РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ РАБОТЫ ДИСКОВ ПЕРЕКРЫТИЙ
2.1. Вывод разрешающей системы уравнений
для расчета перекрытий
В общем виде перекрытие с балками в одном направлении выглядит как показано на
рисунке 2.1. При этом расстояния между осями балок могут быть различными,
жесткости отдельных балок на изгиб и кручение, а также жесткости полок также
могут быть различными.
Рассечем перекрытие на отдельные тавровые балки плоскостями, параллельными
продольными осям ребер (рис. 2.1.) и примем подход, основанный на методе В.З.
Власова [80]. При этом расстояние от продольной оси i-той балки до i-1-го
(слева от i-той балки) и i-того (справа от i-той балки) сечения могут быть
также произвольными, т. е. место расположения секущей плоскости может быть
выбрано произвольно.
Рассмотрим i-тую отсеченную балку с действующими в месте рассечения усилиями,
подлежащими определению. В общем случае по линии рассечения будут действовать
четыре неизвестные функции усилий (рис. 2.2). Это касательные усилия Тi-1 и Тi
(рис. 2.2,а), вертикальные погонные усилия Si-1 и Si (рис. 2.2,б) погонные
поперечные изгибающие моменты Мi-1и Mi (рис. 2.2,в), погонные горизонтальные
силы распора Hi-1 и Hi (рис. 2.2,г). На рис. 2.2 показаны положительные
направления усилий. Касательные усилия Тi являются суммарными сдвигающими
усилиями, связанными с погонными касательными усилиями, t i(x) зависимостью:
Ti(x) =t i(x) dx . (2.1)
Погонные вертикальные усилия Si(x) могут быть заменены изгибающими моментами от
этих усилий MSi(x), связанными дифференциальной зависимостью сопротивления
материалов (усилия Si являются усилиями, изгибающими балку, по аналогии с
дифференциальной зависимостью изгиба балки q=±MII [306]):
Si(x)=±MSiII(x). (2.2.)
Рис. 2.1. Ребристое перекрытие с ребрами в одном направлении
Рис. 2.2. Усилия, действующие на расчетные і-тую и і+1-ю балки
Для определения неизвестных Ti(x), MSi(x), Mi(x), Hi(x), имеются следующие
условия совместности деформаций в каждом i-том сечении (в предположении
постоянных крутильной и изгибной жесткостей; учет изменения жесткостей будет
рассмотрен отдельно).
1. Равенство продольных деформаций е(x) слева и справа от i-того сечения
а) деформаций, вызванных изгибом от действия внешней нагрузки (за положительные
примем деформации удлинения):
; , (2.3)
где MQi- функция изгибающих моментов в i-той балке от действующей на нее
внешней нагрузки; bi- расстояние от центра тяжести сечения i-той балки до
центра тяжести ее полки; EIi – изгибная жесткость i-той балки в вертикальном
направлении;
б) деформаций, вызванных растяжением (сжатием) стержней (ребер):
; ; (2.4)
где EAi- осевая жесткость i-той балки;
в) деформаций в результате действия моментов MSj (от усилий Sj ):
; ; (2.5)
г) деформаций в результате действия моментов MTj = Tj·bj, создаваемых усилиями
Tj в плоскости изгиба ребер:
еi,лев = - ; еi , прав= - ; (2.6)
д) деформаций от моментов создаваемых усилиями Tj в плоскости полок плиты (в
горизонтальной плоскости):
еi,лев=; еi,прав= - ; (2.7)
где EIPj- изгибная жесткость таврового j-того стержня в горизонтальной
плоскости; Li и Ri - по рис. 2.2;
е) деформаций, вызванных горизонтальными силами распора Hj (или моментами MHj ,
связанными с усилиями Hj дифференциальной зависимостью Hj =):
еi,лев=; еi,прав= . (2.8)
2. Равенство кривизн в вертикальной плоскости слева
и справа от i-того сечения
Кривизны в i-том сечении складываются из следующих составляющих (положительной
считаем кривизну с выпуклостью вниз):
а) кривизны, вызываемой внешней нагрузкой:
; ; (2.9.)
б) кривизны, вызываемой усилиями Sj (моментами MSj):
; ; (2.10)
в) кривизны, вызываемой кручением ребер усилиями Sj (рис. 2.3). Учитывая
выражения:
и , запишем: .
Из теории кручения известно: , где -погонный крутящий момент (в нашем случае );
GI - крутильная жесткость балки.
Учитывая вышесказанное, а также зависимость , окончательно получим:
; (2.11)
Рис. 2.3. Схема деформирования от кручения ребер усилиями Sj
г) кривизны, вызываемой кручением ребер моментами (рис. 2.4):
; ; (2.12)
Рис. 2.4. Схема деформирования от кручения ребер усилиями Mj
д) кривизны, вызываемой изгибом полок вертикальными усилиями (рис. 2.5):
; ,
где -цилиндрическая жесткость j-той полки.
Рис. 2.5. Схема деформирования от прогиба полок усилиями Si
С учетом вышесказанного, а также зависимости :
; ; (2.13)
е) кривизны, вызываемой изгибом полок моментами (рис. 2.6):
; , следовательно:
; ; (2.14)
Рис. 2.6. Схема деформирования от изгиба полок моментами Мi
ж) кривизны, вызываемой моментами, создаваемыми касательными силами (см. рис.
2.2):
; ; (2.15)
з) кривизны от кручения ребер горизонтальными силами распора Hj (рис.2.7):
;(2.16)
Рис. 2.7. Схема деформирования от кручения ребер силами распора Нj
3. Равенство углов поворота слева и справа от i-того сечения
а) углы поворота конца консоли в результате действия усилий Si (см. рис.2.5):
; .
Дифференцируя эти выражения два раза и учитывая зависимость , получим:
; ; (2.17)
б) вторые производные углов поворота от кручения ребер усилиями Si (см. рис.