РОЗДІЛ 2
ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ МЕТОДУ ПАРАМЕТРИЧНОЇ ЧУТЛИВОСТІ ЕЛЕКТРОМАҐНЕТНИХ ЕЛЕМЕНТІВ
СИСТЕМ КЕРУВАННЯ
Електромаґнетні елементи систем керування вважаються непростими для їх математичного моделювання. Потрібно докласти чималих зусиль, а іноді необхідно піти на певні припущення, для побудови ефективної, інформативної і водночас нескладної у математичному розумінні моделі. Це вимагає від дослідника багатогранних знань з теорії електромаґнетних кіл, загальної теорії звичайних диференціальних рівнянь, числових методів, тензорного числення та аналізу. Важливим є, щоб розроблена модель легко переносилася, в алгоритмічному розумінні, на програмні пакети, які використовуються для моделювання. Тому крім вище перерахованих знань, потрібні ще глибокі пізнання в алгоритмічних мовах, різноманітних пакетах символьної математики та моделювання нелінійних об'єктів. Для зручного перенесення на алгоритмічні мови слід використовувати об'єктно-орієнтовані підходи у поданні основних вузлів моделі. Це робить програму короткою, зрозумілою та виключає випадкові помилки у записі програмного коду.
Далі ми покажемо ключові вузли необхідні для розв'язування поставленої задачі.
2.1. Методика формування рівнянь стану ЕМЕ СК
Електромаґнетні елементи систем керування розглядають як певне розгалужене електромаґнетне коло. При записі диференціальних рівнянь ЕМЕ СК, як правило, користуються його приведеною моделлю. Вторинні обмотки вважаються приведеними за числом витків до первинної.
Електромаґнетне коло структурно можна розділити на електричне та маґнетне субкола. Розглянемо методику формування рівнянь стану ЕМЕ СК на прикладі однофазного трансформатора з активним навантаженням [53]. Будемо вважати, що воно складається з найпростішого електричного субкола (електрично не зв'язаних між собою котушок) і достатньо складного маґнетного субкола.
Згідно розрахункової схеми електричного субкола (рис.2.1), запишемо рівняння електричних контурів
, . (2.1)
Для компактності запишемо дані рівняння у тензорній формі *)
, (2.2)
де координати матриць приймають значення , , , .
Вважаючи, що потоки розсіяння замикаються лише по повітрю і визначаються оберненими індуктивностями обмоток ( та ), згідно схеми заміщення (рис.2.2) та законів Кірхгофа для контурів розсіяння запишемо рівняння струмів обмоток
, . (2.3)
Рівняння стану маґнетного кола згідно наведеної схеми заміщення (рис. 2.2) можна записати у вигляді
, (2.4)
де - обернена статистична індуктивність, яка визначається за основною кривою намаґнечення
. (2.5)
Підставимо (2.3) у (2.4) та продиференціємо за часом
, (2.6)
де , , - обернена диференціальна індуктивність, яка визначається за основною кривою намаґнечення
. (2.7)
Рівняння стану маґнетної вітки (2.6) необхідно доповнити диференціальним рівнянням струму вторинної обмотки трансформатора. Для цього продиференціюємо за часом рівняння струмів обмоток (2.3) та підставимо в отриманий результат (2.6)
, (2.8)
де , , .
Тепер можемо записати рівняння стану однофазного трансформатора єдиним виразом
, (2.9)
де , , . Причину введення додаткової змінної буде обумовлено далі.
Якщо електромаґнетне коло містить ємність, тоді рівняння стану доповнюються диференціальним рівнянням конденсатора
, (2.10)
і в рівняннях (2.1), (2.2) враховується спад напруги на конденсаторі .
2.2. Тензорний апарат математичної моделі ЕМЕ СК
У даному підрозділі ми викладемо деякі тензорні виведення, на які будемо опиратися при побудові геометричних моделей ЕМЕ СК. Одразу зазначимо, що для позначення просторових координат використовуються латинські індекси, а для координат поверхні - грецькі.
2.2.1. Коваріантне диференціювання. Взяття похідних у евклідовому просторі не представляє жодних труднощів і є детально описане у класичних працях математичного аналізу [92]. Для криволінійного простору, координати якого пов'язані із декартовими певною функціональною залежністю, механізм обчислення тензорної похідної є значно складнішим [48, 69], бо необхідно враховувати викривлення простору.
Нехай: - декартова система координат; - криволінійна система координат; - контраваріантне векторне поле в декартовій системі координат; - це саме векторне поле, але вже у криволінійних координатах.
Для позначення тензорної похідної будемо вживати прийнятий у літературі символ D [69].
Похідна вектора у декартових координатах має вигляд
. (2.11)
Координати вектора та його тензорних похідних у цих двох системах координат виражаються залежностями
, (2.12)
. (2.13)
Підставимо (2.11) у (2.13)
. (2.14)
Враховуючи, що , (2.14) запишемо наступним чином
. (2.15)
Розпишемо детальніше
Введемо позначення . У літературі [18, 26, 48, 69] воно має загально прийняту назву - символ Крістофеля другого роду.
В кінцевому результаті отримаємо
, (2.16)
де .
2.2.2. Диференціювання контраваріантних векторів, що безпосередньо залежать від параметру t. Нехай - контраваріантне векторне поле в декартовій системі координат, - це саме векторне поле, але в криволінійній системі координат.
Похідна вектора у декартових координатах має вигляд
. (2.17)
Залежності координат вектора та його тензорних похідних у цих двох системах координат виражаються так само як у (2.12) та (2.13)
, (2.18)
. (2.19)
Запишемо тензорну похідну вектора аналогічно (2.14) та (2.15)
. (2.20)
Для виразу (2.18) візьмемо часткову похідну за явно заданим параметром t
, (2.21)
та врахуємо її у (2.20), де здійснимо певні перетворення 1-го доданку
Проведемо тут ряд виведень:
Остаточно запишемо
, (2.22)
де .
2.2.3. Диференціювання тензорів, що належать "рухливій" поверхні в криволіній