Раздел 2
Теоретическое исследование характеристик излучения конических спиральных
структур
2.1. Математическая модель регулярной спирали выполненной на эллиптическом
конусе
Для исследования поля излучения, создаваемого спиральными излучателями, с
использованием метода векторного потенциала [55], необходимо первоначально
описать геометрию пространственной структуры, выполненной на заданной
поверхности.
Для задания геометрии спирали на поверхности вращения, а также и на плоскости,
необходимо вводить ряд параметров, характеризующих как саму спиральную
структуру, так и поверхность. В общем случае, такими параметрами для
коническо–эллиптической спирали являются: — начальный радиус, определяющий
расстояние между входными зажимами (для двух– и многозаходных спиралей); — угол
подъема витков спирали (угол намотки), характеризующий плотность намотки
спирали на заданную поверхность или в плоскости. При этом значение данного угла
может быть выбрано как постоянным , тогда речь идет о эквиугольной спирали, так
и переменным в зависимости от параметрического угла т.е. ; — шаг спирали
(относительное приращение по поверхности вращения). Значение данного параметра
также может быть выбрано постоянным либо переменным . При речь идет о
эквишаговой (с постоянным шагом) спирали; — количество витков спирали.
Параметры и (угол намотки и шаг спирали) являются взаимозависимыми величинами,
поэтому для геометрического представления спирали может быть использован только
один из них.
Необходимо также вводить параметры, характеризующие поверхность. Так, для
эллиптического конуса таким параметром является угол при вершине конуса . Этот
параметр позволяет обобщить геометрическое представление спирали, выполненной
на конусе с углом при вершине , для случая цилиндра при либо для плоскости при
.
Под геометрическим представлением спирали понимается определение текущих
координат спирали, например, в декартовой системе координат и длины этой
спирали .
Для описания геометрии коническо–эллиптической спирали воспользуется
параметрической формой представления декартовых координат. Одна из традиционных
форм представления конической спирали это эквишаговая спираль на эллиптическом
конусе. Под шагом будем понимать проекцию расстояния между витками в
пространстве на ось Z. Для задания эквишаговой спирали на эллиптическом конусе
в декартовой системе координат запишем выражение (2.1):
(2.1)
Продифференцировав уравнения (2.1) по , получим производные по координатам
(2.2)
Системы (2.1) и (2.2) полностью, математически описывают эквишаговую спираль на
эллиптическом конусе.
Другая традиционная форма представления спирали на конусе это эквиугольная
спираль на эллиптическом конусе. Под постоянным углом будем понимать угол,
который образует касательная к витку спирали в плоскости Z0X с осью 0X.
Для задания эквиугольной спирали на эллиптическом конусе в декартовой системе
координат запишем выражение (2.3):
(2.3)
где .
Дифференцируя уравнения (2.3) по a, получаем производные по соответствующим
координатам:
(2.4)
Для анализа нерегулярных конически–эллиптических спиральных антенн, необходимо
вывести формулы перехода и , чтобы иметь возможность произвольного задания шага
спирали и угла намотки ,.
Для получения этих формул воспользуемся уравнением конуса с эллиптической
образующей [41]:
, (2.5)
где и — полуоси поперечного сечения конуса, соответственно координатам и ;
— высота конуса.
Для получении зависимости подставляем в (2.5) вместо и одноименные выражения из
(2.3), а вместо z соответствующие выражение из (2.1). Решая полученное
уравнение относительно , получаем:
, (2.6)
где
При получении зависимости подставляем в (2.5), вместо и одноименные выражения
из (2.1), а вместо z — соответствующей, выражение из (2.3). Решая полученное
уравнение относительно , находим:
. (2.7)
Таким образом, можно обобщить результаты, полученные для эквишаговых конических
спиральных антенн, на соответствующие эквиугольные, и наоборот. При анализе
нерегулярных конических спиральных антенн можно задавать произвольное изменение
шага спирали или угла намотки и затем вычислять изменение угла или шага ,
используя соответствующие выражения (2.6) и (2.7).
Определив текущие координаты спиральной антенны в декартовой системе координат,
можно записать также и соотношение для элемента спирали через их
дифференциалы:
.
Тогда полная длина спирали будет определяться соотношением:
. (2.8)
В общем случае аналитическое вычисление длины спирали по выражению (2.8)
представляет определенную трудность, вследствие произвольности задания
геометрических параметров спирали. Поэтому необходимо использовать методы
численного интегрирования. Однако для некоторых частных случаев, вычисление по
выражению (2.7) приводит к замкнутому виду.
Так, для эквиугольной спирали, выполненной на круговом конусе, получаем:
, (2.9)
для эквишаговой спирали, выполненной на круговом конусе, получаем:
. (2.10)
При анализе коническо–эллиптических спиральных антенн выражения (2.6),(2.7)
нуждаются в уточнении, для перехода от кругового к эллиптическому конусу. Для
вывода параметрических уравнений антенны воспользуемся представлением спирали,
развернутой на эллиптическом конусе и показанной на рис. 2.1a. Поперечное
сечение эллиптического конуса в плоскости изображено на рис. 2.1б, где
изображена проекция спирали на эту плоскость.
Текущие координаты эллиптического витка в плоскости X0Y (см. рис. 2.1б)
представим в виде:
; ,
Множитель определяет эллиптичность витка спирали, т. е. во сколько раз одна
полуось эллипса больше другой, где — эксцентриситета эллипса.
Рис. 2.1. К
- Киев+380960830922