ГЛАВА 2
МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ЭФФЕКТОВ ОГРАНИЧЕНИЯ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
2.1. Введение
При изучении динамических свойств пространственно неограниченных систем, форму
молекул, составляющих систему, в большинстве случаев можно было не учитывать и
с большой степенью точности считать ее сферической [12, 24]. Ситуация
изменяется при наличии ограничивающих систему поверхностей. Отклонения формы
молекул от сферической приводят к их способности выстраиваться определенным
образом вблизи ограничивающих поверхностей [33, 38, 78]. Это составляет
механизм эффектов ограничения, проявляющихся в изменении динамических свойств
системы по сравнению с объемными и рассмотренных в предыдущей главе. В связи с
этим возникает необходимость в изучении гидродинамических систем с молекулами,
способными к ориентационному упорядочиванию.
Полученная недавно расширенная система гидродинамических уравнений для систем с
анизотропными молекулами [69] приведена в этой главе. С ее помощью можно
изучить КФ традиционных и ориентационных переменных как в однородных, так и в
пространственно неоднородных системах, дополнив систему уравнений подходящими
краевыми условиями.
Точный расчет молекулярных КФ невозможен в связи с трудностями описания систем
многих частиц. Поэтому ограничимся нахождением дальневременной асимптотики для
них. Примем допущение, как в [79], что происхождение асимптотики
автокорреляционной функции скорости молекулы при связано с временной эволюцией
гидродинамических (коллективных) составляющих теплового движения молекул
жидкости. Если коллективную составляющую скорости молекулы отождествить со
скоростью лагранжевой частицы [79], то задача построения дальневременной
асимптотики КФ скорости молекулы сводится к задаче построения лагранжевой
теории тепловых гидродинамических флуктуаций. Две версии такой теории, их
сравнительный анализ и способы перехода на их основании от эйлеровских КФ к
лагранжевым приведены в этой главе.
Основные положения и результаты, проанализированные в настоящей главе, будут
использованы в следующих главах диссертации в качестве методов решения задачи
исследования тепловых гидродинамических флуктуаций в пространственно
ограниченных системах. Исследованию подлежат также молекулярные КФ
неограниченных систем, поскольку положенные в основу их расчета лагранжева
теория тепловых гидродинамических флуктуаций [80] и полная система
гидродинамических уравнений [69] получены недавно и открывают широкое поле для
исследований.
2.2. Расширенная система гидродинамических уравнений
жидкости с анизотропными молекулами
Молекулы анизотропной жидкости совершают вращательное движение и обладают
тензором моментов инерции. Естественно ввести локальный тензор инерции элемента
объёма. При равновесии тензор имеет некоторое значение, зависящее, например, от
температуры и давления. Если последние изменяются, то новое равновесное
значение тензора инерции достигается не мгновенно, и его можно рассматривать
как независимую переменную, подобную тензору анизотропии Леонтовича, и
определяющую состояние жидкости. Отклонение этого тензора от равновесного
значения должно эффективно описывать механическую или электрическую анизотропию
жидкости. Недавно [69] построена полная система гидродинамических уравнений
жидкости, в которой наряду с локальной скоростью движения учитывается
внутренний момент импульса и тензор моментов инерции.
Запишем локальные законы сохранения массы, энергии и импульса
, , (2.1)
, (2.2)
где с – плотность, E – полная энергия единицы объёма жидкости, поток энергии, p
– давление, тензор натяжений. Закон сохранения полного момента импульса
представляется следующим выражением, из которого исключен вращательный импульс,
связанный с поступательным движением
, (2.3)
тензор потока момента импульса, единичный антисимметричный тензор. Полная
система гидродинамических уравнений содержит уравнения изменения тензора
моментов инерции и роста энтропии
, (2.4)
Уравнения (2.1)-(2.4) приобретут смысл после выяснения вида вкладов и .
Плотность полной энергии жидкости представима в виде
,
где – внутренняя энергия в системе отсчёта, в которой локальная скорость
элемента объёма жидкости равна нулю. Эта система вращается относительно
исходной с угловой скоростью . Внутренняя энергия является функцией и новых
термодинамических переменных – момента импульса и тензора инерции
,
так что основное термодинамическое тождество принимает вид
(2.5)
– энтальпия единицы массы, B – коэффициент разложения. Используя (2.5) и
уравнения (2.1)-(2.4) стандартным способом [90] получаем выражение для
производства энтропии
(2.6)
С учётом теоремы Кюри и соотношений Онсагера система феноменологических
уравнений, связывающих потоки и силы, принимает вид
, , (2.7)
.
Здесь индексом s отмечена бесследовая часть симметричного тензора (девиатор), –
отклонение тензора инерции от равновесного значения. Независимые
феноменологические коэффициенты коэффициенты первой, второй и третьей
(вращательной) вязкости и коэффициент диффузии внутреннего момента те же что и
в [82], коэффициенты новые, появившиеся из-за дополнительной гидродинамической
переменной [69]. Окончательно имеем расширенную систему гидродинамических
уравнений
(2.8)
Эту систему уравнений замыкают уравнения непрерывности, роста энтропии и
уравнение состояния. Полная система уравнений после линеаризации позволяет
вычислить флуктуации любых гидр