Оглавление
ч»
Введение 6
1 Свойства двумерных систем 20
1.1 Спектр двумерных состояний ........................................20
1.2 Классическая проводимость......................................... 29
1.3 Интерференционная квантовая поправка...............................30
1.3.1 Слабая локализация в отсутствие магнитного ноля..............30
1.3.2 Время неупругой релаксации фазы..............................34
1.3.3 Отрицательное магнитосопротивление...........................38
1.3.4 Влияние спиновой релаксации на интерференционную квантовую поправку: слабая антилокализация ...............................42
1.3.5 Спиновая релаксация и мапштосопротнвленнс....................46
1.3.6 Интерференционная поправка и эффект Холла....................51
1.4 Влияние электрон-электроиного взаимодействия на проводимость ... 52
1.5 Квантовые поправки при уменьшении проводимости.....................60
Цели работы 64
2 Методика эксперимента 67
2.1 Образцы........................................................... 67
2.2 Установка для исследования гальваномагнітних явлений...............71
3 Квантовые поправки: согласие теории с экспериментом 75
3.1 Температурная зависимость проводимости в сильных магнитных полях. Вклад с-е взаимодействия 78
2
3.2 Слабоиолевое магнитосопротивлеине. Интерференционная квантовая поправка.................................................................81
3.3 Температурная зависимость проводимости в нулевом магнитном поле. Абсолютная величина квантовых поправок ................................ 83
3.4 Влияние слоев легирования на определение параметров е-с взаимодей-ствня ................................................................. 88
3.0 Роль слоев легирования в процессах релаксации фазы................. 91
Выводы............................................................... 100
4 Слабая локализация: численное моделирование 102
4.1 Интерференционная поправка и статистика замкнутых траекторий . . 103
4.2 Детали компьютерного моделирования............................... 105
4.3 Статистика замкнутых траекторий: результаты моделирования..........109
4.4 Анализ статистики в рамках диффузионного приближения...............111
4.5 Отрицательное мапштосоиротивление и статистика траекторий .... 116
4.6 Роль анизотропии рассеяния и корреляции распределения рассеивателей 124
14
4.7 Слабая локализация в макроскопически неоднородных системах и диффузионных каналах.......................................................130
4.8 Зависимость времени релаксации фазы от магнитного ноля.............139
Выводы.................................................................146
5 Интерференционная поправка и статистика замкнутых траекторий: эксперимент 148
5.1 Суть метода........................................................148
5.2 Статистика замкнутых траекторий в системах с одиночной квантовой
^ ямой................................................................МО
5.3 Магнитосопротивлеине в структурах с двойной квантовой ямой .... 156 Выводы.................................................................167
6 Магнитосопротивлеине и дефазинг при промежуточной проводимости 169
3
6.1 Локализация в двумерных системах: фундаментальные аспекты. Концепция слабого изолятора 171
6.2 Отрицательное магнитосопротивлеине. Обзор экспериментальных результатов 174
6.2.1 Высокая проводимость, о > 20 Со..............................178
6.2.2 Промежуточная и низкая проводимость, а <20 Gq................180
6.3 Возможные причины низкого значения префактора .....................183
6.4 Поправки в Куиеровском канале......................................187
6.5 Поправки высших порядков к магнитосопротивлению....................192
6.6 Физический смыл величины Тф, определяемой экспериментально .... 196
Магнитопроводимостпъ. Резюме к § 6.5 и § 6.6.......................202
6.7 Поправки второго порядка: анализ экспериментальных результатов . . 204
6.8 Температурная зависимость скорости релаксации фазы.................208
Выводы.................................................................213
7 Поправка Альтшулера - Аронова при увеличении беспорядка в системе 216
7.1 Оценка баллистического вклада в поправку...........................217
7.2 Эволюция поправки при уменьшении kyl...............................223
Выводы.......................................................................................232
8 Слабая локализация, как инструмент исследования шероховатости
гетерограниц 233
8.1 Роль мелкомасштабных шероховатостей................................234
8.2 Влияние нанокластеров на слабую локализацию .......................242
8.3 Результаты атомно-силовой микроскопии..............................247
Выводы.................................................................250
9 Слабая антилокализация в двумерных системах 252
9.1 Антилокализация в квантовых ямах с градиентом состава..............253
9.2 Антилокализация п наклонном магнитном иоле. Роль эффекта Зеемана
и шероховатости................................................261
9.3 Интерференционная квантовая поправка и спии-орбиталыюс взаимодействие в дырочных квантовых ямах..................................270
Выводы.............................................................284
Заключение 286
Приложение 1. Список обозначений и сокращений 292
Приложение 2. Параметры твердых растворов ХпхСа^Аз 294
Приложение 3. Экспериментальное определение величины кр1 295
Литература 298
Введение
Бурный интерес к электронным системам с пониженной размерностью связан с последними достижениями микроэлектроники на пути миниатюризации микроэлектронных приборов. Развитие технологических методов, таких как метод молекулярнолучевой эпитаксии и электронно-лучевой литографии, реализации различных микроэлектронных систем делает возможным изготовление с высокой степенью точности структур типа металл/диэлектрик/полупроводиик, различного рода гетеропереходов, сверхрешеток, а также систем квантовых проволок и точек. Возможное применение таких структур для создания новых электронных приборов поддерживает постоянный интерес исследователей к ним. Так, например, на основе квантового эффекта Холла создан эталон электрического сопротивления; на основе квантовых гетероструктур создан полупроводниковый лазер, работающий в голубой области видимого спектра излучений.
Проявление квантовых эффектов в системах с пониженной размерностью делает их привлекательными объектами для фундаментальных исследований. Наиболее исследованными к настоящему времени являются системы двумерных носителей в гетероструктурах, изготовленных на основе широкозонных полупроводников, таких как ваЛэ, АЮаАэ, а также электронный газ в приповерхностных квантовых ямах Бі |1|. Связано это, в первую очередь, со значительными успехами в технологии получения высококачественных структур, а также с возможностью применения традиционных экспериментальных методов, таких как гальваномагнитные и оптические исследования, для изучения свойств двумерных систем.
Хотя успехи в понимании физики электронных явлений в двумерных системах велики, до сих пор остается нерешенные проблемы н возникают новые, которые требу-
ют решения. Казалось-бы еще более чем два десятка лет назад было предсказано, что двумерная система является диэлектриком в том смысле, что ее электропроводность стремится к нулю при стремлении к нулю температурі,I [2]. В пользу этого говорило огромное количество экспериментальных данных (смотри ссылки в [3, 4]). Одной из причин, приводящих к возникновению такой температурной зависимости, является квантовая природа носителей заряда, приводящая к возникновению гак называемых квантовых поправок к Друдсвской проводимости. Два механизма приводят к появлению этих поправок: интерференция электронных волн, распространяющихся в противоположных направлениях по замкнутым траекториям, и электрон-электронное (е-е) взаимодействие. Оба этих механизма приводят к тому, что электропроводность сильно вырожденного электронного газа становится зависящей от температуры и в достаточно грязных системах уменьшается с падением температуры.
В работе [5] была обнаружена иеуниверсальность такого поведения. Проводимость исследованных в этой работе инверсионных слоев кремния при минимально достигнутых в этой работе температурах (Т ~ 1 К) росла с понижением температуры, то есть носила металлический характер. Однако дальнейшие исследования аналогичных образцов, проведенные авторами |6), показали, что при Т < 1 К этот рост сменяется падением. Интерес к металлической фазе двумерных систем значительно усилился, начиная с середины 90-х годов, когда благодаря успехам в технологии, удалось изготавливать структуры со сверхвысокой подвижностью. Было обнаружено, что металлическое поведение электропроводности электронного [7, 8, 9] и дырочного [10, 11, 12, 13] двумерного газа в таких системах наблюдается вплоть до Т ~ 20 тК. Интенсивные исследования систем такого типа продолжаются и в настоящее время, и до сих нор нет единого понимания физики такого явления.
Обнаружение новой металлической фазы заставило ио-повому посмотреть и казалось бы уже изученные механизмы ответственные за низкотемпературную зависимость проводимости относительно грязных двумерных систем. Оказывается, что даже в этом случае не все экспериментальные явления могут быть объяснены в рамках существующих теорий квантовых поправок. В рамках классических теорий [3],
например, не удается объяснить наблюдающееся экспериментально низкотемпературное насыщение времени неупругой релаксации фазы [14, 15]. Совершенно непонятным оказывается разброс параметров, характеризующих квантовые поправки, получаемый при исследовании одинаковыми методами одинаковых систем. Так, константа электрон-элсктронного взаимодействия, полученная авторами [16] и [15] для одинаковых гетероструктур СаАэ-АиСа^Аэ отличается более чем в десять раз. Тоже самое можно сказать о величине времени релаксации фазы. Согласно теории, его величина определяется в основном значением проводимости. В этом смысле время сбоя фазы является универсальной величиной, не зависящей от материала, конкретного вида гетероструктуры и т.д. Однако, как показывает анализ литературы, разброс экспериментальных значений составляет более чем порядок при одном значении проводимости (смотри, например, разные образцы в [17]), и как правило эти значения оказывается очень далекими от теоретических. Этот список можно продолжать довольно долго. Отсюда ясно, что к моменту начала нашей работы в этой области можно было говорить лишь о имевшемся качественном согласии экспериментальных данных и теоретических предсказаний и то лишь по основным, главным моментам.
Как показал исследовании, результаты которых представлены в данной работе, основная причина состояла в том, что исследователи обычно относятся к изучаемым экспериментально (квази)двумерным системам, как к идеальным. Реальные образцы устроены значительно сложнее, чем те которые исследуются теоретически, что принципиально необходимо принимать во внимание при интерпретации экспериментальных результатов. Как правило, двумерная система - это тонкий слой находящийся в трехмерном окружении (буферный и покровный слои, подложка), с которым она может взаимодействовать. В реальных гетероструктурах всегда присутствуют поставляющие носители слои легирующей примеси, которые также могут принимать участие в явлениях переноса и в процессах сбоя фазы. Интерфейсы, формирующие квантовую яму, в действительности являются размытыми в направлении роста структуры из-за диффузии компонент и шероховатыми. Наконец, в квантовой ямс электроны (дырки) могут заселять не одну, а несколько подзон размерного кванто-
пиния.
Детальное исследование квантовых поправок и процессов, приводящих к сбою фазы, является чрезвычайно актуальным также потому, что позволяет приблизиться к пониманию такой важной проблемы как смена механизма проводимости в двумерных системах при понижении температуры, увеличении степени беспорядка, роста магнитного ноля и при наличии других внешних воздействий. Дело в том, что в двумерном случае относительная величина квантовых поправок заметно больше, чем, скажем, в трехмерном случае. При этом их абсолютная величина слабо зависит от проводимости, но увеличивается с понижением температуры. Таким образом, при уменьшении проводимости или понижении температуры величина квантовых поправок может стать сравнима с классической проводимостью и будучи отрицательной может ее сильно подавить. Как результат, квантовые поправки могут привести к сильной температурной зависимости проводимости, которую можно принять за признак прыжкового механизма. Общепринято считать, что если проводимость двумерной системы становится меньше кванта проводимости е2/Д, где е - заряд электрона, Н - постоянная Планка, и при этом она сильно зависит от температуры, механизм проводимости является прыжковым [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 20, 27, 28|. При этом авторы, как правило, не обращают внимания на то, что в этих условиях наблюдаются эффекты характерные для диффузионного механизма, например, отрицательное магнитосопротнвление, близкое по форме к магнитосопротивлению, связанному с подавлением слабой локализации, и эффект Холла, который дает концентрацию носителей.
Чрезвычайно интересными, актуальными и важными являются исследования спин зависимых эффектов. С одной стороны, это связано с перспективами развития но-
9
вой области микроэлектроники - спинтроники. Сочетание когерентности электронных волн н спиновых свойств приводит к необычным транспортным свойствам двумерных систем. Эти свойства могут лежать в основе различных спиновых приборов [29], в том числе спиновых нолевых транзисторов [30], спиновых фильтров [31] и модуляторов [32], интерференционных приборов [33, 34) и устройств ввода-вывода
квантовых битов (кубитов) [35|. С другой стороны, необходимо стремиться к количественному пониманию роли различных механизмов снин-орбитального взаимодействия (механизмы Дрессельхауза [36) и Бычкова-Рашбы [37, 38)), механизмов, ограничивающих скорость спиновой релаксации, их зависимости от параметров структур и внешних условий. В большинстве экспериментальных работ по исследованию спнн-орбитального взаимодействия в двумерных системах анализ результатов ограничивается определением среднего значения константы Бычкова-Рашбы, которая определяет линейный по квазиимпульсу член в гамильтониане. Ясно, что спин-орбитальнос расщепление складывается из вкладов как от плавной части потенциала внутри квантовой ямы, так и от резкой части вблизи границы. Эти вклады могут иметь противоположные знаки и, насколько нам известно, экспериментально разделены не были. Такое разделение очень существенно, поскольку даст возможность понять физические причины зависимости скорости спиновой релаксации от напряжения на полевом электроде: связано оно с изменением асимметрии потенциала, или со смещением волновой функции в направлении, перпендикулярном квантовой яме.
Таким образом, к началу выполнения данной работы ситуацию с исследованием квантовых поправок к проводимости двумерных систем можно оценить следующим образом (подробный обзор таких и более поздних работ сделан в [39]). Было достигнуто качественное понимание физики квантовых поправок в диффузионной области, когда характерные времена (время сбоя фазы, например, или обратная циклотронная частота) оказывались много больше времени релаксации импульса. Вместе с тем, имелось большое количество экспериментального материала, который не находил количественного описания в рамках существующих теорий. Одними из возможных тому причин были либо отсутствие теорий применимых в условиях эксперимента, либо существование в реальных образцах дополнительных эффектов, маскирующих основной эффект. Конкретным примером последнего является влияние легирующих (5-слоев на процессы релаксации фазы в двумерном электронном газе (см. § 3.5).
Поэтому общую цель настоящей работы можно сформулировать следующим образом: проведение комплексного исследования квантовых поправок к проводимости
10
в двумерных полупроводниковых структурах при изменении степени беспорядка в системе.
В достижении поставленной цели огромную роль сыграла возможность иметь полупроводниковые структуры с наперед заданными свойствами. Это позволило, в первую очередь, получить надежную информацию о квантовых поправках в области высоких значений проводимости, когда поправки действительно малы и должна работать классическая теория [3]. Лишь после этого стало возможным проследить генезис этих поправок с падением проводимости и ростом беспорядка в системе. В качестве объектов исследования использованы гетероструктуры СаАз/Гп^а!-* Ав/СаАв с одиночными и двойными квантовыми ямами и ^-легированные слои ваАй, технология выращивания которых хорошо отработана. Структуры выращивались группой Б. Н. Звонкова в НИФТИ Нижегородского государственного университета им.
Н. И. Лобачевского и группой В. И. Шашкина в ИФМ РАН (г. Нижний Новгород). Для управления концентрацией и проводимостью двумерного газа на основе этих структур изготавливались нолевые транзисторы.
В качестве метода исследования использованы исследования зависимости проводимости и эффекта Холла от температуры и магнитного поля в его различной ориентации. Интерпретация результатов проведена с использованием как разработанных ранее теоретических моделей, так и оригинальных. Применение компьютерного моделирования позволило получить надежную информацию о свойствах систем в тех условиях, когда условия эксперимента оказывались вне рамок применимости классических аналитических выражений. Огромное значение здесь сыграло тесное сотрудничество с теоретиками ФТИ им. А.Ф.Иоффе (г. Санкт-Петербург) и университета города Карлсруе (ФРГ).
Основу настоящей диссертации составили результаты экспериментальных и теоретических исследований, проведенных в ПИИ физики и прикладной математики при Уральском государственном университете им. А. М. Горького в период с 1997 г. по 2005 г. в соответствии с тематическим планом (регистрационный номер НИР 2.67.01). Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных
11
Исследований (гранты 97-02-10108, 98-02-10024, 98-02-17280, 99-02-17110, 00-02-10215, 01-02-10441, 01-02-17003, 03-02-10150 и 04-02-10020), программ Физика таердотель-ушх наноструктур (грант 97-1091) и Уутоерситпеты России (гранты 420, 990409, 990425 и УР-00.01.002), ШТЛ8 (гранты 97-1342 и 1В290), (ЯЕС-001, ИЕС-005,
гранты ЕК-005-Х1 и У1-Р-05-11).
Помимо введения, заключения и списка литературы диссертация содержит девять глав и три приложения.
В Главе 1 изложены основные представления о спектре носителей заряда в полупроводниковых двумерных системах, природе квантовых поправок к проводимости двумерных систем, приведены основные формулы, дан краткий обзор экспериментальных результатов, полученных другими авторами, сформулирована цель диссертационной работы и поставлены конкретные задачи.
В Главе 2 приведено описание образцов, даны их основные параметры, описана экспериментальная установка и приведены сведения об ошибках измерения.
Глава 3 посвящена исследованию квантовых поправок в условиях максимально приближенных к тем, в рамках которых построены теории квантовых поправок. В первых трех параграфах приведены результаты экспериментальных исследований, целыо которых была проверка на каком уровне классическая теория квантовых поправок описывает экспериментальные результаты. Является это описание только качественным, или все-таки она способна описать результаты количественно. В последних двух параграфах приведены результаты исследования влияния легирующих слоев на точность определения параметров е-е взаимодействия и времени релаксации фазы.
Глава 4 посвящена численному моделированию слабой локализации в двумерных системах. Сначала показывается, что форма аномального магнитосопротивления и сама величина квантовой интерференционной поправки определяется статистикой замкнутых траекторий, которая может быть получена при численном моделировании движения классической частицы на плоскости с расположенными на ней центрами рассеяния. Далее на основе полученных при моделировании результатов будет рас-
считано отрицательное магнитосопротиолсиис различных модельных систем, отличающихся анизотропной рассеяния и характером распределения рассеивающих центров, и проведена стандартная процедура обработки формы отрицательного магни-тосопротивления с использованием формулы Хиками-Ларкина-Нагаоки (ХЛН) [40]. Наконец, в этой главе исследовано явление слабой локализации в макроскопически неоднородных системах и диффузионных каналах, а также показано, каким образом можно учесть при моделировании зависимость времени сбоя фазы от магнитного поля, и продемонстрированы последствия игнорирования этой зависимостью при стандартном описании явления слабой локализации.
В Главе 5 предлагается новый подход анализа отрицательного магнитосопротив-ления, который позволяет решить обратную но отношению к рассмотренной в Главе 4 задачу. Здесь показано, каким образом можно извлечь информацию о статистике замкнутых траекторий в реальном образце, анализируя экспериментальные магнитополевые зависимости отрицательного магнитосопротивления, вызванного подавлением слабой локализации. Будут представлены результаты применения такого подхода на примере двух типов систем - на системах с одиночной квантовой ямой и системах с двумя квантовыми ямами.
В Главах б и 7 исследовано поведение квантовых поправок при увеличении степени беспорядка в системе и понижении температуры.
В Главе б приводятся результаты исследований поперечного отрицательного маг-нитосонротивления, вызванного подавлением интерференционной квантовой поправки, в широком диапазоне проводимости, включая g ~ 1, где g - проводимость системы в единицах e2/h. Интерпретация полученных результатов проведена в рамках теории, учитывающей высшие по 1 /д квантовые поправки к проводимости. В этой главе показано, что стандартная теория слабой локализации адекватно описывает экспериментальные рез\7гьтаты при g > 5. Учет поправок второго по 1 /д порядка, связанных с интерференционным вкладом и взаимным влиянием интерференционного вклада и вклада е-е взаимодействия, позволяет расширить диапазон количественного согласия теории и эксперимента до существенно меньших значений прово-
димостн д ~ 1. В Главе С показано теоретически и подтверждено экспериментально, что при промежуточных значениях проводимости отрицательное магнитосопротив-ленис описывается формулой ХЛН, умноженной на префактор а, величина которого уменьшается с уменьшением проводимости системы но закону а ^ 1 — 2/тп/. Это позволит нам из обработки экспериментальных кривых получить правильное значение времени сбоя фазы в широком интервале проводимости: д > 1. В этой главе приводятся также результаты исследования режима так называемого “слабого изолятора”, характеризующегося тем, что проводимость системы в нулевом магнитном ноле и низкой температуре мала из-за эффекта локализации (д < 1), в то время как Дру-девская проводимость д0 достаточно велика: до 1- Здесь показано, что, несмотря на то, что экспериментальное магнитосоиротивление все еще хорошо описывается формулой ХЛН, величина получаемого параметра, соответствующего в нормальном режиме скорости релаксации фазы, не имеет ничего общего с истинным ее значением. Величина этого параметра в режиме “слабого изолятора” определяется длиной локализации и может поэтому насыщаться при понижении температуры, несмотря на то, что истинная скорость релаксации стремится к рулю.
В Главе 7 исследована эволюция поправки Альтшулера - Аронова, которая вызвана электрон-электронным взаимодействием, при уменьшении проводимости системы за счет увеличения в ней степени беспорядка. Здесь представлены результаты, полученные на образцах, отличающихся стартовой степенью беспорядка, и показано, что: (I) в исследованных структурах баллистический вклад в поправку является малым при квТт/Ть < 0.2, где т - транспортное время релаксации импульса; (и) диффузионная теория адекватно описывает экспериментальные результаты вплоть до кр1 ~ 1.5-2, где кр - квазиимпульс при энергии Ферми, I - транспортная длина свободного пробега; (111) независимо от степени стартового беспорядка поправка Альтшулера - Аронова имеет меньшее абсолютное значение, чем интерференционная квантовая поправка, и при этом (К') ее относительный вклад быстро падает с уменьшением кр1.
Глава 8 посвящена исследованию влияния продольного магнитного поля на попе-
речную маг нито про вод им ость, связанную с подавлением интерференционной квантовой поправки. Представлены результаты исследований, проведенных на стандартной структуре с одиночной квантовой ямой и на структуре с нанокластерами, формирующими крупномасштабные шероховатости. Сравнительный анализ результатов показывает, что характер такого влияния в существенной степени зависит от соотношения между средней длиной свободного пробега и характерным латеральным размером шероховатости интерфейсов, формирующих квантовую яму. Показано, что в структуре с мелкомасштабной шероховатостью увеличение продольного магнитного приводит к эффективному росту скорости релаксации фазы, причем эта зависимость является параболической с кривизной, определяемой параметрами шероховатости. Обнаружено, что экспериментально определенная таким образом амплитуда шероховатости в исследованных образцах уменьшается с падением концентрации электронов в квантовой яме. Показано, что это связано со способом изменения концентрации электронов в исследованных образцах. Исследования слабой локализации на структуре с нанокластерами показали, что в этом случае влияние продольного поля на форму поперечного магнитосопротивлеиия носит более сложный характер и может быть описано только при учете одновременного существования мелко- и крупномасштабных шероховатостей. Предложена простая модель, которая прекрасно описывает экспериментальные результаты и позволяет оценить параметры как мелко- так и крупномасштабных шероховатостей. В конце этой главы приведено сопоставление результатов транспортных исследований и атомно-силовой микроскопии, полученных на тех же самых образцах после селективного химического травления.
Наконец, в Главе 9 диссертации приведены результаты исследований влияния спиновой релаксации на интерференционную квантовую поправку в гетсроструктурах с одиночной квантовой ямой как п-, так и р-типа проводимости. Показано, что основным механизмом, приводящим к снятию спинового вырождения спектра и дающим вклад в антилокализацию в исследованных структурах, является эффект Дрессель-хауза для зоны проводимости и эффект Бычкова - Рашбы для валентной зоны. При этом показывается, что эффект Бычкова - Рашбы приводит к кубическому по квази-
импульсу спиновому расщеплению спектра дыуок, тогда как в случае электронного спектра такое расщепление является линейным. Кроме результатов исследований, проведенных в поперечной ориентации магнитного поля, в этой главе представлены результаты, полученные в наклонном (по отношению к плоскости двумерной структуры) магнитном иоле. Показано, что продольное магнитное поле подавляет слабую антилокализацию и приводит к изменению формы поперечного магнитосопротивле-ния, что связано с наличием шероховатости интерфейсов квантовой ямы и возникновением эффекта Зеемана в сильном продольном магнитном поле.
Основные результаты, которые обосновываются в работе и составляют предмет защиты состоят в следующем:
1. Показано, что в гетероструктурах с одиночной квантовой ямой и одной заполненной подзоной размерного квантования традиционная теория квантовых поправок количественно описывает температурные и магиитополевые зависимости компонент тензора проводимости при высокой проводимости системы, 9 ~ 5 (в единицах е2/к).
2: Обнаружено, что появление электронов в легирующих слоях является причиной возникновения аномалий в поведении экспериментально измеряемых физических величин. Показано, что заселение слоев приводит к появлению тсмиера-турно зависимого беспорядка в системе и, как следствие, появлению температурной зависимости подвижности электронов. Установлено, что игнорирование этого эффекта при анализе квантовых поправок приводит к сильной переоценке вклада элсктрон-электронного взаимодействия. Обнаружено, что заселение состояний в легирующих слоях приводит к появлению низкотемпературного насыщения времени сбоя фазы и его немонотонной зависимости от проводимости системы. Показано, что причиной таких аномалий являются переходы электрона из состояний квантовой ямы в состояния сильно неупорядоченных легирующих слоев.
3. Исследования с применением компьютерного моделирования статистики за-
мккутых траекторий носителей заряда позволили выявить основные особенности в поведении температурных и магнитополевых зависимостей интерференционной квантовой поправки, связанные с анизотропией рассеяния, корреляцией в распределении рассеивающих центров, зависимостью скорости релаксации фазы от магнитного ноля и наличием макроскопических неоднородностей в системе.
4. Предложен и использован на практике новый метод анализа отрицательного магнитосопротивления, вызванного подавлением интерференционной квантовой поправки, основанный на анализе результатов Фурье-преобразования кривых магнитопроводимости, и позволяющий экспериментально исследовать статистику замкнутых траекторий в реальних образцах. Использование данного метода позволило помять природ)' продольного отрицательного магнитосопротивления в гетероструктурах с двумя квантовыми ямами. Показано, что оно вызвано подавлением интерференционной квантовой поправки и связано с переходами электрона между ямами.
і
о. Исследования влияния электрон-электронного взаимодействия на низкотемпературную проводимость двумерного электронного газа в системах с контролируемой степенью беспорядка показали, что с ростом беспорядка поправка Альтшулера-Аронова быстро уменьшается по абсолютному значению, стремясь к пулю. Последнее приводит к тому, что при низком значении Друдевской проводимости (д0 ^ 2) температурная зависимость проводимости двумерной системы практически полностью определяется интерференционными эффектами.
б. Впервые исследована температурная и магнитополевая зависимости интерференционной квантовой поправки в области промежуточной проводимости, соответствующей кроссоверу между режимами сильной (д <£ 1) и слабой (<7 1)
локализации. Показано, что учет квантовых поправок высших по 1 /д порядков позволяет количественно описать экспериментальные результаты при уменьшении проводимости вплоть до значений д ~ 1. Это бесспорно говорит о том,
что механизм проводимости остается диффузионным вплоть до д ~ 1, а сильный рост проводимости с увеличением температуры и магнитного ноля вызван подавлением интерференционной квантовой поправки, которая при низкой температуре сравнима по абсолютному значению с Друдевской проводимостью.
7. Исследования проводимости в режиме слабого изолятора показали, что экспериментально определяемая величина скорости релаксации фазы не совпадает с ее истинным значением - она содержит температурно независимый вклад, величина которого определяется длиной локализации. В работе показано, что основные особенности интерференционной квантовой поправки являются универсальными и определяются только проводимостью системы.
8. Экспериментально исследовано влияние продольного магнитного ноля на поперечную положительную магнитопроводимость, связанную с подавлением интерференционной квантовой поправки. Обнаружено, что характер этого влияния в существенной степени зависит от соотношения между средней длиной свободного пробега и характерным латеральным размером шероховатости интерфейсов, формирующих квантовую яму. Показано, что исследования слабой локализации в наклонном магнитном поле являются инструментом, позволяющим неразрушающим способом экспериментально определить параметры шероховатости стенок квантовой ямы.
9. Исследования эффектов антилокализации в одиночных квантовых ямах СаАэ/ ЫСаАв/СаАв с электронной проводимостью показали, что основной вклад в ан-тилокализацию дает эффект Дрсссельхауза. Обнаружено, что включение продольного магнитного поля изменяет характер зависимости проводимости от поперечного магнитного ноля с антилокализационного на локализационный. Показано, что это является следствием конкурирующего действия двух механизмов - механизма, вызванного шероховатостью стенок квантовой ямы, и механизма, связанного с эффектом Зеемана.
10. Исследования квантовых ям дырочного типа проводимости показали, что осо-
бешюсти спин-зависимых эффектов в этих системах связаны со спецификой спектра вырожденной валентной зоны родительских материалов. Обнаружено, что основным механизмом, приводящим к снни-орбиталыюму расщеплению спектра дырок и определяющим антилокализацию в напряженных квантовых ямах СаАз/ІиСаЛя/СаАя, является механизм Бычкова - Рашбы. Показано, что в отличие от электронного спектра, в котором этот механизм приводит к линейному по квазиимпульсу расщеплению спектра, расщепление дырочного спектра пропорционально третьей степени квазиимпульса. Установлено, что величина расщепления в существенной степени определяется тремя факторами - концентрацией дырок, формой квантовой ямы и величиной механических напряжений в слое, формирующем квантовую яму.
Основные результаты опубликованы в научных статьях [41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59] и докладывались на Международных симпозиумах “Наноструктуры: физика и технология” (Санкт-Петербург, 1998 - 2005 гг. [60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71]), Российских конференциях но физике полупроводников (Новосибирск - 1999 [72, 73], Нижний Новгород - 2001 [74], Санкт-Петербург - 2003 |75, 76, 77, 78]), Международных конференциях по физике полупроводников (Япония - 2000 [79], Шотландия - 2002 [80, 81], Аризона - 2004 [82]), Международных конференциях по применению сильных магнитных нолей в физике полупроводников (Великобритания - 2002 [83], Флорида - 2004 [84]), Ежегодных совещаниях “Нанофотоника” (Нижний Новгород - 2000 [85], 2003 [86], 2004 [87]), Симпозиуме “Нанофизика и наноэлектроннка ” (Нижний Новгород - 2005 [88]), Международных симпозиумах “Квантовый эффект Холла” и “Наследие Рентгена” (ФРГ - 2001 [89, 90]), Международных конференциях но прыжковой проводимости (Израиль - 2001 [91], Италия - 2003 [92]), Международной конференции но физике низкоразмерных систем (Япония - 2003 [93, 94]), Уральских международных школах но физике полупроводников (Екатеринбург - 2002 [95], Кыштым - 2004 [96]).
Глава 1
Свойства двумерных систем
В настоящей работе исследуются свойства двумерного (20) электронного и дырочного газа в квантовых ямах, изготовленных на основе соединений группы ЛЗВ5: СаАь, 1пЛз и твердого раствора 1пхСа1_1А5. Ключевую роль в надежной интерпретации экспериментальных результатов играет прежде всего знание энергетического спектра исследуемой структуры: энергии и заселенности подзон размерного квантования, эффективной массы носителей, величины спин-орбиталыюго расщепления и т.д. Поэтому, прежде чем рассматривать квантовые поправки к проводимости двумерного газа, приведем основные сведения об энергетическом спектре двумерных систем на основе полупроводников АЗВ5 и выпишем основные математические выражения, используемые в оригинальной части работы.
1.1 Спектр двумерных состояний
Полупроводники АЗВ5 обладают структурой цинковой обманки, имеющей симметрию точечной пространственной группы Тл, и являются прямозониыми материалами - экстремумы зоны проводимости и валентной зоны расположены в центре зоны Бриллюэиа в точке. Строго говоря, твердый раствор 1пхСа1_хАй не обладает данной симметрией из-за нарушения трансляционной инвариантности кристаллического потенциала вследствие случайного расположения атомов индия, замещающих атомы галлия в кристаллической решетке 1пгСа1_хАз. Тем ие менее, использование приближения виртуального кристалла [97| позволяет описать энергетический спектр носителей заряда вблизи экстремумов зон в рамках А;Р-метода (98). В этом подходе
энергетический спектр твердого раствора описывается тем же гамильтонианом, что и спектр исходных материалов, а в зависимости от состава раствора меняются лишь входящие в гамильтониан константы, описывающие положения экстремумов зон и взаимодействия между зонами.
Схематично зонная структура соединений АЗВ5 приведена на Рис. 1.1. В центре зоны Бриллюэна имеются три близко расположенные зоны: двукратно вырожденная зона проводимости с симметрией Гс, соответствующая полному угловому моменту 7 = 1/2; четырехкратно вырожденная в центре зоны Бриллюэна валентная зона с симметрией Г8, соответствующая полному угловому моменту 1 =
3/2, и двукратно вырожденная зона с симметрией Г7, соответствующая полному угловому моменту j = 1/2 и отщепленная спин- ^>ис* 1*1 • Зонная структура полупроводников АЗВ5.
орбитальным взаимодействием на величину
А. Для количественного описания энергетического спектра носителей в широком диапазоне энергий в рассматриваемых материалах в рамках А;Р-метода обычно используют приближение, в котором взаимодействие трех ближайших зон Г6, Г7 и Г8 учитывается точно, а влияние удаленных зон - с точностью до членов пропорциональных к2, где к - квазиимпульс. В этом случае, задача о нахождении энергетического спектра двумерных состояний оказывается достаточно сложной, поскольку необходимо искать значения системы из десяти дифференциальных уравнений первого порядка. Поскольку в актуальных для нас случаях характерные энергии (кинетическая энергия электронов и дырок, разрывы зон в гетероструктуре) много меньше, чем ширина запрещенной зоны родительского материала (Ед ~ 1.5 эВ), то при описании энергетического спектра носителей заряда можно считать, что взаимодействие состояний зоны Гб с зонами Г8 и Г7 не зависит от величины квазиимпульса. В этом
21
случае спектр электронов и дырок может быть найден независимо.
Рассмотрим сначала наиболее простую ситуацию - спектр электронных состояний. Если выбрать ось 2 совпадающей с направлением роста гетероструктуры, то зависимость энергии электронов от продольного квазиимпульса, к = (А;2 + А;2)1/2, будет иметь вид
/-,2 г.2
ЕЛк) = Еп + —, (1.1)
где Еп -энергии подзон размерного квантования, найденные из решения одномерного уравнения Шредингера
Нфп{г) = Епфпк) (1.2)
с гамильтонианом вида
11 = + Бс(г)+в(р^■ {1-3)
В этом выражении пг - эффективная масса электронов, Ес(г) - зависимость энергии дна зоны проводимости от л, связанная с изменением состава вдоль оси роста,
- электростатический потенциал, определяемый уравнением Пуассона
Й=- а--»)
аг2 к0к
где к диэлектрическая проницаемость, р(г) - плотность заряда, включающая в себя заряд примесей в слоях легирования, фон .остаточных примесей и заряд самих электронов. Совместное решение уравнений (1.2) и (1.4) с соответствующими граничными условиями на ф(г) и */>(~) и выражение (1.1) были использованы в данной работе для нахождения спектра электронных двумерных состояний.
Перейдем к рассмотрению спектра дырок. В этом случае гамильтониан уже не имеет столь простой формы вследствие вырождения состояний валентной зоны Гз. В этом случае спектр зон Г§ и Г7 может быть найден с использованием матричного б-б гамильтониана Латтинжера-Кона [99, 100], который, как показано в [101], может быть разбит на две независимых операторных матрицы вида:
А+ С^ИЗ •
Я = ( С±гВ А- Ятг\/з/2В , (1.5)
ч/2 ъНЗ/’Д Я ±{^/гр2Ч £> /
где
ч
л± = -(71 Т 272)^ - (71 ± ъ)^ + ЕГа (г) + ер(г) ± 5 В = 2%/37з ккг
С = \/3*2(7| сое2 20 + 73 зт2 20)'/2
О = -71 + ЕгЛ*) + е<р{г)
Г = 272(\/2^ - Л2/\/2).
(1-6)
В формулах (1.6) введены следующие обозначения: 7, = /Г7,г'/(2т0), где т0 - масса свободного электрона, 7^ - параметры Латтинжера, /с, - ^-компонента оператора квазиимпульса, совпадающая по направлению с осыо [001], в - угол между продольной компонентой квазиимпульса и направлением [100], Ег8(г) и £г7(г) - энергии краев соответствующих зон. Слагаемые ±5 учитывают возникающие в гстерострук-туре одноосные напряжения [102], вызванные несоответствием постоянных решеток материалов, образующих квантовую яму и барьеры:
где Аа/а - относительная величины несоответствия постоянных решетки, Ь - деформационный потенциал, ар - соотношение Пуассона. Мы не будем анализировать особенности спектра дырочных двумерных состояний в общем, поскольку этому посвящено большое количество работ и не эта проблема является целью настоящей работы. Отметим лишь, что двумерные состояния, сформированные из состояний зоны Г8 устроены значительно сложнее состояний, сформированных из зоны Го (смотри, например, пионерские в этой области работы [103, 104, 105]). Остановимся на нашей конкретной ситуации. Основные измерения в работе проведены на квантовых ямах
ответствия постоянных решеток ОаАэ и Ino.2Gao.8As/GaAs: Аа/а ~ -1.5 % (знак минус означает, что тонкий слой In0.2Ga0.sAs/GaAs одноосно растянут в перпендикулярном слою направлении). Учитывая, что соотношение Пуассона практически
<4
(1.7)
(0 СаАэ/ЬтеСа^хАз/СаАз, х — 0.15 — 0.2. Используя линейную интерполяция между
величиной а = 0.058 А для ЫАэ и 5.653 А для СаАэ, получим для величины несо-
23
для всех тетрагональных полупроводников близко к 1/3, а значения деформационного потенциала 6 для ваАя и 1пЛя близки и равны —1.7 и —1.8 эВ, соответственно, получим для расщепления 2|5| ~ 90 мэВ (использованы параметры, приведенные в (106)). Как будет видно из дальнейшего, эта величина оказывается существенно большей энергии Ферми (£/г) дырок, которая в исследуемых в данной работе дырочных системах всегда меньше 15 мэВ. Поэтому рассматривая в первом приближении параметр |25| как большой, можно свести задачу о спектре дырочных состояний в напряженных квантовых ямах СаАэ/ЫхСа^хАэ/СаАз к задаче простой анизотропной зоны. Поскольку слой 1нхСа1_хЛ5 растянут в направлении роста, то основными для дырок состояниями окажутся состояния, соответствующие элементу Л+ гамильтониана (1.5), и энергетический спектр в пределе |5| —> оо будет иметь вид
Еп(к) = Е„ - + ^)к\ (1.8)
где энергии подзон размерного квантования Еп находятся из решения уравнения Шредиигера с гамильтонианом:
Я = -^(7? - 272£)£ + ЕгЛ~) + М~) + 5- (1-9)
Таким образом, положение подзон размерного квантования дырочного газа определяется эффективной массой тяжелых дырок (7^ — 272 )”17По, в то время как закон дисперсии Е(к) является параболичным и определяется величиной (7^ + 72 )“*1т0, которая ближе к массе легких дырок (7^ + 272 )“1то. Следует отметить, что выше изложенные упрощения справедливы лишь для качественного понимания особенностей спектра дырок в напряженных квантовых ямах. Для количественного анализа, например, эффектов спиновой релаксации такие упрощения оказываются слишком грубыми. Отметим кроме того, что гамильтониан (1.5), а значит и все полученные из нет выражения, выписаны для некоего гипотетического случая, когда параметры Латтинжера 7^ не зависят от г-координаты. Тем не менее, рассмотренной модели оказывается достаточно для дизайна полупроводниковых структур, расчета профиля потенциала квантовой ямы и зависимости концентрации дырок от напряжения на полевом электроде, ее сравнения с экспериментом.
Рассмотрим в заключение данного параграфа особенности электронного энергетического спектра, вызванные отсутствием центра инверсии в двумерной системе. Прежде всего центр инверсии в двумерной системе может отсутствовать но причине его отсутствия в родительском материале. К таким системам относятся гетероструктуры, созданные на основе бинарных полупроводников, в частности ЛЗВ5, которые исследуются в настоящей работе. Такой механизм носит название механизма Дрсс-сельхауза [36]. Спиновое расщепление зоны проводимости родительского материала может быть описано гамильтонианом [36]:
Н9 — 7^ ]<Tiki(ki+l i 2 + 3 ► 2, (1.10)
где <7i - матрицы Паули. Если ось роста гетероструктуры направлена вдоль [001], то гамильтониан Hs двумерных состояний наряду с кубическим членами будет содержать и члены, линейные но волновому вектору, лежащему в плоскости {kX}kv) [107]. Для удобства гамильтониан для электронов может быть записан в краткой форме [108, 109, 17|:
/,2 7,2
я = _ + (ст.а), (lu)
где а = (сгх,(Ту), Г2 = (Пх,Пу) - двумерные векторы. Вектор 2Çl/h имеет физический смысл вектора прецессии. Длина этого вектора равна частоте прецессии, а его направление определяет направление оси прецессии. Величина спинового расщепления равна 2П. Вектор П = flj + Г23 удобно разложить но ортогональным сферическим гармоникам:
Çl\x = — fi[D)cos9, fyy = fi[D*sin^, (1-12)
= —ПзГ))созЗ^, П3у = —Cl^s\n3<p, (ЫЗ)
где
^D> = \l k3. (1.14)
n<D) = 7к ({к]) - ifc2) = 7k{k\) - üf], (1.15)
Здесь к2 = kl+ky, tp- угол, определяемый как y? = arctan kx/kyi индекс (D) указывает на природу спинового расщепления (механизм Дрессельхауза), 7 - параметр кР-модели, который определяется зонными параметрами родительского материала. В
І
•о
І
Рис. 1.2: Контур Ферми, рассчитанный согласно (1.17) с параметрами, соответствующими двумерному электронному газу с концентрацией п — 1 • 1012 см“2 в квантовой ямс I1io.2Gao.8As шириной 100 Л: т = 0.06то {Ер ~ 40 мэВ), 7 = 21 эВ-А3 1112, 113|.
трехзонном приближении, которое учитывает взаимодействие зоны проводимости Гб с Блоховской функцией Б, валентных зон Гв и Г7 с функциями X, У и Z и удаленных зон проводимости Г8с и Г7с с функциями X', У7 и этот параметр дается следующим выражением [110, 17, 111|:
7_ Л
ГР'СЭ
А
Ь —
(1.16)
ЗБ5(Я'+Д') \Ед + А Е'д)-В этом выражении использованы следующие обозначения: Е'д - расстояние от зоны Г7с до зоны Гб (при к = 0), А7 - расстояние от зоны Г8с до Г7с (при к = 0), Р = ік/то{Б\P:\7j), Р' — іЬ/то{$\Рг\%) и С} = іН/то{Х\Ру\72) - межзонные матричные элементы оператора импульса. Величина (к?), входящая в выражение (1.14), есть среднее значение квадрата ^-компоненты квазиимпульса, найденное на собственных функциях гамильтониана (1.11).
Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (1.11) есть
Е*(к,р) = ^ ± { («‘і0’)2 + (^0>)2 + 2П[°Щ0>соэ1/2 . (1.17)
Как видно, отсутствие центра инверсии в родительском материале приводит к (І) спиновому расщеплению энергетического спектра и (іі) появлению гофрировки изоэнергетнческих поверхностей (Рис. 1.2). Отметим, что изоэнергстичсскис поверхности гофрированы только в том случае, когда и и отличны от нуля. Если одна из этих величин равна нулю, то спектр двумерных электронов изотропен, хотя и расщеплен по спину. Величину расщепления Дрессельхауза легко оценить, если конкретизировать двумерную систему. Так для квантовой ямы In0.2Ga0.gAs шириной 100 А использование параметров удаленных зон, приведенных в [112, 113), дает вели-
20
мину 7 равную примерно 7 = 21 эВ-А3, что при Ер — 40 мэВ (?t ~ 1 • 1012 см-2) дает = 0.13 мэВ, 12з0) = 0.08 мэВ. Таким образом, расщепление спектра оказывается очень маленьким по сравнению с энергией Ферми, и контуры Ферми оказываются очень близкими но форме к окружностям (величина гофрировки, как видно из Рис. 1.2, не превышает в этом случае одного процента).
Вторым механизмом спинового расщепления в двумерных системах является механизм Бычкова-Рашбы [37, 38]. Если гетероструктура является асимметричной в направлении вдоль оси роста (что может быть вызвано наличием электрических нолей, различием интерфейсов, формирующих квантовую яму, наличием поля Шоттки, градиентом состава и т.д), то в гамильтониане появляется дополнительное слагаемое, ответственное за эту асимметрию:
Н' = а0(о-к]г, (1-18)
где Qq - константа, зависящая от свойств материала и асимметрии квантовой ямы и электростатического потенциала:
"° = Т / (sF - - еф) ~ EF - Ягв(-) - еф)) Ф(г)й*' (1Л9)
В нашем случае этот эффект может быть учтен добавлением к вектору П [см. (1.12) и (1.13)| дополнительного вектора с компонентами:
fiiz = sin<^, Г2іу = —cos (p, (1.20)
где
Q<r) = a0k. (1.21)
Величину эффекта Бычкова-Рашбы оценить сложно, поскольку она определяется
дизайном конкретной структуры. Болсс того, константа ао не является универсаль-
ной - ее значение в разных структурах даже .чри одной плотности двумерного газа может быть совершенно различным и даже иметь разный знак. Как будет видно из дальнейшего изложения, в исследованных двумерных системах расщепление Бычкова-Рашбы не превышает величины 0.5 мэВ.
2.55
2.50
2.45-
5
о
«о О 2.50
у—
о
-0 с; 2.55
>.
с
2.55
со
си
05 2.50
2.45-
2.50-
2.55-
V;
Рис. 1.3: Контур Ферми при учете в спиновом расщеплении только линейных по к членов (Пз0) = 0). (а) - * = 0.5 мэВ, = 0.0 мэВ, (Ь) - = 0.0 мэВ, =
0.2 мэВ, (с) - П'0) = 0.5 мэВ, П1*1 = 0.2 мэВ, (<1) - П(,0) = 0.5 мэВ, П(,к) = -0.2 мэВ. Остальные параметры такие же, как на Рис. 1.2.
Таким образом, при наличии обоих механизмов спинового расщепления закон дисперсии двумерных электронов будет даваться следующим выражением:
Я±(*,0 = ± { (п^У + (п<°>)г + 2П'°>П'0> «*4^-
+
+ 2П(,а) (^и) - П™) вшг^Л . (1.22)
Отсюда видно, что закон дисперсии оказывается изотропным, когда все или любые две частоты равны нулю. При наличии двух или трех ненулевых частот спектр является анизотропным, причем, если в симметричных квантовых ямах (когда = 0) изоэнергетические поверхности (точнее контуры) имеют симметрию квадрата (что отмечалось выше), то при одновременном действии механизмов Бычкова-Рашбы и Дресссльхауза они становятся ромбовидными (Рис. 1.3 и 1.4).
Перейдем теперь к рассмотрению проводимости двумерных систем.
28
[010]
%
(100] Рис- 1*4: Контур Ферми при наличии всех трех частот: = 0.13 мэВ,
= 0.08 мэВ, П(,"> = 0.5 мэВ. Остальные параметры такие же, как на Рис. 1.2.
1.2 Классическая проводимость
Если мы будем рассматривать вырожденный газ невзаимодействующих друг с другом носителей, движение которых характеризуется временем релаксации импульса
Ы
- = [ W{в)dв, (1.23)
То ]
где 0 - угол рассеяния, 1У(0) - дифференциальное сечение рассеяния, и все акты рассеяния будем считать независимыми, то проводимость такого двумерного газа окажется независящей от температуры и будет даваться классической формулой Друдс
<70 = тткрЮо. (К24)
Здесь Со = е2/(2тг2Л) ~ 1.23* 10"5 Ом-1, кр - Фер.миевский квазиимпульс, I - средняя длина свободного пробега, связанная со скоростью на поверхности Ферми {у?) и транспортным временем релаксации
1 = f(l-cos0)W{0)d0 (1.25)
соотношением
1 = угт. (1.26)
При наличии магнитного ноля (В) проводимость является тензором второго ранга и в случае В || 2 имеет вид:
( пхх °ху
V -°ту а°х
о _ епц 0x1 1 + /В В2
<4 =
enn2B
l+fi-B2'
29
(1.27)
(1.28) (1.29)
где /г = ст/т - подвижность носителей заряда. Как правило, экспериментально измеряемыми величинами являются поперечное и Холловское сопротивление Рхх и рХуу соответственно:
Приведенные выше формулы являются классическими, то есть не учитывающими волновую природу электрона и многоэлектроииыс эффекты, а, следовательно, не описывающими экспериментальные данные: в частности, падение с понижением температуры проводимость двумерного вырожденного газа. Учет волновой природы электрона приводит к так называемой квантовой интерференционной поправке к проводимости.
1.3 Интерференционная квантовая поправка 1.3.1 Слабая локализация в отсутствие магнитного ноля
Слабая локализация - другое столь же часто встречающееся название интерференционной квантовой поправки. Физически возникновение интерференционной поправки связано с существованием замкнутых траекторий, распространяясь вдоль которых в противоположных направлениях электронные волны интерферируют, приводя к эффективному увеличению плотности вероятности обнаружить электрон в стартовой точке, по сравнению с классическим рассмотрением.
В классическом варианте электрон, находящийся в момент £ = 0 в начале координат г = 0, при диффузионном движении, испытывая столкновения с центрами рассеяния, через время £ » г окажется в точке г с плотностью вероятности
где О = 1иу/(1 - коэффициента диффузии, (I - размерность системы, г = |г| и
(1.30)
_______________
К*)2 + «Г
(1.31)
(1.32)