локального состояния системы [108, 110, 111,
112]. Поскольку МП – прежде всего деформационный процесс, для анализа
сопровождающих его диссипативных эффектов достаточно учета истории поля
дисторсии. Параметризуя состояние материального континуума с помощью упругой
дисторсии wij(x,t) и температуры T(x,t) и используя интегральное представление
«упругой» составляющей энергии [112, 113], запишем определяющие уравнения:
, (2.97)
, (2.98)
причем
. (2.99)
Здесь lij – тензор температурных коэффициентов напряжений, C – теплоемкость при
постоянной дисторсии, T0 – температура термодинамического равновесия фаз,
выбранная в качестве температуры начала отсчета упругой дисторсии в отсутствие
напряжений. Так как физические свойства контактирующих фаз различны,
соответствующие термодинамические величины в общем случае следует считать
функциями собственной дисторсии МП eij(x,t). В соответствии с принципом
причинности верхним пределом интегрирования является момент наблюдения t.
Функции релаксации mijkl(tў,tІ) непрерывны при tў і 0, tІ і 0, а их производные
по времени стремятся к нулю при tў ® Ґ, tІ ® Ґ. Замена упругой деформации на
уп
- Киев+380960830922