Оптимизация пропульсивных систем с крыльевыми элементами

2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..............................................4
ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ В ЖИДКОСТИ ОБЪЕКТОВ И ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.............................9
1.1. Анализ существующих методов вычисления пропульсивной силы..............................10
1.2. Современное состояние вопроса оптимизации
закона движения.................................24
1.3. Математическое моделирование и оптимизация эксплуатационных характеристик плавникового движителя...........................................33
ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ, ВОЗБУЖДАЮЩЕЙ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ПЛАВНИКА...................................51
2.1. Описание физической модели и постановка
задачи..........................................51
2.2. Приведение задачи оптимального управления
к стандартному виду.............................64
2.3. Необходимые условия экстремума функционала.....69
2.4. Сведение краевой задачи принципа максимума к системе интегро-дифференциальных уравнений ....83
2.5. Определение оптимальной фазовой траектории и поперечной возбуждающей нагрузки................89
2.6. Коэффициент полезного действия упругого плавникового движителя..........................98
2.7. Анализ численных результатов расчета оптимального режима движения................................101
ГЛАВА 3. КОМПЛЕКСНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКОГО УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО КРЫЛА................122
3.1. Формулировка задачи комплексной оптимизации.........................
123
3
3.2 Сведение задачи оптимального конструирования к
нелинейной системе алгебраических уравнений......132
3.3. Оптимизация жесткости упругих связей...........140
3.4. Оптимизация внешнего силового воздействия......158
ГЛАВА 4. СОВМЕСТНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАКОНА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ............178
4.1. Постановка задачи и условия оптимальности......178
4.2. Определение оптимального закона движения и тяги... 191
4.3. Обсуждение результатов численного эксперимента.205
ГЛАВА 5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОПТИМИЗАЦИИ
ПРОПУЛЬСИВНЫХ СИСТЕМ ПЛАВНИКОВОГО ТИПА..............212
5.1. Оценка эффективности оптимизации по основному критерию (КПД)................................ 212
5.2. Особые режимы оптимального движения............226
5.3. Влияние учета упругих свойств плавника на эксплуатационные характеристики в оптимальном режиме движения.................................233
5.4. Последовательная оптимизация пропульсивных систем плавникового типа........................249
5.5. Сопоставление значений коэффициента упора и КПД с полученными ранее теоретическими
и экспериментальными данными....................253
5.6. Сравнение результатов для абсолютно жесткого крыла, полученных различными математическими методами...................................... .260
5.7. Использование предельных переходов для оценки достоверности результатов.......................266
6. Заключение.......................................271
7. Приложение 1.....................................274
8. Приложение 2.....................................283
9. Литература.......................................295
4
ВВЕДЕНИЕ
Решение многих вопросов в судостроении связано с расчетом движения тел в окружающей среде, как например, качка корабля, сопротивление его движению, управляемость, слеминг, швартовка, вопросы погружения и всплытия глубоководных аппаратов и так далее. Как правило, основные трудности, возникающие в процессе расчета, связаны с определением реакции окружающей среды, которая вызвана перемещением самого объекта и зависит от характера его движения.
Эволюционный путь развития методов решения этой проблемы отмечен четко выраженными этапами. Для наиболее ранней стадии характерно разделение задачи о движении тела в среде на две независимые задачи. Первая ставит вопрос о внешних силах, действующих на тело со стороны окружающей среды и решается методами гидродинамики и аэродинамики, а вторая относится к вопросу определения закона движения тела под действием сил, включающих и силы, приложенные со стороны окружающей среды.
Искусственное разделение этих задач на два независимых этапа расчета разрывало естественную взаимосвязь между силовыми факторами и характером движения объекта. Хотя такой подход и упрощал решение, а порой и был единственным, тем не менее в ряде случаев он приводил к существенным погрешностям, а иногда и вообще был неприемлемым для описания явления. Так например, при расчете изгибно-крутильного флаттера крыла самолета или судна на подводных крыльях отмеченная выше связь играет первостепенную роль и ее игнорирование принципиально не позволяет сформулировать задачу о критической скорости движения крыла. Список этого типа задач можно продолжить, дополнив его задачами о дивергенции крыла, панельном флаттере, баффтинге, слеминге судна и так далее.
Последующее уточнение физических моделей и совершенствование математических методов привело к постановке так называемых гидроупругих и аэроупругих задач более точно отражающих механизм движения тел в окружающей среде. При формулировке этих задач безусловно учитывалась связь между характером движения тела и реакцией среды, что позволило получить теоретические
5
решения ряда новых проблем, впоследствии эти результаты нашли блестящее экспериментальное подтверждение. Это был несомненный технический прогресс, но он был достигнут ценой значительного усложнения методов решения.
Появление за последние два десятилетия новой компьютерной техники и соответствующего программного обеспечения сняло остроту проблемы, связанную с усложнением математического аппарата, используемого при решении гидроупругих и аэроупругих задач. Более того, значительные успехи в области развития вычислительной техники позволили перейти к созданию усовершенствованных расчетных математических моделей, относящихся к классу гидроупругих задач оптимального управления. Использование при формулировке этих задач совершенно нового понятия -«функции цели» позволяет ответить на очень важные вопросы, связанные с проектированием новых и модернизацией уже существующих объектов судостроения. Например, задавая функцию цели в виде амплитуд килевой и бортовой качки можно найти оптимальный курсовой угол, при котором амплитуда качки не будет превышать допустимых значений. Или определить закон изменения скорости продувки балластных цистерн в зависимости от глубины погружения, при всплытии подводного аппарата с заданной глубины в наикратчайшее время.
Методы решения задач оптимального управления базируются на принципах вариационного исчисления. Основной чертой этих задач является наличие не только прямой связи управляющею воздействия с силовыми органами, заставляющими объект двигаться определенным образом, но и обратной связи, устанавливающей зависимость между параметрами движения объекта, и управлением (рис.1). Такая замкнутая структура позволяет установить вид управляющею воздействия исходя из условия достижения экстремума функции цели, которая, в свою очередь, сама может зависеть от механического состояния объекта. Именно блок управления через обратную связь получает информацию о состоянии объекта, на основании которой определяет текущее значение функции цели, а затем в результате сравнения его с оптимальным, выдает управляющий сигнал блоку силового привода.
6
обратная связь
Рис. 1. Блок-схема управления объектом.
В реальных задачах вид управляющей функции определяется не только исходя из условия достижения экстремума функцией цели, как правило, на выбор управляющего воздействия накладываются некоторые дополнительные ограничения. На языке математики это означает, что функция управления “и” принадлежит некоторому подпространству и, границы которого зависят от наличных энергетических ресурсов внешнего источника, возможности технической реализации управления, нежелательности каких-либо запрещенных (аварийных) состояний ит. п. Внешне незначительное изменение формулировки задачи оптимального управления, связанное с вводимыми ограничениями, приводит к серьезным математическим трудностям, возникающим в процессе решения. Для преодоления этих трудностей в теории управления имеются специальные методы. В частности, широкое распространение получил строго математически обоснованный метод, разработанный Понтрягиным и его сотрудниками в начале пятидесятых годов. Речь идет о так называемом принципе максимума Понтрягина. Последний позволил решить целый класс задач, связанных с управлением движущихся объектов.
Несмотря на огромную трудоемкость решения конкретных инженерных задач оптимального управления, получаемый эффект сбережения энергетических ресурсов, как правило, полностью оправдывает интеллектуальные затраты, связанные с разработкой методов расчета и их дальнейшим использованием при проектировании.
7
Все вышесказанное никоим образом нельзя рассматривать как критику существующих методов расчета, мы лишь отметили основные вехи на пути их эволюционного развития. Переход от раздельных задач гидродинамики и динамики деформируемого тела к гидроупругим задачам и далее к гидроупругим задачам оптимального управления - естественный путь совершенствования расчетных методов.
Одной из наиболее перспективных областей применения математической теории оптимального управления в судостроении является моделирование новых типов пропульсивных систем, к которым, в первую очередь, можно отнести движитель плавникового типа. В многочисленных исследованиях по гидробионике [88] давно отмечены неоспоримые преимущества указанного выше движителя, подаренного морским обитателям самой природой. К этим преимуществам смело можно отнести высокую энергетическую эффективность, почти полное отсутствие кавитации, маневренность и конечно низкое акустическое излучение, по крайней мере сравнимое с уровнем шума окружающей среды. Последнее обстоятельство является очень заманчивым для проектировщиков. А именно, при движении искусственного аппарата, снабженного плавниковым движителем, вполне вероятно ожидать трудности, с которыми столкнется наблюдатель, решающий задачу обнаружения объекта с помощью существующих в настоящий момент гидроакустических средств. В частности, еще в 1962 г. один из руководителей исследовательских работ ВМС США в своей статье, посвященной научным исследованиям, отметил, что работы в области гидробионики поощряются и финансируются, хотя бы уже потому, что способность дельфина передвигаться в воде бесшумно, практически не оставляя за собой следа, является предметом зависти специалистов, связанных с конструированием движителей для современных подводных объектов [88]. Вместе с тем, идея создания искусственного плавникового движителя, заимствованная у живой природы, может быть успешно реализована только на основании детального исследования основных черт механизма движения гидробионта. Слепое копирование внешних особенностей движения живых организмов не позволяет раскрыть секреты их движения и обречено на провал. Только осмысленное использование уже проведенных многочисленных теоретичес-
ких и экспериментальных исследований позволит создать искусственные движительные системы, по своим характеристикам приближающиеся к уже существующим в природе.
Движительная система живых объектов представляет собой самонастраивающийся многофункциональный механизм, тяга которого зависит, прежде всего, от характера нестационарного движения, способности сохранять пограничный слой на поверхности всего движущегося объекта, используя демпфирующие свойства кожного покрова и слизистые выделения, а также изменение температурного режима поверхности кожи и т. п. В результате систематических исследований в области аэробионики и гидробионики накоплен богатейший материал, однако осмысленна в теоретическом плане лишь небольшая его часть. Так например, нет четко сформулированных математических моделей, объясняющих столь поразительные, с энергетической точки зрения, двигательные способности живых организмов. До сих пор не нашел математического объяснения широко известный парадокс английского зоолога профессора Грея [142, 143, 144]. Он сопоставил скорости передвижения китообразных и мощность их мускульных усилий. В результате оказалось, что для достижения дельфином реально наблюдаемых скоростей ему необходимо развивать мощность, в десять раз превышающую его собственные возможности. Хотя в последующих исследованиях была обнаружена ошибка в расчетах Грея, энергетические затраты искусственных пропульсивных систем плавникового типа по-прежнему остаются более высокими по сравнению с теми же характеристиками природных аналогов при условии их движения с одинаковыми скоростями. В предлагаемой работе на основе нового подхода, который базирзстся на представлении движущегося объекта как открытой колебательной системы, допускающей оптимизацию внешнего силового воздействия и инерционно-жесткостных параметров, сделана попытка устранить противоречия между теоретическими результатами и экспериментальными данными, связанными с энергетическими затратами, необходимыми для эффективного функционирования пропульсивных систем с крыльевыми элементами.
9
ГЛАВА 1
ПРОБЛЕМА ОПТИМИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ В ЖИДКОСТИ ОБЪЕКТОВ И ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ
Наряду с широко используемыми в судостроении винтовым и водометным существуют и другие типы движителей, такие как крыльчатый, лопастное колесо и так далее, но наиболее известным и распространенным в природе является плавниковый движитель. Несмотря на то, что подавляющее число обитателей живой природы, перемещающихся в жидкой среде, использует именно этот принцип движения, в технике данный тип движителя не нашел широкого применения. Объясняется это небольшой энергетической эффективностью искусственных пропульсивных движителей плавникового типа. Вместе с тем, в многочисленных публикациях, упомянутых в обзорной работе [88], и посвященных исследованию движения объектов живой природы, отмечается высокая эффективность механизма тягообразования плавникового движителя, хотя теоретические расчеты дают более низкие результаты силы тяги при фиксированных энергетических затратах. Иными словами, теоретические модели, используемые для описания процесса тягообразования, не учитывали ряда существенных моментов, которые имеют место при движении реальных объектов живой природы. Разработка более совершенных теоретических моделей искусственных движителей плавникового типа была связана с оптимизацией кинематических параметров его движения. Такие попытки были успешно осуществлены, а их результаты были опубликованы в ряде работ [18, 30, 71, 86, 99, 110, 119, 130, 155, 158, 159, 176]. Они сводилось к двум различным формам постановки задач оптимизации. Первая предполагала поиск стационарного значения экстремума функционала силы тяги JT(w) при изопериметрическом условии, ограничивающем среднюю за период работу внешних сил, необходимую для поддержание поперечных колебаний. Вторая
10
постановка позволяла найти экстремальное значение идеального КПД при фиксированном значении силы тяги. Поиск экстремальных значений функционалов осуществлялся в результате варьирования кинематических параметров движения объекта при этом не учитывались его инерционные и упругие свойства. Для получения более объективной оценки основных характеристик оптимальных режимов движения необходимо разработать новые математические модели, которые бы позволяли учитывать массовые и упругие свойства плавника. Моделирование движения плавника исходя из этих представлений позволяет рассматривать его движение с совершенно иной точки зрения, а именно как колебательный процесс неконсервативной механической системы, которая допускает двухсторонний энергетический обмен с окружающей средой. Данная глава посвящена рассмотрению эволюции методов расчета гидродинамических нагрузок, действующих на машущее крыло, которая привела к необходимости построения новых математических моделей и разработке вычислительных процедур, основанных на методах математической теории оптимального управления. К настоящему времени имеется ряд * обзорных работ, посвященных вопросу определения про-пульсивных характеристик колеблющегося крыла [4, 85, 88]. В них достаточно полно отражены наиболее ценные результаты наз'чных исследований, связанных с проектированием про-пульсивных систем, снабженных крыльевыми элементами. Тем не менее, целесообразно посмотреть на отмеченные выше исследования с другой точки зрения, которая оценивает возможность их использования для решения проблем оптимизации основных эксплуатационных характеристик движителей плавникового типа.
1.1. Анализ существующих методов вычисления пропульсивной силы
К настоящему времени накоплена достаточно обширная информация, касающаяся вопроса определения гидродинамических сил, приложенных к рабочему органу пропульсивных
11
систем плавникового типа. Прежде всего остановимся на анализе результатов теоретических исследований, посвященных определению пропульсивной силы, возникающей в результате поперечных колебаний крыла. Для понимания физических причин появления этой силы кратко изложим существо гипотез, лежащих в основе математических моделей, описывающих процесс обтекания тела, колеблющегося в жидкости.
Наибольшее распространение получила гипотеза, предложенная Келдышем М. В., Лаврентьевым М. А. [63], Некрасовым А.И. [82], Седовым Л.И. [111] и Хаскиндом М.Д. [124]. Ее существо заключается в замене тонкого деформируемого крыла, движущегося в идеальной несжимаемой жидкости, и образующегося за ним следа системой присоединенных и свободных вихрей. Поскольку рассматривается нестационарное установившееся обтекание крыла, то для выполнения теоремы Томсона о неизменности циркуляции во всем объеме жидкости, предполагается, что сбегающий с задней кромки вихревой след заменяется системой свободных вихрей. Суммарная интенсивность свободных вихрей, находящихся вблизи крыла и образующих вихревой след, по абсолютной величине равна, а по знаку противоположна изменению суммарной интенсивности присоединенных вихрей, что гарантирует выполнение теоремы Томсона. Согласно этой модели, возникающая сила тяги обязана своим происхождением двум составляющим. Первая представляет собой проекцию нормальных гидродинамических сил, приложенных к поверхности колеблющегося крыла, на направление скорости поступательного движения, а вторая -вызвана разряжением вблизи передней острой кромки и носит название подсасывающей силы.
Менее известная гипотеза, объясняющая причины появления силы тяги в результате поперечных колебания тела, движущегося в жидкой, принадлежит Шулейкину В.В. [128]. Согласно этой гипотезе деформируемое тело движется в жидком канале, соответствующем его форме. Возникающая при этом сила тяги определяется как реакция, действующая на поверхность тела со стороны стенок канала. Несмотря на
12
критические замечания, высказанные Голубевым В.В. в адрес этой гипотезы [14, 15], она получила дальнейшее развитие в работах[78, 79].
Существует еще одна широкое известная гипотеза, используемая для построения математических моделей обтекания колеблющихся в жидкости тел, она принадлежит члену-корреспонденту АН СССР Голубеву В.В. и базируется на утверждении, что при колебаниях крыла в моменты его максимальных отклонений от положения равновесия происходит отрыв дискретных вихрей от пограничного слоя, который рассматривается как завихренная область. После отрыва дискретные вихри остаются неподвижными относительно покоящейся жидкости и образуют шахматную вихревую дорожку типа Кармановской. Она отличается от последней лишь направлением вращения вихрей и приводит к возникновению спутной струи, направленной противоположно поступательному движению крыла. Указанное обстоятельство и является причиной возникновения положительной силы тяги.
Перечисленные выше гипотезы послужили основой для разработки и совершенствования различных методов расчета пропульсивной силы, вызванной поперечными колебаниями крыла. Многообразие этих вычислительных процедур объясняется различием подходов к вопросу учета ряда физических факторов, влияющих на величину силы тяги. К ним, прежде всего, относятся трехмерность потока, обтекающего крыло, наличие свободной поверхности, близость жесткого непроницаемого экрана, геометрическая нелинейность, обусловленная большой амплитудой колебаний, конечность толщины тела плавника и т. п. Совершенствование методов расчета силы тяги происходило по мере развития вычислительной техники и разработки соответствующего математического обеспечения. Таким образом фундаментальные исследования, проводившиеся в 40-х годах 20-го столетия дали мощный толчок процессу разработки конкретных методов расчета гидродинамических нагрузок, действующих на тела в условиях нестационарного обтекания. С особой интенсивностью эти работы стали проводиться начиная с конца 60-х годов.
13
Преследуемая ими цель заключалась в разработке новых математических моделей, использование которых позволило бы повысить достоверность теоретических результатов, приближая их к данным, полученным экспериментальным путем. На данном этапе постановочная часть рассматриваемых задач носила чисто гидродинамический характер. Авторы этих научных работ пытались найти сравнительно простую форму гидродинамического оператора, устанавливающего соответствие между распределением нормальных скоростей на поверхности крыла и силами гидродинамического давления. Приведем ниже краткое описание ' наиболее удачных математических моделей, полученных как результат использования различных вариантов системы физических допущений.
Сравнительно простые и эффективные с вычислительной точки зрения решения получаются при использовании двумерной модели колеблющегося крыла, движущегося в идеальной несжимаемой жидкости. К наиболее ранним исследованиям в этой области можно отнести работу Прандтля [94], в которой рассмотрена задача о нестационарном движении профиля с переменной циркуляцией. Основная трудность, с которой столкнулся автор заключалась в соблюдении теоремы Томсона о постоянстве циркуляции во все объеме жидкости. Преодолеть указанное затруднение удалось с помощью предположения о существовании за профилем вихревого следа, форма и интенсивность распределения вихрей в котором неизвестны. Последующие этапы решения задачи были связаны с введением ряда упрощающих допущений, позволяющих осзчцествить линеаризацию поставленной нелинейной задачи, что дало возможность получить ее решение в окончательном виде. К числу первых работ, в которых на основе линеаризации были получены выражения для пропульсивной силы, относится работа Келдыша М. В. и Лаврентьева М.А. [63]. Авторами было рассмотрено движение слабоизогнутой тонкой пластинки, движущейся поступательно и одновременно совершающей бесконечно малые поперечные колебания. В условиях этих предположений считалось, что вихревой след, образующийся в результате схода вихрей с
14
задней острой кромки, является прямолинейным и направлен вдоль вектора скорости поступательного движения. Решение было получено с помощью метода конформного отображения и сводилось к отысканию комплексного потенциала скоростей. Последний рассматривался как аналитическая функция комплексного переменного, которая терпит разрыв на колеблющемся плавнике и вихревом следе. В результате полученного решения авторы пришли к заключению, что в случае вращательных колебаний появляется положительная сила тяги. Еще одно решение о гармонических колебаниях твердой плоской пластинки, но иными методами, было получено Глауэртом Г. в работе [140].
Более полные, с точки зрения кинематики движения, результаты были получены в работе Некрасова А.И. [82]. Приведенные в ней решения сингулярного интегрального уравнения Бирнбаума позволили записать выражения для гидродинамических нагрузок как явные функции кинематических параметров движения, а затем получить аналитическое выражение идеального КПД ?. В результате были построены графические зависимости г/, от относительной частоты поперечных колебаний (числа Струхаля к-ссо/У0). Для чисто вертикальных колебаний эта зависимость является монотонно убывающей, идеальный КПД изменяется от максимального значения т/, = 1 до минимального г\х = 0,5. В случае чисто вращательных колебаний зависимость представляет монотонно возрастающую кривую, при этом КПД изменяется от -со до 0,5. Что указывает на поглощение профилем энергии из потока при низких значениях числа Струхаля к. Независимо от А.И.Некрасова совершенно другим методом Седовым Л.И. [112] были получены аналогичные результаты, касающиеся зависимости КПД от к. Кроме того, Седовым Л. И. получено аналитическое выражение для продольной силы, приложенной к профилю, и построены зависимости коэффициента тяги от того же параметра. Впоследствии исследования в это же направлении были дополнены работами Горелова Д.М. [16, 17, ,18], которые были посвящены вопросу улучшения пропульсивных характеристик.
15
В рамках тех же допущений, используемых для линеаризации задачи, изучено влияние положения оси вращения угловых колебаний на пропульсивные характеристики плавникового движителя [77, 112].
Как мы уже отмечали, обсуждаемый этап исследований посвящен оценке влияния кинематических параметров движения плавника на его пропульсивные свойства, поэтому вполне понятен особый интерес, проявленный в шестидесятых годах к вопросу проектирования искусственных плавниковых движителей, совершающих колебания по закону бегущей волны. Идея создания такого типа движителей безусловно была навеяна экспериментальными исследованиями, связанными с изучением движения реальных гидробионтов. Эффект бегущей волны для создания положительной пропульсивной силы рассматривался в работах [156, 164, 165, 174, 176]. В процессе решения задачи по определению реакции жидкости не учитывались упругие и инерционные свойства профиля. Результаты этих исследований сводились к выводу об отсутствии преимуществ в плане повышения тяги и КПД при движении рабочего органа плавникового движителя по закону бегущей волны по сравнению с его поперечными колебаниями как твердого тела. Более того, поперечные смещения деформируемой пластины (безынерционного невесомого экрана) по закону бегущей волны вообще не генерирует положительную пропульсивную силу при малых числах Струхаля [4], в то время как при тех же относительных частотах вертикальные колебания жесткого профиля обеспечивают движение с максимальным КПД.
Один из важнейших моментов при вычислении силы тяги связан с определением, так называемой, подсасывающей силы. Выше отмечалось, что она возникает вблизи передней острой кромки профиля ввиду появления некоторой разряженной области. Обсуждению различных методов расчета этой силы посвящены работы [69, 127], модель, которая использовалась для определения подсасывающей силы в [127], основывалась на имитации разряжения в области передней кромки с помощью дискретного вихря, по интенсивности последнего и находилась
16
искомая сила. В работе [69] подсасывающая сила определялась на основании коэффициентов аэродинамических производных, а в целой серии работ [2, 3, 5, 16, 23, 41, 42] использовалась дополнительная информация о типе особенности течения жидкости вблизи передней кромки. Вопрос о скорости движения жидкости вблизи передней кромки исследован в работах [81, 96], в результате установлено, что скорость жидкости неограниченно возрастает по мере приближения к передней кромке и имеет особенность порядка \jyid (<5- расстояние до передней кромки). В первой работе результат получен на основе анализа интегрального сингулярного уравнения, а во второй - с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений. Указанная информация о характере особенности является весьма ценной и позволяет, используя метод дискретных вихрей [23], с высокой точностью определить значение подсасывающей силы.
Переход к расчету гидродинамических нагрузок в рамках нелинейной постановки сразу же приводит к осложнению, которое связано с вопросом о форме вихревого следа. Впервые решение нелинейной задачи, когда форма следа определялась в ходе решения с помощью метода дискретных вихрей, было дано Гореловым Д.Н. [23]. Автором отмечен факт хорошего совпадения результатов расчета подсасывающей силы при использовании линейной теории тонкого профиля с данными, полученными на базе нелинейной теории. Общеизвестным является факт, что применение линейной теории для расчета гидродинамических нагрузок приводит к квадратичной зависимости силы тяги от амплитуды поперечных колебаний. В работах (3, 5] производился расчет силы тяги и аэро-
динамических характеристик профиля, имеющего значительные отклонения от положения равновесия, это привело к необходимости использования нелинейных методов расчета. В результате было показано, что квадратичная зависимость силы тяги от амплитуды колебаний нарушается, а возрастание амплитуды при увеличении тяги более значительное, чем в линейной теории. Для КПД картина обратная, с увеличением амплитуды его значение падает. Использование нелинейной
17
теории обтекания крыла тесно связано с вопросом безотрывного обтекания, так как амплитуды колебаний могут достигать значительных величин. Рассмотрению этого аспекта посвящена работа Довгий С. А. и Шеховцова A.B. [38], в которой исследовались режимы движения при максимально возможных мгновенных углах атаки. В ней, в частности, отмечается, что при установившемся колебательном движении гидробионта максимальные углы атаки не превышают значения а <15°. В плане дальнейшего развития вычислительных методов, базирующихся на схеме гидродинамического обтекания, предложенной Голубевым В.В., отметим еще одну работу [102], в которой приведено решение нелинейной гидродинамической задачи о вертикальных гармонических колебаниях жесткого крыла с большой амплитудой. Получены аналитические выражения для пропульсивной силы и геометрических параметров, определяющих положения дискретных вихрей в спутной струе.
Зависимость тяговых характеристик колеблющего крыла от расстояния до границ раздела сред рассматривалась в работах [39, 120]. В первой работе для поучения приближенного
решения интегрального уравнения использовался метод коллокаций, во второй - численный метод дискретных вихрей. Численные расчеты показали, что при движении профиля вблизи твердого экрана КПД достигает большего значения, чем при движении в безграничной жидкости. При обтекании профиля, находящегося на небольшом расстоянии под свободной поверхностью происходит снижение КПД [120]. Учет влияния границ раздела в рамках поставленной нелинейной задачи [3] приводит к росту тяги и уменьшению КПД по мере приближения к экрану, причем этот эффект усиливается с увеличением амплитуды. Успешное использование асимптотических методов для получения аналитических выражений подсасывающей силы, пропульсивной силы и мощности, необходимой для поддержания колебаний, продемонстрировано в работах Рождественского К.В. При этом отмечается, что полученные зависимости могут рассматриваться как верхние
18
границы по отношению к решениям, полученным численными методами.
Важным моментом в разработке более совершенных методов расчета пропульсивных характеристик колеблющегося крыла является учет фактора телесности профиля, этому вопросу посвящены исследования, освещенные в работах [22, 24, 65, 170, 178). Первоначально учет влияния толщины был затронут в работе [170], где было показано, что увеличение толщины профиля приводит к снижению силы тяги и этот эффект усиливается с ростом числа Струхаля. Вместе с тем, в рамках линейной модели [65] для случая вертикальновращательных колебаний профиля ИДСА-0015 был получен совершенно противоположный результат, который говорил об увеличении коэффициента силы тяги для толстого профиля по сравнению с тонкой пластинкой. Столь противоречивые данные говорят о необходимости дальнейшего исследования этой проблемы. В дополнение лишь отметим, что анализ экспериментальных данных [25] указывает на целесообразность использования толстых профилей в определенном диапазоне относительных толщин.
По мере развития вычислительной техники и программного обеспечения появилась реальная возможность перейти к решению более сложных задач гидродинамики, в частности, рассмотреть трехмерные модели машущего крыла. Наиболее простой с вычислительной точки зрения является теория крыла малого удлинения. К одному из первых исследований в этой области можно отнести работу Лантхилла М. [153], более поздняя его работа [77] была посвящена исследованию различных аспектов плавания рыб. Дальнейшие развитие идей Лайтхилла М. связано с исследованиями нескольких авторов [70, 73, 75, 76, 95, 174, 175]. С точки зрения расчета пропульсивных характеристик, определенный интерес представляют работы [78, 79], которые посвящены решению задачи о волнообразных движениях тонкого деформируемого тела с неизменной по длине амплитудой колебаний. Впоследствии предложенный метод был обобщен на случай бегущей волны с амплитудой, меняющейся по линейному закону [64, 110].
19
Развитая в 70-х годах нестационарная теория несущей линии, основанная на определенной системы допущений, также позволила получить ряд интересных решений, касающихся трехмерного обтекания крыла. В [136, 137, 171] были
рассмотрены не только вертикальные и вращательные колебания, но и совместные колебания для крыла большого удлинения прямоугольной формы в плане. Автором работы [134] на основании теории несущей полосы предложен упрощенный метод анализа в случае чисто вращательных колебаний крыла. Сравнение результатов упомянутых работ с экспериментальными исследованиями движения гидробионтов и птиц [135, 136, 137, 138] дали удовлетворительный результат.
Учет конечности размаха при определении гидродинамических нагрузок, действующих на колеблющееся крыло, требует больших усилий от исследователей и связан с выполнением трудоемких и сложных вычислительных процедур. Хотя еще в 30-е годы были получены точные теоретические решения для случая трехмерного нестационарного обтекания крыла круглой [68, 161] и эллиптической [150] формы в плане, эти работы можно рассматривать как исключение из общего правила. Определение пропульсивных характеристик при нестационарном движении деформированной поверхности произвольной формы в плане может быть осуществлено только с помощью численных методов. Такие методы были разработаны Белоцерковским С.М. и Скрипачом Б.К. [6], а также Чопрой М. [136, 137]. Отечественные авторы воспользовались методом дискретных вихрей для численного решения интегрального уравнения нестационарной линейной теории несущей полосы. Постановочная часть задачи ограничивалась рассмотрением случая вертикальных колебаний различного удлинения крыльев прямоугольной и стреловидной формы в плане, а значения силы тяги и КПД определялись для чисел Струхаля близких к нулю. В работе [152] для определения тяги, вызванной колебаниями крыла конечного размаха, был использован несколько видоизмененный метод дискретных вихрей. Позднее Грунфестом P.A. и Дерезеной Н.П. [31] рассмотрена задача о нестационарном движении тонкого крыла произвольной формы в
20
плане, ее решение было сведено к двумерному интегральному сингулярному уравнению Фредгольма первого рода, которое решалось методом коллокаций в предположении, что несущая поверхность движется по закону бегущей волны или совершает совместные вертикальные и вращательные колебания. Для решения задачи о движении крыла произвольной формы в плане при различных законах движения и широкого диапазона изменения таких параметров как относительное удлинение и число Струхаля авторами работ [97, 98, 99] предложено
использование метода коллокаций при исследовании интегрального сингулярного уравнения. Для реализации этой процедуры скачок давлений на тонком крыле представлялся в виде модифицированного ряда Бирнбаума-Прандтля. Полученные результаты показали, что в определенном диапазоне отношения амплитуд и разности начальных фаз вертикальных и угловых составляющих результирующего колебательного движения появляется существенный выигрыш в силе тяги по сравнению с чисто вертикальными колебаниями. Вместе с тем, идеальный КПД при совместных колебаниях остается ниже, чем в случае чисто вертикальных колебаний.
Не последнюю роль при исследовании параметров, влияющих на силу тяги, играет упругость крыла. Исследования, относящиеся к этой тематике, освещены в работах [20, 21, 30, 83, 89, 100, 116, 117, 148, 158, 168]. Первые исследования по этом}' вопросу были опубликованы в 1936 году Павленко Г.Е.
[83], который предложил использовать упруго закрепленные крылья по бортам судна в качестве успокоителей качки и вспомогательных движителей. На основе линейной теории в работе [20] рассмотрена задача о колебаниях тонкого жесткого профиля в жидкости, закрепленного с помощью спирального упругого элемента. Изучались вертикальные и вращательные колебания в широком диапазоне чисел Струхаля при различных значениях жесткости спиральной пружины. В процессе исследований было установлено, что определенном}' значению жесткости упругого элемента соответствует явно выраженный максимум силы тяги, степень заостренности кривой в области экстремального значения увеличивалась по мере увеличения
21
момента инерции крыла и уменьшения плотности жидкости. Работы [21, 168] посвящены анализу характера обтекания упруго закрепленного жесткого крыла с закрылком на упругом шарнире. Более общая постановка гидроупругой задачи, когда крыло моделировалось как упругая система с непрерывно распределенными упругими параметрами обсуждалась в работах [30, 116, 117, 148, 158]. К начальной стадии
исследований влияния упругости крыла на его пропульсивные характеристики можно отнести работу Каца [148] об изгибных колебаниях упругого профиля с произвольным распределением жесткости. Проведенные вычисления приводят к выводу о снижении тяговых характеристик и повышении КПД на 20% для упругого профиля по сравнению с жестким. В рамках линейной постановки в работах [30, 158] изучалась
возможность реализации оптимальных режимов движения упругого плавника при возбуждении поперечных колебаний посредством кинематического привода, расположенного у передней кромкой. Исследование пропульсивных характеристик профиля, передняя часть которого считается жесткой, а задняя - упругой, проведено в работах [116, 117]. Полученные зависимости коэффициента силы тяги и мощности от кинематических параметров движения позволили авторам прийти к заключению, что предложенная модель крыла обеспечивает движение с более высоким КПД, чем жесткое крыло. Еще один важный результат, к которому пришли авторы, указывает на существенную зависимость пропульсивных свойств от закона распределения инерционноупругих характеристик вдоль хорды. Что касается гидродинамических нагрузок, то в первой работе использована линейная теория, а во второй - нелинейная теория, допускающая большие отклонения от равновесного положения. Стоит упомянуть еще одну работу [179], в которой гидроупругая задача решается в рамках нелинейной теории тонкого профиля и нелинейной теории изгибных колебаний балки. Задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений, отражающей гидродинамическую и упругую связь колеблющегося объекта. Гидродинамическая нагрузка определяется с помощью метода вихревых особенностей для каждого текущего
22
деформированного положения крыла, а упругие деформации определяются на базе сеточного метода. В итоге задача приводится к нелинейной системе алгебраических уравнений, для ее решения используется метод итераций. В результате получены зависимости средней за период тяги и КПД от числа Струхаля.
Обобщение результатов, полученных в [20], на случай трехмерного обтекания жесткого крыла с одной и двумя упругими связями приведен в работах [100, 104].
Использование асимптотической теории крыла, движущегося вблизи экрана, и метода коллокаций позволили авторам прийти к заключению о существовании резонансных режимов движения, что согласуется с выводами к которым пришел Першин С.В. [84]. Последующие исследования [106, 141]
распространялись на случай упругого крыла произвольной формы в плане. Постановочная часть задачи базировалась на линейной нестационарной теории несущей поверхности и линейной теории изгибных колебаний пластин. Расчеты показали несколько большую эффективность и тяговые характеристики для упругого крыла по сравнению с жестким. Кроме того, при определенных режимах движения вклад подсасывающей силы в общую силу тяги в случае упругого крыла был ниже, чем для жесткого крыла, что с точки зрения возможности появления кавитации ставило упругое крыло в более выгодные условия.
Экспериментальные исследования основных характеристик пропульсивных систем плавникового типа осуществлялись в неразрывной связи с теоретическими разработками и, в основном, использовались для оценки достоверности результатов, полученных на базе вычислительных процедур. Хотя в ряде случаев экспериментальные данные позволяли выявить новые направления дальнейших теоретических исследований, эти случаи были скорее всего исключениями из общего правила. К наиболее ранним экспериментальным работам, посвященным возможности использования колеблющегося крыла как судового движителя, следует отнести [108, 145, 163]. В последней
Шерером Дж. изучались совместные вертикальные и
23
вращательные колебания прямоугольного в плане крыла, поперечное сечение которого соответствовало профилю ИАСА-0015. Исследования показали реальную возможность достижения КПД свыше 60%. Позже в институте АН УССР проводились испытания прямоугольного крыла [12, 36, 61], в результате которых экспериментально подтверждена квадратичная зависимость коэффициента упора от амплитуды вертикальных колебаний. В случае вертикально-вращательных колебаний получена зависимость величины упора от амплитуды вращательных колебаний. Авторы указанных работ пришли к выводу о возрастании упора по мере увеличения амплитуды вращательных колебаний только до определенного предела, при дальнейшем увеличении амплитуды возрастания коэффициента упора не наблюдалось.
Не останавливаясь подробно на дальнейших экспериментальных исследованиях [11, 19, 25, 26, 27, 28, 29, 62, 117, 121, 129, 131, 139, 151], отметим лишь, что полученные результаты подтвердили основные положения гидродинамической теории обтекания крыла. К основным целям, которые лежали в основе этих исследований, следует, прежде всего, отнести изучения влияние на тягу таких факторов как близости свободной поверхности и наличие жестких ограничивающих экранов [19, 25, 29, 126], толщины профиля [125, 126], частоты колебаний [258], упругих свойств узла крепления крыльевого элемента [13, 146, 169], упругости самого крыла [1, 43, 121, 169] и т.п. Вместе с тем, предметом исследований являлась не только сила тяги, но и мощность, затрачиваемая на поддержание колебаний. При этом изучалась ее зависимость от таких факторов, как частота вынужденных колебаний [125, 126], упругие свойства крыла [43] и т. п. В связи с технической сложностью и высокой стоимостью экспериментальных установок практические исследования, относящиеся к возможности создания эффективных пропульсивных систем плавникового типа, носили комплексный характер. Поэтому, лишь условно объединены в отдельные группы работы, посвященные анализу влияния тех или иных факторов, от которых зависит процесс тягообразования. Нельзя не упомянуть
24
экспериментальные работы, относящиеся к изучению структуры возмущенного потока, образующегося за колеблющимся крылом. В литературе имеется довольно большое число этих работ, так как вопрос о характере спутной струи за крылом лежит в основе фундаментальных гипотез, на которых базируются различные гидродинамические теории. К последним исследованиям в этом направлении относятся работы [65, 108, 111, 133, 147, 160], их результаты позволяют более точно провести границы допустимого использования той или иной гидродинамической теории.
В этом параграфе мы привели краткие результаты научных исследований, которые отражают основные тенденции совершенствования математических моделей, используемых на стадии проектирования искусственных пропульсивных систем плавникового типа для расчета их эксплуатационных характеристик. Вместе с тем, вопрос улучшения этих характеристик требует иной постановки, он связан, прежде всего, с оптимизацией возбуждающего силового воздействия и физических параметров объекта. Поэтому результаты приведенного выше анализа можно использовать лишь в качестве инструмента для дальнейших исследований, посвященных проблеме оптимизации. Рассмотрению именно этого вопроса и посвящен следующий параграф.
1.2. Современное состояние вопроса оптимизации закона движения
В предыдущем параграфе мы не затрагивали вопрос об оптимизации закона движения плавника - это предмет обсуждения данного раздела. Все рассмотренные выше модели колеблющегося в потоке крыла разрабатывались с целью исследования влияния геометрических и физических факторов на процессы тягообразования и экономии энергетических ресурсов. Выводы, к которым пришли авторы этих исследований, безусловно могут быть использованы при проектировании искусственных плавниковых движителей с
25
улучшенными характеристиками. Проведенные исследования позволяют построить зависимости, характеризующие влияние этих факторов на величину силы тяги и КПД. Эти исследования можно рассматривать как предварительные научные разработки, позволяющие перейти к вопросу оптимизации движения плавника. Приведенный выше анализ лишь помогает грамотно сформулировать задачу оптимизации, после решения которой удастся ответить на важнейшие практические вопросы, возникающие на стадии проектирования.
В наиболее упрощенной форме вопросы оптимизации решаются с помощью численного эксперимента, то есть формулируется критерий оптимальности и выбирается один из основных параметров исследуемой системы, от которого зависит критерий оптимальности. Затем проводят серию расчетов, вычисляя величину критерия оптимальности для различных значений выбранного параметра и строят графическую зависимость критерия от параметра. Такие процедуры можно осуществить для целой серии оптимизируемых параметров. Визуальный анализ полученных зависимостей дает возможность найти оптимальные значения исследуемых параметров и определить оптимальные эксплуатационные характеристики объекта. Такого типа исследования иногда бывают единственно возможными в силу сложности математического аппарата, используемого для описания задачи. Примером подобного вида анализа могут служить расчеты, связанные с определением величины силы тяги для различных значений разности фазовых углов вертикальных и вращательных движений абсолютно жесткого профиля [16, 17, 18]. В результате этих исследований показано, что максимальное значение тяги достигается в случае, когда вертикальные колебания опережают вращательные движения на угол я/2. В работах [77, 112] в рамках той же линеаризованной модели изучено влияние расположения оси вращения угловых колебаний на величину силы тяги. Еще одним примером численного исследования критерия оптимальности может служить работа [20], которая посвящена изучению влияния жесткости упругого элемента крепления недеформируемого
26
профиля на величину силы тяги. В процессе расчетов установлено, что искомая зависимость имеет ярко выраженный максимум, что дает возможность установить оптимальное значение жесткости упругого элемента.
По мере увеличения числа параметров, для различных значений которых подсчитывается величина критерия оптимальности, резко возрастает объем вычислительных операций, что является существенным препятствием на пути определения оптимальных значений этих параметров. Так уже при выборе двух параметров, например, отношения амплитуд и разности фазовых углов вертикальных и угловых колебаний жесткого профиля при исследовании его пропульсивных характеристик приходится строить серию графических зависимостей для того, чтобы определить их оптимальные значения, обеспечивающие экстремальную величину силы тяги. Еще одним примером, относящимся к численным экспериментам, когда варьируются два параметра, можно отнести исследование пропульсивных характеристик крыла от числа Струхаля и относительного удлинения [99]. Ценность результатов любого теоретического исследования определяется, прежде всего, возможностью их использования в практических целях. Если полученные в процессе расчетов численные результаты становятся необозримы, ценность их значительно снижается ввиду большой трудоемкости, связанной с их дальнейшей обработкой.
При более общих постановках задачи, когда речь идет об оптимизации закона непрерывно распределенного параметра, например погонной массы упругого профиля, то использование численного эксперимента становится вообще невозможным. В работе [116] изучался вопрос о вычислении пропульсивных характеристик и КПД профиля, передняя часть которого жесткая, а задняя - упругая. Эти исследования показали существенную зависимость силы тяги от закона распределения инерционно-массовых характеристик вдоль хорды, но установить оптимальные законы данных распределений не удалось. Причина этого затруднения состоит в отсутствии возможности использовать серии численных экспериментов для определения оптимальных значений указанных параметров, соответствующих всему диапазону их изменения. Иными словами, класс
27
функций, каждая из которых реализует тот или иной закон распределения исследуемого параметра, состоит из несчетного числа элементов.
Аналогичные трудности возникают в случае определения оптимального закона движения колеблющегося крыла бесконечного размаха, развивающего максимальную силу тяги, когда оно моделируется с помощью деформируемого профиля. Такое представление крыла сводится к анализу движения механической системой с бесконечным числом степеней свободы, поэтому подбор значений обобщенных координат, обеспечивающих оптимальный режим движения, не может быть проведен с помощью численного эксперимента и необходимо прибегать к другим методам исследования. К ним, прежде всего, относятся вариационные методы. Число работ, в которых удалось воспользоваться вариационными методами с целью установить оптимальные характеристики плавникового движителя сравнительно невелико.
Прежде чем переходить к краткому описанию этих работ, остановимся на вопросе выбора критерия оптимальности, который тесно связан с понятием эффективности эксплуатационных характеристик плавникового движителя. Хотя понятие эффективности, до определенной степени, носит субъективный характер, чаще всего под эффективностью понимают достижение максимального КПД при фиксированном значении силы тяги [176]. Ограничение силы тяги в этом случае записывается в виде изопериметрического условия, именно оно обеспечивает единственность решения задачи оптимизации, связанное с определением закона колебательного движения, при котором КПД достигает максимального значения. Другой подход к оценке эффективности плавникового движителя основан на определении закона движения тонкого деформируемого профиля, который обеспечивает генериование максимальной силы тяги [18]. При такой постановке задачи оптимизации необходимо зафиксировать значение КПД, что обеспечивает единственность решения задачи. В опубликованной литературе имеются и другие формулировки задач оптимизации. Так в работе [130] оптимальным считается
28
движение, происходящее при фиксированной величине средней силы тяги, а в качестве минимизируемого критерия используется средняя скорость энергетических потерь на поддержание колебаний и потерь на образование вихревого следа. В противоположность указанной постановке, в [123] в качестве критерия оптимальности принимается средняя сила тяги и фиксируется средняя поперечная сила, необходимая для поддержания колебаний. Оптимальным считается колебательный режим, обеспечивающий движение с максимальной пропульсивной силой.
Примером успешного применения вариационных методов может служить исследование [176], связанное с определением максимального значения КПД в случае варьирования отношения амплитуд и разности фазовых углов вертикальных и вращательных движений абсолютно жесткого профиля при неизменном значении силы тяги. В рамках теории крыла конечного размаха в работе [157] изучался вопрос о максимальном пропульсивном коэффициенте при ограниченных затратах, подводимой к плавнику энергии. Предполагалось, что движение тонкого деформируемого тела происходит по закону бегущей волны. С помощью методов вариационного исчисления получен закон изменения амплитуды колебаний вдоль хорды, который подчинялся экспоненциальной зависимости, кроме того, приведены данные об оптимальном отношении скорости потока и скорости распространения бегущей волны. Задача, связанная с определением оптимальной траектории движения системы, состоящей из двух профилей рассмотрена в [154, 155]. Решение получено в предположении, что амплитуды колебаний могут быть произвольными, а вызванные скорости считаются малыми. Работы [30, 71] посвящены исследованию оптимальных характеристик упругого профиля, причем в последней из них решение получено для неоднородного потока. Для более полного освещения обсуждаемого вопроса необходимо отметить результаты, приведенные в работах [119, 158], в которых рассмотрена условная оптимизация одиночного жесткого крыла и системы крыльев, а также работы [71, 159], содержащие
29
ограничение, относящееся к величине подсасывающей силы. В процессе исследования движения одиночного крыла установлены границы чисел Струхаля, для которых задачи оптимизации силы тяги и мощности, подводимой от внешнего энергетического источника, имеют единственные решения. Проведен анализ вклада подсасывающей силы в суммарную силу тяги. Показано, что в случае использования системы крыльев единственность задачи оптимизации имеет место для всего диапазона чисел Струхаля.
С точки зрения оценки параметров, которые варьируются в процессе оптимизации, предложенной авторами упомянутых выше работ, их можно отнести к задачам кинематической оптимизации. При такой формулировке функционал удается представить в виде явной зависимости от оптимизируемых параметров. Так, в [99] рассматриваемый в качестве фзпнк-ционала коэффициент средней тяги записывается как явная функция отношения амплитуд и угла сдвига фаз между вертикальными и вращательными колебаниями, что позволяет, используя стандартные вариационные методы, решить зада чу оптимизации. В работе "\¥и Т.У. [176] на базе того же вариационного метода решена задача о поиске максимального КПД с помощью установления явной зависимости последнего от тех же кинематических параметров. В ходе решения этих задач не учитывается влияние на колебательный процесс таких важных факторов как масса и упругость крыла. Переход к новым модельным представлениям колеблющегося в жидкости упругого крыла конечной массы позволяет поставить вопрос об оптимизации законов распределения погонной массы, упругих свойств и распределения интенсивности поперечной возбуждающей нагрузки. Существенное влияние перечисленных параметров отмечено в ряде исследований, проведенных в рамках старых модельных представлений. В частности отмечается, что учет жесткостных и массовых характеристик при моделировании движения плавника позволяет эффективно использовать резонансные колебательные режимы [86, 109, 110], когда силы, приложенные со стороны привода не совершают отрицательной работы по преодолению упругих и