Генерация второй гармоники лазерного излучения в однородных нелинейных и периодически-нелинейных кристаллах с учетом термооптических искажений

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения и сокращения.................................
Глава I. Введение. Обзор литературы...............................
Актуальность темы.............................................
§1.1. Научная новизна.........................................
§ 1.2. Защищаемые положения...................................
§ 1.3. Практическая ценность..................................
§ 1.4. Апробация работы .....................................
§ 1.5. Краткое содержание диссертации.........................
§ 1.6 Обзор литературы. Часть I. Тепловые самовоздействия при генерации второй гармоники в однородных нелинейных кристаллах .....................................................
§ 1.7. Обзор литературы. Часть 1Г. Преобразование оптических частот в периодически-нслинейных средах.........................
Глава II. Термооптпческне искажении при генерации второй гармоники в однородных нелинейных кристаллах........................
§ 2.1 Введение. 1 Остановка задачи и основные уравнения.......
§ 2.2. Компоненты тензора термоупругих напряжений и переход к
сокращенным матричным обозначениям......................
§ 2.3. Эквивалентные направления в одноосных кристаллах.......
§ 2.4. Унругооптический вклад в изменение показателей преломления, волновую расстройку и поляризации взаимодействующих
волн....................................................
Глава 111. Расчет термооптических искажений при генерации второй гармоники для некоторых нелинейных кристаллов................
§3.1. Матричные компоненты тензора упругой податливости и компоненты тензора термоупругих напряжений для разных кристаллографических классов и типов взаимодействий.............
5
7
7
9
11
12
12
13
21
32
41
41
46
51
59
64
64
§ 3.2. Матричные компоненты пьезооптического тензора и упругооптический вклад в изменение показателей преломления, волновую расстройку и поляризации взаимодействующих волн для разных кристаллографических классов и типов взаимодействий ......................................................... 70
§ 3.3. Результаты численного расчета для изменений показателей преломления, волновой расстройки и поляризаций для некоторых нелинейных кристаллов....................................... 78
§ 3.4. Результаты численного расчета эффективности генерации второй гармоники с учетом термооптических искажений ;щя
некоторых нелинейных кристаллов............................. 97
§3.5. Некоторые отличительные особенности двуосных кристаллов
и некритический по температуре синхронизм................. 118
Глава IV. Приближение упругой изотропной среды для расчета
термооптических искажений в однородных нелинейных
кристаллах................................................. 130
§ 4.1. Введение................................................. 130
§ 4.2. Сравнение точного и приближенного решений для упругооптических искажений............................................... 131
§ 4.3. Упругооптические искажения при гауссовом распределении
плотности мощности основного излучения.................... 149
Глава V. Генерация второй гармоники в нелинейных кристаллах с
регулярной доменной структурон............................ 167
§ 5.1. Введение. Основные уравнения и предположения для описания генерации второй гармоники в кристаллах с регулярной
доменной структурой....................................... І 67
§ 5.2. Когерентная длина при большой волновой расстройке........ 169
§ 5.3. Вывод уравнений для генерации второй гармоники в кристаллах с регулярной доменной структурой................... 173
4
§ 5.4. 1 їачальньїе условия для системы уравнений (5.64) - (5.65) и выражение для амплитуды второй гармоники при неточном
квазисинхронизме......................................... 179
§ 5.5. Учет угловой расходимости при генерации второй гармоники
в кристаллах с регулярной доменной структурой............ 183
§ 5.6. Тепловые самовоздействия при генерации второй гармоники в
кристаллах с регулярной доменной структурой.............. 190
§ 5.7. Ширины квазисинхронизма.................................. 196
§ 5.8. Одновременное синхронное и квазисинхронное взаимодействия при г енерации второй г армоники в кристаллах с регулярной доменной структурой......................................... 202
Заключение........................................................... 207
Литература........................................................... 210
Приложение 1. Матричные компоненты тензора упругой податливости в системах координат дгргргу и лгуфг;.......................... 235
Приложение 2. Матричные компоненты пьезооптического тензора
в системах координат хрсрсЦ и х[х'?х\................ 244
Приложение 3. Связь кристаллографической и крисгаллофизнческой систем координат................................................ 256
Б
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
а, />, с - оси кристаллографической системы координат х,, х29 лгЛ - оси кристаллофизической системы координат х, у, г - оси кристаллооптической системы координат А - комплексная амплитуда электромагнитной волны а действительная амплитуда электромагнитной волны <Афф - эффективная нелинейность </,* -тензор квадратичной восприимчивости с - единичный вектор поляризации
Кт - вектор обратной решетки регулярной доменной структуры к - волновой вектор / - длина
п - показатель преломления Р - мощность излучения /V " упругооптический тензор
Р - радиус цилиндрического образца Я - плотность мощности излучения V - тензор упругой податливости
Т - температура
ии - тензор упругих деформаций
а - коэффициент теплообмена а0 - тензор теплового расширения
6 - коэффициент поглощения по амплитуде
г]2 - коэффициент преобразования во вторую гармонику
щ - тензор относительной диэлектрической непроницаемости
к - коэффициент теплопроводности Л - период регулярной доменной структуры
6
Я - длина волны излучения // - параметр теплового самовоздействия пт - пьезооптический тензор р - плотность
ст - коэффициент нелинейной связи - тензор упругих напряжений ГВГ - генерация второй гармоники 11ГС - параметрический генератор света РДС - регулярная доменная структура УОИ - унругооптические искажения
7
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Актуальность темы
При генерации второй гармоники (ГВГ) лазерного излучения используются лазеры со значительными средними мощностями. При этом в нелинейных кристаллах проявляются тепловые самовоздействия. Задача о их влиянии на ГВГ сводится к совместному решению уравнений для комплексных амплитуд, уравнений теплопроводности и термоупругости с соответствующими граничными и начальными условиями. Поглощение излучения -наосновной частоте и частоте второй гармоники - вызывает неоднородное температурное поле в поперечном сечении нелинейного кристалла. Это приводит, во-первых, к изменению показан елей преломления Апт на частотах взаимодействующих волн (за счет температурной зависимости показателей преломления: = (#)|Уз0-А7,)? и>
во-вторых, к появлению термоупругих напряжений <ту, которые в свою очередь также вызывают изменение показателей преломления Anv за счет упругооптического эффекта - упругооптические искажения (УОИ). Таким образом, полное изменение показателей преломления Л//, определяющее гермооптические искажения, равно:
Ам = Апг + Апа. (ГI)
Для ГВГ, которая относится к когерентным нелинейно-оптическим процессам, даже небольшое изменение показателей преломления может существенно повлиять на эффективность преобразования и распределение выходного излучения второй гармоники. Однако, практически во всех работах по ГВГ в формуле (1.1) учитывался лишь вклад слагаемого Ад (см., например, |1 - 3]). Вклад слагаемого Лд. рассматривался, например, при определении УОИ в лазерных кристаллах, причем тсрмоупругис напряжения в этом случае определяются в приближении упругой изотропной среды. Такой подход для лазерных кристаллов не вызывает особых возражений, так как большинство из них
8
например, кристаллы УДО) принадлежит к кубической системе, анизотропия пругих свойств которой выражена сравнительно слабо. Симметрия же упругих войств большинства нелинейных кристаллов ниже, чем у кубических кристал-ов, поэтому при определении УОИ в нелинейных кристаллах наиболее кор-ектным является описание их упругих свойств тензорами упругой податливо-ти или жесткости с1/и. Вопрос о применимое! и приближения упругой изо-
ронной среды при расчете УОИ в нелинейных кристаллах требует дополни-ельных исследований. Одной из задач настоящей работы был анализ влияния пругоот ического вклада в термооптические искажения при ГВГ, а также ис-ледованне применимости приближения упругой изотропной среды для расчета ОИ в нелинейных кристаллах.
Для ГВГ традиционно используются однородные нелинейные кристаллы, которых выполнено условие фазового синхронизма; взаимодействие в таких ристаллах можно назвать синхронным. В последнее время, помимо однород-ых нелинейных кристаллов, широкое применение находят также крисгалличс-кис среды с периодической нелинейностью 141. Использование таких периоди-сских кристаллических сред;щя реализации фазового синхронизма было преложено Ьломбергеном [51 незадолго до изобретения Джордмэйном фазового инхронизма первого типа в однородных нелинейных кристаллах |6]. Кристал-ичсскис среды с периодической нелинейностью состоят из плоских кристалли-еских слоев с большой волновой расстройкой Лк , длина которых равна нечет-ому числу когерентных длин /. = лЛк1, причем при переходе от одного кри-таллического слоя к следующему направление оптической оси меняется на ротивоположное. Тем самым знак эффективной нелинейности периодически зменяется, что эквивалентно изменению обобщенной фазы на к. Такие взаи-одействия получили название квазисинхронных взаимодействий. В настоящее ремя в качестве кристаллических сред с периодической нелинейностью ис-ользуются кристаллические ссгнстоэлсктрики с периодической регулярной ДО-ЮННОЙ структурой (ГДС). В РДС-крис! аллах векторы спонтанной поляризации
в соседних доменах имеют противоположные направления, а эффективные нелинейности отличаются знаком. Одним из преимуществ РДС-кристаллов является возможность использования нелинейных сред, не обладающих традиционным синхронизмом (опт ически изотропные материалы, а также взаимодействия, не реа1изуемые в однородных кристаллах, например мее-с" типа).
В настоящее время проведен анализ ГВГ в РДС-кр металл ах в приближении заданного ноля основного излучения. Было получено выражение для амплитуды второй гармоники в РДС-кристаллах в приближении заданного поля, а т акже его обобщение для нелинейного режима преобразования. Однако в нелинейном режиме преобразования формула для вычисления амплитуды второй гармоники |7] относится лишь к случаю, когда РДС-кристатл состоит из доменов, длина которых в точности равна целому числу /, (случай точного квазисинхронизма). В случае же неточного квазисинхронизма выражение для амплитуды второй гармоники в нелинейном режиме преобразования до сих пор не было получено. Кроме того, в работах по ГВГ в РДС-кристаллах практически не рассмотрены вопросы, связанные с учетом угловой расходимости лазерного излучения и тепловых самовоздействий. В связи с изложенным, одной из задач диссертации было выяснение вопроса о том, какими уравнениями и выражениями можно описать процесс I ВГ в РДС-кристаллах, а также более детальное рассмотрение влияния угловой расходимости и тепловых самовоздействий на ГВГ в этих кристаллах.
§ 1.1. Научная новизна
1. Впервые теоретически в общем виде исследован упругооптический вклад в изменение показателей преломления при ГВГ в нелинейных кристаллах. Наиболее подробно проанализирован этот вклад для нелинейных кристаллов в форме кругового цилиндра со стационарным параболическим температурным полем. Проанализированы связанные с этим изменения волновой расстройки и направлений собст венных поляризаций взаимодействующих волн.
10
2. На базе полученных теоретических результатов проведен численный расчет гермооптических искажений с учетом упругооптического эффекта для кристаллов ЛОР, 1лМЮ3, КОР, ЭКОР и ЫЮ3 в случае стационарного параболическою температурного поля. Рассчитаны изменения показателей преломления, волновой расстройки, направлений собственных поляризаций взаимодействующих волн, а также интегральные коэффициенты преобразования и распределения коэффициента преобразования по плотности мощности. Расчеты показали, что улругооптический вклад; в изменение показателей преломления и волновой расстройки во многих случаях сопоставим по величине с вкладом, обусловленным температурной зависимостью показателей преломления.
3. Впервые рассмотрен вопрос о применимости приближения упругой изотропной среды для расчета упругооптических искажений при ГВГ в нелинейных кристаллах. Предложен метод перехода от точных выражений для термоупругих напряжений к соответствующим выражениям в приближении упругой изотропной среды. В случае стационарного параболического температурного поля для кристаллов АОР, 1лЫЬ03, КОР, ОКОР и ЫДО3 проведен численный расчет упругооптических искажений в приближении упругой изотропной среды и сравнение его с точным расчетом упругооптических искажений. Для гауссова распределения средней плотности мощности в приближении упругой изотропной среды рассчитаны интегральные коэффициенты преобразования и распределения коэффициента преобразования по плотности мощности.
4. Получены уравнения и их решения, описывающие процесс ГВГ при квази-синхронном взаимодействии в кристаллах с регулярной доменной структурой, а также выражения дня мощности второй гармоники с учетом уз ловой расходимости излучения и тепловых самовоздействий. Рассчитаны ширины квазисинхронизма в нелинейном режиме преобразования. Показана возможность одновременной генерации второй гармоники при синхронном и квази-
II
синхронном взаимодействиях в кристаллах с регулярной доменной структурой.
§ 1.2. 'Защищаемые положения
1. При расчете параметров удвоителей частоты лазерного излучения с большими средними мощностями, помимо эффектов теплового самовоздействия, связанных с температурной зависимостью показателей преломления, необходимо также учитывать упругооптические искажения, связанные с термоупругими напряжениями в нелинейных крисгаллах. Упругооптический вклад в изменение показателей преломления, волновой расстройки и эффективности ГВГ, обусловленный тепловыми самовоздействиями, определяется упругими и пьезооптическими парамеарами нелинейной среды и во многих случаях сопоставим с вкладом, обусловленным температурной зависимостью показателей преломления.
2. При параболическом распределении температуры по сечению цилиндрического кристаллического образца упругооптические искажения приводят к тому, что поверхность волновой расстройки в поперечных координатах является эллиптическим или гиперболическим параболоидом, в общем случае ориентированным произвольным образом. Для отрицательных кристаллов классов 42т, Зт, 6т2, бтт и положительных кристаллов классов 42т, 32, 6т2 при ориентации нелинейного кристалла, соответствующей максимуму эффективной нелинейное ги для скалярного синхронизма первого типа, поверхность волновой расстройки будет симметрична относительно плоскости главного сечения. Упругооптические искажения приводят к потере осевой си.ммезрии распределения выходного излучения второй гармоники и к возникновению астигматизма, при этом эффективность ГВГ может как уменьшаться, так и -увеличиваться.
3. Приближение упругой изотропной среды для расчета упругооптических искажений при ГВГ в нелинейных кристаллах в ряде случаев адекватно точному рассмотрению с учетом анизотропии упругих свойств среды. Предложенный
12
в диссертации метод перехода от точных выражений для термоупругих напряжений к соответствующим выражениям в приближении упругой изотропной среды позволяет рассчитать упругооптические искажения не только для параболического температурного поля, но и для других температурных полей, реализуемых на практике.
4. При надлежащей замене переменных уравнения и их решения, описывающие ГВГ в кристаллах е регулярной доменной структурой, совпадают с таковыми для однородных кристаллов с точностью до - \/а] , где Л, - приведенная волновая расстройка в домене. Получено выражение для когерентной длины взаимодействия при больших волновых расстройках. Так же, как в однородных нелинейных кристаллах, в кристаллах с регулярной доменной структурой при ГВГ угловая расходимость излучения и тепловые самовоздействия могуч существенно уменьшить эффективность преобразования, а в нелинейном режиме преобразования ширина центрального максимума кривой квазисинхронизма уменьшается с одновременным возрастанием боковых максимумов. В кристаллах с регулярной доменной структурой возможна реализация ГВГ одновременно за счет синхронного и квазисинхронного взаимодействий, что позволяет оптимизировать ГВГ как по эффективности, так и по ширинам синхронизмов.
§ КЗ. Практическая ценность
Результаты диссертации могут быть использованы при проведении НИР и ОКР по улучшению эффективности преобразования и выходных характеристик генераторов оптических гармоник, а также при подготовке студентов и аспирантов к области лазерной физики.
§ 1.4. Апробация работы Материалы диссертации докладывались на XVI Международной конференции по когерентной и нелинейной оптике (г. Москва, 1998 г.), на XLI Научной конференции МФ ТИ (г. Долгопрудный, 1998 г.), на XLII Научной конфс-
13
ренции МФТИ (г. Москва - Долгопрудный, 1999 г.), на семинарах Кафедры квантовой электроники в НИИ "Полюс".
Публикации
Но материалам диссертационной работы опубликовано 15 работ [227 -
241].
§ 1.5. Краткое содержание диссертации
Диссертация состоит из пяти глав, заключения, списка литературы и грех приложений. Диссертация изложена на 261 странице машинописного текста, содержит 64 рисунка, 10 таблиц и библио1рафию, содержащую 241 наименование.
В первой главе приведены актуальность темы, научная новизна, защищаемые положения, практическая ценность, апробация работы, краткое содержание диссертации и обзор литературы.
Во второй главе рассматриваю гея термооптические искажения в однородных нелинейных кристаллах с учетом УОИ, возникающих при тепловых само-воздействиях в процессе 1 'ВГ.
В § 2.1 приведены постановка задачи и основные уравнения (уравнения для комплексных амплитуд взаимодействующих волн, уравнения теплопроводности и термоупругости с соответствующими граничными и начальными условиями). При этом использовались следующие предположения: 1) лазерное излучение осесимметрично и распространяется вдоль геометрической оси нелинейного кристалла, имеющего форму цилиндра длины / и радиуса Я«/; 2) распределение температуры в кристалле стационарно; 3) теплообмен кристалла осуществляется через боковую поверхность; 4) ГВГ соответствует приближению заданного ноля основного излучения; 5) кристалл обладает слабым линейным поглощением; 6) реализуется случай внешней самофокусировки и отсутствует диафрагменный апертурный эффект; 7) поверхность кристалла свободна от напряжений.
14
Упругооптический вклад в изменение тензора относительной диэлектрической непроницаемости, в сокращенных матричных обозначениях, равен:
н=к&> > (*-2)
где 7г' и су' - матричные компоненты пьезооптического тензора и тензора тер-моупругих напряжений в системе координат х\х'2х\, связанной с кристаллическим образцом (ось Ох'з совпадает с осью цилиндра, а оси Ох\ и Ох\ - с направлениями поляризаций взаимодействующих волн).
В § 2.2 приведены выражения для компонент ст\ в нелинейном кристалле для случая параболического распределения температуры в его поперечном сечении. Компоненты <j\ выражаются через матричные компоненты тензора упругой податливости и теплового расширения а] в системе х[х^х'л. Приведены формулы, связывающие матричные компоненты л'0, s'v и а/ с соответствующими компонентами ntn stJ и at в кристаллофизической системе координат х]х2х3. Зная мат ричные компоненты и <т/, по формуле (1.2) можно определить А;;,' и,
следовательно, упругоопт ический вклад в изменение показателей преломления и волновой расстройки.
В § 2.3 для каждого из основных кристаллографических классов одноосных нелинейных кристаллов (4шт, 42т, 4, 32, Зт, 6т2, бтт и 6) в случае скалярного синхронизма первого типа определены направления, которые эквивалентны с точки зрения упругих и упругооптических свойств (т е. в которых матричные компоненты л' и одинаковы) и в которых максимально значение
эффективной нелинейности d^\.
В § 2.4 приведены формулы, определяющие упругооптический вклад в изменение показателей преломления, волновой расстройки и углов собственных поляризаций взаимодействующих волн. Показано, что поверхности изменения показателей преломления, волновой расстройки и углов собственных поляризаций в поперечных координатах являются эллиптическими или гипербо-
15
лнческими параболоидами, в общем случае ориентированными произвольным образом.
В третьей главе рассматриваются УОИ ;уія нелинейных кристаллов, принадлежащих к различным кристаллографическим классам и проведен расчет термооптических искажений с учетом УОИ для кристаллов ADF, LiNb03, KDP, DKDP и LiJ03.
В § 3.1 для нелинейных кристаллов, принадлежащих к кристаллографическим классам, рассмотренным в § 2.3, в случае максимального значения
(для скалярного синхронизма первого типа) определен вид матриц и а! в системе координат x;.ru;. Показано, что при максимальном |c/xMJ для отрицательных кристаллов классов 42т, Зт, бт2, бтт, 6 и положительных кристаллов классов 42т, 32, бт2, 6 часть компонент обращается в ноль и выражения для о[ упрощаются.
В § 3.2 для указанных выше нелинейных кристаллов в случае максимального К*| определен вид матрицы . Показано, что при максимальном |^ф| у
матрицы 7i]} обращаются в ноль те же самые компоненты, что и у матрицы и
;иія тех же нелинейных кристаллов, за исключением положительных и отрицательных кристаллов класса 6, ;иія которых, в общем случае, все компоненты к\}*0. С учетом проведенного анализа для указанных выше положительных и
отрицательных кристаллов определена симметрия поверхностей изменения показателей преломления, волновой расстройки и углов собственных поляризаций с учетом упругооптического эффекта. Показано, что при максимальном \d^\
для отрицательных кристаллов классов 42т, Зт, 6т2, бтт и положительных кристаллов классов 42т, 32, бт2 поверхности изменения показателей преломления и волновой расстройки в поперечных координатах (л-;, .г') симметричны относительно плоскостей и Ох'2х'3.
В § 3.3 приведены результаты численного расчета для изменений показателей преломления, волновой расстройки и углов собственных поляризаций с
16
учетом УОИ для кристаллов ЛОР, 1лЫЬ03, КОР, ОКО!» и 1лЮЛ. Покачано, что упругооптический вклад в волновую расстройку во мног их случаях сопоставим по величине с вкладом, определяемым температурной производной показателей преломления, а изменениями углов собственных поляризаций можно пренебречь.
В § 3.4 приведен численный расчет эффективности ГВГ т/2 в приближении заданного поля с учетом УОИ для кристаллов АЭР, ипьо,, КОР, ИКОР и
0.10,. Рассчитаны максимальные значения эффективности ГВГ л/™ в зависимости от безразмерного параметра теплового самовоздействия и = 2д]/Ри)/Г^ (£, -коэффициент поглощения по амплитуде на основной частоте; Ц0 — средняя входная мощность основного излучения; Ркр-кЛ^д{п2-п{)/<7Т\' - критическая мощность потерь; к- - коэффициент теплопроводности; Л, - длина волны основного излучения; и, 2 - показатели преломления взаимодействующих волн; 7
— температура). 11редложен критерий, позволяющий качественно оценить, при каких значениях р УОИ начинают оказывать заметный вклад в эффективность ГВГ т]2. Показано, что УОИ могут как уменьшать, так и увеличивать л/2гаах. Проведен расчет распределений коэффициента преобразования по плотности мощности.
В § 3.5 приведены некоторые отличительные особенности двуосных нелинейных кристаллов и замечания, которые нужно иметь в виду при проведении расчетов УОИ в этих кристаллах.
В четвертой главе рассмотрено приближение упругой изотропной среды для расчета упругооптического вклада в термооптические искажения при ГВГ в однородных нелинейных кристаллах.
В § 4.1 отмечено, что точные аналитические выражения (с учетом анизотропии упругих свойств) для термоупругих напряжений <т/ в цилиндрическом кристаллическом образце можно получить лишь в случае стационарного параболического распределения температуры в поперечном сечении кристалла. Для
17
других температурных полей точные выражения для <т; получить не удается. В этом случае можно попытаться описать упругие и тепловые свойства нелинейных кристаллов в приближении упругой изотропной среды, посредством эффективных значений модуля Юнга £>|ф, коэффициента Пуассона и коэффициента теплового расширения а^.
В § 4.2 проведено сравнение точного расчета УОИ с расчетом УОИ в приближении упругой изотропной среды при параболическом распределении температуры в поперечном сечении нелинейного кристалла. В приближении упругой изотропной среды коэффициенты £^, и входят в компонент ы сг;
в виде параметра «^£^/[4(1 - и^)], который определялся двумя разными способами. В первом способе этот параметр определялся из условия равенства проекции тензора <у\ на плоскость поперечного сечения кристалла (компоненты <?[, сг; и сг;,), при расчете <т; поточным формулам и по формулам в приближении упругой изотропной среда. Во втором способе он определялся из условия минимума коэффициента
где &к(а хо) и А*|тпр) — унругооіггическая часть волновой расстройки, рассчитанная по точным формулам для сг/ и по формулам в приближении упругой изотропной среды, соответственно. Как показал численный расчет, проведенный ддя кристаллов А1)Р, имюз, КПП, ОКОР и Ш03, в общем случае определение гіарамефа а^Е^/[4(1-^)] первым способом можно производить лишь для достаточно грубых оценок, поэтому далее он определялся из условия минимума коэффициента у. Минимальные значения у для указанных выше кристаллов составляют -0,05*0,2, что вполне допустимо для качественного расчета УОИ при ГВГ в приближении упругой изотропной среды. Показано, что /цін всех положительных и отрицательных нелинейных кристаллов, рассмотренных в § 2.3,
(1.3)
х
18
симметрия поверхностей изменения показателей преломления и волновой расстройки в поперечных координатах (х[, х'2) относительно плоскостей (Ь:[х\ и Ох'2х\ нс зависит от того, как рассчитываются <т; - но точным формулам или в приближении упругой изотропной среды.
Рассчитан упругооптический вклад в волновую расстройку М(ато> и Д*(япр)
для кристаллов ЛХ)Р, УЫЬ03, КОР, ГЖПР и 1Ж>3, а также зависимости /;2ша'(/') без учета УОИ и с учетом УОИ, определяемых с использованием точных выражений для (Т\ и рассчитанных в приближении упругой изотропной среды. Про-веденный расчет УОИ в приближении упругой изотропной среды и сравнение его с точным расчетом УОИ для параболического температурного поля показывают, что приближение упругой изотропной среды является достаточно хорониш для определения УОИ, что позволяет применять его также в случаях, когда распределение температу ры по сечению кристалла не является параболическим.
В § 4.3 рассмотрены УОИ при гауссовом распределении плотности мощности основного излучения, когда температура в поперечном сечении кристалла имеет параболическую зависимость лишь в приоссвой области лазерного пучка. В этом случае в приближении упругой изотропной среды коэффициенты /:.,фф,
Цфф и <*** входят в компоненты а; также в виде параметра «^£,*/[4(1--1^)], который определялся нами по результатам расчетов, проведенных в § 4.2 из условия минимума коэффициента у [см. формулу (1.3)]. Показано, что симметрия поверхностей изменения показателей преломления и волновой расстройки в поперечных координатах (*[,*£) относительно плоскостей Ох\х\ и ()х\х\ для положительных и отрицательных кристаллов, рассмотренных § 2.3, будет та же, что и в случае параболического температурного поля. Для кристаллов АПР, 1л]МЬ()3, КЭР, ЭК1)Р и ЬіЮ, приведены кривые синхронизма и зависимости /;]вах(//) без учета УОИ и с учетом УОИ, рассчитанных в приближении упругой изотропной среды. Приведен расчет распределений коэффициента преобразования по плотности мощности.
19
В пятой главе рассматриваются некоторые вопросы ГВГ в РДС-кристаллах.
В § 5.1 приведены основные уравнения и предположения для описания ГВГ в РДС-криста г л ах. Предполагалось, что в каждом домене приведенная волновая расстройка Д, = А£/(2<т,(У)»Г где Ак = кг-2к{ - волновая расстройка в домене; и2 = (У1(1\!<У\ + а\; а. 2 - коэффициенты нелинейной связи; к, и </2, к2
- амплитуды и волновые векторы ;щя волн на основной частоте и частоте второй гармоники. В расчегах также предполагалось, что для всех доменов <т12>0,
а при переходе от одного домена к другому обобщенная фаза получает приращение, равное л.
В § 5.2 при А,»1 получено приближенное выражение для когерентной длины /К в зависимости от величины начальной безразмерной амплитуды второй гармоники у0 = а^/и:
В § 5.3 приведен вывод уравнений для ГВГ в РДС-крметаллах. Полученные уравнения справедливы с точностью до величин ~ 1 /А2, . Показано, что уравнения и выражения для ГВГ в РДС-кристаллах можно получить из соответствующих уравнений и выражений для однородных кристаллов, если произвести следующую замену переменных:
где 4~ &Р2 - приведенная длина в направлении взаимодействия г;
/? = Д?/(2сг,б0 - приведенная обобщенная расстройка; дк =дк-К,„ - обобщенная расстройка; Кт= 2лт/А - волновое число РДС: А - период РДС, который при точном (неточном) квазисинхронизме т-го порядка равен (примерно равен) величине 2т!г.
В § 5/1 рассмотрен вопрос о начальных условиях для уравнений, полученных в § 5.3. На основе аналогии (1.5) получено выражение для амплитуды вто-
(1.4)
20
рой гармоники в РДС-кристаллах при неточном квазисинхронизме в нелинейном режиме преобразования.
В § 5.5 получены выражения для эффективности ГВГ в РДС-кристаллах ;;2 с учетом угловой расходимости лазерного излучения в геомегрооптическом приближении. Получено выражение для ц2 в приближении заданного поля для некритическою по углу квазисинхронизма.
В § 5.6 проведен учет тепловых само воздействий при ГВГ в РДС-кристаллах. 11ри этом У ОН не учитывались. При учете тепловых самовоздейст-вий, помимо (1.5) добавляется еще одно соответствие между однородными кристаллами и РДС-кристаллами:
дА п дАп
>--------+ о Ап (1.6)
дТ (П 9 К ’
где Ап=п?-п] - разность показателей преломления взаимодействующих волн; а — коэффициент теплового расширения в направлении взаимодействия. Проведен расчет кривых квазисинхронизма и эффективности ГВГ в РДС-кристаллах с учетом тепловых самовоздействий.
В § 5.7 рассмотрен вопрос о ширинах квазисинхронизма в нелинейном режиме ГВГ в РДС-кристаллах. Показано, что при переходе к существенно нелинейному режиму ГВГ необходимо учитывать изменение кривой квазисинхронизма, в частности, сильное сужение центрального максимума и резкое возрастание боковых максимумов.
В § 5.8 обсуждается возможность одновременного синхронного и квази-синхронного взаимодействий мри ГВГ в РДС-кристаллах, период которых состоит из доменов разной длины.
В приложениях 1 и 2 приведены матричные компоненты тензора упругой податливости и пьезооптического тензора в системе координат и во вспомогательной системе координат ярда.
В приложении 3 приведен ныне действующий стандарт, определяющий выбор кристаллографических и кристаллофизических систем координат.
21
§ 1.6. Обзор литературы. Часть 1. Теп.юные самовоздсйствия при генерации второй гармоники в однородных нелинейных кристаллах
Для реализации эффективной ГВГ в нелинейных кристаллах необходимо выполнение условия фазового синхронизма, которое обычно достигается в определенных направлениях в оптически анизотропных кристаллах. Направления фазового синхронизма зависят как от оптических свойств кристалла, так и от внешних факторов, среди которых одним из главных является температура. Температуру нелинейного кристалла, при которой выполняются условия фазового синхронизма, называют температурой фазового синхронизма [1]. При отстройке температуры кристалла ог температуры фазового синхронизма, направление фазового синхронизма меняется, а коэффициент преобразования во вторую гармонику падает. Экспериментально зависимость ГВГ от температуры нелинейного кристалла изучалась в работах [8 - 15]. Очень часто, для компенсации влияния на ГВГ изменений температуры окружающей среды, нелинейный кристалл помещают в термостат. В 116] рассмотрена автоматическая компенсация температурных уходов направления фазового синхронизма при ГВГ в нелинейных кристаллах, которая осуществляется за счег использования призм из анизотропного материала, меняющих угол падения пучка основного излучения на нелинейный кристалл. Так, в кристалле КОР, за счет использования двух призм из кальцита, получено десятикратное увеличение температурной ширины синхронизма для скалярного взаимодействия первого типа [16]. Изменение температуры кристалла используется также для осуществления в одноосных нелинейных кристаллах 90-градусного фазового синхронизма, обладающего большей угловой шириной и отсутствием сноса волны основной частоты или второй гармоники [17|.
Однако температура нелинейного кристалла может меняться не только за счет изменения температуры окружающей среды (термостата), но и за счет тепловых самовоздействий лазерного излучения, т.е. нагрева кристалла вследствие частичного поглощения распространяющегося излучения. Тепловые самовоз-
22
действия, возникающие при ГВГ, приводят к неоднородному по объему кристалла изменению показателей преломления и волновой расстройки взаимодействующих волн, уменьшая тем самым эффективность преобразования и искажая пространственно-временную структуру излучения второй гармоники. В большинстве случаев, исключающих импульсные режимы субнаносекундной длительности, тепловые самовоздсйствия вносят больший вклад в изменение показателей преломления, чем самовоздействия лазерного излучения, обусловленные эффектом Керра и электрострикцией [18].
Прежде чем переходить к тепловым самовоздействиям при ГВГ в нелинейных кристаллах, необходимо рассмотреть некоторые особенности тепловых самовоздействий в линейных средах. В зависимости от знака температурной производной показателя преломления dnj&r, тепловые самовоздействия в твердых телах обычно приводят либо к самофокусировке (при дп)&1'> 0), либо к са-модефокусировке (при dnj&i< 0) лазерного излучения 119]. Экспериментально и теоретически тепловая самофокусировка в твердых телах изучалась в работах [20 - 30], где было показано, что тепловая самофокусировка имеет место в средах с обычным поглощением уже при мощнос тях порядка долей ватта. Стационарные тепловые самовоздействия приводят к образованию в среде тепловой линзы с переменным фокусным расстоянием вдоль распространения лазерного пучка 120]. В общем случае тепловые самовоздействия сопровождаются также аберрационными эффектами, приводящими к изменению длины самофокусировки и диаметра фокального пятна, а также к расслоению пучка на кольцевые зоны [20, 31, 32]. В стационарном режиме для возникновения тепловой самофокусировки необходимо, чтобы мощность лазерного излучения превышала так называемую критическую мощность самофокусировки [22, 24, 25]:
где к - коэффициен т теплопроводности, л - длина волны излучения. Критическая мощность самофокусировки Гсф - это мощность, при которой дифракцион-
пая расходимость лазерного пучка полностью компенсируется тепловой фокусировкой. В отличие от стационарных тепловых самовоздействий, которые определяются установившимся температурным полем, нестационарные тепловые самовоздействия имеют интегральный характер и зависят от энергии импульса [19, 24], гак как в большинстве случаев времена установления температурного поля в поперечном сечении пучка много больше длительностей импульсов лазерною излучения.
Как было отмечено выше, неоднородный нагрев среды лазерным пучком ириводиг к термоупругим напряжениям, которые за счет упругооптического эффекта могут существенно влия ть на показатель преломления среды [33], приводя к УОИ. В общем случае, как видно из формулы (1.1), полное изменение показателя преломления Ап является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое Дл7 = ($)г 0*ДТ определяет изменение показателя преломления, связанное с повышением температуры среды на ЛГ, где (т£)ав0 - значение температурной производной показателя преломления, полученной при свободном однородном нагреве среды в отсутствие термоупругих напряжений (именно это значение обычно приводи тся в справочной литературе). Второе слагаемое Апа - изменение показателя преломления, связанное с наличием в среде термоупругих напряжений су,.. Таким образом, для определения изменения показателя преломления Лп необходимо знать не только распределение температуры в среде, но и распределение термоупругих напряжений. О необходимости учета УОИ говорит например то, чзо термоупругие напряжения могут приводить к самофокусировке даже в тех средах, для которых о < 0 [33]. Так. для кристаллов КОР и
ЛОР, для которых (дп/дТ)^ о <0, для необыкновенной волны выполняется условие тепловой самофокусировки [33 - 35]. Тепловая самофокусировка в направлении [001] наблюдалась в кристаллах зриглицинсульфата, также обладающих
отрицательным значением (<Я*/^г) [36].
24
Для определения УОИ необходимо определить термоупругие напряжения, которые зависят от температурного поля в среде. Методы расчета распределения температуры в среде рассмотрены в [37]. В [38, 39] проведен расчет температурного режима в активных элементах твердотельных лазеров. Для изотропных твердых тел теория температурных напряжений (теория термоупругости), являющаяся одним из разделов теории упругости [40, 41], изложена в [42 - 44]. Расчет термоупругих напряжений необходим, например, при разработке мощных твердотельных лазеров [38, 45 - 49], так как они не только определяют УОИ выходного излучения, но могут приводить и к разрушению активного элемента. Расчеты термоупругих напряжений проводились для изотропного прозрачного диэлектрика при воздействии на нею импульсного [50] и фокусированного [.511 излучения.
Для анизотропных кристаллических твердых тел определение термоупругих напряжений намного сложнее, так как для этого в общем случае необходимо решить систему дифференциальных уравнений с частными производными, состоящую из трех уравнений упругого равновесия Коши и шести уравнений совместности Сен-Венана [52, 53] с соответствующими граничными условиями. При этом, распределение термоупругих напряжении будет зависеть также от того, в каком направлении вырезан кристаллический образец. Для кристаллов, в большинстве случаев, получить аналитические выражения для термоупругих напряжений возможно либо для образцов, вырезанных вдоль кристаллографических осей, либо используя метод последовательных приближений. В [541 получены выражения для термоупругих напряжений в кристаллах гексагональной и тригональной системы при их нагреве лазерным пучком, распространяющимся вдоль оптической оси цилиндрического кристаллического образца. Расчет термоупругих напряжений в случае нагрева лазерным пучком, поперечные размеры которого значительно меньше поперечных размеров кристаллического образца, проводился для кристаллов кубической системы при распространении излучения вдоль оси четвертого порядка [55, 56], а также для трансверсально