РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАМЫ ТЕЛЕЖКИ ВАГОНА ЭЛЕКТРОПОЕЗДА
2.1. Используемые конечные элементы
Рамы тележек вагонов электропоездов представляют собой пространственные
конструкции, состоящие из стержней, оболочек и объемов произвольной формы,
поэтому для их моделирования использовались стержневые, оболочечные и объемные
КЭ. Ниже приведены аппроксимационные полиномы и гипотезы, положенные в основу
построения элементов, которые используются для моделирования данных
конструкций.
2.1.1. Стержневой конечный элемент.
Рассматриваются стержневые элементы, состоящие из изотропного материала, все
характеристики которых — геометрические (толщина), физические (модуль
упругости, коэффициент Пуассона) и компоненты напряженно-деформированного
состояния (напряжения, деформации) — функции одного аргумента. За исходную
предпосылку расчета принята гипотеза плоских сечений, согласно которой
деформации растяжения-сжатия, изгиба, кручения и сдвига считаются независимыми
друг от друга.
Положительные направления перемещений, сил и моментов стержневого двух узлового
КЭ с шестью степенями свободы в узле показаны на рис. 2.1. Две степени свободы
узла являются функциями от поперечных перемещений v,w:
b=qy =dv/dx g=q z =dw/dx (2.1)
Рис. 2.1. Узловые силы и перемещения стержневого конечного элемента.
Поскольку и(х) и a (х) являются функциями от двух степеней свободы, то для них
используется линейная аппроксимация. Функции v (х) и w (х) зависят от четырех
степеней свободы, поэтому для них используется кубическая аппроксимация.
Аппроксимация всех шести перемещений по области стержня в явном виде через
нормализованную координату записывается в следующем виде:
(2.2)
2.1.2. Оболочечный конечный элемент.
Применение МКЭ в решение задач теории оболочек позволяет моделировать поведение
беспрерывной криволинейной поверхности достаточно точно поверхностью, состоящей
из малых плоских элементов. Из физических соображений следует, что с
уменьшением размеров элементов решение должно сходиться, поскольку кривизна
стремится к нулю и оболочка переходит в пластину. Как показал опыт, такая
сходимость при использовании пластинчатых элементов для аппроксимации оболочек
действительно наблюдается.
Для представления произвольной оболочки в виде набора плоских КЭ можно
использовать как треугольные, так и четырехугольные элементы. Плоский
оболочечный КЭ представляется как линейная комбинация двух КЭ:
плосконапряженного состояния и изгиба пластин. Базовые элементы изображены на
рис. 2.2, там же показаны положительные направления обобщенных перемещений, сил
и моментов для каждого типа элемента. В векторном виде они имеют вид:
, (2.3)
где ,- соответственно вектора обобщенных перемещений и сил КЭ
плосконапряженного состояния;
,-соответственно вектора обобщенных перемещений и сил КЭ изгиба.
Рис. 2.2. КЭ плосконапряженного состояния.
Узловые силы и перемещения для объединенного КЭ связаны выражением:
, (2.4)
где [K ] - матрица жесткости объединенного КЭ.
Матрица жесткости объединенного КЭ имеет вид:
, (2.5)
где – матрица жесткости КЭ плосконапряженного состояния;
– матрица жесткости КЭ изгиба.
В соответствии с (2.4) и (2.5) векторы перемещений и сил объединенного
оболочечного КЭ записываются следующим образом:
(2.6)
Для получения матриц жесткости и масс обеих типов элементов использовалась
нормированная система координат, которая приведена на рисунке 2.3.
Рис. 2.3. Нормированная система координат поверхностного КЭ.
Для 4-х узлового КЭ изгиба пластин в каждом его узле определены 3 степени
свободы - перемещения и два угла поворота, которым отвечают узловая сила и два
изгибных момента. Положительные направления обобщенных перемещений и сил также
приведены на рис. 2.2. В векторной форме параметры для i-го узла имеют вид
(2.3). Всего в результате мы имеем 12 узловых параметров. Для аппроксимации
функции формы используется полином четвертой степени:
(2.7)
Узловые функции форм для предложенной аппроксимации (2.7) в нормированных
координатах имеют вид:
(2.8)
Для плоского КЭ в каждом узле определены перемещение u, v вдоль осей x и h,
соответственно. Для получения матриц жесткости и масс такого конечного элемента
распределение перемещений представляется с помощью функций форм через
перемещения в его узлах и имеет вид:
(2.9)
где: {u}e,{v}e– вектора узловых перемещений,
[N] =[N1, N2, N3, N4,] – матрица функций форм от координат x и h.
Для рассматриваемого КЭ функции форм имеют следующий вид:
N1=ј (1-x) (1-h), N2=ј (1+x) (1-h), N3=ј (1+x) (1+h), N4=ј (1-x) (1+h)
(2.10)
В соответствии с вышеприведенным матрица жесткости объединенного КЭ имеет две
особенности:
- перемещения, вызванные мембранами силами, не влияют на деформации изгиба и
наоборот;
- угол поворота q не входит в число узловых параметров, определяющихся для
деформации.
Для обхода этого дефекта введена жесткость фиктивного поворота. Для треугольных
элементов эта жесткость вводится в виде такой матрицы, чтобы равновесие в
локальных координатах не нарушалось:
(2.11)
где a - некоторый коэффициент, который подбирается путем численного
эксперимента.
2.1.3. Объемный конечный элемент.
Для моделирования конструкций, которые квалифицированы как трехмерные тела в
общей постановке, в качестве КЭ используются тетраэдры с плоскими гранями (рис.
2.4).
Рис. 2.4. Тетраэдр с плоскими гранями.
При описании тетраэдров используются нормал
- Киев+380960830922