Предельные состояния в процессе пластического формоизмерения листовых металлов

о
ОГЛАВЛЕНИЕ
от
ВВЕДБНЙЕ.......................................................... О
Глава 1. СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ПЛАСТИЧЕСКОМУ ТЕЧЕНИЮ ЛИСТОВОГО МЕТАЛЛА В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ
НАСТОЯЩЕЙ ГАБОТЫ ......................................... 9
Глава 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЛИСТОВОГО МЕТАЛЛА В УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧЕСКОГО ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ................................... 31
2.1. Математическое описание нестационарного течения жесткопластического материала. Получение
исходных систем уравнений ............................... 31
2.2. Упрошенный вариант исходной системы уравнений, основанный на пренебрежении слагаемыми, содержащими производные от толщины деформируемого материала Разработка метода решения упрощенной системы уравнений............................................. 40
2.3. Приложение разработанного метода интегрирования системы уравнений (2.18), (2.19), (2.11), (2.12)
к решению задач пластического течения ................... 56
2.4. Метод решения исходной системы уравнений
(2.9) - (2.13) .......................................... 71
2.5. Метод решения исходной системы уравнений
(2.9) - (2.13), (2.15) - (2.17) для определения напряженного и кинематического состояний в зоне течения материала, свободной от контакта с инстументом.............................................. 78
3
2.6. Стационарное пластическое течение листового материала..................................................... 81
2.7.' Формообразование осесимметричной оболочки 85
2.8. Учет упрочнения материала................................ 89
2.9. Применение метода интегрирования исходных систем уравнений для решения задач пластического деформирования листовых материалов ........................... 93
2.9.1. Изгиб тонкой полосы на ребро.......................... 93
2.9.2. Деформирование плоского кольцевого фланца ... 110
2.9.3. Формообразование тонкостенных оболочек с вертикальными стенками и плоским дном 123
2.10. Плоская деформация неоднородного материла 170
Выводы по главе ...................................... 192
Глава 3. ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ
ПРИ РАСТЯГИВАЮЩИХ НАГРУЗКАХ............................. 200
3.1. Выбор критерия устойчивости. Бифуркация состояния и процесса деформирования. Необходимые соотношения теории пластичности анизотропного материала.................................................... 200
3.2. Устойчивость одноосного растяжения плоского
образца............................................... 208
3.3. Устойчивость двухосного растяжения плоской заготовки.................................................... 226
3.4. Обобщение метода определения критических деформаций на случай трехосного напряженного состояния.................................................... 257
3.6. Сравнение критических деформаций с
экспериментальными данными. Предложения по использованию расчетных параметров..................... 260
3.0. Экспериментально-теоретический метод исследования процессов пластического деформирования на устойчивость............................ 2
3.7. Примеры применения экспериментально-теоретического метода для оценки предельных деформаций листового металла при формообразовании оболочек сложной формы в производственных
условиях.............................................. 2'
3.7.1. Формообразование картера.............................. 2*1
3.7.2. Формообразование ’’Срыэковика”......................... 2*
3.7.3. Формообразование ’’крышки головки блока
цилиндров 2£
3.8. Исследование процесса холодного формообразования заготовок шариков.................................. 25
3.9. Влияние показателя чувствителькости к скорости деформации на критические параметры. Течение листового материала в режиме повышенной
пластичности ........................................ 31
Еаводы по главе......................................... 33
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ ПРИ
ДЕЙСТВИИ СЖИМАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЙ........................... 33;
4.1. Анализ структуры уравнений равновесных состояний фланца при осесимметричной вытяжке .......................... 33*
4.2. Устойчивость беэмоментного состояния кольцевой пластинки. Теоретическое определение критической толщины фланца............................................... 35С
4.3. Модель потери устойчивости фланца при многооперационной вытяжке. Задание формы
изогнутой поверхности волны............................ 361
4.4. Устойчивость кольцевого фланца при вытяжке.
Определение критической ширины кольцевой 4 пластинки................................................ Зб{
4. б. Устойчивость франца при вытяжке коробчатых оболочек. Определение критической толщины фланца......................................................... 38;
4.6. Устойчивость фланца при ротационной обкатке.
Механизм потери устойчивости. Выбор расчетной
схемы.................................................... 39(
Выводы по главе......................................... 4(Х;
Глава 5. ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ НА БАЗЕ
КОМБИНИРОВАННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ............................... 405
5.1. Позонная электротермическая обработка листовой заготовки (последовательная технология), как способ создания локальной неоднородности механических характеристик листового металла ------------------ 406
5.2. Применение тока высокой плотности для интенсификации пластического течения труднодеформируемых металлических материалов
(одновременная технология) ........................... 436
Выводы по главе ......................................... 450
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ................................ 453
Список литературы.............................................. 457
\
6
ВВЕДЕНИЕ
Оэред современным машиностроением поставлены большие и сложные задачи - поднять качество выпускаемых машин и повысить эффективность их производства Качество изделий машиностроения, надежность машин зависит главным образом от уровня и эффективности технологии их изготовления. Самой высокой эффективностью обладают комбинированные технологии С13.
Применительно к современным технологиям пластичности одним из перспективных направлений их развития является разработка процессов обработки металлов и сплавов, сочетающих механическое пластическое деформирование с одновременным или последовательным воздействиями дополнительными источниками энергии.
К ним относятся лучевые источники (например, лазерный луч) и ток высокой плотности.
Такие комбинированные технологии позволяют существенно интенсифицировать процессы пластического деформирования при изготовлении сложных по конфигурации деталей (в том числе из труднодеформируемых высокопрочных сплавов), облегчить условия течения обрабатываемого материала, сделать эти процессы менее "насильственными", получать изделия с высокими эксплуатационными характеристиками. К эффективным относятся также безпрессо-вые методы формоизменения металлов в режиме сверхпластичности.
В короткое время повысить качество выпускаемых изделий можно только путем использования научных достижений С2,33. В связи с этим необходимым условием успешной разработки и практической реализации комбинированных технологий и усовершенствования традиционных процессов формоизменения является знание закономерностей пластического течения металлов и сплавов
\
7
в виде распределений локальных параметров напряденного и . деформированного состояний в функции пространственных координат и времени, изменений интегральных характеристик технологических процессов и параметров локальных нарушений этих процессов.
Среди различных технологий пластичности большое место занимают процессы деформирования металлов и сплавов в условиях плоского напряженного состояния. Такое состояние реализуется при формоизменении тонколистовых материалов, формообразовании тонкостенных безмоментных оболочек и на свободных поверхностях (без внешних нагрузок) заготовок при их объемной штамповке.
Формоизменение в условиях плоского напряженного состояния ограничено допустимыми утонениями пластически деформируемых заготовок и предельной накопленной деформацией, входящих в число основных характеристик качества получаемых изделий. В свою очередь появление этих утонений и накопленная деформация зависит от истории локальных напряженного и кинематического состояний, возникающих в процессах пластического течения деформируемых заготовок.
Поэтому повышение характеристик качества получаемых изделий и освоение соответствующих технологических процессов неразрывно связано с развитием аналитических, расчетных и экспериментальных подходов, пользуясь которыми можно определить поля напряжений, деформаций и скоростей течения в процессе реализации этих процессов.
ІЬсле определения напряженного и кинематического состояний при известных механических характеристиках металлов и сплавов и ресурсе их пластичности можно решить технологические задачи (определение формообразующих операций, выбор формы рабочих
поверхностей деформирующего инструмента и условий смазки), рассмотреть задачу оптимизации технологических процессов и сформулировать исходную информацию для расчета на надежность рабочих деталей технологической оснастки.
Решение этих вопросов необходимо для успешного усовершенствования традиционных процессов пластического деформирования и создания комбинированных технологий пластичности.
9
ГЛАВА I
СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ПЛАСТИЧЕСКОМУ ТЕЧЕНИЮ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ НАСТОЯЩЕЙ РАБОТЫ
Формоизменение листового металла, реализуемое с помощью одного или нескольких типовых технологических процессов, таких как формообразование растяжением, глубокая вытяжка, изгиб, от-бортовка и др., происходит при больших нестационарных пластических деформациях. Например, уровень этих деформаций (логарифмических) при глубокой вытяжке тонкостенной оболочки из листа для формообразования оболочечных деталей автомобиля достигает 40-60$.
Процессы формоизменения листового металла осуществляются в условиях неоднородных распределений пластических деформаций, напряжений и скоростей течения, появления и развития областей интенсивной локализации этих деформаций, проявляющейся в таких нарушениях этих процессов, как образование шеек и сосредоточенных утонений.
Ценную информацию об этих распределениях и начальных моментах этих нарушений дают методы расчета процессов формоизменения листового металла, развитие и практическое применение которых можно проледить по литературным источникам, например, обобщающим работам [4-14] и др. Эти методы позволяют установить закономерности течения листового металла, необходимые для оценки качества получаемых формообразованием изделий и оптимизации параметров проектируемых технологических процессов, в частности параметров деформирующего инструмента.
10
В основу разработки расчетных методов положены математические модели. Постановка проблемы математического моделирования начинается с выбора соответствующей модели пластического течения и его математического описания. С этой целью целесообразно обратиться к работе [15] , в которой дано "математическое описание пластического течения тел, имеющих форму сравнительно тонкостенных оболочек и подвергающихся одному из видов обработки металлов давлением". При такой обработке металл деформируется в соответствии с определенными движениями инструмента, представляющего собой набор жестких поверхностей, т.е. деформируемый металл течет по жестким поверхностям или медку жесткими поверхностями.
Исследование параметров пластического течения этого металла в эйлеровых переменных сводится к постановке и решению трех основных математических задач теории пластичности типа теории течения.
Первая основная задача формулируется следующим образом: обе жесткие поверхности инструмента и их движение заданы, т.е. известны геометрические параметры инструмента, толщина пластического слоя и скорости внутренних движений жестких поверхностей как функции пространственных координат и временного параметра. Известны также пластические свойства вещества и закон трения на поверхностях деформирующего инструмента. Требуется определить напряжения, скорости и деформации, возникающие в деформируемой пластической массе, а также давление на инструмент.
На краю, ограничивающему область пластического течения, должны быть заданы нормальные и касательные напряжения. Вместо них могут быть заданы компоненты вектора скорости или другие, смешанные условия.
Вторая основная задача теории течения по жестким поверхнос-
II
тям ставится так: первая поверхность текущей массы и внутреннее движение относительно нее первого тела инструмента известны; второе тело инструмента отсутствует, т.е. вторая поверхность текущей массы является свободной поверхностью. Необходимо определить напряжения, скорости и толщину деформируемой пластической массы пластического слоя в функции пространственных координат к временного параметра, а также найти давление на инструмент.
Как и в первой задаче, на контуре, ограничивающем область течения пластической массы, должны быть заданы граничные условия в напряжениях, скоростях или в смешанном виде.
Третья основная задача теории течения на поверхностях состоит в определении напряженного и кинематического состояний элементов пластической массы в виде тонкостенной оболочки, деформируемой в пространстве за счет сил, приложенных по ее краю, положение которого является известным. В этом случае в области течения отсутствуют оба рабочих тела инструмента.
Решение первой основной задачи на при,юре сжатия пластической массы между двумя жесткими поверхностями приведено в [15] . Методы решения этой задачи в той или иной постановке обстоятельно рассмотрены в [5,10,16,17,18] и др. применительно к осадке сравнительно тонкого пластического слоя, волочению и прессованию в условиях плоской деформации, прокатке листов и др.технологическим процессам.
Решения второй и третьей основных задач в конкретной постановке в [15] не приводятся. А именно с этими задачами приходится часто сталкиваться при определении параметров пластического течения тонколистового металла при его формоизменении в условиях пластического плоского напряженного состояния.
12
Фундаментальное теоретическое исследование этого состояния для его классического определения (тонкая пластина, нагруженная силами, приложенными в ее плоскости) и идеального жесткопластического материала дано в [19] . Использовано предположение о пренебрежении в уравнениях равновесия производными от толщины деформируемой заготовки по декартовым координатам по сравнению с другими членами. Определены области гиперболичности, парабо-личности и эллиптичности исходной квазилинейной системы уравнений в частных производных. Для случая ее гиперболичности найдены уравнения характеристик и характеристические соотношения.
Ситуация,когда толщина деформируемой заготовки является известной функцией координат, рассмотрена в [20] .
Распространение результатов [19] на процессы деформирования ортотропного металла для некоторых сочетаний параметров анизотропии дано в [13,21] .
Обобщение полученных в [19,20] результатов на случай деформирования тонкостенных безмоментных оболочек в криволинейных ортогональных координатах сделано в [II] . Как и в [20 ] , толщина оболочки является данной функцией координат. Здесь же приведены примеры применения полученных характеристических соотношений для расчета параметров таких технологических процессов, как волочение круглых и некруглых труб, обтяжки заготовки по поверхности инструмента двойной кривизны и др.
Можно отметить, что найденные в [II] для линейного и квадратичного условий пластичности уравнения характеристик и характеристические соотношения являются справедливыми лишь для ограниченного диапазона изменения главных напряжений.
В случае линейного условия пластичности и главных напряжений разного знака исходная система дифференциальных уравнений
13
фор?-сально совпадает с уравнениями плоской деформации и всегда относится к гиперболическому типу [10] . Отличие состоит в том, что для плоской деформация одна из неизвестных функций равна среднему напряжению, а для плоского напряженного состояния она равна полусумме нормальных напряжений. Исходная система справедлива для деформируемых заготовок, толщина которых в процессе деформации постоянна. Решения конкретных примеров методом характеристик приведены, например, в [10,22] .
Тип системы уравнений плоских задач теории идеальной пластичности применительно к общему кусочно-гладкому условию пластичности исследован в [23 ] . Определены условия гиперболичности системы уравнений для плоского напряженного состояния с учетом изменения толщины пластин в процессе пластического деформирования. Предложен алгоритм решения краевых задач, основанный на сочетании методов характеристик и малого параметра.
Двухсторонние оценки уровня мощности внешних сил, полученные на основе анализа уравнений плоского напряженного состояния в случае кусочно-линейной аппроксимации поверхности пластичности, предложены в [24] .
Решение второй основной задачи применительно к опроделе юга параметров конкретных технологических процессов пластического деформирования рассмотрено, наряду с другими вопросами, в монографиях [4-8,11,25,26] , статьях [27-33] и др., в которых в той или иной мере отражены результаты многочисленных работ по этой проблеме.
Наиболее подробное и систематизированное изложение приближенных аналитических методов расчета осесимметричных оболочек, получаемых различными способами листовой штамповки (вытяжкой, обжимом, раздачей), содержится в [б,б7 . В этих книгах развива-
14
ется научное направление, которое ставит своей задачей получить приближенные решения по определению параметров процессов деформирования в виде аналитических функций, отражающих влияние наиболее существенных факторов (упрочнения, изменения толщины заготовки в процессе ее деформирования, изгиба заготовки) на распределение и величину напряжений в пластической области.
Это же направление, которое по существу является решением одномерных задач, развивается в [4,5,9] и др.
Другое направление в решениях задач плоского напряженного состояния состоит в математическом моделировании преимущественно осесимметричных процессов формоизменения листовых заготовок на основании теории течения, что позволяет учесть нестационар-ность этих процессов и истории нагружения элементов этих заготовок. Для расчетов напряженного и кинематического состояний используются численные методы.
Можно выделить два подхода к численному моделированию таких задач. В первом задача формулируется в виде сопряжения краевых задач для свободных зон и зон контактного взаимодействия с инструментом [27-31] . Во втором подходе задача течения листового металла формулируется как несвободная вариационная задача с ограничениями на перемещения в зонах контакта [32,33] .
В качестве численных методов решения двумерных задач широкое применение получили метод конечных разностей и метод конечных элементов. В традиционном варианте первого из них используется прямоугольная сетка с узлами в точках пересечения ортогональных прямых линий или полярная сетка с узлами в точках пересечения концентрических окружностей с радиальными линиями. В этом случае расчетный алгоритм сравнительно прост. Однако введение криволинейной ортогональной сетки требует более сложных ее
15
описания и вычислительного алгоритма.
Использование метода конечных разностей к решению проблем формоизменения листового металла можно найти в работах [27-33] ,
х)
а такяе в статьях*'.
Возможности применения к широкому классу задач со сложной геометрией и нетривиальными граничными условиями сделала популярным метод конечных аяементов.
Применительно к решению проблем пластического течения листового металла этот метод получил распространение в последние 15 лет. Его детальное описание для этих проблем дано в работах**?
Сложность математического моделирования процессов пластического формообразования оболочки из листового металла обусловлена необходимостью описания больших деформаций заготовки, нестационар-ностью пластического течения этого металла, неравномерным утонением стенки этой оболочки, контактным трением, влиянием анизотропии и упрочнения листового металла и т.д.
В общем случае листовая заготовка становится в процессе пластического деформирования оболочкой сложной формы, элементы которой деформируются и совершают пространственное движение. Процесс деформирования сопровождается изменением линейных разме-
Koftanogly Б., and Tekkaya А.Е. Complete Numerical Solution of the Axisyrometric Deep Drawing Problem // Trane.ASKB, J.Eng.
Hath.Tech. - 1983. - v.I03. - p.326-332.
Gavriushir. S., and Zienkiewioz 0.0. A Simple Algorithm for the Analysis of Axisymmetric Thin Sheel .Metal Fotning // Int. J.Num.Ueth.Engng. - 1936. - v.23. - p.1179-1194.
Tseng A.A. A generalised Finite Differenoe Scheme for Convection - Dominated Metalforraing Trobleme // Int.J.Nura.Meth.
Kr.gng. - 1984. - v.20. - p.1885—1900.
16
ров и кривизны срединной поверхности.
В качестве примера такого процесса на рис.1.1 показана схе-
поперечное сечение деформирующего инструмента и безмоментной оболочки для некоторого промежуточного этапа ее формообразования.
По условиям нагружения в этом сечении можно выделить четыре
ной параметр, t = соответствующими четырем кольцевым
областям деформируемой заготовки.
Участок I с характерным размером представляет собой
фланец, срединная поверхность которого в общем случае является оболочкой сложной, но заданной формы. Усилие прижима на этом участке р1 - известная функция, поскольку оно может регулироваться.
В процессе предварительной формовки плоской листовой заготовки прижимным кольцом (перед процессом вытяжки) давление прижима, как деформирующего инструмента, должно определяться из решения первой основной задачи. Поскольку прижимные поверхности матрицы и кольца стараются сделать близкими к развертывающимся
XX)
Wifi A.S. An Incremental Comolete Solution of Stretch— Forming and Deep Drawing of Circular Blank Using Hemispherical Punch // Int.JeMech.3ci. - 1978« - v«I8. - p.23-31.
Wang N.M., and Budiansky B. Analysis of Sheet Metal Stamping by a Pinite-Klement Method. // ASKE Trans. J.Apnl ,1'eoh. -1978. - v.A5. - p.??-82.
Cheng J.H., and Fikuchi IT. A Mceh Re-Zoning Teohniqne for Finite Blement Simulations of Metal Forming Processes //
Int.J.Num.Meth.Engng. - 1986. - v.23. - 2I9-22C. tfifi A.S. Finite Fitment Correction Matrices in Metal Forming Analysis // Ixit.J.Mech.Soi. - 1902. - p.393-406.
ма сложной вытяжки [34] , а на рис.I.2 изображено характерное
участка с характерными длинами
времен-
Рис.1.1
Схема сложной вытяжки листового металла:
I - складкодержатель; 2 - вытяжной пуансон;
3 - прижимная поверхность матрицы; 4 - контур листовой заготовки; о - контур проема матрицы; 6 - матрица
18
Рис.1.2
Характерное поперечное сечение штампуемой безмоментной оболочки и инструмента
19
или геометрически изгибаемым, то на этом этапе деформирования элементы заготовки претерпевают большие перемещения, но малке деформации. Поэтому, интересуясь большими деформациями, этот этап предварительной формовки из дальнейшего рассмотрения исключим.
Участок 2 с характерным размером $2 “ кольцевая зона
оболочки заданной формы, деформируемая на радиусной частя матрицы. Давление заготовки на матрицу р2 является неизвестной функцией. В случае малого радиуса этой части матрицы (порядка толщины) существенную роль могут играть напряжения изгиба. Однако при сложной вытяжке обычно отношение толщины оболочки к минимальному радиусу матрицы составляет 0,03+0,05, т.е. оболочка на этом участке может считаться безмоментной.
Напряженное и кинематическое состояние в зоне 2, как и зоне I, должно определяться из решения второй основной задачи.
Для участка 3 с размером *5^ характерно отсутствие контакта деформируемой заготовки с инструментом ( р3 - О ). Форма срединной поверхности, напряженное и кинематическое состояние на этом участке неизвестны и подлежат определению. Искомые функции находятся из решения третьей основной задачи.
На участке 4 с характерны)/; размером область дефор-
мируемой заготовки имеет форму заданной поверхности, определяемой формой жесткого пуансона. Давление на этом участке
является неизвестной функцией временного параметра и пространственных координат. Этот участок может включать радиусную часть пуансона и плоский торец. Параметры деформирования здесь определяются аналогично параметром на участке 2.
Можно отметить, что по достижении некоторого значения временного параметра участок из-за контактного трения пере-
20
стает деформироваться и может считаться жесткой зоной.
Представленное описание примера сложного процесса пластического формообразования и сведение его к решению основных задач-является достаточно условным. Тем не менее это описание позволяет подчеркнуть, что основные, но частные задачи являются элементами более сложной общей краевой задачи. Эти элементы связаны между собой с помощью граничных условий на концах участков . Так, например, граничные условия на одном конце участка £3 находятся из решения задачи по определению напряженного и кинематического состояний на участке 5^ (или ), граничные условия для которого находятся в свою очередь из решения краевой зздачи на участке 6^ . При этом задание основных граничных
условий, например, на свободном движущемся краю участка ^ ,
диктуется пониманием процесса формообразования и само по себе представляет не простой вопрос.
Таким образом, постановка общей задачи по определению полей напряжений и скоростей в таком процессе, как формообразование оболочки произвольной форды, включающая мате?латическое описание процесса формообразования с использованием той или иной модели теории пластичности, выбор граничных условий и разработку соответствующих методов решения общей задачи по определению напряженного и кинематического состояний в функции временного параметра и двух пространственных координат представляет достаточно сложную, еще не решенную проблему. По крайней мере в обозреваемой литературе в такой постановке эта проблею не рассматривалась. Важно подчеркнуть, что данная постановка требует разработки нового расчетного метода. Видимо первоначально целесообразно считать материал заготовки идеальным жестхопластическим несжимаемым, поскольку нтеория идеальной пластичности представляет со-
21
бой наиболее законченную в математическом отношении главу теории пластичности [351 ”. В результате решения поставленной общей задачи можно найти поля напряжений и скоростей для идеального жесткопластического материала с учетом геометрических параметров инструмента и контактного трения.
Далее, как следует из практического опыта [12,36}, следует учесть влияние таких параметров, как упрочнение и начальная анизотропия.
Из этих параметров необходимо подчеркнуть роль начальной анизотропии. Дело в том, что в процессе прокатки крупных слитков в тонколистовой металл последний испытывает однонаправленное суммарное обжатие по толщине, характеризуемое цифрой500, т.е. приобретает ярко выраженную ориентировку. Таким образом, начальная анизотропия тонколистового металла является скорее правилом, нежели исключением, что и вызывает необходимость ее учета в расчетах.
Таким образом, после решения поставленной задачи можно установить закономерности изменения напряженного и кинематического состояний в процессах формоизменения с учетом таких основных параметров, как геометрические характеристик!', деформирующего инструмента и заготовки, контактное трение, упрочнение и начальная анизотропия подвергающегося формоизменению материала.
Отметим, что привелонную постановку задачи для идеального жесткопласткческого тела можно распространить на случай деформирования материала в режиме сверхпластичности. В этом режиме течение материала для небольших скоростей деформации (10”3 -1СГ4 1/сек) и определенного диапазона температур характеризуется малым упрочнением, но большими удлинениями, достигающими сотен или даже тысяч процентов [37] .
22
Поскольку для модели идеального жесткопластического тела величина пластической деформации после достижения предела текучести может расти сколь угодно, то эта модель (для данных температуры и скорости деформации) можно использовать в первом приближении для описания течения материала в режиме сверхпластичности.
Теперь следует подчеркнуть, что знание распределений напряжений, скоростей, деформаций составляет лишь необходимую часть закономерностей поведения листового металла. Открытым остается вопрос о допустимом его формоизменении, под критерием которого можно понимать деформации разрушения.
Однако применительно к дефэрлированию листового материала естественным представляется другой подход. Дело в том, что разрушению материала формообразуемого изделия предшествуют явления, для описания которых закономерностей изменения напряженного и кинематического состояний недостаточно. К таким явлениям относятся неустойчивые состояния, возникающие в результате действия на элементы деформируемой заготовки сжимающих и растягивающих усилий, и приводящие к дефектам в виде волн (или гофров, складок) на участках и иногда £ . £ , а также недопустимых сосредоточенных деформаций на участках 5^ , (рис.
1.3). Образующиеся волны могут вызвать заклинивание деформируемой заготовки между матрицей и прижимным кольцом, .между пуансоном и матрицей. Эго заклинивание приводит к разрыву (разрушению) получающегося в результате деформации изделия. Если заклинивание не успевает произойти, то в результате деформации получается "волнистая", т.е. бракованная деталь. Дальнейшее развитие недопустимых сосредоточенных деформаций, возникающих в результате действия локальных растягивающих нагрузок, также приводят к раз-
23
Рис Л.З
.Дефекты, появляющиеся лри формообразовании детали коробчатого типа: I - разрушения деформируемой заготовки в результате образования сосредоточенных деформаций; 2 - волны на фланце, возникающие вследствие действия сжимающих напряжений. В нижней части рис.1.3 показана готовая деталь без дефектов
24
рыву получающегося изделия.
В этой ситуации вопрос о допустимом формообразовании решается естественным образом. Если под этим термином понимать изготовление изделия без отмеченных дефектов, то вопрос о допустимом формообразовании сводится к определению критических параметров (перемещений, деформаций, усилий), до достижения которых формообразование изделий происходит без появления волн (или с заданны?.! допуском на их высоту) и сосредоточенных деформаций, а также выяснению за коноглерн остей изменений этих параметров в зависимости от механических характеристик ?латериала заготовки, ее геометрии, локальных характеристик напряженного и деформированного состояний, истории нагружения и деформирования.
Если абстрагироваться от примеров на рисЛ.1-1.3, то необходимо признать, что вопрос об определении критических деформаций в указанном смысле имеет самостоятельную научную ценность.
Вопрос о возникновении неустойчивых состояний под действием растягивающих нагрузок первоначально рассматривался для процесса одноосного растяжения тонкого длинного образца. В качестве критерия потери устойчивости принималось достижение внешней нагрузкой максимального значения [10,39 ] и др. Устойчивые состояния соответствовали росту этой нагрузки. Предполагалось, что выполнение этого критерия сопровождается образованием сосредоточенных деформаций в виде шейки. Такое предположение основывалось лишь на экспериментальных наблюдениях и не следовало из теоретического анализа.
Предложенный критерий устойчивости, означающий положительность добзвочной нагрузки для устойчивых процессов деформации, был распространен на случай двухосного растяжения тонколистовой заготовки, находящейся з однородном напряженном и деформирован-
25
ком состояниях [10,22,40] .
В дальнейшем при исследовании локальной устойчивости пластического деформирования использовался критерий [41] , согласно которо?.су процесс деформации устойчив, если положительна работа добавочных нагрузок. Применительно к устойчивости двухосного растяжения тонкого листа и деформирования тонких труб из анизотропного материала для частного вида зависимости эквивалентного напряжения от эквивалентной деформации этот критерий применялся в [40-43] .
Некоторое обобщение критериев [10,41] в зиде отождествления явления возникновения пластической неустойчивости с моментом времени, при котором мощность внутренней энергии в единице материального объема достигает стационарного значения дано в [44] . Можно отметить, что этот критерий не приводит к выводу о локализации деформаций, а сам он следует из фундаментального термодинамического подхода, изложенного в [45] .
Во всех перечисленных работах рассматривалась потеря пластической устойчивости под действием растягивающих нагрузок, которая предположительно связывалась с образованием сосредоточенных деформаций в виде шейки. Однако, как это следует из экспериментов на одноосное растяжокие плоских образцов из тонколистового материала, после образования шейки образец можно деформировать дэ образования полосы сосредоточенного утонения с достижением логарифмической деформации удлинения, существенно (примерно в 1,5-2 раза) превышающей деформацию образования шейки. Лишь после образования полосы сосредоточенного утонения, наклоненной под некоторым углом к оси растяжения, происходит быстрое разрушение образца.
Попытка теоретического объяснения этого явления с помошью
26
разрыва нормальной компоненты вектора скорости для идеального жесткопластического материала (с последующим учетом упрочнения) предпринята в [4б] . Анализ источников возникновения полосы сосредоточенного утонения и шейки приведен в [ 47 ] .
Механизм развития деформация по линии ослабления листовой заготовки в виде канавки, расположенной ортогонально оси наибольшего удлинения, предложен в [ 48 ] к развит з [ 49 ] .
Обзор работ по теориям неустойчивых состояний предпринят в [ 50 ] .
Что же касается неустойчивых состояний при течении материалов в режиме сверхпластичности, то здесь можно выделить основополагающую работу [ 51 ] , в которой введен критерий положительности скорости изменения поперечного сечения растягиваемого образца. С помощью этого критерия получено качественное объяснение аномально больших удлинений при деформировании в режиме сверхпластичности. Однако в количественном отношении полученные результаты неудовлетворительны, поскольку эти удлинения соответствуют значению показателя чувствительности к скорости деформации, равному только 1. Дальнейшее развитие идеи работы [51] получили в [52,53] и др. Отождествление деформирования материала в режиме сверхпластичности с течением ньютоновской жидкости сделано в [47,54] . Анализ возникновения и развития неоднородности деформаций в сверхлластичном материале и их связь с устойчивостью течения этого материала приведен в [ 55] .
Краткий обзор состояния вопроса по анализу неустойчивых состояний в условиях растягивающих нагрузок позволяет выделить три задачи дальнейших исследований.
Во-первых, необходима разработка критериев, естественным образом объясняющих образование шейки и полосы сосредоточенных
27
деформаций в процессах двухосного растяжения, в частности критериев бифуркационного типа, как наиболее простых.
Во-вторых, необходима разработка методики использования этих критериев для определения критических деформаций в процессах пластического деформирования, в частности в процессах форло-образования оболочек сложной формы.
И наконец, в третьих, требуется разработка метода расчета на устойчивость процессов деформирования в режиме сверхлластич-ности для показателя чувствительности к скорости дефорлации, меньшему единице. Такие вопросы, как образование полосы сосредоточенных деформаций и устойчивость двухосного растяжения, в литературе не встречаются. Видамо это объясняется тем, что развитие теории течения материала в режиме сверхлластичности идет в основном по пути разработки структурных превращений.
Как уже упоминалось, возникновение неустойчивых состояний вследствие действия локальных сжимающих нагрузок приводит к образованию волн на поверхностях деформируемых заготовок. Проблема устойчивости такого вида интенсивно решается применительно к выпучиванию элементов тонкостенных конструкций. В этой области механики деформируемого твердого тела достигнуты значительные успехи в развитии общей концепции и критериев устойчивости упругих и неупругих систем, в разработке методов решения задач в условиях простого и сложного нагружения, создания общей теории бифуркации и устойчивости, теории выпучивания и устойчивости несовершенных стержней, пластин и оболочек за пределом упругости. Исчерпывающий обзор результатов по перечислеиным зопросаы содержится в [ 56 ] .
Что же касается проблемы устойчивости под действием сжимающих нагрузок в технологических процессах деформирования, то она
28
изучена недостаточно.
В одной кз первых работ в этом направлении [ 57 ] для оценки устойчивости фланца при осесимметричной вытяжке используется метод сравнения энергий при прогибах сектора фланца в виде прямолинейной стойки.
В дальнейшем решение задач устойчивости [40,58] и др. развивалось по пути применения критериев и методов, разработанных применительно к выпучиванию элементов конструкций, в частности, широкого применения критерия, предложенного в [ 59] .
При этом считалось, что вся заготовка находится в пластическом состоянии; зоны разгрузки не учитывались. Полученные решения позволяют приблизительно определить давление прижима в операциях листовой штамповки и критическую толщину заготовки.
Попытка впервые "на основе теории локальности деформации создать методику расчета устойчивости заготовки в формообразующих операциях и ка ее основе разработать методику определения оптимальных параметров процесса" предпринята в [ 60 ] .
Однако чисто механическое перенесение методов и средств решения задач выпучивания элементов конструкций на разработку методов расчета процессов пластического формоизменения .листовых материалов оставляет в стороне специфические особенности этих процессов, могущие существенно повлиять на сами расчетные методы. Эта специфика связана с большим диапазоном реализуемых в заготовке напряденных и деформированных состояний, со свойствами деформируемого материала, выбором оборудования для формообразования, типом используемого прижимного устройства. Важным моментом является учет зон разгрузки, существенно влияющих ка выбор расчетной модели.
Перечисленные обстоятельства делают правомерной постановку
29
задачи по разработке новых методов расчета на устойчивость деформируемых заготовок под действием сжимающих нагрузок, методов, учитывающих особенности процессов формообразования.
В заключение, резюмируя изложенный материал, сформулируем общую характеристику работы.
Цель работы состояла в разработке и развитии общего алгоритма решения задач нестационарного пластического течения тонколистового металла в услозиях плоского напряженного состояния и создании методики определения критических параметров процессов деформации этого металла в режимах пластического и сверхпласти-ческого течения.
Задачи исследования:
1. Постановка общей задачи по математическому моделированию течения тонколистового металла в процессах его пластического формоизменения и разработка соответствующих методов решения этой задачи.
2. Па основании разработанных методов решения установление закономерностей изменения напряженного^деформированного к кинематического состояний в процессах формоизменения с учетом геометрических характеристик деформирующего инструмента и заготовки, контактного трения, упрочнения и начальной анизотропии материала заготовки.
3. Разработка критериев к метода расчета локальной устойчивости процессов течения листового металла в условиях двухосного растяжения.
4. На основании разработанного расчетного метода определение критических параметров и установление закономерностей их изменения в зависимости от локальных характеристик напряженно-деформированного состояния, механических характеристик материа-
30
ла деформируемой заготовки для состояний пластичности к сверх-пластичности.
5. Разработка методики использования расчетных параметров для оценки ресурса пластичности при формообразовании тонкостенных оболочек сложней формы в производственных условиях.
6. Анализ устойчивости равновесных состояний при сжимающих локальных нагрузках, возникающих при их пластическом деформировании в заготовках; разработка методики определения критических параметров.
7. Использование полученных закономерностей пластического течения для разработки технических решений по созданию комбинированных технологий.
В практическом смысле решение поставленных задач позволяет установить набор необходимых параметров и характеристик процессов пластического формоизменения листового металла на стадии их проектирования, а также определить расчетные и допустимые величины этих параметров и характеристик на зтой стадии. Их решение также позволяет скорректировать эти параметры и характеристики на стадии отладки и промышленного производства тонкостенных оболочек сложной формы.
Подученные решения являются основой для разработки комбинированных технологий пластичности.
ГЛАВА П
31
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧЕСКОГО ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО состояния
2.1. Математическое описание нестационарного течения жесткопластического материала.
Получение исходных систем уравнений
Рассмотрим процесс пластического течения листового материала в виде тонкостенной оболочки, деформируемой по криволинейной поверхности жесткого инструмента. В соответствии с условиями нагружения, рассмотренными в главе 1, таким процессом является формоизменение листовой заготовки на участках 31 (в пренебрежении давлением складкодержателя), и 3// , изобра-
женных на рис. 1.2.
Введем общую для жесткого инструмента и тонкостенной оболочки систему криволинейных эйлеровых координат, совпадающих с линиями кривизны этого инструмента Равновесие малого элемента такой оболочки и локальная система криволинейных координат ^1 . '*'2, показаны на рис. 2.1.
Пренебрегая инерционными силами, процесс пластического течения листового материала на участках 3^ , З2 можно
описать следующей системой уравнений, включающей: уравнения равновесия С11,16]
Рис.2.1
Равновесие малого элемента тонкостенной оболочки; расположение локальной системы криволинейных координат
33
^ ^ Ґк'ґ ) і і ^ П r І 1 Ь(6ц~бяг) дН, іМп Мі _______________?£_. =0,
Н,Нг дх, yvf+irf
условие пластичности в общем виде
соотношения ассоциированного закона течении
; , дР(Єц) .
eii =А , (2-4)
Ч d6tJ
условие несжимаемости
ii( =0 (і = 1,2,3)] (2.5)
ієния для скоростей деформаций имеют вид:
_ 1_д$ + дН, ,
И, дх1 + Hi Hz дхг ’
- J-—L 4- — ^ •
1 ~ Нг дхг ИЛ дх,
= 1,дк !Г,ЭИг+ !й дН, , (*•«
4 + н, дх* Hz дх/’
1 дгГг рг, дН, (Гг дНг.
' // Д-у- ^ и Хі'Г " и "и
34.
В уравнениях (2.1) - (2.6):
4
и - компоненты тензоров напряжений и скоростей
деформаций;
р - контактное давление;
Л - положительный множитель пропорциональности;
^ компоненты вектора скорости;
!г - толщина оболочки;
£ - временной параметр;
/и - коэффициент трения, постоянный по всей контактной
поверхности.
Силы трения между листовой заготовкой и инструментом учитываются в виде последних членов уравнений равновесия (2.1) и (2.2) согласно рис.2.2^ II
Контактное давление связано с компонентами ^ и 6Г22 известным конечным соотношением
+- • (2.7)
Й1 &2 к
Если для условия пластичности (2.3) выполнены условия теоремы о существовании к дифференцируемости неявной функции, то, например, $22
а частные производные этой функции определяются формулами П г
о/
. (2 8)
дби &
Исключая из системы соотношений (2.1) - (2.6) множитель
пропорциональности Л , скорости деформаций <£• , исполь-
%/
зуя конечное соотношение (2.7) и формулы (2.8), получим
Рис.2.2
Компоненты силы трения Т4 , тг , компоненты вектора скорости ^ и ^
Та*$РР>
36
к (б„ - /) <%
< Н, дх) "' Нг дхг а> Н,Н*. дх,
гкб'и дН, —- =/?' (2.9)
Н,Н1 дхг Ъ У^Т^7 '
< д о~ I к Э/ д&„ к д/ дб’и: _/ Зк_ ^
*ъ ~ Н, дх; а> иг дб-н дхл + /& Эбп дхг Иг дхл
щ- ент+ 2М^ж_/у = . (210)
^/4 НЛ9*, *• * 7^3* 7
/ _ * % * д/ д1% 1%
3 Н1 дх, *"/£ д£„ дх± * дх± д/ 1Г/ дИх,
—==.0\ (2.11)
д&„ Н,Нг Эх,
1=1.9^+ 1 9*; / 99 9Г*
4 н, дх, Нг дХх + И2 деп дхх
(2Л2)
И1Н1дх1 И,НХ дХх НЛ±дби дх,
1*э7 ъЛА,*м31МА}‘° <■•“’
Уравнения (2. 9)-(2.13) без учета сил трения приведены в С613 Согласно классификации Г62] уравнения первого порядка (2.9) - (2.13) образуют замкнутую квазилинейную систему относительно ПЯТИ неизвестных функций , 6^2 • ^ •
37
Независимыми переменными являются £ , Х1 , Хг.
Все функции и независимые переменные в уравнениях (2.9) -
(2.13) записаны в безразмерном виде: компоненты тензора напряжений отнесены к пределу текучести материала ^ ; компоненты вектора скорости - к характерной скорости, например, скорости движения инструмента; толщина деформируемой оболочки - к начальной толщине листового материала; координаты Х1 , Я& - к характерному размеру, например, в случае осесимметричной задачи о деформировании фланца заготовки - к его наружному радиусу.
Пэскольку в принятом варианте идеального жесткопластического материала не учитываются эффекты, связанные с учетом вязкости, то в качестве времени можно выбрать любой параметр, юнотонно изменяющийся с ростом времени. Выбор такого параметра будет осуществлен в этой главе при рассмотрении конкретных процессов пластического течения листового материала.
После решения системы (2.9) - (2.13) с соответствующими граничными условиями, можно из условия пластичности (2.3) определить компоненту , а из конечного соотношения (2.7)
вычислить контактное давление р .
Сформулированная система уравнений справедлива, если известны коэффициенты И1 » и радиусы кривизны Р?1 ,
де^рмируемой поверхности, т.е. для процессов течения листового материала по жестким поверхностям.
При отсутствии жестких недеформируемых поверхностей, например, при деформировании участка тонкой оболочки за счет сил, приложенных к его краю (участок 3^ на рис. 1.2), становится неизвестной форма поверхности этого участка, т. е. параметры
Б этом случае к указанным пяти уравнениям (2.9) - (2.13)
38
добавляются три уравнения Гаусса-Кодацци [63], которые имеют; вид:
,.<?//) / / /) ЭМ
ч>4И, * 4,а*г
д_ /_/_ ЭНг] д / 1 Эн,): М,Нг_„
дх1 ' Н1 Эх, дхг Нг дхг Нг Яг
Эти уравнения для заданного давления р и
± =(£.-£) ±
*, (* *г'б„
принимают вид
(2.14)
£/— + —(— —) +
дх1* Н1 дх, дхг Нг дх2
(I .')№=е 'а я, Л
<?/ <9/ д&„ д/ де1г
р Д0 • . . _ ..... ! _ _____
^/у Э^л. Э&,£ Э-Х^
39
Щ>и р = О из (2.14) следует:
I - ) V- —=0 ■
£ ' "А,«*дх* '
/ _ 4-(±)+ £*'+1 —^/7 7 дх}ъ Нлбн^3х, ‘
(2.15)
(2.16)
/ _ / ^ дНг\, д / 4 д/4/)
1 ~дх/Н, дх/ дх[нг дхг С2Л7)
Таким образом, для определения восьми неизвестных функций
^11 ’ ^2 ' ^ ’ *5 . ^ , У/Л^ имеем замк-
нутую систему, включающую семь квазилинейных уравнений (2.9) -
(2.13), (2.15), (2.16) и одно нелинейное уравнение (2.17).
Полученные системы уравнений (2. 9)-(2.13) и (2.15)-(2.17) справедливы для любого условия пластичности, разрешимого относительно одной из компонент тензора напряжений, например Эти системы имеют вид, отличающийся от традиционных представлений наличием функции / и ее производных и д^/д5
Такое представление приведенных систем уравнений позволяет анализировать их общие свойства, отвлекаясь от конкретного вида условия пластичности. Полученные уравнения справедливы для любых систем криволинейных ортогональных координат.
Далее проведем возможное упрощение исходной системы уравнений, выполним исследование упропгенного и основного вариантов этой системы и рассмотрим случай стационарного течения деформируемой заготовки, для которой производная д/г/д1 = О.
40
2.2. Упрощенный вариант исходной системы уравнений, основанный на пренебрежении слагаемыми, содержащими производные от толщины деформируемого материала. Разработка метода решения упрощенной системы
Предположим, что в уравнениях равновесия (2.9),(2.10) можно пренебречь слагаемыми, содержащими производные от толщины по пространственным координатам, по сравнению с другими членами. Справедливость такого предположения подтверждается сравнением с точным решением задачи осесимметричного течения плоского фланца, приведенным в разделе 2.9.
В этом случае уравнения равновесия (2.9), (2.10) при отсутствии сил трения принималэт вид
I =± дб": 1 дб<* . 251гМ п_
< Н, дх, Нг дхг И,нг дх1 Н,Нгдхг '(2'18)
^ _ 1_ дб,^ д£ _дба _/ д/_ дб^ +
г И, дх, * А/г дба дхг * а/ дбн дхг +
/-5/ дН, ! 2б1г дйг _ Н1Нг дхг Н,Нг дх,
(2.19)
Таким образом, указанное предположение позволяет перейти от решения системы из пяти уравнений (2.9) - (2.13) к раздельному репению замкнутой квазилинейной системы из четырех уравнений (2.18), (2.19), (2.11), (2.12) относительно двух пространственных переменных Х1 , Хх и одного уравнения (2.13). После решения этой системы становятся известными функции
, ^2 . В этом случае уравнение (2.13) - линейное
41
дифференциальное уравнение с частными производными, связывающее ТОЛЩИНУ Л С тремя независимыми переменными ,
Ь . Его решение сводится к интегрированию следующего уравнения
4к. =_г_1^!£ + ±_^+ у /.г ,гдни1М
А А, дх, Нг д*х Н^н} 1 дх, *■ дх]
Отметим, что часто используемое предположение к =СОП5^ также соответствует переходу от уравнений (2.8), (2.9) к уравнениям (2.18), (2.19). Однако это предположение справедливо только ДЛЯ линейного УСЛОВИЯ пластичности — 1 .В случае
других условий пластичности оно реализуется лишь для частных напряженных СОСТОЯНИЙ, определяемых ИЗ УСЛОВИЯ О .
Исследуем систему уравнений (2.18), (2.19), (2.11), (2.12) на предмет наличия у ней характеристических свойств.
Согласно общей теории характеристик С 62] найдем, что указанная система уравнений имеет следующие уравнения характеристик
с - А\д.£
2НгЧб„ УЦ/ н д6в
(2.20)
Дифференциальные соотношения на характеристиках имеют вид [64):
И1 % ^ «+°<Л И2 ^«=-{Гч 4'6,)сі/26ігй^ ]д£ + 11 11
[2НгбаС1,г “а С',г С2 21)
РОССИЙСКАЯ
Г0СУДЛРС7П2ННАЯ
БИБЛИОТЕКА
42
%)сі>ч 'її,26^ дл, *
+(“ісі,чГі-НЛ)™}-1Г- ш с*.« (2'22)
Из соотношений (2.20) следует, что тип систем уравнений (2.18), (2.19), (2.II), (2.12) существенно зависит от соотношения между производными м/эъ * э//э^ , т.е. от
напряженного состояния рассматриваемой точки поля напряжений.
При А ) +■ ШЛ0ем два семейства дей-
ствительных различных характеристик и четыре различных характеристических соотношения, т.е. рассматриваемая система относится к гиперболическому типу, когда одна из главных скоростей деформаций в направлениях, параллельных поверхности заготовки, -сжимающая.
При А < О система относится к аллиптическому типу;
указанные скорости деформации являются растягивающими, вызывающими интенсивное утонение заготовки. Действительных характеристик не существует.
При А - О система является параболической и имеет
одно семейство действительных характеристик. В этом случае одна из главных скоростей деформаций вдоль поверхности заготовки становится нулевой, а другая равна скорости деформации утонения.
Положим, что *дУ/дб#~09 ; в этом случав
уравнение характеристик (2.20) и характеристические соотношения (2.21), (2.22) принимают вид;
(2.23)
43
СІЄ --(є - — — 1^, (2-24)
" <*" /ПЄ1(дЄі,Плда2 Нг Ъх,1 " сіїГ. /<г Ф^г£=!І(с% -тгУг)-^- +
4 иИ< Хуіл Нг / длл
/ _ Н{ д/ г і Р/£г 7/
^ Эл, 1 4
(2.25)
Система уравнений (2.18), (2.19), (2.II), (2.12) относится к гиперболическому, эллиптическому и параболическому типам при
У/д&>0‘ дУ/К<0 и ду/д<ґ„=о соответственно.
Остановимся на наиболее часто встречающихся системах координат применительно к деформированию плоской заготовки. Для декартовой прямоугольной системы координат, когда оси Хг и расположены в плоскости заготовки^ уравнениях (2.20) - (2.22) надо положить Н1 - п% - / .в атом случае характеристические соотношения (2.21), (2.22) принимают вид
± С с/£ (2.26)
дб" " иг
с/іЬ ЇСс/іК-О (2.27)
1'2
Если =£? , то будет справедливо уравнение (2.23);
при - о И &/&„ = / из уравнения (2.26) следует,
что в деформируемой плоской заготовке реализуется однородное напряженное состояние с компонентой^^.
В ату чае полярной систеш координат & , & в урав-
44
нениях характеристик (2.20) координаты Х1
$22 » характеристические соот-
ношения (2.21), (2.22) принимают вид
Л < +сг4Ь*-[(ь -/)^Г +2ьа&]^ (2.28)
^ -[(^ - ^~Ог)с ' ^ ~£~М (г-29)
Если б'^-О, с1бге-0 ^ ТО
-- -(ег (г.зо)
с1\гг + а/% г --(ыгв <г-31>
Рассмотри}/] также деформирование осесимметричной оболочки, образованной вращением произвольной гладкой образующей вокруг оси . За криволинейные координаты Х1 и Хг при-
мем длину дуги меридиана и долготу соответственно. В этом случае для линейного элемента поверхности вращения имеем
с/£г г с1х* +2Лс/х* (2.32)
где 2 - радиус сечения этой поверхности в плоскости, перпендикулярной оси ,
Из уравнения (2.32) следует, что //,= /, Иг-Ъ . Уравнения характеристик (2.23) и характеристические соотношения принимают вид: