раздел 2.2)
2. высокий уровень аномальных ошибок оценки взаимных задержек при малом входном
ОСШ.
Альтернативой рассмотренных подходов было бы использование метода, который бы
обладал определенными свойствами фильтрации, не требовал предварительного
устранения случайного сдвига и при этом обрабатывал сразу весь набор
реализаций. Подобными свойствами обладают методы обработки сигналов на основе
ТАКФ и биспектров.
1.3.2. Биспектральный подход к восстановлению формы сигнала
В отличие от обычных корреляционных функций и энергетических спектров ТАКФ и
биспектры (это справедливо для всех нечетных моментов высших порядков)
отличаются несколькими принципиальными преимуществами [35, 38].
Так, например, в отличие от АКФ, ТАКФ сохраняет информацию не только об
амплитудной, но и о фазовой компоненте Фурье-спектра исходного сигнала. Таким
образом, впоследствии возможно восстановление его формы.
ТАКФ Rx(k,l) рассматриваемого процесса {x(m)(i)} при бесконечном количестве
реализаций M представим в виде следующего тройного произведения:
, 422243
где k=-I+1,…,I-1, l=-I+1,…,I-1 – номера отсчетов дискретного временного
(пространственного сдвига); – операция усреднения по выборке M бесконечного
объема (M>?).
При этом ТАКФ вида (1.21) обладает следующими свойствами симметрии:
. 442345
Биспектр – преобразование Фурье ТАКФ, является комплексной функцией двух
переменных (частот) [34]:
, 462447
где ; а и – соответственно амплитудный и фазовый биспектр рассматриваемого
процесса {x(m)(i)};
p=-I+1,…,I-1, q=-I+1,…,I-1 – номера отсчетов независимых частот, .
В практических ситуациях предпочтительно использовать для расчетов биспектр
вместо ТАКФ, т.к. расчет биспектра является менее ресурсоемкой процедурой. Ниже
приведены некоторые основные свойства биспектра:
1) если исследуемый процесс {x(m) (i)} – это стационарный Гауссов процесс с
нулевым средним значением (), то ТАКФ такого процесса и, следовательно,
биспектр равны нулю:
. 482549
2) биспектр – это симметричная функция на биспектральной плоскости (плоскости
двух независимых часто, характеризуемых индексами p и q):
, 502651
где * означает комплексно сопряженную величину.
Из (1.25) следует, что для полного описания биспектра на биспектральной
плоскости достаточно определить биспектр в треугольной области, ограниченной
условиями [37]:
, 522753
4) в отличие от энергетического спектра, биспектр позволяет сохранить
информацию о фазовом Фурье-спектре исследуемого процесса. Данное свойство
биспектра вытекает из следующего уравнения связи комплексного биспектра вида
(1.23) и комплексного Фурье-спектра исследуемого процесса (см. выражение
(1.21)). Это важное уравнение применяется в реальных приложениях использующих
биспектральные методы восстановления сигналов, и имеет вид:
, 542855
где – прямое преобразование Фурье процесса x(i). Как можно видеть, выражение
(1.27) позволяет производить расчет биспектра, минуя вычисление ТАКФ,
непосредственно из Фурье-спектра. Подобный подход позволяет многократно
сократить вычислительные затраты по сравнению с последовательным расчетом по
формулам (1.21), (1.23), и называется прямым методом расчета биспектра [34].
5) из уравнения (1.27) следует свойство инвариантности биспектра к временному
(пространственному) сдвигу исходного процесса. Это свойство может быть
проиллюстрировано из следующего соотношения:
, 562957
где ? комплексный Фурье-спектр процесса, который смещен на вещественную
величину ф во временной (пространственной) области.
Эта важная особенность биспектра позволяет использовать его при решении задачи
восстановления сигнала со случайным временным сдвигом.
В качестве иллюстрации на рис. 1.9 представлены: тестовый сигнал s(i), одна из
зашумленных реализаций x(m)(i), реальная и мнимая компоненты биспектра ,
рассчитанные для s(i) при отсутствии шума, а также соответственно реальная
мнимая (рис. 1.9, г) компоненты оценки биспектра , рассчитанные по 200
реализациям x(m)(i).
Рассмотрим традиционную процедуру восстановления полезного сигнала из оценки
биспектра, предложенную в работах [34, 35]. Воспользуемся выражениями,
связывающими амплитудный биспектр и амплитудный Фурье-спектр сигнала, а также
фазовый биспектр и фазовый Фурье-спектр сигнала:
, 583059
, 603161
где и – соответственно амплитудный и фазовый Фурье-спектры сигнала; причем для
вещественного сигнала .
а б
в г
д е
Рис. 1.9. Тестовый сигнал s(i) (а), одна из его зашумленных реализаций x(m)(i)
при =0,35 (б), реальная (в) и мнимая (г) части биспектра s(i), реальная (д) и
мнимая (е) части оценки биспектра , полученные по 200 реализациям x(m)(i) при
=0,35
С учетом уравнений (1.29) и (1.30), рекурсивный алгоритм восстановления
амплитудного Фурье-спектра сигнала выглядит следующим образом [34, 35]:
, 623263
где – отсчеты амплитудного Фурье-спектра сигнала.
В свою очередь фазовый Фурье-спектр сигнала рассчитывается из оценки фазового
биспектра следующим образом:
, 643365
где – отсчеты оценки фазового Фурье-спектра сигнала. Следует заметить что для
вещественного сигнала . Оценка фазы для первого отсчета полагается равной нулю,
так как расчет этой величины из (1.32) не представляется возможным.
Как можно видеть на рис. 1.9, д и е, биспектр искаженного шумом сигнала также
искажен шумом. Это обусловлено тем, что оценки текущего спектра, формируемые по
наблюдаемым реализациям x(m)(i), входящие в выражение для расчета биспектра
(1.27), также искажены помехами.
Перечислим ниже важные особенности, характерные для восстановления амплитудного
(1.31) и фазового (1.32) Фурье-спектров сигнала по данным оценок амплитудного и
фазового биспек
- Киев+380960830922