Математичне моделювання процесів поширення теплового та електромагнітного полів у неоднорідних середовищах методами приграничних елементів та скінченних різниць

РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ПОШИРЕННЯ ТЕПЛОВОГО ТА ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛІВ
В ОДНОРІДНИХ ОБЛАСТЯХ ЗА ДОПОМОГОЮ НЕПРЯМОГО МЕТОДУ ПРИГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ
(НМПГЕ)
У даному розділі здійснено математичне моделювання процесів поширення теплового
та електромагнітного полів в однорідних середовищах за допомогою НМПГЕ.
Математичні моделі, що відповідають цим нестаціонар­ним процесам, складені з
рівняння або системи рівнянь теплопровідності, доповнених початковими та
граничними умовами першого і другого роду.
Для побудови інтегрального зображення розв’язків рівнянь використано
приграничні елементи (ПГЕ) чотирьох типів (шестигранники з неплоскими гранями,
криволінійні плоскі чотирикутники, сімейства кривих і точок) та дві покрокові
схеми: схему послідовності початкових умов (СППУ) та схему єдиної початкової
умови (СЄПУ). Дискретно-континуальну модель для знаход­ження інтенсив­ностей
невідомих джерел, введених у ПГЕ і апрокси­мованих поліномами по часу, зведено
до СЛАР, утвореної внаслідок задоволення в колокаційному сенсі граничних умов.
Здійснено аналітичне інтегрування за часом та частково-аналітичне за
координатами інтегралів, що складають матри­цю СЛАР та її праву частину.
Побудовано функції Гріна, які враховують виконання нульових умов першого або
другого роду на границях, для деяких плоских і об’ємних тіл: півплощини,
півпростору, смуги, шару, кута, клину.
Здійснено математичне моделювання нестаціонарних процесів теплопро­відності для
дво- та тривимірних об’єктів. Порівняно теоретичні і обчислю­вальні аспекти
одержаних розв’язків.
2.1. Математична модель для знаходження скалярної (температури) або векторної
(компонент електромагнітного поля) величини
В сучасних умовах значна кількість практично важливих задач покликана вивчати
нестаціонарні явища. Найпростіші математичні моделі залежних від часу процесів
теплопровідності, дифузії, гідравліки, електро­магнетизму дослідники описують
як розв’язки лінійних параболічних рівнянь другого порядку для скалярних або
векторних величин при заданих граничних та початкових умовах.
Розглянемо однорідне ізотропне тіло довільної форми, яке віднесено до
декартової системи координат і займає область (n=2,3).
Для знаход­ження фізичної скалярної (наприклад, температури) або компонент
векторної величини (зокрема, векторів напруженості електромагнітного поля)
запишемо рівняння
(2.1)
граничні умови виду
(2.2)
>
або
< (2.3)
та початкові умови
(2.4)
де
- оператор Лапласа,
, - час, x=(x1,..., xn),
- константа, що характеризує середовище,
;
- границя області , яка кривою або поверхнею Ляпунова,
- вектор зовніш­ньої одиничної однозначно визна­ченої нормалі до границі ,
, (2.5)
між індексами j, l та c існує певний взаємозв’язок:
для вибираємо для - для - ,
символи “>” та “<” означають початок і кінець групи формул, об’єднаних одним
номером.
Зрозуміло, що для опису скалярної величини, наприклад, нестаціонар­ного
теплового поля, ми опускаємо індекс i в рівнянні (2.1), початковій умові (2.4)
та граничній умові (2.2) на , а на беремо другу з умов (2.3).
Векторну величину описуємо рівнянням (2.1), початковою умовою (2.4), граничною
умовою (2.2) на , а на беремо першу з умов (2.3).
Відзна­чимо, що рівняння для векторної величини, наприклад, напру­женості
електричного чи магнітного полів, одержується з рівнянь Максвела [224]:
,
причому перше з цих рівнянь для квазiстацiонарної моделі внаслідок нехтування
струмами зміщення, має вигляд:
де
- коефіцієнт електропровідності,
- магнітна та діелектрична проникливість середовища.
Рівняння Максвела перетворюємо, щоб одержати окремі рівняння для компонент
вектора напруженості електричного чи магнітного поля [145]. Для цього виконуємо
операцію ротора, наприклад, над першим з рівнянь Максвела і підставляємо в
нього друге рівняння, враховуючи відому з векторного числення формулу:
та третє рівняння. Одержимо телеграфне рівняння для компонент , що для
квазiстацiонарної моделі переходить у рівняння (2.1), в якому .
Аналогічна послідовність операцій, здійснена над другим рівнянням Максвела,
після підстановки у нього першого та врахування четвертого дає телеграфне
рівняння для компонент або у квазістаціонарному наближенні - (2.1).
Зрозуміло, що окрім наведених граничних умов, можна розглядати також їхні
лінійні комбінації [42, 47]. Оскільки це не викликає принципових відмін­ностей,
але дещо ускладнює структуру викладу, ми їх описувати поки що не будемо.
2.2. Основні положення НМПГЕ. Побудова інтегральних зображень розв’язків
початково-крайової задачі та ГІР
Висвітлимо основні положення НМПГЕ [46, 91, 85]. З цією метою розгляне­мо
область таку, що , - границя області A. Уведе­мо зовнішню приграничну область
() з невідомими функціями , які описують розподіл фіктивних джерел, а також з
метою забезпе­чення монотонної зміни функцій під час переходу через гра­ницю
розглянемо розширену область початкової умови (, ) з відомими неперервними
функціями , які співпадають з в , рівні нулю зовні , а в області вибираються у
зручному для інтегрування вигляді.
Після розширення області визначення функцій на весь Rn, рівняння (2.1)
перепишемо у вигляді
, (2.6)
де
- характеристична функція області G, тобто при при ;
- дельта-функція Дірака.
Встановимо справедливість твердження.
Теорема 1. Нехай задано зовнішню приграничну до область та область розширених
початкових умов із введеними в них джерелами та функціями . Шукана фізична
величина описується рівняннями (2.6), причому для оператора існує й відомий
фундаментальний розв’язок (ФР) . Тоді інтегральні зображення розв’язків рівнянь
(2.1) та їх похідних за координатами та нормаллю з ура