РОЗДІЛ 2
КРИТЕРІЇ ОПТИМАЛЬНОСТІ СТРУКТУРИ ІНТЕРВАЛЬНИХ МОДЕЛЕЙ СТАТИЧНИХ СИСТЕМ
Для визначення поняття оптимальності структури інтервальних моделей необхідно ввести критерії оцінки оптимальності. Як правило, кожен критерій базується на встановленні певних (бажано кількісних) показників, які визначають властивості моделей. Найчастіше для встановлення властивостей моделей використовуються такі показники: ступінь адекватності, складність оперування з моделлю та показники, що задають прогностичні властивості моделі, переважно це показники точності. Для формалізації задачі пошуку оптимальної структури найскладнішим є процес опису властивостей моделі у вигляді деяких кількісних характеристик.
Розглянемо основні властивості моделей та формалізацію задачі структурної ідентифікації на основі аналізу цих властивостей.
2.1. Аналіз адекватності, складності та точності інтервальних моделей
Адекватність є основною характеристикою побудованої моделі. Модель адекватна об'єкту, якщо результати моделювання слугують для прогнозування поведінки реального об'єкта.
Поняття адекватності слугує для оцінки рівня виконання вимог, необхідних для досягнення мети моделювання. Ступінь адекватності моделі перевіряється експериментальним шляхом на основі введення міри адекватності. Властивість адекватності моделі безпосередньо зв'язана із властивістю ІСЛАР, яка побудована на основі заданої структури моделі у вигляді (1.15) та на основі аналізу експериментальних даних (1.12).
При цьому, на відміну від стохастичних моделей, в інтервальних моделях це поняття є однозначним. Тобто, якщо ІСЛАР для заданої структури є сумісною, то модель, побудована на даній структурі, є адекватною і ,навпаки, якщо ІСЛАР для заданої структури є несумісною, то модель є однозначно неадекватною. Формально адекватність (неадекватність) моделі заданої структури можна задати такими правилами:
якщо , то модель адекватна;
якщо то модель не адекватна.
У вказаних правилах означає множину розв'язків ІСЛАР для залежності у вигляді (1.14) для інтервальних даних експерименту Х, [Y] у вигляді (1.12). В подальшому розгляді для спрощення замість будемо використовувати .
Проте адекватність моделі не є однозначно визначальною. Поряд із адекватністю важливою є складність, точність та повнота моделі [14]. Складність моделі або її спрощеність обумовлюється необхідністю оперувати нею, наприклад, за допомогою комп'ютерних засобів, обчислювальні ресурси яких є обмеженими. Оцінювання складності моделі проводиться під час синтезу її структур в ході структурної ідентифікації моделей статичних систем. Для прикладу, якщо структура моделі задається лінійно-параметричним рівнянням, то складність моделі може буди визначена кількістю параметрів m. Складність моделі також можна задавати кількістю вхідних змінних n, а для поліноміальних моделей для кількісного відображення складності можна використовувати показник p ступеня полінома. Очевидно, що, як при збільшені m, так і при збільшенні n чи p, складність оперування з моделлю зростає.
Точність моделі являє собою кількісне вираження відмінностей між властивостями побудованої моделі системи та оригіналом [68].
Точність інтервальної моделі є однією із основних її характеристик. Оцінювання точності вимагає певних обчислювальних витрат. Розглянемо точність прогнозування моделі в точці, тобто при фіксованому наборі входів .
Під прогнозуванням інтервальної моделі будемо розуміти розрахунок виходу системи при заданому наборі входів , поза експериментальними точками, на основі яких будувалась модель, але в межах області експерименту . Основною характеристикою точності інтервальної моделі є похибка прогнозування, яка задається різницею меж коридору :
(2.1)
Як випливає із наведеної формули, для визначення похибки прогнозування у фіксованій точці необхідно розв'язати дві задачі лінійного програмування:
,,
розв'язки яких знаходиться у вершинах многогранника . Із врахуванням викладеного вище, вираз для знаходження похибки прогнозування у фіксованій точці набуває такого вигляду:
(2.2)
де - вершини опуклого многогранника (множини) .
Із виразу (2.2) видно, що значення похибки прогнозування залежить від розмірів множини . Зокрема, значення в заданій точці тим менше, чим менша відстань між вершинами множини . Якщо для всіх , тобто множина стискується до точки, то значення похибки для всіх точок дорівнює нулю.
Зменшення розмірів множини , а відповідно, і зменшення похибки прогнозування моделі можливо досягнути шляхом оптимального вибору точок експерименту та зменшенням інтервальних похибок спостережень у вибраних точках.
В загальному випадку функція (2.2) є кусково-неперервною. Це зумовлено тим, що для різних фіксованих значень похибка прогнозування у формулі (2.2) може визначатись різними векторами , тобто різними парами вершин многогранника .
Важливим є аналіз властивостей лінійної по вхідних змінних інтервальної моделі . Формула (2.2) у цьому випадку набуває такого вигляду:
(2.3)
У випадку нормування незалежних змінних у такий спосіб, щоб центр експерименту співпадав з нульовою точкою , функція буде симетричною відносно центру , а її максимальне значення досягається на межі області . Якщо область експерименту задати як n-вимірну кулю радіусом і з центром в точці
,
то максимальна на області похибка прогнозування лінійної інтервальної моделі обчислюватиметься за формулою:
,
де = - визначає в просторі параметрів довжину максимальної діагоналі многогранника .
Проведений аналіз дозволяє зробити висновок, що функція похибки прогнозування інтервальних моделей, побудованих на основі множини розв'язків системи інтервальних рівнянь, в загальному випадку є кусковою, що суттєво збільшує обчислювальні витрати на визначення коридору прогнозування. Це спонукає до розробки та застосування методів локалізації розв'язків системи, що забезпечують аналітичн