Адвективные течения во вращающемся слое жидкости или газа

-2-
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ................................................. 6
лава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.................... 18
1.1. Крупномасштабные течения жидкости во вращающихся бассейнах и каналах ............................................... 23
1.2. Моделирование крупномасштабных течений стратифицированной жидкости во вращающемся слое................................... 38
1.3. Моделирование динамики атмосферных процессов............ 41
1.4. Моделирование переноса и диффузии примеси в атмосфере... 53
1.5. Моделирование неизотермических течений вращающейся жидкости в условиях невесомости........................................ 60
Выводы................................................... 63
Глава 2. КРУПНОМАСШТАБНЫЕ АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЧИСЛА ЭКМАНА.................................. 65
2.1. Модель крупномасштабных адвективных течений во вращающейся жидкости.................................................... 66
2.1.1. Точное решение трехмерных уравнений вихреразрешающей модели .................................................... 68
2.1.2. Вывод двумерной модели............................ 71
2.1.3. Зависимость параметров двумерной модели от числа Экмана 76
2.2. Крупномасштабные адвективные течения в канале........... 84
-3-
2.2.1. Стационарные течения в канале........................ 86
2.2.2. Численное моделирование крупномасштабных течений в канале ............................................................ 92
2.3. Влияние неоднородного нагрева на циркуляцию жидкости в замкнутом бассейне..................................................... 101
2.4. Влияние солеобмена на циркуляцию жидкости в замкнутом водоеме .............................................................. 107
2.5. Крупномасштабные адвективные течения во вращающейся стратифицированной жидкости........................................... 112
2.5.1. Точное решение трехмерных уравнений................. 116
2.5.2. Вывод двумерной модели для стратифицированной жидкости 120
2.5.3. Двумерная модель для стратифицированной жидкости при /0 = 0 ........................................................... 124
2.5.4. Двумерная модель для стратифицированной жидкости при быстром вращении............................................. 128
2.6. Крупномасштабные адвективные течения в канале для стратифицированной жидкости............................................... 131
2.6.1. Крупномасштабные адвективные течения в канале для стратифицированной жидкости в случае быстрого вращения........... 133
2.6.2. Крупномасштабные адвективные течения в канале для стратифицированной жидкости в случае /о = 0...................... 136
Выводы..................................................... 140
лава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ АТМОСФЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ...................... 145
-4-
3.1. Моделирование переноса и диффузии примеси в свободной атмосфере ........................................................ 145
3.1.1. Моделирование переноса и диффузии пассивной примеси .... 146
3.1.2. Точное решение трехмерпых уравнений................. 147
3.1.3. Вывод двумерной модели.............................. 154
3.1.4. Численные расчеты................................... 158
Выводы..................................................... 166
3.2. Квази-трехмерная модель мезомасштабных атмосферных процессов над крупным промышленным городом............................... 167
3.2.1. Точное решение трехмерных уравнений................. 169
3.2.2. Вывод двумерной модели мезомасштабных процессов в нижнем слое атмосферы............................................. 173
3.2.3. Численное моделирование мезомасштабных процессов в нижнем слое атмосферы............................................. 180
3.2.4. Численное моделирование мезомасштабных процессов в нижнем слое атмосферы с учетом антропогенного источника примеси 185
Выводы..................................................... 188
лава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ 189
4.1. Численное исследование осесимметричных термокапиллярных течений в кольцевом зазоре............................................. 191
4.1.1. Влияние числа Тейлора на термокалпллярное течение при фиксированных значениях числа Марапгопи......................... 205
-5-
4.1.2. Влияние числа Прандтля на термокапиллярное течение при фиксированных значениях числа Марангони и Тейлора 209
Выводы.............................................................. 214
пава 5. УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ 217
5.1. Пространственные возмущения первого типа.......................... 222
5.1.1. Линейная теория.............................................. 223
5.1.2. Вторичные течения............................................ 227
5.2. Пространственные возмущения второго типа.......................... 232
5.2.1. Линейная теория.............................................. 235
5.2.2. Вторичные течения............................................ 239
Выводы.............................................................. 242
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................... 245
ЛИТЕРАТУРА.......................................................... 247
Приложение 1. Методика расчета параметризации воздействия силы
Кориолиса............................................... 293
Приложение 2. Методика расчета параметризации приповерхностного слоя............................................... 294
-6-
ВВЕДЕНИЕ
Исследование крупномасштабных вихревых процессов в тонких слоях жидкости представляет собой одну из областей гидродинамики и является основным предметом геофизической гидродинамики [1]; в рамках которой изучается динамика атмосферы и океана, проблемы переноса и диффузии вредных примесей в атмосфере. При анализе процессов в некоторых технических устройствах, например, в установках по выращиванию кристаллов по методу Чохральского, в устройствах для перемешивания жидкого металла применяются подходы, используемые в теории приближения тонких слоев жидкости. Для этих явлений характерна существенная трехмерность движения, неизотермичность происходящих процессов, влияние вращения. Одной из их характерных особенностей является наличие продольного температурного градиента. Горизонтальный градиент температуры вызывает адвективные течения. Они по существу являются частным случаем термогравитационной свободной конвекции [2, 3] и отличаются от конвективных течений тем, что скорость потока перпендикулярна действию сил тяжести и плавучести.
Сложность проведения и интерпретация численных экспериментов с трехмерными уравнениями гидротермодинамики побуждает к созданию более простых моделей, которые сохраняют наиболее характерные черты реальных процессов. Одним из методов исследования кх>упномасштабных процессов является использование различных квази-трехмерных моделей. К таким относится хорошо известная модель “мелкой водьг’ [1, 4], используемая для изучения крупномасштабных изотермических процессов в атмосфере и океане. Развитием этой теории являются модели крупномасштабных адвективных течений в тонком вращающемся слое жидкости С’.Н. Аристова [5], которые он использовал для изучения плоских адвективных волн, механизма, образования адвективных еолитонов в случае бы-
-7-
строго вращения. В рамках этих моделей и на основе иерархической модели турбулентности совместно с П.Г. Фриком исследовалось влияние горизонтальной температурной неоднородности на динамику крупномасштабной турбулентности [6], изучалось крупномасштабное турбулентное течение проводящей жидкости в плоском равномерно вращающемся неизотермическом слое [7]. Хотелось бы также отметить две оригинальные двумерные модели [8], разработанные для исследования развитой крупномасштабных вихрей в турбулентном слое жидкости при наличии глубокой конвекции, с помощью которых объясняется процесс зарождения тропических циклонов. Это модель турбулентной спиральности С.С. Моисеева п модель В.Д. Зимина крупномасштабных вихревых процессов в подогреваемой снизу несжимаемой вращающейся жидкости. Все перечисленные модели, выведенные с сохранением физической строгости, описывают основные физические механизмы крупномасштабных процессов, позволяют успешно применять аналитические методы исследования и сокращают затраты вычислительных ресурсов ЭВМ при численных расчетах.
До сих пор не до конца понятна роль термодинамического воздействия на динамику крупномасштабных течений в океане и атмосфере. Проблема моделирования атмосферных процессов и распространения примеси остается актуальной в настоящее время и в связи с появлением новых задач, связанных с экологическими аспектами [10]. При моделировании переноса и диффузии примеси остается необходимым уточнять роль температурного воздействия на ее распространение.
Моделирование неизотермических течений жидкости, вращающейся в условиях микрогравиташш. начало развиваться в связи с развитием космического материаловедения. Механизмы динамики термокапиллярных течений в случае, когда в слое жидкости имеется температурный градиент, перпендикулярный оси вращения, являются малоизученным.
Основной на. данный момент моделью пограничного слоя атмосферы
-8-
и океана является течение Экмана [9]. Оно возникает в плоском вращающемся слое изотермической жидкости под действием трения на твердой нижней гранипе и тангенциальных напряжений внешней силы на верхней. Особенность адвективных течений во вращающемся слое жидкости, полученных С.Н. Аристовым [5] аналитически, заключается в том, что имея конвективную природу, они качественно отличаются от обычных плоскопараллельных течений, полученных без учета вращения. По своей спиральной структуре они подобны течению Экмана. Можно утверждать, что указанный класс решений адвективных течений наряду с течением Экмана описывает основное течение в атмосфере и океане. Если устойчивость адвективных теченхга без учета вращения изучена достаточно хорошо и имеются работы по исследованию устойчивости течения Экмана, то теория устойчивости адвективных течений во вращающемся слое жидкости не разработана.
Моделирование крупномасштабных адвективных процессов в геофизических задачах требует разработки новых квази-трехмерных моделей. При решении конкретных задач необходимо использование численного моделирования. Для новых моделей необходима адаптация разностных схем. Целью диссертационной работы является
• получение квази-трехмерных моделей крупномасштабных адвективных течений в конкретных геофизических приложениях при произвольных значениях числа Экмана;
• усовершенствование методологии вывода моделей, проверка их на работоспособность;
• численные и аналитические исследования роли адвекции на динамику крупномасштабных течений в океане и на распространение примеси в атмосфере;
• исследование воздействия вращения на термокапиллярные течения в
-9-
условыях невесомости;
• исследование устойчивости адвективного течения во вращающемся слое жидкости.
На защиту выносятся следующие положения:
• методология вывода квази-трехмерных моделей крупыомасштаабных адвективных течений во вращающемся тонком слое жидкости при производных значениях числа Экмана;
• квази-трехмерные модели крупномасштабных адвективных течений во вращающемся тонком слое жидкости с учетом и без учета стратификации, переноса и диффузии пассивной примеси в свободной атмосфере, мезомасштабных атмосферных процессов над крупным промышленным городом;
• результаты исследования структуры крупномасштабных адвективных течений в плоских вращающихся каналах и бассейнах; результаты численных расчетов по оценке трансграничного переноса примеси от промышленных источников центра России на район Западного Урала; результаты численных расчетов по изучении роли термической неоднородности в формировании местной атмосферной циркуляции;
• результаты численного исследования осесимметричных термокапил-лярных течений слабо вращающейся в кольцевом зазоре жидкости в условиях невесомости;
• результаты исследования устойчивости адвективного течения в горизонтальном вращающемся вокруг вертикальной оси слое жидкости с твердыми границами; результаты численного исследования над критичных движений.
Диссертация, содержание которой отражено в оглавлении, состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и двух приложении.
-10-
В первой главе дается обзор работ, связанных с темой диссертации. Обосновываются основные задачи исследования.
Во второй главе исследуются крупномасштабные адвективные течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости с учетом и без учета стратификации при произвольных значениях числа Экмана (Ек). В первом параграфе описывается методология вывода квази-трехмерных моделей крупномасштабных адвективных течений жидкости, вращающейся на сфере. Она излагается па примере, в котором в качестве исходной выбирается вихреразрешающая модель океанических течений Д.Г. Сеидова [97, 98]. Особенностью метода получения моделей является то, что центральный блок, описывающий нелинейное слагаемые уравнения для вихря, сохраняется вне зависимости от варьирования граничных условий для горизонтальных компонент скорости. В пп.2.1.1. формулируется аналитическое решение трехмерных уравнений, используемое для замыкания модели. В пп.2.1.2. производится вывод уравнений двумерной модели, в пп.
2.1.3. исследуется зависимость параметров двумерной модели от Ек, формулируются уравнения классической теории динамики крупномасштабных течений, в которых дополнительно учитывается "термический ветер'*. Во втором параграфе с помощью полученной модели исследуются неизотермические стационарные течения во вращающемся вокруг оси 02 канале, структура которых определяется параметрами модели и может быть исследована либо аналитически, либо численно с помощью метода сеток. В третьем параграфе с помощью квази-трехмерпой модели исследуется влияние неоднородного нагрева на ветровую циркуляцию в замкнутом бассейне - задача, рассматривающая близкую к реальному океану ситуацию. В четвертом параграфе определяется структура течений в замкнутом водоеме, вызываемых солеобменом через границы. Это еще один пример использования двумерных моделей в геофизических приложениях для исследования роли адвекции в динамике крупномасштабных течений. Пред-
-11-
ставпены уравнения модели, описывающие конвективные течения, вызываемые горизонтальным градиентом плотности, где вместо температурного воздействия учитывается солеобмен. В пятом параграфе выводится квази-трехмерная модель крупномасштабных течений стратифицированной жидкости на основе разработанной методологии. Краевые условия на вертикальных границах аналогичны случаю, описанному в параграфе 2.1. В пп. 2.5.1. выводится точное решение исходной трехмерной задачи. В пп.
2.5.2. осуществляется вывод двумерной модели для стратифицированной жидкости. В пп. 2.5.3. формулируются уравнения модели в случае равенства нулю параметра /0, что озпачает, либо отсутствие вращения, либо то, что слой жидкости расположен на экваторе. В пп. 2.5.4. формулируются уравнения для случая быстрого вращения (Ек < 1). В шестом параграфе исследуются адвективные стационарные течения стратифицированной жидкости во вращающемся канале при /0 = 0 и при быстром вращении.
В третьей главе рассматриваются проблема моделирования переноса и диффузии примеси в атмосфере. В первом параграфе исследуются механизмы переноса и диффузии примеси в свободной атмосфере с помощью квази-трехмерной модели.. В пп. 3.1.1. выводится квази-трехмерная модель крупномасштабных процессов в ” сухой” атмосфере с учетом распространения пассивной примеси от антропогенных источников в приземном слое. Исходные трехмерные уравнения рассматриваются в изобарической системе координат. В пп. 3.1.2. выводится точное решение трехмерных уравнений, описывающее однородное в плане течение воздуха, полученное при линейном распределении температуры подстилающей поверхности на нижней гранппе. В пп. 3.1.3. выводятся уравнения модели. В отличии от обычных, уравнение переноса и диффузии примеси содержит слагаемое, описывающее механизм адвективного переноса примеси (влияние ’"термического ветра” на распространение частиц). В пп. 3.1.4. приведены результаты численного расчета по полученной модели для опенки трансгранпч-
-12-
ного переноса примесей (взвешенных частиц), попадающих в атмосферу от крупных источников выбросов промышленных центров экономических районов Европейской части России. Во втором параграфе третьей главы выводится квази-трехмерная модель мезомасштабных атмосферных процессов с учетом переноса и диффузии вредной примеси от антропогенных источников над крупным промышленным городом, рельефа местности (орографии), шероховатости и термической неоднородности подстилающей поверхности. В пп. 3.2.1. приводится точное решение исходной трехмерной задачи, используемое для замыкания модели. В пп. 3.2.2. производится вывод модельных уравнений. В пп. 3.2.3. численно решается модельная задача по исследованию влияпия динамической и температурной неоднородности (’’термического загрязнения”) подстилающей поверхности на динамику воздушных течений над городом Пермь при конкретных метеоусловиях. Определяется порядок подготовки и формат исходных данных, а также последовательность расчетов. В пп. 3.2.4. численно решается модельная задача распространения пассивной примеси от высотного источника над городом Березники.
В четвертой главе представлены результаты численного моделирования осесимметричных термокапиллярпых течений в лабораторной установке. медленно вращающейся в условиях микрогравитации. Рассматривается круглая кювета с теплоизолированной внешней и нижней границей, в центре которой расположен металлический цилиндр, нагретый до постоянной температуры. Верхняя свободная граница считается недеформируемой с теплоотдачей, описываемой по закону Ньютона. Исследуется характер движения и температуры жидкости в зависимости от значений числа Маран-гони, Тейлора, Био и Прандтля.
В пятой главе исследуется устойчивость адвективного течения во вращающемся гох>изонтальном слое жидкости с твердыми границами, ось вращения совпадает с вертикальной осью координат. Формулируется точ-
-13-
ное решение, анализируются профили компонент скорости и температуры основного течения. В первом параграфе исследуется линейная устойчивость спиральных возмущений, описывается алгоритм ее исследования с помощью метода сеток (двухполевого метода), определяется структура вторичных течений в слое для значении числа Грасгофа выше критического. Во втором параграфе исследуется линейна устойчивость пространственных возмущений в виде валов с осью, перпендикулярной оси ОХ. Определяется структура вторичных течении в слое для значений числа Грасгофа выше критического.
Выводы формулируются в конце каждой главы и заключении. В Приложении 1 представлена методика расчета параметризации воздействия силы Кориолиса, в Приложении 2 - методика расчета параметризации приповерхностного слоя для модели мезомасштабных атмосферных процессов, представленной в третьей главе.
Научная новизна
На основе новой методологии вывода квази-трехмерных моделей, описывающих крупномасштабные адвективные течения во вращающемся слое жидкости выведена серия следующих моделей: неизотермических крупномасштабных течений в океане с учетом и без учета стратификации, адвективных течении, вызванных солеобменом на боковых границах в замкнутом водоеме, трансграничного переноса и диффузии пассивной примеси в свободной атмосфере, мезомасштабных атмосферных процессов над крупным промышленным городом. Прп выводе квази-трехмерпой модели переноса и диффузии примеси в свободной атмосфере сформулировано и впервые использовано точное решение уравнения гидр о термодинамики атмосферы, выведенное в изобарической системе координат. Впервые исследован механизм влияния адвекции на крупномасштабные течения во вращающемся канале при произвольных значениях числа Экмана, обнаружен новый пограничный слой, возникающий при наличии горизонтального темпе-
-14-
ратурного градиента и разрушаемого силой Кориолиса. С помощью модели океанических течении численно исследован новый адвективный механизм отрыва крупномасштабных течений. С помощью модели трансграничного переноса примеси в свободной атмосфере исследован механизм адвективного переноса примеси (за счет ’'термического ветра”). В рамках модели мезомасштабных процессов исследована роль термической неоднородности подстилающей поверхности па локальную циркуляцию атмосферы над городами Пермь и Березники. Впервые исследованы термокапиллярные течения, возникающие во вращающейся кювете при наличии продольного температурного градиента в условиях невесомости. Впервые исследована устойчивость адвективного течения во вращающемся слое жидкости.
Практическая ценность работы
Результаты, приведенные в третьей, четвертой и второй главе, выполнялись в рамках гранта РФФИ N94-01-00487-A (руководитель д.ф.-м.н. Аристов C.H., ИМСС УрО РАН) и гранта Международного Фонда Сороса N J1U100 (руководитель д.ф.-м.н. Аристов C.H., ИМСС УрО РАН). Результаты третьей главы использовались в работе по программе ” Университеты России” Госкомвуза РФ по экологической безопасности Западного Урала (руководитель д.г.н., проф. Б.М. Осовецкий, Пермский госуниверситет). Результаты третьей главы частично использовались в рамках гранта Госкомвуза РФ (шифр 95-0-13.3-8) ”Моделирование динамики регионального и дальнего переноса примеси в нижней тропосфере” (руководитель к.ф.-м.н., доцент К.Г. Шварц, Пермский госуниверситет). Результаты пятой; главы частично выполнялись в рамках гранта ДААД в Потсдамском университете (Германия, сентябрь - декабрь 1996).
Модели адвективной циркуляции могут быть использованы для численного моделирования крупномасштабных и мезомасштабных процессов в океанах, морях, мелководных заливах и озерах, атмосфере, для решения проблем охраны окружающей среды, если использование современ-
-15-
ных трехмерных моделей по каким-либо причинам затруднительно. Они в достаточно простой постановке позволяют исследовать влияние неоднородности плотности на динамику крупномасштабных течений. Исследование совместного влияния конвективных процессов и вращения на течение жидкости в условиях невесомости важно для решения задач космического материаловедения. Анализ устойчивости адвективных течений во вращающемся слое жидкости важен в связи с их геофизическими и техническими приложениями. Конечно-разностный двухполевой метод может быть использован для исследования линейной устойчивости широкого класса конвективных процессов в жидкости.
Достоверность результатов
Результаты моделирования крупномасштабных океанских процессов, переноса и диффузии примеси в атмосфере согласуются с данными на-блюдепий. Результаты исследования термокапиллярных течений в условиях невесомости согласуются с аналогичными результатами численных расчетов и лабораторных экспериментов, проведенных с учетом гравитации. Результаты исследования устойчивости согласуются с результатами, полученными другими авторами в частных случаях: для адвективных течений при отсутствии вращения. Конечно-разностные методы, используемые в диссертации, исследовались на устойчивость и тестировались на сходимость, что является гарантией адекватности результатов, полученных с помощью вычислительных экспериментов.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на:
- Международном симпозиуме по гидромеханике п тепломассопереносу в микрогравитации (Пермь, 1991).
- The 2nd International Conference of Computer Modelling in Ocean Engineering^ (Barcelona, Spain, 30 September - 4 October 1991).
- International Symposium on Microgravity Science and Applications (Beijing,
-16-
China 10-13, May, 1993).
- The VIII International Conférence on Finite Eléments in Fluids (Barcelona, Spain, 20-24 September 1993).
- Международной школе ’’Механизмы невесомости в конвекции и тепломас-сопереносе" (Звенигород, 15-17 сентября 1994).
- Международном симпозиуме ” Методы охраны атмосферы и водной среды. Регулирование и долгосрочное планирование природоохранных мероприятий” (Санкт-Петербург, 1994)
- 10 Зимней школе по механике сплошных сред ( ИМСС УрО РАН, Пермь, 1995).
- Международной научно-практической конференции ’’Регион и география'’ (Пермь, май 1995г.)
- Международном совсщапии ’’Пограничные эффекты в стратифицированных и/или вращающихся жидкостях” ( ИПМ РАН, Санкт-Петербург, Пушкино, 6-8 июня 1995).
- IV Международная конференция ’Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике” (Казань, 3-7 июля 1995).
- Межреспубликанской Школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости ( ИВТ СО РАН, Новосибирск, 26-28 сентября 1995).
- The IX International Conférence on Finite Eléments in Fluids (Venice, Italy, 15-20 October 1995).
- The International Beer-Sheva Seminar ”MHD-Flows and Turbulence”. (Israël Academy of Sciences and Humanities. Jérusalem, Israël, February 25-29, 1996).
- ШТАМ Symposium on Variable Dcnsity Low Speed Turbulence Flows. (Marseille, France, July 8-10, 1996).
- 11-я Международной зимней школе по механике сплошных сред (ИМСС УрО РАН, Пермь, 1997).
- Всероссийской научной конференции ”Фридмановскпс чтения" (ПГУ, Пермь, 7-12 сентября 1998).
-17-
- 12-ая Зимней школе по механике сплошных сред (ИМСС УрО РАН, Пермь, 1999).
- Теоретическом семинаре лаборатории нелинейной динамики Потсдамского университета (руководитель: проф. Ю. Куртц, Потсдам, Германия, октябрь 1996).
- Теоретическом семинаре Центра физической гидродинамики Дрезденского технического университета (руководитель: проф. А. Тесс, Дрезден, Германия, ноябрь 1996).
- Городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни (руководитель: д.ф.-м.н. Г.З. Гершуни (до 1999), д.ф.-м.н. Д.В. Любимов, 1993, 1994, 1997, 1998, 1999, 2000).
Работа выполнена в Пермском государственном университете.
Диссертация содержит 295 страниц текста, в том числе 71 рисунок и 2 страницы приложений. Список литературы содержит 416 наименовании, из которых основное содержание диссертации опубликовано в 31 работе [364, 387-416]. Близкие по тематике работы [173-176], выполненные с участием диссертанта и включенные в обзор литературы, не входят в содержание диссертации.
Личный вклад автора
Работы [364, 390, 393, 400, 402, 407, 408, 413] выполнены автором лично. В работах [387-389, 391-395, 403, 406, 409-411, 415, 416] автору диссертации принадлежат результаты расчетов, он участвовал в постановке задачи и обсуждении результатов. В работах [396-399, 401, 412, 414] диссертанту принадлежит постановка задачи, разработка математических моделей и результаты численных расчетов. В работе [399] аспирантке Ачыловой С.Д. принадлежит часть результатов численных расчетов.
Благодарности
Автор благодарит за плодотворное сотрудничество Аристова С.Н. и Шкляева В.А..
-18-
Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Механизм формирования адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости в случае, когда ось вращения совпадает с точностью до знака с направлением силы тяжести, обусловлен двумя факторами: адвекцией и силой Кориолиса. Адвективное течение, возникающее в плоском горизонтальном слое жидкости при отсутствии вращения для случая когда температура на обеих границах линейно изменяется с продольной координатой, было впервые получено аналитически Бирихом Р.В. [11]. Особенностью течения является отсутствие вертикальной компоненты скорости, вектор скорости в потоке ориентирован перпендикулярно силе плавучести, которая является основной причиной движения. Это свойство адвективного течения сохраняется при различном выборе граничных условий для скорости. Подробный обзор работ, в которых определены различные механизмы неустойчивости плоскопараллельных адвективных течений для случая твердых, свободных границ, а также при наличии теплоотдачи с поверхности по закону Ньютона, для теплоизолированных границ представлены в монографии [3].
Устойчивость плоскопараллельного течения для случая твердых границ и свободной верхней границы исследована в работах Мызникова В.М. и других соавторов [12-19]. Было показано, что горизонтальное плоскопараллельное течение неустойчиво относительно двух критических мод возмущений. При малых числах Прандтля неустойчивость имеет гидродинамическую природу и связана с развитием вихрей на границе встречных потоков. С ростом числа Прандтля в области образования вихрей имеется устойчивая температурная стратификация, затрудняющая развитие неустойчивости этого типа. При умеренных и больших числах Прандтля неустойчивость имеет рэлеевскую природу, она связана с наличием в потоке потенциально неустойчивых зон распределения температуры. Гра-
-19
нида устойчивости зависит от направления волнового вектора нормальных возмущений по отпошению к скорости основного потока. Фактически эта волна представляет собой конвективные ячейки Бенара, которые сносятся потоком жидкости. При этом возмущения у нижней и верхней границы практически не влияют друг на друга. В [13, 17] показано, что если волновой вектор направлен под углом к основному потоку, то возникающие пространственные спиральные возмущения более опасны, чем плоские. В этом случае имеет место монотонная неустойчивость течения и есть два критических числа Грасгофа. За порогом устойчивости сначала возникают винтовые пространственные структуры в нижней зоне неустойчивой температурной стратификации. При достижении второго критического значения числа Грасгофа жестко возбуждаются вихри у свободной поверхности жидкости.
Экспериментальные исследования структуры адвективного течения было проведено Кирдяшкиным А.Г. [20], где на основе серии измерений профилей скорости и температуры было установлено хорошее соотношение между экспериментом и теоретическими зависимостями скорости и температуры от вертикальной координаты. В работах [20,21] указаны ссылки на численные эксперименты, посвященные исследованию адвективных течений в ограниченном плоском слое. В работе Тарунина Е.Л. [22] численный эксперимент показал, что для замкнутой области в течении формируется малоподвижное ядро, градиент температуры в котором примерно однороден и ориентирован поперек жидкого слоя. При больших числах Грасгофа у вертикальных границ имеется развитой пограничный слой, особенно резко выраженный у более горячей вертикальной границы.
В работе Smith М.К. и Davis S.H. [23] исследовалась устойчивость термокапиллярного течения при условии теплоотдачи со свободной поверхности по закону Ньютона и теплопзоляпии на нижней твердой границе. Показан специфический термокапиллярный механизм неустойчивости, обу-
-20-
с лов ленный силой Мараыгони. В работах [24, 25] рассмотрены проблемы
*
устойчивости термокапиллярных течений с учетом деформации свободной поверхности. В работе Hart J. [26] исследовалась устойчивость течения в горизонтальном слое с теплоизолированными гранипами.
В работе [27] исследуются адвективные течения и их устойчивость применительно к изучению тепловых потоков в области осей океанических хребтов.
В работе [28] Гершуни Г.З. и Жуховицкхш Е.М. вывели формулу, описывающую плоскопараллельное адвективное течепие в бесконечном горизонтальном слое при наличии вибрации. В работах [30, 31] было показано, что вибрация повышает устойчивость адвективного течения в условиях гравитации практически относительно всех типов возмущений, исключая плоские тепловые волны, область существования которых раздвигается в сторону малых значений числа Прандтля. В работе [29] Бирих Р.В. описал адвективное течение, возникающее в условиях невесомости под действием линейных высокочастотных колебаниях. В работе [32] исследуется гидродинамическая неустойчивость этого течения.
В работе [33] Любимова Д.В. и соавторов начато исследование адвективного течения жидкости в канале квадратного сечения.
В плоском вращающемся слое изотермической жидкости под действием трения на нижней твердой границе и тангенциальных напряжений внешней силы на свободной верхней границе возникает течение Экмана - основная модель пограничного слоя атмосферы, океана. Две его работы [9, 34] заложили основу теории морских и атмосферных течений. Исходя из баланса сил, обусловленных турбулентным трением между горизонтальными слоями морской воды и кориолисовым ускорением, Экман нашел в [35] аналитическое решением для верхнего слоя океана, которое получило позднее название экмановского слоя трения. Спустя 18 лет [34] Экман формулирует общую задачу определения установившегося ветрового течения (те-
-21-
чсния Экмана) в замкнутом глубоком море как краевую задачу математической физики для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка относительно уровня моря. Наиболее важным результатом, полученным Экманом в последней работе, является вывод о том, что трение существует только в узких пограничных слоях у поверхности моря и у дна, в основной же толщине океана установившееся течение близко к геостра-фическому. Течение имеет характерную спиралевидную форму: ’’спираль Экмана”.
Инг ель Л.Х., Михайлова Л.А. [35} исследовали течение Экмана в случае нелинейного граничного условия: предполагается квадратичное трение на нижней границе. Изучалось влияние этого условия на структуру пограничного слоя экмановского типа, получены простые универсальные соотношения и асимптотики, справедливые для многих разумных гипотез о нелинейных законах трения.
Обзор исследований устойчивости течения несжимаемой вязкой жидкости в слое Экмана описаны в монографии [36]. Ряд экспериментов описано в обзоре [37]. Лабораторные эксперименты [38, 39] показали и численные исследования [40-42] подтвердили, что с пограничным слоем Экмана связаны два различных типа неустойчивости: неустойчивость класса А и неустойчивость класса В. Волны обоих семейств образуют последовательности движущихся в горизонтальной плоскости вихрей, расположение которых зависит от толщины экмановского слоя. Неустойчивость типа А возникает в результате сложного механизма взаимодействия сил вязкости и силы Кориолиса и может быть охарактеризована как вязкая неустойчивость. Волна А всюду ориентирована под углом от 1 до 8 градусов к геострофическому течению в ядре слоя. Критическое число Рейнольдса (Не) 54,1550. Неустойчивость типа В возникает при критическом числе Рейнольдса 112,7585. Она обусловлена действием невязкого механизма в окрестности ближайшей к стенке точке перегиба профиля трансвсрсаль-
-2*2-
ноы составляющей скорости основного течения.
Имеется большое количество работ геофизического направления по устойчивости экмановского течения в атмосфере и океане, начиная с работ Брауна P.A. [43-46] п т.д.. Мы остановимся только на небольшом числе работ, не осложненных по возможности геофизическими подробностям и связанными с этим дополнительными предположениями.
В работе Ордановича А.Е., Пашковской Ю.В. [47] построена модель неоднородного экмановского пограничного слоя в атмосфере с учетом вторичных структур, исследуется его устойчивость. В работах [48-50] исследуется влияние линейной термической стратификации на устойчивость экмановского течения. Выделены две области неустойчивости - "термическая" и *’динамическая”. В динамической зоне неустойчивости (Re > 340) реализуются вихревые образования с осью, направленной в сторону средней в пограничном слое скорости ветра, здесь все процессы определяются как и в классическом экмановском течении в основном динамическими факторами. В термической области (Re < 340) процессы близки к обычной конвекции в открытом слое. Увеличение скорости ветра подавляет конвекцию и увеличивает устойчивость течения.
В работе [51] рассматривается устойчивость пограничного течения на проницаемой поверхности. В работе [52] исследуется устойчивость течения Экмана-Гартмана, возникающего в слое вращающейся магнитной жидкости между двумя твердыми границами. Магнитное поле увеличивает критическое число Рейнольдса.
В работах [53-56] исследуются многочисленные механизмы перехода к вторичной неустойчивости (в том числе так называемой ”ребристой” неустойчивости), возникающей на основе взаимодействия между собой волн первичной неустойчивости типа А или В и основного течения.
Адвективное течение, возникающее во вращающемся плоском горизонтальном слое жидкости, в котором ось вращения совпадает с точностью
-23-
до знака с вертикальной осью координат, для случая когда температура на границах линейно изменяется с продольной координатой, было впервые получено аналитически Аристовым С.Н. [5]. Как и з случае без вращения у течения отсутствует вертикальная компонента скорости, вектор скорости в потоке ориентирован перпендикулярно силе плавучести, однако имеются обе горизонтальные компоненты вектора скорости. Адвективное течение имеет экмановскую спиралевидную форму [57] и безусловно является основным пограничным течением в атмосфере и океане. В дальнейшем было сформулировано целое семейство точных решений при различных граничных условиях. Наиболее обобщенное аналитическое решение для адвективного течения во вращающемся слое жидкости при наличии поперечного магнитного поля было получено в работе [58]. Однако громоздкость выкладок позволяло успешно использовать его только для случая быстрых вращений.
Работ по исследованию устойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое жидкости нет. В [59] Аристовым С.Н., Пичу-гиным А.М. исследована устойчивость адвективного течения проводящей жидкости в слабом поперечном магнитном поле (без вращения). Показано, что магнитное поле резко повышает устойчивость потока, не меняя характер нейтральной кривой.
1.1. Крупномасштабные течения жидкости во вращающихся бассейнах и
каналах
Моделирование крупномасштабной циркуляции жидкости в каналах и бассейнах, вращающихся вокруг вертикальной оси, непосредственно связано с задачами геофизической гидродинамики [1]. Основные результаты по этой проблеме были получены в задачах моделирования океанических течений.
-24-
Динамика морских течений определяется сложным взаимодействием инерциальных, бароклинных явлений и топографией Мирового океана. Характерной особенностью циркуляции является наличие узких струйных течений у западных границ океанов, большой интерес представляет вопрос о причинах отрыва этих течений от берега. Основы теории морских течений были заложены двумя работами Экмана [9, 34]. Экман формулирует общую задачу как краевую задачу математической физики для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка относительно уровня моря. Наиболее важным результатом, полученным Экманом в последней работе, является вывод о том, что трение существует только в узких пограничных слоях у поверхности моря и у дна, в основной же толщине океана установившееся течение близко к геострафпческому. Однако полученные граничные условия для уровня были условия с косой производной (задача Пуанкаре) и это резко усложнило нахождение решений конкретных задач.
Трудности, связанные с косой производной для уровня, заставили искать обходной путь. В 1946 году появилась работа Штокмана В.Б. [60], в которой впервые была предложена модель для изучения осредненного по вертикали стационарного переноса масс (функция полного потока или интегральная функция тока [61]) в бароклинном океане, обусловленного действием ветра и турбулентного обмера. Через год была опубликована работа Свердрупа аналогичного направления, но в применении к экваториальным течениям [62]. Он предложил соотношение между /3-эффектом и тангенциальным напряжением ветра в открытом океане. В 1948 году на простой модели Стоммел [63] показал, что основной причиной интенсификации течений у западных побережий океанов является изменение параметра Кориолиса с широтой (/3-эффект). Работы указанных трех авторов положили начало серии научных исследований у нас и за рубежом, посвященных изучению осреднехшой по высоте характеристике течений - функции полного потока ф. Исследовано качественное влияние рельефа дна на
-25-
0, роль неравномерного ветра и т.д. [60].
Введением интегральной фупкпии тока задача уже сводилась к задаче Дирихле эллиптического уравнения второго порядка, которая намного проще задачи Пуанкаре для уровня моря. В 1950 году Манк использовал эти идеи при выводе уравнения для интегральной функции тока с учетом горизонтального турбулентного обмена, получив эллиптическое уравнение с бигармоническим оператором (см. обзор [61]). Он нашел его решение для случаев зонального и меридионального полей ветра, воздействующих на океан прямоугольной формы, качественно хорошо отображающее основные черты общей циркуляции в океане. Однако использование дополнительных гипотез, не вытекающих из исходной постановки задачи, и нахождение только интегральной циркуляции ограничивали возможность предлагаемой теории. Наконец, Фельзенбаумом А.И. в 1956 году был найден прямой путь вывода без дополнительных гипотез основного уравнения для интегральной функции тока, причем в отличие от предыдущих работ, теперь можно было находить скорость течения на любых горизонтах простым пересчетом но формулам после решения задачи Дирихле для интегральной функции тока [64]. Кроме того ему удалось обобщить теорию Экмана на стратифицированный океан. С этого момента можно считать развитие фундаментальных основ классической экмановской теории морских течений завершенных. В рамках этой теории было получено впоследствии много интересных результатов (см. [60]), однако вскоре исследования стали наталкиваться на большие математические трудности, что стало стимупировать в значительной мере, с одной стороны, развитие численных методов океанических течений, с другой - поиск более мощных аналитических методов решения.
В середине 60-х годов бурное развитие получило применение численных методов в океанологии. Это направление продолжает развиваться и сейчас, занимая все большее место в исследовании динамики Мирового
-26-
океана, что связано с постоянным увеличением возможностей вычислительной техники.
Согласно [65-67] математические модели, используемые для вычислений подразделяются на диагностические, прогностические и адаптационные. Диагностические модели позволяют рассчитать уровень, аномалию давления, компоненты вектора скорости течения при фиксированной по времени плотности, которая берется из данных наблюдения. В прогностических моделях учитывается эволюция полей температуры и солености и, естественно, плотности. Адаптационные расчеты являются развитием диагностических [68-74]. Для того, чтобы взятые из наблюдений поля температуры и солености приспособить к геометрии бассейна, к соответствующим уравнениям и граничным условиям, к системе диагностических уравнений прибавляются уравнения переноса тепла и соли. Решается шагом по времени прогностическая система уравнений термогидродинамики океана до определенного шага так, чтобы не допустить сильного сглаживания или снижения данных наблюдений. Кроме того выделяются еще вихреразрешающие модели, классификация которых приведена, например, в [75]. Они позволяют численно моделировать мезомасштабные океанические процессы (отдельные синоптические вихри), играющие важную роль в циркуляции океана.
Основы теории расчетов океанических течений в нашей стране были заложены работами A.C. Саркисяна [76, 77] (в [80, 67] обобщены методы и результаты многолетних работ автора). В [76] были предложены диагностический и прогностический методы расчетов крупномасштабных течений Мирового океана, в [77] было предложено в более развернутой форме семейство вычислительных моделей. Основная идея состоит в использовании в качестве вспомогательной функции для определения гидрологических характеристик (скорости и давления) уровенной поверхности. Функция уровенной поверхности находится численно решением дифференци-
-27-
ального уравнения для нее, построенного из проинтегрированной по всей толщине океана с учетом граничных условий на дне и поверхности уравнений движения с помошью их перекрестного дифференцирования и учета интегрального уравнения неразрывности. Исходные уравнения записываются в традиционных для теории океанических течений приближениях Бус-синеска и гидростатики, они упрощены приближением тонкого слоя и усреднением по турбулентным пульсациям.
В работах [77-81] показано, что градиентные течения в бароклинном слое океана обусловлены в основном полем плотности, прямое же воздействие поля ветра играет второстепенную роль. В работах [80-83] обосновывается доминирующая роль совместного эффекта бароклинности и рельефа дна (СЭБИР) в формировании течений бароклинного слоя моря. В [83] показана возможность интенсификации западных течений и без /2-эффекта. В работе [78] утверждается, что 1) помимо меридионального (или свер-друпова) переноса, обусловленного вихрем касательного трения ветра, существует более важные переносы, связанные с притоком тепла (масса) и бароклинности океана (аккумулированный эффект притока тепла); 2) помимо /2-эффекта существует не менее важная причина западной интенсификации течений - зональный перенос масс, который углубляет интенсификацию течений в районе пассатов и, наоборот, приводит к отрыву течений от западного побережья в районе западно-восточного переноса. Основной движущей силой общей циркуляции Мирового океана является приток тепла через его поверхность, положительный баланс которого вызывает антипиклоническую (по часовой стрелке) циркуляцию в субтропиках, отрицательный - циклоническую (против часовой стрелке) в северных широтах, адвекция плотности играет важную роль в формировании струйных течений. В работе [84] подведены итоги исследования СЭБИР.
Результаты расчетов по модели [85], где отмечается роль СЭБИР, представлены в работах [67, 81, 85-90].