РАЗДЕЛ 2
РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ДАННЫХ В ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛОВЫХ
СИСТЕМАХ
2.1. Структура инструментария – алгоритмически-программных модулей обработки
данных в ГЧС.
Основой алгоритмически - программного инструментария аналитических вычислений
при представлении данных в виде гиперкомплексных чисел в системе компьютерной
математики Maple является теория гиперкомплексных числовых систем. При
математическом моделировании различных объектов и процессов в большинстве
случаев достаточно эффективным является представление данных в гиперкомплексной
форме [49]. Теория и практика навигации и ориентации [41,42], криптография
[46,50], цифровая фильтрация [47,51], электротехника [48] - далеко не полный
перечень использования гиперкомплексного представления данных в прикладных
науках. Также достаточно часто такое представление используется в
фундаментальных науках.
Исследование сложных математических моделей связано с огромным числом
громоздких аналитических преобразований математических выражений и требует
использования средств компьютерной алгебры в виде интегрированной системы
символьной математики [52]. Программное обеспечение для применения в
аналитических вычислениях должно представлять собой полную систему, включающую
в себя метод представления нечисловых данных специальной структуры, язык,
позволяющий манипулировать с ними, библиотеку эффективных функций для
выполнения необходимых базисных операций.
Широкие возможности в этом плане дает использование системы компьютерной
математики Maple [53]. Основой для роботы с символьными преобразованиями в
Maple является ядро системы. Оно содержит сотни базовых функций и алгоритмов
символьных преобразований. Имеется также основная библиотека операторов, команд
и функций. Кроме того, в Maple включены математические пакеты подпрограмм для
решения задач линейной и тензорной алгебры, Евклидовой и аналитической
геометрии, теории чисел, теории вероятности и математической статистики,
комбинаторики, теории групп, интегральных преобразований, числовой
аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс метод) и много других задач.
Для построения моделей с использованием гиперкомплексного представления данных
разработан пакет процедур для выполнения символьных и числовых операций в
гиперкомплексных числовых системах [54]. Место этого пакета в структуре системы
компьютерной математики Maple изображено на рисунке 2.1
Рис.2.1 Структура аналитически-программного инструментария выполнения операций
над гиперкомплексными числами
Пакет процедур для выполнения символьных и числовых операций в гиперкомплексных
числовых системах включает в себя:
служебные процедуры для выполнения символьных и числовых операций в
гиперкомплексных числовых системах;
процедуры для выполнения алгебраических операций в гиперкомплексных числовых
системах;
процедуры для выполнения нелинейных операций в гиперкомплексных числовых
системах;
процедуры модульных вычислений в гиперкомплексных числовых системах.
Необходимо отметить, что гиперкомплексное представления данных при построении
или исследовании математических моделей систем также может вызвать некоторые
трудности в связи с многомерностью гиперкомплексных чисел. Использование Maple
позволяет эффективно оперировать с многомерными структурами данных, которыми и
являются гиперкомплексные числа. Система позволяет делать со списками такие
операции, как извлечение элемента из списка, подсчет количества элементов в
списке, принадлежность к списку, преобразование в другие структуры, объединение
списков, проведение некоторых групповых операций, подстановки списка в
выражения и наоборот, а также многие др. Развитая система программирования в
среде Maple позволяет реализовывать весьма сложные алгоритмы обработки
информации как в символьном виде, так и числовом.
2.2. Алгоритмически-программные модули выполнения арифметических и
алгебраических операций в ГЧС.
2.2.1. Процедура сложения двух гиперкомплексных чисел
Пусть задано два гиперкомплексных числа порядка :
и . (2.1)
Необходимо вычислить сумму:
. (2.2)
Операцию сложения двух гиперкомплексных чисел (2.1) порядка n в описываемой
библиотеке, предназначенной для выполнения символьных и численных операций в
гиперкомплексных числовых системах, реализуют процедуры Addition и Additions.
Входными параметрами являются: гиперкомплексные слагаемые и , порядок чисел
задается третьим формальным параметром n. Процедура Addition возвращает
результат сложения (2.2) в общем виде, а процедура Additions в виде
позиционного списка коэффициентов.
Алгоритм заключается в такой последовательности действий. Сначала производится
прямое суммирование двух полиномов и [55]. Затем последовательно вызываются
служебная процедура представления гиперкомплексного числа в виде позиционного
списка коэффициентов и служебная процедура восстановление общего вида
гиперкомплексного числа библиотеки HNS_lib.
Пример вычисления суммы двух чисел:
2.2.2. Процедура вычитания гиперкомплексных чисел
Пусть задано два гиперкомплексных числа порядка в виде (2.1)
Разность этих чисел равна:
. (2.3)
Вычисления производится так:
Операцию нахождения разности (2.3) двух гиперкомплексных чисел (2.1) порядка в
описываемой библиотеке, предназначенной для выполнения символьных и численных
операций в гиперкомплексных числовых системах, реализуют процедуры Subtraction
и Subtractions. Входными параметрами являются: гиперкомплексное уменьшаемое и
гиперкомплексное вычитаемое , порядок чисел задается третьим формальным
параметром . Процедуры возвращают разность двух чисел (2.3) в о
- Киев+380960830922